第6講 四則混合運算的運算順序和運算律
知識精講
知識點一：四則混合運算的運算順序
1.分級的標(biāo)準(zhǔn)
四則混合運算分為兩級，加法和減法叫作第一級運算；乘法和除法叫作第二級運算。
2.四則混合運算的運算順序
（1）在沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，再算第一級運算（也就是先算乘除法，再算加減法）。
（2）算式里有括號的，要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的
知識點二：四則混合運算定律
知識點三：運算性質(zhì)
1.減法的性質(zhì)：a-b-c=a-(b+c) a-b+c=a-(b-c)
2.除法的性質(zhì)（除數(shù)不等于0）: a÷（b×c）=a÷b÷c a÷b÷c=a÷c÷b
3.商不變的性質(zhì):被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。
a÷b=（a×m）÷（b×m）（m QUOTE ≠ ≠0，b QUOTE ≠ ≠0） a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（m QUOTE ≠ ≠0，b QUOTE ≠ ≠0）
重點提示：在利用減法和除法的運算性質(zhì)進(jìn)行簡便計算時，等式的兩邊可以顛倒過來，要根據(jù)算式的特點靈活地進(jìn)行去括號或添括號。
知識點四：四則混合運算中的速算技巧：
1.加減法中的速算與巧算
（1）分組湊整法．把幾個互為“補(bǔ)數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去，或先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)．（ “補(bǔ)數(shù)”就是兩個數(shù)相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補(bǔ)數(shù)”）
（2）加補(bǔ)湊整法．有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整．
（3）數(shù)值原理法：先把加在一起為整十、整百、整千…的數(shù)相加，再與其它的數(shù)相加．
（4）“基準(zhǔn)數(shù)”法，基準(zhǔn)當(dāng)幾個數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”（要注意把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上）
2.乘法湊整技巧：先把能湊成整十、整百、整千的幾個乘數(shù)結(jié)合在一起，最后再與前面的數(shù)相乘，使 得運算簡便。例如：，，
3.分?jǐn)?shù)與小數(shù)混合運算的技巧
在分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則混合運算中，到底是把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，還是把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，這不僅影響到運算過程的繁瑣與簡便，也影響到運算結(jié)果的精確度，因此，要具體情況具體分析，而不能只機(jī)械地記住一種化法：小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。
技巧1：一般情況下，在加、減法中，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)比較方便。
技巧2：在加、減法中，有時遇到分?jǐn)?shù)只能化成循環(huán)小數(shù)時，就不能把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。此時要將包括循環(huán)小數(shù)在內(nèi)的所有小數(shù)都化為分?jǐn)?shù)。
技巧3：在乘、除法中，一般情況下，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)計算，則比較簡便。
技巧4：在運算中，使用假分?jǐn)?shù)還是帶分?jǐn)?shù)，需視情況而定。
技巧5：在計算中經(jīng)常用到除法、比、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)相互之間的轉(zhuǎn)化，掌握這些常用的數(shù)互化數(shù)方法對學(xué)習(xí)非常重要
知識點五：定義新運算
1.定義新運算是指運用某種特殊的符號表示的一種特定運算形式。注意：
（1）解決此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴(yán)格按照新定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，然后進(jìn)行計算。
（2）我們還要知道，這是一種人為的運算形式。它是使用特殊的運算符號，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等來表示的一種運算。
（3）新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合于各種運算定律的。
2.一般的解題步驟是:
一是認(rèn)真審題，深刻理解新定義的內(nèi)容；
