一、單選題（本大題共8小題）
1．直線在軸上的截距是
A．B．C．D．
2．已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）.
A．B．C．D．
3．若圓上有且僅有兩個點到直線的距離為,則半徑的取值范圍是( )
A．B．C．D．
4．二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于，已知，，，則該二面角的大小為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
5．拋物線0）的焦點為F，0為坐標原點，M為拋物線上一點，且的面積為，則拋物線的方程為
A．B．C．D．
6．設甲、乙兩人每次射擊命中目標的概率分別為和，且各次射擊相互獨立，若按甲、乙、甲、乙的次序輪流射擊，直到有一人擊中目標就停止射擊，則停止射擊時，甲射擊了兩次的概率是
A．B．C．D．
7．如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，A、B、C、D是它們的公共點，且都在圓上，直線與x軸交于點P，直線與雙曲線交于點，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（ ）

A．2B．
C．D．4
8．三等分角大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，它和“立方倍積問題”,“化圓為方問題”并稱為“古代三大幾何難題”．公元六世紀時，數(shù)學家帕普斯曾證明用一固定的雙曲線可以解決“三等分角問題”．某同學在學習過程中，借用帕普斯的研究，使某銳角∠AOB的頂點與坐標原點O重合，點B在第四象限，且點B在雙曲線T：的一條漸近線上，而OA與T在第一象限內交于點A．以點A為圓心，為半徑的圓與T在第四象限內交于點P，設AP的中點為Q，則．若，，則a的值為（ ）
A．B．8C．D．10
二、多選題（本大題共3小題）
9．設橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，則（ ）
A．為定值
B．的周長的取值范圍是
C．當時，為直角三角形
D．當時，的面積為
10．對任意實數(shù)，有.則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知正方體的棱長為4，點在面（包含邊界）內運動，且；點在面（包含邊界）內運動，且到直線的距離與其到平面的距離相等.若平面，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．直線不可能與平面垂直
C．的軌跡為拋物線的一部分
D．線段長度的取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題）
12．過點A(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于點B（2,1），則圓C的方程為____
13．陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數(shù)共有 種（用數(shù)字作答）.
14．已知空間四邊形.則對角線與所成角的正切值的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．某校從學生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動．
(1)求男生甲被選中的概率；
(2)在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；
(3)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率．
16．已知直線，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的上方．
(1)求圓C的方程；
(2)過點的直線與圓C交于A，B兩點（A在x軸上方），問在x軸正半軸上是否存在點N，使得x軸平分？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
17．如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點．

(1)求證：AC⊥SD；
(2)若SD平面PAC，則側棱SC上是否存在一點E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．
18．已知雙曲線E經(jīng)過點
(1)求E的方程．
(2)若直線l經(jīng)過E的右焦點F且與E的左、右兩支分別交于點C，D（C與A不重合），的中點為M，l與直線交于點G，直線與E交于另一點N，證明：
（i）軸；
（ii）四點共圓．
19．已知橢圓 橢圓與軸交于點，，直線與橢圓交于，兩點(其中點在x軸上方，點在軸下方)，設直線的方程為，如圖，將平面沿軸折疊，使點移動到點的位置，軸的正半軸經(jīng)折疊后記為，且二面角的大小為.
(1)折疊前，若橢圓的焦點，在軸上，且與橢圓上一點構成三角形，的周長為，直線l的方程為 .
(i) 求橢圓的標準方程.
(ii) 求折疊后直線與平面所成角的大小.
(2)折疊后，是否存在定值，對于任意，始終成立. 若存在，求出的值； 若不存在，說明理由.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】 由題意，令，則，即，所以直線在軸上的截距為，故選B.
2．【答案】A
【詳解】∵，的夾角為鈍角，∴，即.∴.
又當，的夾角為時，存在，使，∴，此方程組無解.綜上，.
故選：A.
3．【答案】B
【解析】因為,可得:其圓心為,到距離為:,設與直線距離是,解得與直線距離是的直線有兩條:和,討論兩條:和與圓的位置關系,即可求得答案.
【詳解】
可得:其圓心為
根據(jù)點到直線距離公式可得到距離為:

