第3講 因數(shù)和倍數(shù)
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)一：因數(shù)與倍數(shù)的意義和特征
1.意義：如果a QUOTE × ×b=c（a、b是非0自然數(shù)），那么a和b是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)
例如：2 QUOTE × ×4=8，就說2和4是8的因數(shù)，8是2和4的倍數(shù)
2.特征：①一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。
例如：15最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是15
②一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)
例如：31最小的倍數(shù)是31，沒有最大的倍數(shù)。）
【提示】①研究因數(shù)與倍數(shù)時(shí)，所說的數(shù)一般指非0自然數(shù)。
②因數(shù)和倍數(shù)相互依存，不能單獨(dú)說一個(gè)數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)，應(yīng)該說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。
知識(shí)點(diǎn)二：2 、3、5的倍數(shù)的特征
①2 的倍數(shù)的特征：個(gè)位是 0、2、4、6、8。例如：20,136,
②3的倍數(shù)的特征：個(gè)位是 0 或 5。例如：21，327，
③5 的倍數(shù)的特征：各位上數(shù)字的和一定是 3 的倍數(shù)。例如：50，895
eq \\ac(○,4)同時(shí)是2和5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0的數(shù)同時(shí)是2和5的倍數(shù)。例如：90，340，
知識(shí)點(diǎn)三：奇數(shù)與偶數(shù)
1.奇數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)叫作奇數(shù)，最小的奇數(shù)是1.
偶數(shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)叫作偶數(shù)，最小的偶數(shù)是0。
2.和與積的奇偶性：
（1）偶數(shù)士偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)士奇數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)士偶數(shù)=奇數(shù)
（2）偶數(shù) 偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)
知識(shí)點(diǎn)四：質(zhì)數(shù)與合數(shù)
1.質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），最小的質(zhì)數(shù)是2.
2.合數(shù)：除了1和它本身外還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫作合數(shù)，最小的合數(shù)是4
3.1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
4.質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，這個(gè)因數(shù)就是它的質(zhì)因數(shù)。
5，分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫作分解質(zhì)因數(shù)。
6，公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫作互質(zhì)數(shù)。
【提示】按因數(shù)個(gè)數(shù)的多少，自然數(shù)（0除外）可分為三類：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1
知識(shí)點(diǎn)五：最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)
1. 公因數(shù)和最大公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的公因數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)
2. 求最大公因數(shù)的方法：（1）列舉法；（2）篩選法（3）短除法
3. 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的公倍數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)
4. 求最小公倍數(shù)的方法 （1）列舉法；（2）篩選法（3）短除法
5. 求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊情況：如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公因數(shù)就是1，最小公倍數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的乘積。
提高達(dá)標(biāo)百分練
一、精挑細(xì)選(共5題；共10分)
1．（2分）（2022·合陽）用長(zhǎng)為20cm、寬為15cm、高為6cm的長(zhǎng)方體木塊堆成一個(gè)正方體，至少需要（ ）塊這樣的長(zhǎng)方體木塊。
A．30B．60C．90D．120