二是排除干擾，按新定義關(guān)系去掉新運算符號；
三是化新為舊，轉(zhuǎn)化成已有知識做舊運算。
提高達(dá)標(biāo)百分練
一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）
1．（2分）（2022?高淳區(qū)）下面計算中能準(zhǔn)確反映豎式計算過程的是（ ）
A．25×48＝25×4×12＝100×12＝1200
B．25×48＝25×50﹣25×2＝1250﹣2＝50＝1200
C．25×48＝25×40+25×8＝1000+200＝1200
2．（2分）（2022?吉首市）4×37×25＝37×（4×25），這是根據(jù)（ ）
A．乘法分配律
B．乘法交換律
C．乘法結(jié)合律
D．乘法交換律和乘法結(jié)合律
3．（2分）（2022?邱縣）3.8×（97+3）＝3.8×97+3.8×3運用的運算定律是（ ）
A．加法結(jié)合律B．乘法結(jié)合律C．乘法分配律
4．（2分）（2022?濟(jì)南）超市進(jìn)了一批鮮花，共259枝，每12枝扎成一束，可以扎成幾束？如圖，可以用豎式計算出結(jié)果，那豎式中箭頭所指的這一步表示（ ）
A．用240枝鮮花扎成了20束
B．用24枝鮮花扎成了20束
C．用20枝鮮花扎了24束
D．用20枝鮮花扎成了240束
5．（2分）（2022?蘄春縣）亮亮想用計算器驗算“56×14“，但計算器中“4“的按鍵壞了，下面的算式在（ ）不能算出正確的答案。
A．56×7×2B．56×15﹣56C．56×15﹣15D．56×13+56
二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
6．（2分）（2022?漳平市）如圖是一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算過程。第一步的得數(shù)是A，第二步的得數(shù)是B，那么A與B相比，A B。（填大于或小于）
7．（2分）（2022?騰沖市）小紅的爺爺今年63歲，小紅今年7歲，爺爺?shù)哪挲g是小紅的 倍。
8．（2分）（2022?泌陽縣模擬）馬小虎在計算6.5×（口+2.5）時，錯算成6.5×口+2.5，他得到的結(jié)果比正確結(jié)果少 。
9．（2分）（2022?淅川縣）在全國人民抗擊疫情時，某呼吸機(jī)廠師徒兩人裝配呼吸機(jī)，師傅每天裝配31臺，徒弟每天裝配22臺，經(jīng)過 天后，師傅比徒弟多裝72臺。
10．（2分）（2022?灌南縣）如圖，3個杯子疊起來高16厘米，5個杯子疊起來高22厘米。7個杯子疊起來的高度是 厘米。
11．（2分）（2022?遵義模擬）張老師帶領(lǐng)36名學(xué)生乘車去小西湖研學(xué)旅行，每輛車限載4名乘客，至少需要 輛車才能一次坐完。
12．（2分）（2021?瑞安市）小學(xué)即將畢業(yè)，六（1）班家委要給42個同學(xué)買畢業(yè)紀(jì)念冊。如圖豎式中，箭頭所指的數(shù)表示買 本紀(jì)念冊的價錢；這些紀(jì)念冊一共需要 元。
13．（2分）（2022秋?甘谷縣期末）明明在做乘法算式時，將一個因數(shù)21看成了12，結(jié)果計算得到的積比正確的少207，正確的積是 。
三．判斷題（共5小題，滿分10分，每小題2分）
14．（2分）（2022?市南區(qū)模擬）把“300﹣170＝130，130×11＝1430”寫成綜合算式是300﹣170×11。 （判斷對錯）
15．（2分）（2021春?長興縣期中）35與50的和除以10與5的差，商是多少？這道題列式為：35+50÷10﹣5． （判斷對錯）
16．（2分）（2022秋?揭陽期中）在沒有括號的算式里，按照從左往右的順序進(jìn)行計算． （判斷對錯）
17．（2分）（2021?集安市）因為37÷9的余數(shù)是1，所以3700÷900余數(shù)也是1． ．
18．（2分）（2022秋?上思縣期末）（72﹣35）×16÷4和（72﹣35）×（16÷4）的計算結(jié)果不相同。 （判斷對錯）
四．計算題（共2小題，滿分20分）
19．（8分）（2022?武寧縣）直接寫出得數(shù)。
20．（12分）（2022?璧山區(qū)）計算下面各題，能簡算的要簡算。
五．應(yīng)用題（共9小題，滿分44分）
21．（4分）（2023?海淀區(qū)模擬）某摩托車廠6月份生產(chǎn)了570輛摩托車，其中有10輛不合格。合格的產(chǎn)品用大卡車運往各銷售公司，一輛大卡車一次可以運35輛，每次需要運費480元。一共需要支付運費多少錢？
22．（5分）（2022?臨漳縣）李校長和三位老師帶領(lǐng)39名學(xué)生乘車去北山游玩。
（1）王紅認(rèn)為：李校長大約要帶1000元錢，才夠他們的往返車費。
（2）劉曉認(rèn)為：李校長大約要帶2000元錢，才夠他們的往返車費。
你認(rèn)為他們誰說得對？請寫出你的理由。
23．（5分）（2022?章丘區(qū)）綠化隊為一個居民社區(qū)栽花。栽月季花240棵，再加上16棵就是所栽丁香花棵數(shù)的2倍。栽了多少棵丁香花？
24．（5分）（2022?騰沖市）購物。
（1）買一輛自行車和一個電飯煲大約要多少元錢？
（2）爸爸帶800元買這兩樣?xùn)|西夠嗎？
25．（5分）（2022?酉陽縣）北京冬奧會滑雪比賽“平行大回轉(zhuǎn)”項目，有A票座位1000個，2500元/人，B票座位4800個，500元/人，共收入4300000元。本場觀眾最多有多少人？
（5分）（2022?錢塘區(qū)）2022年參加北京冬奧會的總?cè)藬?shù)為2892人，比第一屆夏蒙尼冬奧會的12倍少204人，第一屆冬奧會參加人數(shù)是多少人？（兩種方法計算）
