第Ⅰ卷 選擇題（共58分）
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共 40 分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件可知直線垂直軸，即可得傾斜角大?。?br>【詳解】∵直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，
∴直線垂直軸，故傾斜角為．
故選：C．
2. 已知，，點(diǎn)分所成的比為，則與的值分別為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】∵，，，
∴，，
∵分所成的比為，∴，即，
∴有，解得.
故選：D.
3. 已知向量，，且與的夾角為，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量夾角的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算得解.
【詳解】向量，，且與的夾角為，
則，顯然，解得.
故選：C
4. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進(jìn)行判斷即可.
【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題的否定為“，”，
故選：B.
5. 設(shè)函數(shù)，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知條件易知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，結(jié)合奇偶性及平移變換列方程組分別求得，從而得到的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，即關(guān)于對(duì)稱，
所以根據(jù)平移變換得
函數(shù)，
所以，
解得，
所以.
故選：C.
6. 等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，公差，且，若，則（ ）
A. B. C. 不確定D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得，利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)可求得的值.
【詳解】因?yàn)?，所以，即，即?br>故.
故選：B.
7. 由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudi設(shè)計(jì)南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，即，則，則，即可得出雙曲線的離心率為.
【詳解】雙曲線（，）的漸近線的方程為，
雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，
根據(jù)雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，
則，則，
，
則該雙曲線的離心率為，
故選：D.
8. 已知，直線：與：的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系和所過的定點(diǎn)，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】，所以直線恒過點(diǎn)，
，所以直線恒過點(diǎn)，
由兩條直線的方程可以判斷直線與直線互相垂直，
因此點(diǎn)在以為直徑的圓上，線段中點(diǎn)為，
半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
由已知條件可知點(diǎn)在圓：上，
所以圓與圓相交或相切，，
因此有，
解得：，所以則的最大值是，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過直線方程判斷交點(diǎn)的位置，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列排列組合數(shù)中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合組合數(shù)、排列數(shù)公式，即可求解．
【詳解】，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
左邊右邊，故C正確；
，
，故D正確．
故選：BCD．
10. 已知圓，則（ ）
A. 圓可能過原點(diǎn)B. 圓心在直線上
C. 圓與直線相切D. 圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為
【答案】AD
【解析】
【分析】依據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷A，把圓心代入直線方程看是否滿足方程即可判斷B，求出圓心到直線的距離即可判斷C，利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)即可判斷D.
【詳解】由圓知：圓心，半徑，
對(duì)于A：把原點(diǎn)代入圓的方程得，
所以解得或，
所以當(dāng)或時(shí)，圓過原點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B：把圓心代入得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓心不在直線上，故B不正確；
對(duì)于C：圓心到直線的距離：，
所以圓與直線相離，故C不正確；
對(duì)于D：圓心到直線的距離為：，
所以圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為：，故D正確.
故選：AD.
11. 如圖，為等腰直角三角形，斜邊上的中線為線段中點(diǎn)，將沿折成大小為的二面角，連接，形成四面體，若是該四面體表面或內(nèi)部一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若點(diǎn)為中點(diǎn)，則過的平面將三棱錐分成兩部分的體積比為
B. 若直線與平面沒有交點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡與平面的交線長(zhǎng)度為
C. 若點(diǎn)在平面上，且滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D. 若點(diǎn)在平面上，且滿足，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，根據(jù)三棱錐的體積公式，分析底面與高的比例關(guān)系求解即可；對(duì)于B，根據(jù)面面平行的相關(guān)知識(shí)確定軌跡，即可求得其長(zhǎng)度；對(duì)于C,建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，確定在面ADC內(nèi)的軌跡，即可求得軌跡長(zhǎng)度；對(duì)于D，結(jié)合題意以及C的分析，可知DP不是定值，從而不是定值，即可判斷.
【詳解】對(duì)A，如圖示，由題意可知，，，底面，故底面.