2．（2分）（2022·三水）已知n表示1、2、3、4、……，那么2n﹣1表示的是（ ）。
A．偶數(shù)B．奇數(shù)C．合數(shù)D．質(zhì)數(shù)
3．（2分）（2022·未央）下面表述正確的有（ ）句。
①一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)。
②把一個(gè)長(zhǎng)方形木框拉成平行四邊形后，它的周長(zhǎng)不變，面積變大了。
③三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是30，這三個(gè)偶數(shù)中最大的是12。
④48個(gè)相同的圓錐鐵塊，可以熔鑄成16個(gè)與它等底等高的圓柱鐵塊。
A．1B．2C．3
4．（2分）（2022·滁州）王軍玩骰子（6個(gè)面分別表示1﹣6），任意投擲一次，兩個(gè)骰子上的點(diǎn)數(shù)乘積（ ）
A．一定是奇數(shù)B．一定是偶數(shù)
C．一定是合數(shù)D．可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)
5．（2分）（2020·雞西）一本100多頁的書，被人撕掉了4張．剩下的頁碼總和為8037。則該書最多有多少頁？（ ）
A．134B．136C．138D．140
二、判斷正誤(共5題；共10分)
6．（2分）（2022·開平）100以內(nèi)的任意兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和都是偶數(shù)。（ ）
7．（2分）（2022六下·龍陵期末）一個(gè)數(shù)的倍數(shù)比它的因數(shù)大。（ ）
8．（2分）（2022六下·拜泉期末）在兩位數(shù)中，同時(shí)是3和5的倍數(shù)的最大偶數(shù)是90。（ ）
9．（2分）（2022六下·成武期中）一個(gè)非0自然數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。（ ）
10．（2分）3.6÷0.4=9，可以說0.4是3.6的因數(shù)。
三、仔細(xì)想，認(rèn)真填(共7題；共12分)
11．（2分）（2022·陽朔）從9，0，5，3這四個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，使它同時(shí)被2，3，5整除，這個(gè)數(shù)最小是 ，最大是 。
12．（2分）（2022·木蘭）甲數(shù)＝2×3×5，乙數(shù)＝2×3×3，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公約數(shù)是 ．最小公倍數(shù)是 。
13．（2分）（2022·荔灣）如果A÷B＝C（A、B、C均為自然數(shù)，且A、B≠0），那么A和B的最大公因數(shù)是 ，最小公倍數(shù)是 。
14．（1分）（2022·殷都）有一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)60cm，寬50cm．如果要剪成若干同樣大小的正方形而沒有剩余，剪出的正方形的邊長(zhǎng)最大 cm。
15．（2分）（2022·羅源）3路車每隔8分鐘發(fā)一次車，9路車每隔20分鐘發(fā)一次車，早上6時(shí)，3路車和9路車第1次同時(shí)發(fā)車，這兩路車第2次同時(shí)發(fā)車是在 時(shí) 分。
16．（1分）（2022六上·雨花臺(tái)期中）書架上放著一些書，書的本數(shù)在200～250本之間，其中是科技書，是連環(huán)畫，書架上最多放著 本書。
17．（2分）（2022六上·達(dá)川期中）六一兒童節(jié)，一批小朋友決定分乘若干輛至多可乘32人的大巴前去東辰，如果打算每輛車座22個(gè)人，就會(huì)有1個(gè)人沒有座位；如果少開一輛車，那么這批小朋友剛好平均分乘余下的大巴。那么有 個(gè)人，原有 輛大巴。
四、解答問題(共12題；共68分)
18．（5分）（2022·羅湖）學(xué)校為做好防疫準(zhǔn)備，買進(jìn)了一批口罩，其中兒童口罩2850個(gè)，比成人口罩的4倍多250個(gè)，學(xué)校買了多少個(gè)成人口罩？
19．（5分）（2022·惠州）2022年北京冬奧會(huì)，中國體育代表團(tuán)一共有387人，中國體育代表團(tuán)的總?cè)藬?shù)比運(yùn)動(dòng)員人數(shù)的2倍多33人，中國參賽的運(yùn)動(dòng)員共有多少人？
20．（5分）（2022六下·上思月考）每個(gè)大瓶比每個(gè)小瓶多裝油3千克。每個(gè)大瓶和每個(gè)小瓶各裝油多少千克？
21．（5分）有9，7，2，1，0五個(gè)數(shù)字，用其中的四個(gè)數(shù)字組成能同時(shí)被2，3，5整除的最小的四位數(shù)是多少？
22．（6分）開心幼兒園買了42個(gè)橘子，162塊餅干，122塊糖，平均分給大班的小朋友，結(jié)果橘子剩余2個(gè)，餅干剩余2塊，糖剩余2塊，大班的小朋友最多有多少人？
23．（6分）（2020·遵義）用長(zhǎng)20 cm、寬8 cm的瓷磚貼一塊正方形墻面，如果這塊正方形墻面剛好由完整的這樣的瓷磚貼成，這塊正方形墻面邊長(zhǎng)最小是多少厘米？需要幾塊這樣的瓷磚才能貼成？
24．（6分）（2019六下·競(jìng)賽）有甲、乙、丙3人，甲每分鐘行走120米，乙每分鐘行走100米，丙每分鐘行走70米.如果3個(gè)人同時(shí)同向，從同地出發(fā)，沿周長(zhǎng)是300米的圓形跑道行走，那么多少分鐘之后，3人又可以相聚在跑道上同一處?
25．（6分）某快遞公司為客戶托運(yùn)200箱玻璃，按合同規(guī)定每箱運(yùn)費(fèi)30元，若損壞一箱不給運(yùn)費(fèi)并賠償200元，運(yùn)到后結(jié)算時(shí)共得運(yùn)費(fèi)4160元。求損壞了多少箱玻璃?