27．（5分）（2021?嘉蔭縣）王叔叔在愛閱圖書館借了一本小說，如果每天看20頁，13天可以全部看完。如果要在規(guī)定期限內(nèi)準(zhǔn)時歸還而不必交延時服務(wù)費，他平均每天至少要看多少頁？
28．（5分）（2020?黃陂區(qū)）武昌到北京的鐵路長是1225km，一列客車從北京開往武昌，同時有一列貨車從武昌開往北京。行駛3小時后，兩車共行路程與未行路程的比是30：19，已知這列貨車平均每小時行120km，這列客車平均每小時行多少千米？
29．（5分）（2022秋?東港市期末）淘氣有124塊巧克力糖，笑笑只有20塊，淘氣想讓笑笑的和自己的一樣多，他每次從自己的糖里拿出13塊給笑笑，需要拿多少次？
運算定律
文字?jǐn)⑹?br>用字母表示
加法
加法交換律
兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變
a+b=b+a
加法結(jié)合律
三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法
乘法交換律
兩個數(shù)相乘，交換兩個乘數(shù)的位置積不變
ab =ba
乘法結(jié)合律
三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變
(ab)c=a(bc)
乘法分配律
兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于把這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把它們的積相加
(a+b)c=ac+bc
493×61≈
＝
8÷＝
36×25%＝
1%÷1%＝
＝
0.25×0.8＝
798÷204≈
57.6﹣18.15+32.4﹣11.85
78×25+1764÷49
2.5×32×12.5
3.6×[（37.5+18.5）÷2.8]
÷[（﹣）×]
199×99+178+21
基礎(chǔ)版（通用）
2022-2023學(xué)年小升初數(shù)學(xué)精講精練專題匯編講義
第6講 四則混合運算的運算順序和運算律
知識精講
知識點一：四則混合運算的運算順序
1.分級的標(biāo)準(zhǔn)
四則混合運算分為兩級，加法和減法叫作第一級運算；乘法和除法叫作第二級運算。
2.四則混合運算的運算順序
（1）在沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，再算第一級運算（也就是先算乘除法，再算加減法）。
（2）算式里有括號的，要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的
知識點二：四則混合運算定律
知識點三：運算性質(zhì)
1.減法的性質(zhì)：a-b-c=a-(b+c) a-b+c=a-(b-c)
2.除法的性質(zhì)（除數(shù)不等于0）: a÷（b×c）=a÷b÷c a÷b÷c=a÷c÷b
3.商不變的性質(zhì):被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。
a÷b=（a×m）÷（b×m）（m QUOTE ≠ ≠0，b QUOTE ≠ ≠0） a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（m QUOTE ≠ ≠0，b QUOTE ≠ ≠0）
重點提示：在利用減法和除法的運算性質(zhì)進(jìn)行簡便計算時，等式的兩邊可以顛倒過來，要根據(jù)算式的特點靈活地進(jìn)行去括號或添括號。
知識點四：四則混合運算中的速算技巧：
1.加減法中的速算與巧算
（1）分組湊整法．把幾個互為“補(bǔ)數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去，或先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)．（ “補(bǔ)數(shù)”就是兩個數(shù)相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補(bǔ)數(shù)”）
（2）加補(bǔ)湊整法．有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整．
（3）數(shù)值原理法：先把加在一起為整十、整百、整千…的數(shù)相加，再與其它的數(shù)相加．
（4）“基準(zhǔn)數(shù)”法，基準(zhǔn)當(dāng)幾個數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”（要注意把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上）
2.乘法湊整技巧：先把能湊成整十、整百、整千的幾個乘數(shù)結(jié)合在一起，最后再與前面的數(shù)相乘，使 得運算簡便。例如：，，
3.分?jǐn)?shù)與小數(shù)混合運算的技巧
在分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則混合運算中，到底是把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，還是把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，這不僅影響到運算過程的繁瑣與簡便，也影響到運算結(jié)果的精確度，因此，要具體情況具體分析，而不能只機(jī)械地記住一種化法：小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。