由于E為線段BD中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，故，
又三棱錐與三棱錐等高，故，，
故過的平面將三棱錐分成兩部分的體積比為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則P點(diǎn)在過點(diǎn)E和平面ABC平行的平面上，
如圖示，設(shè)CD的中點(diǎn)為F，AD的中點(diǎn)為G，連接EF，F(xiàn)G，EG，
則平面平面ABC,

則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線即為GF，
由于△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線，故，
則，故B正確；
對(duì)C，若點(diǎn)P在平面ACD上，且滿足，以D為原點(diǎn)，DC,DA為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

則，設(shè) ，則，
即，故P點(diǎn)在平面ADC上的軌跡即為該圓被平面ADC截得的圓?。ㄈ鐖D示），
由可得圓心，
則，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；
對(duì)D，由題意可知，平面ADC，故平面ADC，
故，由于P在圓弧上，圓心為M，
故當(dāng)P在時(shí)取最小值，此時(shí)取最小值；
當(dāng)P在時(shí)取最大值，此時(shí)取最大值.
故線段長(zhǎng)度取值范圍是，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
第Ⅱ卷 非選擇題（共92分）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15 分）
12. 若對(duì)任意正數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知對(duì)任意正數(shù)恒成立，
由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
則的最大值是，
所以，
故答案：.
13. 勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來回自由滾動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸（如圖）．勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體．若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，求出勒洛四面體內(nèi)切球的半徑,即可得出結(jié)果．
【詳解】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，
由對(duì)稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，
正外接圓半徑，正四面體的高，
設(shè)正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，
因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑.
故答案為：．
14. 秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之為實(shí)一為從隅，開平方得積”如果把以上這段文字寫成公式就是，共中a、b、c是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．若，且，2，成等差數(shù)列，則面積S的最大值為____
【答案】
【解析】
【分析】運(yùn)用正弦定理和余弦定理可得，再由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)可得，代入三角形的面積公式，配方，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求最大值．
【詳解】，∴，因此
∵，2，成等差數(shù)列，∴，
因此，
當(dāng)，即時(shí)，S取得最大值，
即面積S的最大值為，故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式，以及等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
四、解答題（本大題共5小題，共 77 分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算證明即可；
（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
所以，
因?yàn)槭侵崩庵?br>所以平面，
因此平面的一個(gè)法向量為，
所以，即，又平面，所以平面；
【小問2詳解】
因?yàn)?，，?br>設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以.
16. 設(shè)，是不共線的非零向量，且，．
（1）證明：可以作為一個(gè)基底；
（2）若向量，試用基底表示．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）假設(shè)，共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，推出，共線，與，是不共線的非零向量矛盾，即可得證．
（2）設(shè)，得，解得，，即可得出答案．
【小問1詳解】
假設(shè)，共線，所以存實(shí)數(shù)，使得，
即，整理得，
則，共線，這與，是不共線的非零向量矛盾，
所以假設(shè)不成立，即與不共線，所以可以作為一個(gè)基底；
【小問2詳解】
設(shè)
，
因?yàn)椋遣还簿€的非零向量，
所以，解得，
所以．
17. 對(duì)于函數(shù)，記，，，…，，其中.
（1）若函數(shù)是一次函數(shù)，且，求的最小值；
（2）若，且，求；
（3）設(shè)函數(shù)（），記，，若，證明：.
【答案】（1）0 （2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，結(jié)合基本不等式，可得答案；
（2）根據(jù)題意，整理遞推公式，可得答案；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用遞推公式，整理不等關(guān)系，可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)，，
，
又因?yàn)?，所以?br>所以，所以，當(dāng)時(shí)，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為0．
【小問2詳解】
因?yàn)椋字?br>所以，
又
．
【小問3詳解】
因?yàn)椋礋o解，
所以若，則，即，
所以，
即，所以時(shí)，無解，
同理若，
即，所以時(shí)，無解，
綜上．
18. 在多面體中，已知，，且，．
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先作輔助線，證得，結(jié)合，再根據(jù)線面垂直的判斷定理，以及面面垂直的判斷定理，即可求證．
（2）根據(jù)已知條件，通過線面位置關(guān)系，可得就是直線與平面所成的角，分別求出，的值，即可求解．
【小問1詳解】
如圖，分別取，的中點(diǎn)、，連接、、，則且，
因?yàn)榍遥?br>所以且
則四邊形為平行四邊形，所以且，
因?yàn)?，所以?br>所以，
又因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，、平面?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面．
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，
因?yàn)?，所以?br>在等腰梯形中，易得，
又因?yàn)?，、平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，
過作于點(diǎn)，由平面平面，平面，
則平面，
連接，則就是直線與平面所成的角，
因?yàn)槠矫?，所以?br>由，，得，，是中點(diǎn)，，
在等腰梯形中，，
所以在等腰中，腰上的高，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
19. 已知為橢圓上一點(diǎn)，對(duì)于上任意兩點(diǎn)，，我們定義關(guān)于的生成點(diǎn)的形成過程：過作平行于的直線交于異于的一個(gè)點(diǎn)（若與重合，則為在處的切線；若與處切線平行，則交點(diǎn)為），記為，且對(duì)，記，稱為關(guān)于的生成點(diǎn)列.
（1）已知，，直接寫出和的坐標(biāo)；
（2）若，且均在第一象限，證明：；
（3）已知為上異于的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若關(guān)于的生成點(diǎn)列中至少有一點(diǎn)是，求出所有滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1），.
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合定義分別聯(lián)立直線與橢圓求交點(diǎn)可得；
（2）由橢圓參數(shù)方程，將橢圓上動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為參數(shù)，由平行關(guān)系探究不同參數(shù)間的等量關(guān)系，由角的關(guān)系可證結(jié)論；
（3）由于依次遞推得到關(guān)于的生成點(diǎn)列，故考慮先使用數(shù)學(xué)歸納法證明，再應(yīng)用結(jié)論求解.
【小問1詳解】
設(shè)，由，，得直線斜率，
則過點(diǎn)且與平行的直線為，即，
由對(duì)稱性可知，直線與橢圓交點(diǎn)為，即；