26．（6分）甲乙兩數(shù)的積是90168，已知乙數(shù)比甲數(shù)少187，問甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少？
27．（6分）（2022六上·競(jìng)賽）兩個(gè)四位數(shù)相加，第一個(gè)四位數(shù)每個(gè)數(shù)碼都小于5，第二個(gè)四位數(shù)僅僅是第一個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼調(diào)換了位置，兩個(gè)數(shù)的和可能是7356嗎？為什么？
28．（6分）（2022六上·競(jìng)賽）在8個(gè)房間中，有7個(gè)房間開著燈，1個(gè)房間關(guān)著燈。如果每次撥動(dòng)4個(gè)不同房間的開關(guān)，能不能把全部房間的燈都關(guān)上？為什么？
29．（6分）（2022六上·競(jìng)賽）甲同學(xué)一手握有寫著23的紙片，另一只手握有寫著32的紙片。乙同學(xué)請(qǐng)甲回答如下一個(gè)問題：“請(qǐng)將左手中的數(shù)乘以3，右手中的數(shù)乘以2，再將這兩個(gè)積相加，這個(gè)和是奇數(shù)還是偶數(shù)？”當(dāng)甲說出和為奇數(shù)時(shí)，乙馬上就猜出寫有23的紙片握在甲的左手中。你能說出是什么道理嗎？
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2022-2023學(xué)年小升初數(shù)學(xué)精講精練專題匯編講義
第3講 因數(shù)和倍數(shù)
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)一：因數(shù)與倍數(shù)的意義和特征
1.意義：如果a QUOTE × ×b=c（a、b是非0自然數(shù)），那么a和b是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)
例如：2 QUOTE × ×4=8，就說2和4是8的因數(shù)，8是2和4的倍數(shù)
2.特征：①一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。
例如：15最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是15
②一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)
例如：31最小的倍數(shù)是31，沒有最大的倍數(shù)。）
【提示】①研究因數(shù)與倍數(shù)時(shí)，所說的數(shù)一般指非0自然數(shù)。
②因數(shù)和倍數(shù)相互依存，不能單獨(dú)說一個(gè)數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)，應(yīng)該說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。
知識(shí)點(diǎn)二：2 、3、5的倍數(shù)的特征
①2 的倍數(shù)的特征：個(gè)位是 0、2、4、6、8。例如：20,136,
②3的倍數(shù)的特征：個(gè)位是 0 或 5。例如：21，327，
③5 的倍數(shù)的特征：各位上數(shù)字的和一定是 3 的倍數(shù)。例如：50，895
eq \\ac(○,4)同時(shí)是2和5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0的數(shù)同時(shí)是2和5的倍數(shù)。例如：90，340，
知識(shí)點(diǎn)三：奇數(shù)與偶數(shù)
1.奇數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)叫作奇數(shù)，最小的奇數(shù)是1.
偶數(shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)叫作偶數(shù)，最小的偶數(shù)是0。
2.和與積的奇偶性：
（1）偶數(shù)士偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)士奇數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)士偶數(shù)=奇數(shù)
（2）偶數(shù) 偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)
知識(shí)點(diǎn)四：質(zhì)數(shù)與合數(shù)
1.質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），最小的質(zhì)數(shù)是2.