技巧1：一般情況下，在加、減法中，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)比較方便。
技巧2：在加、減法中，有時遇到分?jǐn)?shù)只能化成循環(huán)小數(shù)時，就不能把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。此時要將包括循環(huán)小數(shù)在內(nèi)的所有小數(shù)都化為分?jǐn)?shù)。
技巧3：在乘、除法中，一般情況下，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)計算，則比較簡便。
技巧4：在運算中，使用假分?jǐn)?shù)還是帶分?jǐn)?shù)，需視情況而定。
技巧5：在計算中經(jīng)常用到除法、比、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)相互之間的轉(zhuǎn)化，掌握這些常用的數(shù)互化數(shù)方法對學(xué)習(xí)非常重要
知識點五：定義新運算
1.定義新運算是指運用某種特殊的符號表示的一種特定運算形式。注意：
（1）解決此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴(yán)格按照新定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，然后進(jìn)行計算。
（2）我們還要知道，這是一種人為的運算形式。它是使用特殊的運算符號，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等來表示的一種運算。
（3）新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合于各種運算定律的。
2.一般的解題步驟是:
一是認(rèn)真審題，深刻理解新定義的內(nèi)容；
二是排除干擾，按新定義關(guān)系去掉新運算符號；
三是化新為舊，轉(zhuǎn)化成已有知識做舊運算。
提高達(dá)標(biāo)百分練
一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）
1．（2分）（2022?高淳區(qū)）下面計算中能準(zhǔn)確反映豎式計算過程的是（ ）
A．25×48＝25×4×12＝100×12＝1200
B．25×48＝25×50﹣25×2＝1250﹣2＝50＝1200
C．25×48＝25×40+25×8＝1000+200＝1200
【思路點撥】根據(jù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算法則，先用第二個因數(shù)個位上的數(shù)乘第一個因數(shù)，乘積的末位與個為對齊，再用第二個因數(shù)十位上的數(shù)乘第一個因數(shù)，出積的末位與十位對齊，然后把兩次的乘積相加。再根據(jù)乘法分配律的意義，25×48＝25×（40+8），據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】解：下面計算中能準(zhǔn)確反映豎式計算過程的是：
25×48
＝25×40+25×8
＝1000+200
＝1200
故選：C。
【考點評析】此題考查的目的是理解掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法法則，并且能夠正確熟練地進(jìn)行計算。
2．（2分）（2022?吉首市）4×37×25＝37×（4×25），這是根據(jù)（ ）
A．乘法分配律
B．乘法交換律
C．乘法結(jié)合律
D．乘法交換律和乘法結(jié)合律
【思路點撥】4×37×25變成37×（4×25），是先交換了4和37的位置，然后把后兩個乘數(shù)結(jié)合在一起，由此求解。
【規(guī)范解答】解：4×37×25
＝37×4×25（乘法交換律）
＝37×（4×25）（乘法結(jié)合律）
所以是根據(jù)乘法交換律和乘法結(jié)合律進(jìn)行的變形。
故選：D。
【考點評析】①乘法交換律：兩個因數(shù)交換位置，積不變，如a×b＝b×a。
②乘法結(jié)合律：先乘前兩個數(shù)，或先乘后兩個數(shù)，積不變，如a×b×c＝a×（b×c）。
3．（2分）（2022?邱縣）3.8×（97+3）＝3.8×97+3.8×3運用的運算定律是（ ）
A．加法結(jié)合律B．乘法結(jié)合律C．乘法分配律
【思路點撥】根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計算。
【規(guī)范解答】解：3.8×（97+3）＝3.8×97+3.8×3運用的運算定律是乘法分配律。
故選：C。
【考點評析】此題考查的目的是理解掌握乘法分配律的意義，并且能夠靈活運用乘法分配律進(jìn)行計算。
4．（2分）（2022?濟(jì)南）超市進(jìn)了一批鮮花，共259枝，每12枝扎成一束，可以扎成幾束？如圖，可以用豎式計算出結(jié)果，那豎式中箭頭所指的這一步表示（ ）
A．用240枝鮮花扎成了20束
B．用24枝鮮花扎成了20束
C．用20枝鮮花扎了24束
D．用20枝鮮花扎成了240束
【思路點撥】“24”即240，是由12和20相乘所得，表示用240枝鮮花扎成了20束。