由，則，
由題意橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，
過點(diǎn)作此切線的平行線交橢圓于點(diǎn)（異于點(diǎn)）；
故，設(shè)，則過點(diǎn)，
故設(shè)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，
設(shè)橢圓在此點(diǎn)處的切線方程為，
聯(lián)立橢圓方程，
由所求交點(diǎn)不同于點(diǎn)，則得，故.

故，.
【小問2詳解】
設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓，
則可設(shè)，其中參數(shù)，下面記對(duì)應(yīng)的參數(shù).
由，可知，由題意均在第一象限，
則，，.
由此，若在橢圓上，可設(shè)，
即，
若，若，
則，
由和差化積公式可得，
化簡(jiǎn)得，
則，，所以，
特別地，若，，
則由，則.
設(shè)，其中.

設(shè)，根據(jù)上述結(jié)論由，可得，
即，則，
若，則，.
若，則，
結(jié)合圖形可知.
有，
所以若，則仍然成立.
故同理可得，，
則.
【小問3詳解】
對(duì)于生成的點(diǎn)列，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
對(duì)任意，成立
①當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，滿足結(jié)論；
②當(dāng)（）時(shí)，都有，
則當(dāng)時(shí)，由點(diǎn)與的連線與點(diǎn)與的連線平行，
則由（2）可知，，.
則
，，，
所以當(dāng)時(shí)，也成立，
綜合①②可知，對(duì)任意，成立.
因此，若關(guān)于的生成點(diǎn)列中至少有一點(diǎn)是，
則存在正整數(shù)，使得，
可得，即，
由在第一象限，則由，解得，
故所有滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)，一是橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，將問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)的運(yùn)算；二是由點(diǎn)列的遞推生成特點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論，從而求解.

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