2.合數(shù)：除了1和它本身外還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫作合數(shù)，最小的合數(shù)是4
3.1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
4.質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，這個(gè)因數(shù)就是它的質(zhì)因數(shù)。
5，分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫作分解質(zhì)因數(shù)。
6，公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫作互質(zhì)數(shù)。
【提示】按因數(shù)個(gè)數(shù)的多少，自然數(shù)（0除外）可分為三類：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1
知識(shí)點(diǎn)五：最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)
1. 公因數(shù)和最大公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的公因數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)
2. 求最大公因數(shù)的方法：（1）列舉法；（2）篩選法（3）短除法
3. 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的公倍數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)
4. 求最小公倍數(shù)的方法 （1）列舉法；（2）篩選法（3）短除法
5. 求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊情況：如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公因數(shù)就是1，最小公倍數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的乘積。
提高達(dá)標(biāo)百分練
一、精挑細(xì)選(共5題；每題2分，共10分)
1．（2分）（2022·合陽）用長(zhǎng)為20cm、寬為15cm、高為6cm的長(zhǎng)方體木塊堆成一個(gè)正方體，至少需要（ ）塊這樣的長(zhǎng)方體木塊。
A．30B．60C．90D．120
【答案】D
【規(guī)范解答】解：20、15、6的最小公倍數(shù)是60，
（60÷20）×（60÷15）×（60÷6）
=3×4×10
=120（塊）
故答案為：D。
【思路點(diǎn)撥】要想擺成正方體，正方體的棱長(zhǎng)一定是長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的公倍數(shù)，所以先確定長(zhǎng)寬高的最小公倍數(shù)就是正方體最小的棱長(zhǎng)。用正方體的棱長(zhǎng)分別除以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高，然后把三個(gè)商相乘就是至少需要長(zhǎng)方體的塊數(shù)。
2．（2分）（2022·三水）已知n表示1、2、3、4、……，那么2n﹣1表示的是（ ）。
A．偶數(shù)B．奇數(shù)C．合數(shù)D．質(zhì)數(shù)
【答案】B
【規(guī)范解答】解：2n-1表示的是奇數(shù)。
故答案為：B。
【思路點(diǎn)撥】n表示除0外的自然數(shù)，則2n-1表示的是奇數(shù)。
3．（2分）（2022·未央）下面表述正確的有（ ）句。
①一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)。
②把一個(gè)長(zhǎng)方形木框拉成平行四邊形后，它的周長(zhǎng)不變，面積變大了。
③三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是30，這三個(gè)偶數(shù)中最大的是12。
④48個(gè)相同的圓錐鐵塊，可以熔鑄成16個(gè)與它等底等高的圓柱鐵塊。
A．1B．2C．3
【答案】B
【規(guī)范解答】解：①一個(gè)不是0的數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；原來說法錯(cuò)誤；
②把一個(gè)長(zhǎng)方形木框拉成平行四邊形后，它的周長(zhǎng)不變，面積變小了。原來說法錯(cuò)誤；
③三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是30，這三個(gè)偶數(shù)中最大的是12。原來說法正確；
④48個(gè)相同的圓錐鐵塊，可以熔鑄成16個(gè)與它等底等高的圓柱鐵塊。原來說法正確。
故答案為：B。
【思路點(diǎn)撥】①0不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，所以應(yīng)該是0除外；
②把一個(gè)長(zhǎng)方形木框拉成平行四邊形后，它的四條邊的長(zhǎng)度不變，所以周長(zhǎng)不變。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬大于平行四邊形的高，所以面積變?。?br>③用三個(gè)偶數(shù)的和除以3就是中間的哪個(gè)偶數(shù)，再加上2就是最大的偶數(shù)；
④等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍，所以3個(gè)相同的圓錐鐵塊就可以熔鑄成1個(gè)與它等底等高的圓柱鐵塊。
4．（2分）（2022·滁州）王軍玩骰子（6個(gè)面分別表示1﹣6），任意投擲一次，兩個(gè)骰子上的點(diǎn)數(shù)乘積（ ）
A．一定是奇數(shù)B．一定是偶數(shù)
C．一定是合數(shù)D．可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)
【答案】D
【規(guī)范解答】解：王軍玩骰子（6個(gè)面分別表示1﹣6），任意投擲一次，兩個(gè)骰子上的點(diǎn)數(shù)乘積可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。
故答案為：D。
【思路點(diǎn)撥】骰子上的點(diǎn)數(shù)是1、2、3、4、5、6，所以兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的乘積可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，不一定都是合數(shù)，例如1×2=2。
5．（2分）（2020·雞西）一本100多頁的書，被人撕掉了4張．剩下的頁碼總和為8037。則該書最多有多少頁？（ ）
A．134B．136C．138D．140
【答案】A
【規(guī)范解答】8037是奇數(shù)，撕掉四張頁碼之和為偶數(shù)。
A選項(xiàng)，頁碼總和：（1+134）×134÷2=9045（頁），9045是奇數(shù)；假設(shè)被人撕掉了4張是最后后4張，這4張頁碼之和：（127+134 ）×8÷2=1044（頁），9045-1044=8001（頁），8001＜8037，符合題意。
B選項(xiàng)，頁碼總和：（1+136）×136÷2=9316（頁），9316是偶數(shù)，排除；
C選項(xiàng)，頁碼總和：（1+138）×138÷2=9591（頁），9591是奇數(shù)；假設(shè)被人撕掉了4張是最后后4張， 這4張頁碼之和：（131+138）×8÷2=1076（頁），9591-1076=8515（頁），8515＞8037，不合理，排除。
D選項(xiàng)，頁碼總和：（1+140）×140÷2=9870（頁），9870是偶數(shù)，排除。
故答案為：A.