【規(guī)范解答】解：12×20＝240（枝）
所以豎式中箭頭所指的“24”表示用240枝鮮花扎成了20束。
故選：A。
【考點評析】本題主要考查了兩位數(shù)除三位數(shù)除法的豎式計算方法，明確各步的意義是關(guān)鍵。
5．（2分）（2022?蘄春縣）亮亮想用計算器驗算“56×14“，但計算器中“4“的按鍵壞了，下面的算式在（ ）不能算出正確的答案。
A．56×7×2B．56×15﹣56C．56×15﹣15D．56×13+56
【思路點撥】根據(jù)乘法運算定律，可以把14拆成7×2，用乘法結(jié)合計算即可，或者拆成13+1或15﹣1，然后根據(jù)乘法分配律“a×（b±c）＝a×b±a×c”進(jìn)行計算。
【規(guī)范解答】解：56×14
＝56×（7×2）
＝56×7×2
56×14
＝56×（13+1）
＝56×13+56
56×14
＝56×（15﹣1）
＝56×15﹣56
因此A、B、D選項可以算出正確的答案，C選項不可以。
故選：C。
【考點評析】本題考查乘法運算定律的運用，熟練掌握乘法運算定律是解題的關(guān)鍵。
二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
6．（2分）（2022?漳平市）如圖是一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算過程。第一步的得數(shù)是A，第二步的得數(shù)是B，那么A與B相比，A 小于 B。（填大于或小于）
【思路點撥】根據(jù)題意，〇在個位上，□在十位上，68×〇不足10個68，而68×□至少10個68，所以，68×〇小于68×□，據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】解：A＝68×〇，B＝68×□
〇在個位上，68×〇不足10個68；
□在十位上，68×□至少10個68；
所以68×〇＜68×□，即A＜B。
故答案為：小于。
【考點評析】考查了整數(shù)乘法的計算方法的運用。
7．（2分）（2022?騰沖市）小紅的爺爺今年63歲，小紅今年7歲，爺爺?shù)哪挲g是小紅的 9 倍。
【思路點撥】用小紅爺爺?shù)哪挲g除以小紅的年齡，可以計算出爺爺?shù)哪挲g是小紅的幾倍。
【規(guī)范解答】解：63÷7＝9
答：爺爺?shù)哪挲g是小紅的9倍。
故答案為：9。
【考點評析】本題考查倍數(shù)問題的解題方法，掌握求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍用除法計算。
8．（2分）（2022?泌陽縣模擬）馬小虎在計算6.5×（口+2.5）時，錯算成6.5×口+2.5，他得到的結(jié)果比正確結(jié)果少 13.75 。
【思路點撥】依據(jù)乘法分配律的意義：兩個數(shù)的和乘一個數(shù)，可以把這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把求得的和相加，結(jié)果不變，把6.5×（口+2.5）去掉括號，再與6.5×口+2.5比較即可解答。
【規(guī)范解答】解：6.5×（口+2.5）
＝6.5×口+6.5×2.5
6.5×2.5﹣2.5
＝16.25﹣2.5
＝13.75
答：他得到的結(jié)果比正確結(jié)果少13.75。
故答案為：13.75。
【考點評析】完成本題的關(guān)鍵是據(jù)乘法分配律得出錯寫后的算式比原算式少加了多少。
9．（2分）（2022?淅川縣）在全國人民抗擊疫情時，某呼吸機(jī)廠師徒兩人裝配呼吸機(jī)，師傅每天裝配31臺，徒弟每天裝配22臺，經(jīng)過 8 天后，師傅比徒弟多裝72臺。
【思路點撥】師傅每天裝配31臺，徒弟每天裝配22臺，先用31臺減去22臺，求出師傅每天比徒弟多裝多少臺，再用多裝的總臺數(shù)除以每天多裝的臺數(shù)即可求解。
【規(guī)范解答】解：72÷（31﹣22）
＝72÷9
＝8（天）
答：經(jīng)過8天后，師傅比徒弟多裝72臺。
故答案為：8。
【考點評析】解決本題先求出每天多裝的臺數(shù)，再根據(jù)除法的包含意義求解。
10．（2分）（2022?灌南縣）如圖，3個杯子疊起來高16厘米，5個杯子疊起來高22厘米。7個杯子疊起來的高度是 28 厘米。
【思路點撥】用5個杯子疊起來的高度減去3個杯子疊起來的高度，可以計算出2個杯子疊加部分的高度，再除以2，計算出一個疊加部分的高度，再用3個杯子疊起來的高度減去2個杯子疊加部分的高度，可以計算出最下面一個杯子的高度，最后用7個杯子疊加部分的高度，加上最下面杯子的高度，計算出7個杯子疊起來的高度是多少厘米。
【規(guī)范解答】解：22﹣16＝6（厘米）
6÷2＝3（厘米）
16﹣6＝10（厘米）
（7﹣1）×3+10
＝6×3+10
＝18+10
＝28（厘米）
答：7個杯子疊起來的高度是28厘米。
故答案為：28。
【考點評析】本題解題關(guān)鍵是先計算出一個疊加部分的高度和最下面一個杯子的高度，最后計算出7個杯子疊起來的高度是多少厘米。
11．（2分）（2022?遵義模擬）張老師帶領(lǐng)36名學(xué)生乘車去小西湖研學(xué)旅行，每輛車限載4名乘客，至少需要 10 輛車才能一次坐完。
【思路點撥】乘車總?cè)藬?shù)為1名老師+36名學(xué)生，用總?cè)藬?shù)÷4等于所需車的數(shù)量。
【規(guī)范解答】解：（36+1）÷4
＝37÷4
＝9（輛）（名）
9+1＝10（輛）
答：至少需要10輛車才能一次坐完。
故答案為：10。
【考點評析】解題時注意不要忽略老師也需要乘車。