設與直線距離是.
根據(jù)平行線間距離公式可得:
解得:或
與直線距離是的直線有兩條:和
又圓心到距離:
圓心到距離:
如果圓與相交,那么圓也肯定與相交,交點個數(shù)多于兩個,于是圓上點到的距離等于的點不止兩個.
圓與不相交,
如果圓與的距離小于等于,那么圓與和交點個數(shù)和至多為個,
圓只能與相交,與相離
.
故選:B.
4．【答案】C
【詳解】
由條件，知．
，
，即，
所以二面角的大小為，
故選：C．
5．【答案】C
【分析】
設點坐標，由關系得點坐標由表示，
再由的面積可解得，從而得解.
【詳解】
設 由可得：
又因為 所以
即 解得 或（舍去），
所以
所以 解得
因為 所以
故選C.
【點睛】
本題考查拋物線的標準方程，關鍵由線段的長度關系轉化到點的坐標關系，屬于難度題.
6．【答案】D
【詳解】試題分析：擊中目標時甲射擊了兩次包括甲乙第一次均未擊中、甲第二次擊中，及甲前兩次均未擊中、乙第二次才擊中，所以其概率為，故選D.
考點：獨立重復試驗的概率.
7．【答案】B
【詳解】設橢圓標準方程為，雙曲線的標準方程為，
則，由，，
所以，所以橢圓方程可化為，
由，兩式相減得，
，則，
根據(jù)對稱性可知關于原點對稱，關于軸對稱.
則，
直線的方程為.
將代入得，
由，解得或，
而，，所以，
所以，所以雙曲線方程可化為，
由消去并化簡得，
設，解得，所以，
所以.
故選：B
8．【答案】C
【詳解】
設，直線的傾斜角為，
則，直線的斜率為，
為的中點，，
，，
，，
，，，，
，
又，
，直線的方程為，
聯(lián)立，得，
，，即，
.
故選：C.
9．【答案】ACD
【詳解】設橢圓的左焦點為，則
所以為定值，A正確；
的周長為，因為為定值6，
所以的范圍是，所以的周長的范圍是，B錯誤；
將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，
又因為，∴
所以為直角三角形，C正確；
將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確.
故選：ACD
10．【答案】ACD
【詳解】對任意實數(shù)x有
，
所以，故A正確；
令，可得，故B不正確；
令，可得，故C正確；
令，可得，故D正確．
故選：ACD．
11．【答案】ACD
【詳解】由于平面，根據(jù)正方體性質，知道，A選項顯然正確；
以的中點為原點建立空間直角坐標系，由橢圓定義，P的軌跡為橢圓的一部分，
其在坐標平面內的方程為；
到直線的距離即為的長，到平面的距離即為到直線的距離，
由此的軌跡為拋物線的一部分，其在坐標平面內的方程為，故C選項正確；
由平面知，，橫坐標相等，設為，
設，，，，
，故D選項正確；
當即，時直線與平面垂直.故B選項錯誤.
12．【答案】
【詳解】∵直線x?y?1=0的斜率為1，
∴過點B直徑所在直線方程斜率為?1，
∵B(2,1)，
∴此直線方程為y?1=?(x?2)，即x+y?3=0，
設圓心C坐標為(a,3?a)，
∵|AC|=|BC|,即，
解得：a=3，
則圓C方程為.
13．【答案】288
【詳解】第一步：先將3名母親作全排列，共有種排法；
第二步：將3名女寶“捆綁”在一起，共有種排法；
第三步：將“捆綁”在一起的3名女寶作為一個元素，在第一步形成的2個空中選擇1個插入，有種排法；
第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個媽媽中間，
然后將另一個男寶插入由女寶與媽媽形成的2個空中的其中1個，共有種排法.
所以不同的排法種數(shù)有：（種）.
故答案為：288
14．【答案】
【詳解】在中，因為，所以，
過點在平面中作于點，則，
所以，所以，，
取中點，連接，在三角形中，因為，所以，
如圖，以為坐標原點，為軸，為軸，過作直線垂直于平面，這條直線為軸，建立空間直角坐標系，
因為，，所以，所以，
設，且，
所以，，
設直線與直線的夾角為，
則
，
因為，所以當時，，
所以當時，，
因為，所以.
故答案為：.
15．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【詳解】（1）記4名男生為A(甲)，B，C，D，2名女生為a，b(乙)，
從6名成員中挑選2名成員有，，，，，，，，，，，，，，共有15種情況，，
記“男生甲被選中”為事件M，則基本事件為，，，，共有5種，故．
（2）記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，則，
由（1）知，故．
（3）由（1）知：記“挑選的2人一男一女”為事件，則，
“女生乙被選中”為事件，則，故．
16．【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）設圓心，
由題可得圓心到直線的距離，解得或（舍去），
所以圓的方程為；
（2）當直線軸，則軸必平分，此時可以為軸上任一點，
當直線與軸不垂直時，設直線方程為，
設，
由，可得，經(jīng)檢驗，
所以，
若軸平分，則，即，
整理得，
即，解得，
綜上，存在點，使得x軸平分.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）

連接AC，BD得交點O，連接SO，則點O是正方形ABCD的中心，
是等腰三角形， ,
又 ， 平面SBD， 平面SBD， ，
平面SBD， 平面SBD，∴ ；
（2）在SP上取點N，使得，過N作交SC于點E，連BN，
由面，面，則，
設底面邊長為a，則，，
，由等面積法，得出 ，則 ，
∵P是ND的中點，O是BD的中點，
∴，面，面，故面，
又平面，平面，則面，
，面BNE，則平面BNE平面PAC，
面BNE，則平面APC，
，，
綜上，存在， .
18．【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【詳解】（1）因為E經(jīng)過點，所以，
因為E經(jīng)過點，所以，得，
所以E的方程為
（2）（i）由題意知l的斜率存在且不為0，，
故設，，則，即
由消去x，得
所以
設，則
由，解得，所以
所以直線，即．
設，由得，又，
所以，因為，所以軸．
（ii）由弦長公式可知，
因為
所以
所以，又M為的中點，所以點N在以為直徑的圓上．
因為
所以點A也在以為直徑的圓上．
綜上，四點共圓．
19．【答案】(1)（i）；（ii）
(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）（i）由橢圓定義可知，，
則的周長為，
解得，
即橢圓方程為；
（ii）設，，，，
聯(lián)立直線與橢圓，
得，
解得，，
即，，
如圖所示，過點作軸于點，則，
折疊后，
過作平面，連接，
則軸，且直線在平面上的投影為，
且，
則，
分別設軸，軸，軸正方向上的單位向量分別為，，，
且，，，
即，，
又，，，
則，
則，
由直線與平面夾角的平面角為，
則，
所以直線與平面夾角為；
（2）設，，
則，，，
聯(lián)立直線與橢圓，
得，，
則恒成立，
且，，
又，
則，
即，
即，不為定值，
所以不存在定值，對于任意，始終成立.

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