【思路點(diǎn)撥】頁碼總和=n×（n+1）÷2（n為頁數(shù)），奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，剩余頁碼之和≤頁碼總和-撕掉四張頁碼之和。
二、判斷正誤(共5題；每題2分，共10分)
6．（2分）（2022·開平）100以內(nèi)的任意兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和都是偶數(shù)。（ ）
【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：100以內(nèi)的任意兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和不一定都是偶數(shù)。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路點(diǎn)撥】質(zhì)數(shù)中除了2是偶數(shù)，剩下的都是奇數(shù)；
奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)。
7．（2分）（2022六下·龍陵期末）一個(gè)數(shù)的倍數(shù)比它的因數(shù)大。（ ）
【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)不一定比它的因數(shù)大。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路點(diǎn)撥】一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它本身，最大的因數(shù)也是它本身。
8．（2分）（2022六下·拜泉期末）在兩位數(shù)中，同時(shí)是3和5的倍數(shù)的最大偶數(shù)是90。（ ）
【答案】（1）正確
【規(guī)范解答】解：在兩位數(shù)中，同時(shí)是3和5的倍數(shù)的最大偶數(shù)是90，原題干說法正確。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】個(gè)位上是0或5，并且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)同時(shí)是3和5的倍數(shù)。
9．（2分）（2022六下·成武期中）一個(gè)非0自然數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。（ ）
【答案】（1）正確
【規(guī)范解答】解：一個(gè)非0自然數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。說法正確。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身；一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，沒有最大倍數(shù)；1是所有非0自然數(shù)的因數(shù)。
10．（2分）3.6÷0.4=9，可以說0.4是3.6的因數(shù)。
【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：3.6÷0.4=9，不可以說0.4是3.6的因數(shù)。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路點(diǎn)撥】因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系的問題只存在于整數(shù)中，不能用去小數(shù)。
三、仔細(xì)想，認(rèn)真填(共7題；每空1分，共12分)
11．（2分）（2022·陽朔）從9，0，5，3這四個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，使它同時(shí)被2，3，5整除，這個(gè)數(shù)最小是 ，最大是 。
【答案】390；930
【規(guī)范解答】解：這個(gè)數(shù)最小是390，最大是930。
故答案為：390；930。
【思路點(diǎn)撥】個(gè)位上是0，并且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)同時(shí)是2、3和5的倍數(shù)。
12．（2分）（2022·木蘭）甲數(shù)＝2×3×5，乙數(shù)＝2×3×3，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公約數(shù)是 ．最小公倍數(shù)是 。
【答案】6；90
【規(guī)范解答】解：甲數(shù)和乙數(shù)的最大公約數(shù)是2×3=6，最小公倍數(shù)是2×3×3×5=90。