12．（2分）（2021?瑞安市）小學(xué)即將畢業(yè)，六（1）班家委要給42個同學(xué)買畢業(yè)紀(jì)念冊。如圖豎式中，箭頭所指的數(shù)表示買 40 本紀(jì)念冊的價錢；這些紀(jì)念冊一共需要 756 元。
【思路點撥】根據(jù)畢業(yè)紀(jì)念冊的單價乘2的積是36，可以求出畢業(yè)紀(jì)念冊的單價，用單價乘42即可求出總價；豎式中箭頭所指的數(shù)表示單價與40的乘積，也就是40本紀(jì)念冊的價錢。
【規(guī)范解答】解：
故答案為：40，756。
【考點評析】本題考查了利用兩位數(shù)乘兩位數(shù)解決問題，重點考查了對豎式中數(shù)據(jù)的分析能力。
13．（2分）（2022秋?甘谷縣期末）明明在做乘法算式時，將一個因數(shù)21看成了12，結(jié)果計算得到的積比正確的少207，正確的積是 483 。
【思路點撥】紅紅在計算時，只是把其中一個因數(shù)21看成了12，另一個因數(shù)沒變，21比12少了9，也就是少算了9個第一個因數(shù)，這時積少了207，就能求出不變的因數(shù)，再兩因數(shù)相乘即可。
【規(guī)范解答】解：21﹣12＝9
207÷9＝23
21×23＝483
故答案為：483。
【考點評析】此題是有關(guān)乘法的靈活運用，關(guān)鍵是明白，另一個因數(shù)是對的，出錯的因數(shù)有什么變化積就有什么變化，找到關(guān)系即可解決。
三．判斷題（共5小題，滿分10分，每小題2分）
14．（2分）（2022?市南區(qū)模擬）把“300﹣170＝130，130×11＝1430”寫成綜合算式是300﹣170×11。 × （判斷對錯）
【思路點撥】“300﹣170＝130，130×11＝1430”是先算300減去170求出差，再用求出的差乘11，要想先算減法，需要給減法加上小括號，由此求解。
【規(guī)范解答】解：把“300﹣170＝130，130×11＝1430”寫成綜合算式是：（300﹣170）×11，而不是300﹣170×11。
原題說法錯誤。
故答案為：×。
【考點評析】解決這類題目，要分清楚先算什么，再算什么，根據(jù)運算順序列出綜合算式，注意合理利用小括號。
15．（2分）（2021春?長興縣期中）35與50的和除以10與5的差，商是多少？這道題列式為：35+50÷10﹣5． × （判斷對錯）
【思路點撥】先用35加上50求出和，再用10減去5求出差，最后用求出的和除以求出的差即可，為了先計算加法和減法，分別給加法和減法加上小括號．
【規(guī)范解答】解：（35+50）÷（10﹣5）
＝85÷5
＝17
答：商是17．
原題的算式是錯誤的．
故答案為：×．
【考點評析】這類型的題目要分清楚數(shù)量之間的關(guān)系，先求什么再求什么，找清列式的順序，列出算式求解．
16．（2分）（2022秋?揭陽期中）在沒有括號的算式里，按照從左往右的順序進(jìn)行計算． × （判斷對錯）
【思路點撥】四則運算時，沒有小括號時：1、如果是同一級運算，一般按從左往右依次進(jìn)行計算；2、如果既有加減、又有乘除法，先算乘除法、再算加減，由此求解．
【規(guī)范解答】解：在一個既有加減又有乘除，就先算乘除，再算加減，不能按照從左到右的順序計算；
如：25+5×6，就先算乘法，再算加法，所以原說法錯誤．
故答案為：×．
【考點評析】熟練的掌握四則混合運算的運算順序是解決本題的關(guān)系．
17．（2分）（2021?集安市）因為37÷9的余數(shù)是1，所以3700÷900余數(shù)也是1． × ．
【思路點撥】被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大100倍，商不變，但余數(shù)擴(kuò)大100倍；可以利用余數(shù)的性質(zhì)：被除數(shù)＝除數(shù)×商+余數(shù)來驗證．即可得解．
【規(guī)范解答】解：37÷9＝4…1，
37＝9×4+1，
3700÷900＝4…100，
3700＝900×4+100；
故答案為：×．
【考點評析】此題考查了商不變的性質(zhì)，若有余數(shù)，則余數(shù)是變化的．
18．（2分）（2022秋?上思縣期末）（72﹣35）×16÷4和（72﹣35）×（16÷4）的計算結(jié)果不相同。 × （判斷對錯）
【思路點撥】分別計算出兩個算式的結(jié)果，看結(jié)果是否相等即可。
【規(guī)范解答】解：（72﹣35）×16÷4
＝37×16÷4
＝592÷4
＝148
（72﹣35）×（16÷4）
＝37×4
＝148
兩個算式的計算結(jié)果相同。
原題說法錯誤。
故答案為：×。
【考點評析】解答本題需熟練掌握四則混合運算順序，準(zhǔn)確計算。
四．計算題（共2小題，滿分20分）
19．（8分）（2022?武寧縣）直接寫出得數(shù)。
【思路點撥】把整數(shù)估算成與它相近的整百的數(shù)或幾十的數(shù)，再進(jìn)行口算即可；一個數(shù)除法分?jǐn)?shù)等于這個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)；把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再按小數(shù)除法的計算方法計算。
【規(guī)范解答】解：
【考點評析】本題考查了學(xué)生的計算能力及估算能力。
20．（12分）（2022?璧山區(qū)）計算下面各題，能簡算的要簡算。
【思路點撥】（1）根據(jù)加法交換律和減法的性質(zhì)進(jìn)行簡算；
（2）先算乘法、除法，再算加法；
（3）把32分成4乘8，再根據(jù)乘法結(jié)合律進(jìn)行簡算；
（4）先算小括號里的加法，再算中括號里的除法，最后算乘法；
（5）先算小括號號里的減法，再算中括號里的乘法，最后算除法；
（6）根據(jù)加法結(jié)合律先算（178+21），再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡算。
【規(guī)范解答】解：（1）57.6﹣18.15+32.4﹣11.85
＝（57.6+32.4）﹣（18.15+11.85）
＝90﹣30
＝60
（2）78×25+1764÷49
＝1950+36
＝1986
（3）2.5×32×12.5
＝（2.5×4）×（8×12.5）
＝10×100
＝1000
（4）3.6×[（37.5+18.5）÷2.8]
＝3.6×[56÷2.8]
＝3.6×20
＝72
（5）÷[（﹣）×]
＝÷[×]
＝
＝
（6）199×99+178+21
＝199×99+（178+21）
＝199×99+199
＝199×（99+1）
＝199×100
＝19900
【考點評析】考查了運算定律與簡便運算，四則混合運算。注意運算順序和運算法則，靈活運用所學(xué)的運算定律簡便計算。
五．應(yīng)用題（共8小題，滿分39分）
21．（4分）（2023?海淀區(qū)模擬）某摩托車廠6月份生產(chǎn)了570輛摩托車，其中有10輛不合格。合格的產(chǎn)品用大卡車運往各銷售公司，一輛大卡車一次可以運35輛，每次需要運費480元。一共需要支付運費多少錢？
【思路點撥】先計算出合格產(chǎn)品的數(shù)量，即（570﹣10）輛，用合格產(chǎn)品的數(shù)量除以每輛卡車運送的數(shù)量，就是需要卡車的數(shù)量；用需要卡車的數(shù)量乘每次需要的運費，就是一共的運費；據(jù)此解答即可。
【規(guī)范解答】解：（570﹣10）÷35×480
＝560÷35×480
＝16×480
＝7680（元）
答：一共需要支付運費7680元錢。
【考點評析】考查了整數(shù)復(fù)合應(yīng)用題，先計算出合格產(chǎn)品的數(shù)量，再運用整數(shù)乘除法的意義解答即可。
22．（5分）（2022?臨漳縣）李校長和三位老師帶領(lǐng)39名學(xué)生乘車去北山游玩。
（1）王紅認(rèn)為：李校長大約要帶1000元錢，才夠他們的往返車費。
（2）劉曉認(rèn)為：李校長大約要帶2000元錢，才夠他們的往返車費。
你認(rèn)為他們誰說得對？請寫出你的理由。
【思路點撥】根據(jù)單價×數(shù)量＝總價，分別求出老師和學(xué)生需要多少元錢，再把需要的錢數(shù)相加，求出去的時候一共需要多少元錢，再乘2，即可求出往返一共需要多少元錢，再進(jìn)行比較即可。
【規(guī)范解答】解：學(xué)生票價：38÷2＝19（元）
19×39+38×4
＝741+152
＝893（元）
893×2＝1786（元）
1000＜1786＜2000
所以劉曉的說法正確。
答：劉曉的說法正確。
【考點評析】本題主要考查了兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法、一位數(shù)除兩位數(shù)除法的實際應(yīng)用以及整數(shù)大小的比較，明確單價、數(shù)量和總價之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。
23．（5分）（2022?章丘區(qū)）綠化隊為一個居民社區(qū)栽花。栽月季花240棵，再加上16棵就是所栽丁香花棵數(shù)的2倍。栽了多少棵丁香花？
【思路點撥】用栽月季花的棵數(shù)加上16，再除以2，計算出栽了多少棵丁香花。
【規(guī)范解答】解：（240+16）÷2
＝256÷2
＝128（棵）
答：栽了128棵丁香花。
【考點評析】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)整數(shù)加法與除法的意義，列式計算，熟練掌握整數(shù)四則混合運算的計算方法。
24．（5分）（2022?騰沖市）購物。
（1）買一輛自行車和一個電飯煲大約要多少元錢？
（2）爸爸帶800元買這兩樣?xùn)|西夠嗎？
【思路點撥】（1）用一輛自行車的價錢加上一個電飯煲的價錢，把428看作430，399看作400進(jìn)行估算即可；
（2）用一輛自行車的價錢加上一個電飯煲的價錢，求出一共需要多少元錢，再和爸爸帶的錢數(shù)進(jìn)行比較即可。
【規(guī)范解答】解：（1）428+399
≈430+400
＝830（元）
答：大約要830元錢。
（2）428+399＝827（元）
827＞800
答：爸爸帶800元買這兩樣?xùn)|西不夠。
【考點評析】本題主要考查了千以內(nèi)加法、數(shù)的估算以及整數(shù)大小的比較方法。首先弄清題意，分清已知與所求，再找出基本數(shù)量關(guān)系，列式解答，注意估算方法的靈活運用。
25．（5分）（2022?酉陽縣）北京冬奧會滑雪比賽“平行大回轉(zhuǎn)”項目，有A票座位1000個，2500元/人，B票座位4800個，500元/人，共收入4300000元。本場觀眾最多有多少人？
【思路點撥】求本場觀眾最多有多少人，則B票座位全部售出；先用500元乘4800，求出B票座位全部售出的收入；再用4300000元減去B票座位全部售出的收入，用所得的差除以2500元，求出A票座位售出的票數(shù)，然后加上4800即可。
【規(guī)范解答】解：（4300000﹣500×4800）÷2500+4800