故答案為：6；90。
【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)數(shù)的最大公約數(shù)就是把這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)乘起來即可；
兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)就是把兩個(gè)數(shù)公有的和各自有的質(zhì)因數(shù)乘起來即可。
13．（2分）（2022·荔灣）如果A÷B＝C（A、B、C均為自然數(shù)，且A、B≠0），那么A和B的最大公因數(shù)是 ，最小公倍數(shù)是 。
【答案】B；A
【規(guī)范解答】解：A和B的最大公因數(shù)是B，最小公倍數(shù)是A。
故答案為：B；A。
【思路點(diǎn)撥】已知一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的整數(shù)倍，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是較小的那個(gè)數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的那個(gè)數(shù)。
14．（1分）（2022·殷都）有一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)60cm，寬50cm．如果要剪成若干同樣大小的正方形而沒有剩余，剪出的正方形的邊長(zhǎng)最大 cm。
【答案】10
【規(guī)范解答】解：
60和50的最大公因數(shù)是2×5=10，則剪出的正方形的邊長(zhǎng)最大是10厘米。
故答案為：10。
【思路點(diǎn)撥】剪出的正方形的邊長(zhǎng)最大是60和50的最大公因數(shù)，用短除法求出。
15．（2分）（2022·羅源）3路車每隔8分鐘發(fā)一次車，9路車每隔20分鐘發(fā)一次車，早上6時(shí)，3路車和9路車第1次同時(shí)發(fā)車，這兩路車第2次同時(shí)發(fā)車是在 時(shí) 分。
【答案】6；40
【規(guī)范解答】解：8和20的最小公倍數(shù)是40，所以第2次同時(shí)發(fā)車是在6時(shí)40分。
故答案為：6；40。
【思路點(diǎn)撥】第二次發(fā)車間隔的時(shí)間是8和20的最小公倍數(shù)，由此確定8和20的最小公倍數(shù)，再確定第二次同時(shí)發(fā)車的時(shí)間。
16．（1分）（2022六上·雨花臺(tái)期中）書架上放著一些書，書的本數(shù)在200～250本之間，其中是科技書，是連環(huán)畫，書架上最多放著 本書。
【答案】225
【規(guī)范解答】解：5×9×5
=45×5
=225（本）
故答案為：225。
【思路點(diǎn)撥】書架上最多放書的本數(shù)=5和9的最小公倍數(shù)數(shù)×5。
17．（2分）（2022六上·達(dá)川期中）六一兒童節(jié)，一批小朋友決定分乘若干輛至多可乘32人的大巴前去東辰，如果打算每輛車座22個(gè)人，就會(huì)有1個(gè)人沒有座位；如果少開一輛車，那么這批小朋友剛好平均分乘余下的大巴。那么有 個(gè)人，原有 輛大巴。
【答案】529；24
【規(guī)范解答】解：22＋1=23（人）
23＋1=24（輛）
24×22＋1
=528＋1
=529（人）。
故答案為：529；24。
【思路點(diǎn)撥】22＋1=23（人），因?yàn)?3是質(zhì)數(shù)，所以把這23人，只能平均分到23個(gè)車?yán)?，則原來車的輛數(shù)是23＋1=24（輛），小朋友的人數(shù)=平均每輛車乘坐的人數(shù)×車的輛數(shù)＋1人。
四、解答問題(共12題；共68分)
18．（5分）（2022·羅湖）學(xué)校為做好防疫準(zhǔn)備，買進(jìn)了一批口罩，其中兒童口罩2850個(gè)，比成人口罩的4倍多250個(gè)，學(xué)校買了多少個(gè)成人口罩？
【答案】解：（2850-250）÷4
＝2600÷4
＝650（個(gè)）
答：學(xué)校買了650個(gè)成人口罩。
【思路點(diǎn)撥】學(xué)校買成人口罩的個(gè)數(shù)=（兒童口罩的個(gè)數(shù)-多出的個(gè)數(shù)）÷兒童口罩是成人口罩的倍數(shù)，據(jù)此代入數(shù)值作答即可。
19．（5分）（2022·惠州）2022年北京冬奧會(huì)，中國體育代表團(tuán)一共有387人，中國體育代表團(tuán)的總?cè)藬?shù)比運(yùn)動(dòng)員人數(shù)的2倍多33人，中國參賽的運(yùn)動(dòng)員共有多少人？
【答案】解：（387﹣33）÷2
＝354÷2
＝177（人）
答：中國參賽的運(yùn)動(dòng)員共有177人。
【思路點(diǎn)撥】中國參賽的運(yùn)動(dòng)員共有的人數(shù)=（中國體育代表團(tuán)一共有的人數(shù)-多出的人數(shù)）÷中國體育代表團(tuán)的總?cè)藬?shù)是運(yùn)動(dòng)員人數(shù)的倍數(shù)，據(jù)此代入數(shù)值作答即可。
20．（5分）（2022六下·上思月考）每個(gè)大瓶比每個(gè)小瓶多裝油3千克。每個(gè)大瓶和每個(gè)小瓶各裝油多少千克？
【答案】解：3×4=12（千克）
47-12=35（千克）
4+3=7（個(gè)）
35÷7=5（千克）
5+3=8（千克）
答：每個(gè)大瓶裝油8千克，每個(gè)小瓶裝油5千克。
【思路點(diǎn)撥】一共有4個(gè)大瓶，假設(shè)全部看成小瓶，就多出了4×每個(gè)大瓶比每個(gè)小瓶多裝油的質(zhì)量，那么全部看成小瓶后，一共裝油的質(zhì)量=一共裝油的質(zhì)量-全部看成小瓶多出的質(zhì)量，所以每個(gè)小瓶裝油的質(zhì)量=全部看成小瓶后一共裝油的質(zhì)量÷一共有瓶的個(gè)數(shù)，每個(gè)大瓶裝油的質(zhì)量=每個(gè)小瓶裝油的質(zhì)量+每個(gè)大瓶比每個(gè)小瓶多裝油的質(zhì)量。
21．（5分）有9，7，2，1，0五個(gè)數(shù)字，用其中的四個(gè)數(shù)字組成能同時(shí)被2，3，5整除的最小的四位數(shù)是多少？
【答案】解：能同時(shí)被2，5整除，說明這個(gè)數(shù)末尾數(shù)字是0；
求最小的四位數(shù)，這個(gè)數(shù)千位上的數(shù)字是1；
這個(gè)數(shù)百位上的數(shù)字最小是2；
因?yàn)橐竽鼙?整除，十位上的數(shù)字是只能是9；
答：這個(gè)最小的四位數(shù)是1290。
【思路點(diǎn)撥】同時(shí)是2，3，5的倍數(shù)的數(shù)的特征是這個(gè)數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是0，所有數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。
22．（6分）開心幼兒園買了42個(gè)橘子，162塊餅干，122塊糖，平均分給大班的小朋友，結(jié)果橘子剩余2個(gè)，餅干剩余2塊，糖剩余2塊，大班的小朋友最多有多少人？
【答案】解：42-2=40（個(gè)）
162-2=160（塊）
122-2=120（塊）
40、160、120的最大公因數(shù)是：2×2×2×5
=4×2×5
=8×5
=40
答：大班的小朋友最多有40人。
【思路點(diǎn)撥】大班小朋友最多的人數(shù)=橘子、餅干、糖的數(shù)量分別-2，然后用短除法求出它們的最大公因數(shù)。
23．（6分）（2020·遵義）用長(zhǎng)20 cm、寬8 cm的瓷磚貼一塊正方形墻面，如果這塊正方形墻面剛好由完整的這樣的瓷磚貼成，這塊正方形墻面邊長(zhǎng)最小是多少厘米？需要幾塊這樣的瓷磚才能貼成？
【答案】解：20=2×2×5，8=2×2×2，20和8的最小公倍數(shù)是：2×2×2×5=40，
（40×40）÷（20×8）
=1600÷160
=10（塊）
答：這塊正方形墻面邊長(zhǎng)最小是40厘米，需要10塊這樣的瓷磚才能貼成。
【思路點(diǎn)撥】要使這塊正方形墻面的邊長(zhǎng)最小，邊長(zhǎng)最小是20厘米和8厘米的最小公倍數(shù)。用正方形墻面的面積除以長(zhǎng)方形瓷磚的面積即可求出需要的塊數(shù)。
24．（6分）（2019六下·競(jìng)賽）有甲、乙、丙3人，甲每分鐘行走120米，乙每分鐘行走100米，丙每分鐘行走70米.如果3個(gè)人同時(shí)同向，從同地出發(fā)，沿周長(zhǎng)是300米的圓形跑道行走，那么多少分鐘之后，3人又可以相聚在跑道上同一處?
【答案】解：由題意知道：甲走完一周需要時(shí)間為300÷120= （分）；乙走完一周需要時(shí)間為300÷100=3（分）丙走完一周需要時(shí)間為300÷700= ，那么三個(gè)人想再次相聚在跑道同一處需要時(shí)間為：
【思路點(diǎn)撥】由題意可知，3人又可以相聚在跑道上同一處，也就是說在這個(gè)時(shí)間三個(gè)人同時(shí)相遇，那么經(jīng)過的時(shí)間就是三個(gè)人各自走完一周組要的時(shí)間的最小公倍數(shù)。
25．（6分）某快遞公司為客戶托運(yùn)200箱玻璃，按合同規(guī)定每箱運(yùn)費(fèi)30元，若損壞一箱不給運(yùn)費(fèi)并賠償200元，運(yùn)到后結(jié)算時(shí)共得運(yùn)費(fèi)4160元。求損壞了多少箱玻璃?