＝1900000÷2500+4800
＝760+4800
＝5560（人）
答：本場觀眾最多有5560人。
【考點評析】解答本題需準(zhǔn)確分析“本場觀眾最多”的含義，熟練掌握單價、總價和數(shù)量之間的關(guān)系。
26．（5分）（2022?錢塘區(qū)）2022年參加北京冬奧會的總?cè)藬?shù)為2892人，比第一屆夏蒙尼冬奧會的12倍少204人，第一屆冬奧會參加人數(shù)是多少人？（兩種方法計算）
【思路點撥】方法一：根據(jù)2022年參加北京冬奧會的總?cè)藬?shù)比第一屆夏蒙尼冬奧會的12倍少204人，可知，北京冬奧會的總?cè)藬?shù)加上204人就是第一屆夏蒙尼冬奧會的12倍，所以用2022年參加北京冬奧會的總?cè)藬?shù)2892人加上204人后，除以12就可以得到第一屆夏蒙尼冬奧會的人數(shù)；
方法二：用方程解，設(shè)第一屆冬奧會參加人數(shù)是x人，然后根據(jù)“第一屆冬奧會的人數(shù)×12﹣204＝2892”來列方程，最后解方程。
【規(guī)范解答】解：方法一：
（2892+204）÷12
＝3096÷12
＝258（人）
答：第一屆冬奧會參加人數(shù)是258人。
方法二：
設(shè)第一屆冬奧會的參加人數(shù)是x人。
12x﹣204＝2892
12x＝2892+204
12x＝3096
x＝258
答：第一屆冬奧會參加人數(shù)是258人。
【考點評析】此題需要學(xué)生掌握整數(shù)除法的應(yīng)用，并要靈活用方程解決問題。
27．（5分）（2021?嘉蔭縣）王叔叔在愛閱圖書館借了一本小說，如果每天看20頁，13天可以全部看完。如果要在規(guī)定期限內(nèi)準(zhǔn)時歸還而不必交延時服務(wù)費，他平均每天至少要看多少頁？
【思路點撥】先用20×13算出這本書一共多少頁，然后用總共的頁數(shù)除以10算出他準(zhǔn)時歸還而不必交延時服務(wù)費，他平均每天至少要看的頁數(shù)。
【規(guī)范解答】解：20×13÷10
＝260÷10
＝26（頁）
答：他平均每天至少要看26頁。
【考點評析】此題需要學(xué)生熟練掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)，兩位數(shù)除三位的計算，并能靈活運用整數(shù)乘除法解決問題。
28．（5分）（2020?黃陂區(qū)）武昌到北京的鐵路長是1225km，一列客車從北京開往武昌，同時有一列貨車從武昌開往北京。行駛3小時后，兩車共行路程與未行路程的比是30：19，已知這列貨車平均每小時行120km，這列客車平均每小時行多少千米？
【思路點撥】兩車共行路程與未行路程的比是30：19，那么兩車共行路程是總路程的，總路程已知，用乘法求出兩車共行路程，再除以行駛時間求出兩車的速度和，再減去貨車的速度即為這列客車平均每小時行多少千米。
【規(guī)范解答】解：1225×÷3﹣120
＝750÷3﹣120
＝250﹣120
＝130（千米/小時）
答：這列客車平均每小時行130千米。
【考點評析】考查了相遇問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)按比例分配求出兩車共行路程。
六．解答題（共1小題，滿分5分，每小題5分）
29．（5分）（2022秋?東港市期末）淘氣有124塊巧克力糖，笑笑只有20塊，淘氣想讓笑笑的和自己的一樣多，他每次從自己的糖里拿出13塊給笑笑，需要拿多少次？
【思路點撥】先用124加上20，求出兩人總共有多少塊糖；再除以2，求出二人巧克力糖同樣多時每人的塊數(shù)；然后用
二人巧克力糖同樣多時每人的塊數(shù)減去20，求出淘氣要給笑笑的塊數(shù)，最后用淘氣要給笑笑的塊數(shù)除以13即可。
【規(guī)范解答】解：（124+20）÷2
＝144÷2
＝72（塊）
（72﹣20）÷13
＝52÷13
＝4（次）
答：需要拿4次。
【考點評析】解答此題的關(guān)鍵是求出淘氣要給笑笑多少塊巧克力糖才能使二人的塊數(shù)一樣多
運算定律
文字?jǐn)⑹?br>用字母表示
加法
加法交換律
兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變
a+b=b+a
加法結(jié)合律
三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法
乘法交換律
兩個數(shù)相乘，交換兩個乘數(shù)的位置積不變
ab =ba
乘法結(jié)合律
三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變
(ab)c=a(bc)
乘法分配律
兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于把這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把它們的積相加
(a+b)c=ac+bc
493×61≈
＝
8÷＝
36×25%＝
1%÷1%＝
＝
0.25×0.8＝
798÷204≈
493×61≈30000
＝
8÷＝10
36×25%＝9
1%÷1%＝1
＝
0.25×0.8＝0.2
798÷204≈4
57.6﹣18.15+32.4﹣11.85
78×25+1764÷49
2.5×32×12.5
3.6×[（37.5+18.5）÷2.8]
÷[（﹣）×]
199×99+178+21

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