【答案】解：(200×30-4160)÷(200+30)=8(箱)
【思路點(diǎn)撥】如果成功托運(yùn)200箱收取200×30=6000元，6000-4160=1840元表示沒有托運(yùn)成功的損失，每箱損失30+200=230元。損壞玻璃的箱數(shù)：1840÷230=8箱。因?yàn)槊肯涠及?0元收費(fèi)，所以這里前提假設(shè)了每箱都托運(yùn)成功。再去掉托運(yùn)損壞費(fèi)用每箱為200+30而不是200。
26．（6分）甲乙兩數(shù)的積是90168，已知乙數(shù)比甲數(shù)少187，問甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少？
【答案】解：90168=2×2×2×3×13×17×17=221×408，
221+187=408
所以甲數(shù)是408，乙數(shù)是221
【思路點(diǎn)撥】把90168分解質(zhì)因數(shù)為2×2×2×3×13×17×17，再把這些因數(shù)分成兩個(gè)相差187的數(shù)相乘，找出221與408即可．本題考查了分解因數(shù)，關(guān)鍵是把90168分解質(zhì)因數(shù)為2×2×2×3×13×17×17．
27．（6分）（2022六上·競(jìng)賽）兩個(gè)四位數(shù)相加，第一個(gè)四位數(shù)每個(gè)數(shù)碼都小于5，第二個(gè)四位數(shù)僅僅是第一個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼調(diào)換了位置，兩個(gè)數(shù)的和可能是7356嗎？為什么？
【答案】解：不能。7＋3＋5＋6=21，7356的數(shù)碼和是奇數(shù)，所以兩個(gè)數(shù)的和不可能是7356。
【思路點(diǎn)撥】因?yàn)樗奈粩?shù)每個(gè)數(shù)碼都小于5，所以兩個(gè)四位數(shù)相加不會(huì)產(chǎn)生進(jìn)位，如果這兩個(gè)四位數(shù)的數(shù)碼和等于7356的數(shù)碼和，并且第二個(gè)四位數(shù)僅僅是第一個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼調(diào)換了位置，所以兩個(gè)四位數(shù)的數(shù)碼和為偶數(shù)，而7536的數(shù)碼和是奇數(shù)，所以不能。
28．（6分）（2022六上·競(jìng)賽）在8個(gè)房間中，有7個(gè)房間開著燈，1個(gè)房間關(guān)著燈。如果每次撥動(dòng)4個(gè)不同房間的開關(guān)，能不能把全部房間的燈都關(guān)上？為什么？
【答案】解：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)＋一個(gè)偶數(shù)=奇數(shù)，而4是偶數(shù)，所以不能把全部房間的燈關(guān)上。
【思路點(diǎn)撥】按要求每次撥動(dòng)4個(gè)不同房間的開關(guān)，而4是偶數(shù)，所以，這樣的一次操作，撥動(dòng)房間開關(guān)次數(shù)是偶數(shù)。那么經(jīng)過有限次撥動(dòng)后，撥動(dòng)各房間開關(guān)次數(shù)總和是偶數(shù)?？墒?，要使7個(gè)房間的燈由開變?yōu)殛P(guān)，需要撥動(dòng)各個(gè)房間開關(guān)奇數(shù)次；第8個(gè)房間的開關(guān)仍為關(guān)，需要這個(gè)房間撥動(dòng)開關(guān)偶數(shù)次。這樣，需要撥動(dòng)開關(guān)的總次數(shù)是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的和，是奇數(shù)。所以按照要求不能把全部房間的燈關(guān)上。
29．（6分）（2022六上·競(jìng)賽）甲同學(xué)一手握有寫著23的紙片，另一只手握有寫著32的紙片。乙同學(xué)請(qǐng)甲回答如下一個(gè)問題：“請(qǐng)將左手中的數(shù)乘以3，右手中的數(shù)乘以2，再將這兩個(gè)積相加，這個(gè)和是奇數(shù)還是偶數(shù)？”當(dāng)甲說出和為奇數(shù)時(shí)，乙馬上就猜出寫有23的紙片握在甲的左手中。你能說出是什么道理嗎？
【答案】解：寫有23的紙片握在甲的左手中。
【思路點(diǎn)撥】甲的兩張紙片，23是奇數(shù)，32是偶數(shù)。因此，只要能判斷出甲的左手中握的是奇數(shù)，即可知左手的是23。設(shè)甲左手握的數(shù)為a，右手握的數(shù)為b，乙同學(xué)請(qǐng)甲計(jì)算所得結(jié)果為c ，則3×a＋2×b=c。① 若c為奇數(shù)，則3×a為奇數(shù)，所以左手握的數(shù)a是奇數(shù)；②若c為偶數(shù)，則3×a為偶數(shù)，所以左手握的數(shù)a是偶數(shù)。因此，從c的奇偶性就可以斷定左手握的數(shù)a的奇偶性，從而確定左手握的數(shù)是23還是32。在本題中， c為奇數(shù)，因此合于第①種情況，a是奇數(shù)，即左手中握的是23。

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