一、單選題（本大題共8小題）
1．橢圓：的焦點在軸上，其離心率為，則（ ）
A．橢圓的短軸長為B．橢圓的長軸長為4
C．橢圓的焦距為4D．
2．設(shè)，則等于（ ）
A．1B．2C．D．5
3．為支援邊遠地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，現(xiàn)有5名師范大學畢業(yè)生主動要求赴西部某地區(qū)三所不同的學校去支教，每個學校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所學校，則不同的安排方法有
A．180種B．150種C．90種D．114種
4．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，則等于（ ）
A．45B．60C．75D．90
5．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（ ）
A．B．C．D．
6．盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現(xiàn)從盒中隨機抽取4個，則概率是的事件為（ ）
A．恰有1個是壞的B．4個全是好的
C．恰有2個是好的D．至多有2個是壞的
7．盒中有5個小球，其中3個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)記為，則（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．設(shè)，隨機變量的分布列分別如下，則( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
二、多選題（本大題共3小題）
9．若（）的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則的可能取值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別用事件和表示從甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙罐中隨機取出一球，用事件B表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．事件B與事件相互獨立
D．是兩兩互斥的事件
11．2022年世界田聯(lián)半程馬拉松錦標賽，是揚州首次承辦高規(guī)格、大規(guī)模的國際體育賽事.運動會組織委員會欲從4名男志愿者、3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長，下列說法正確的有（ ）
A．設(shè)“抽取的3人中恰有1名女志愿者”為事件A，則
B．設(shè)“抽取的3人中至少有1名男志愿者”為事件B，則
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人數(shù)，則
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人數(shù)，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．某同學10次考試的物理成績y與數(shù)學成績x如下表所示．
已知y與x線性相關(guān)，且y關(guān)于x的回歸直線方程為，則下列說法正確的是 ．（參考數(shù)據(jù)：）
①；②y與x正相關(guān)；③y與x的相關(guān)系數(shù)為負數(shù)；④若數(shù)學成績每提高5分，則物理成績估計能提高5.5分．
13．甲、乙兩人同時參加當?shù)匾粋€勞動實踐活動，該活動有任務(wù)需要完成，甲、乙完成任務(wù)的概率分別為0.7，0.8，且甲、乙是否完成任務(wù)相互獨立互不影響.設(shè)這兩人中完成任務(wù)的總?cè)藬?shù)為，則 .
14．某學校有，兩家餐廳，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，某班學生第1天午餐時選擇餐廳和選擇餐的概率均為.如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為，則某同學第2天去餐廳用餐的概率為 ；假設(shè)班內(nèi)各位同學的選擇相互獨立，隨機變量為該班3名同學中第2天選擇餐廳的人數(shù)，則隨機變量的均值 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知數(shù)列的前項和為
(1)當取最小值時，求的值；
(2)求出的通項公式.
16．某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道工序．
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少種加工順序？
（3）如果其中某2道工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？
（4）如果其中某2道工序不能相鄰，那么有多少種加工順序？
17．隨著經(jīng)濟的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識日益提升，越來越多的人走向公園?場館，投入健身運動中，成為一道美麗的運動風景線.某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機抽取400人進行調(diào)査，得到如下表的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)聯(lián)？
(2)現(xiàn)從50歲以上（含50）的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于5小時，用分層隨機抽樣法抽取8人做進一步訪談，再從這8人中隨機抽取3人填寫調(diào)査問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于5小時的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.
18．袋中裝有大小相同的4個紅球，2個白球．某人進行摸球游戲，一輪摸球游戲規(guī)則如下：①每次從袋中摸取一個小球，若摸到紅球則放回袋中，充分攪拌后再進行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次數(shù)達到4次時本輪摸球游戲結(jié)束．
(1)求一輪摸球游戲結(jié)束時摸球次數(shù)不超過3次的概率；
(2)若摸出1次紅球計1分，摸出1次白球記2分，求一輪游戲結(jié)束時，此人總得分的分布列和數(shù)學期望．
19．已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，右頂點為A，且，離心率為.
(1)求C的方程；
(2)已知點，M，N是曲線C上兩點（點M，N不同于點A），直線分別交直線于P，Q兩點，若，證明：直線過定點.
參考答案
1．【答案】B
【解析】由離心率可求出，結(jié)合橢圓的性質(zhì)可求出橢圓的短軸長，長軸長，焦距.
【詳解】由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓的短軸長為，圓的離心率，則，
即，，所以橢圓的長軸長，橢圓的焦距，
故選：B．
2．【答案】B
【解析】令代入所給等式即可得解.
【詳解】令，則
故.
故選：B
3．【答案】D
【詳解】解：分四種情況：
（1）安排甲到一所學校有種方法，安排乙到第二所學校有種方法，余下三人一起
到第三所學校有1種方法，共有種方法；
（2）安排甲到第一所學校有種方法，安排乙到第二所學校有種方法，余下三人中兩人一起到第三所學校有種方法，另一人到前兩所學校中任意一所有，共有種方法；
（3）安排甲到第一所學校有種方法，安排乙到第二所學校有種方法，余下三人中一
人到第三所學校有，另兩人一起到前兩所學校中任意一所有，共有種方法；
（4）安排甲到第一所學校有種方法，安排乙到第二所學校有種方法，余下三人中一
人到第三所學校有，另兩個人分別到前兩所學校有種方法共有種方法，種方法；
綜合以上有：
故選：D
4．【答案】A
【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)計算可得，即，
所以可得.
故選：A
5．【答案】B
【詳解】由題意
事件為“第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”：若第一次取到的為3或9，第二次有2種情況；若第一次取到的為1，5，7，第二次有3種情況，故共有個事件
由條件概率的定義：
故選：B
6．【答案】C
【詳解】對于A，事件的概率為；
對于B，事件的概率為；
對于C，事件的概率為；
對于D，事件的概率為.
故選：C.
7．【答案】C
【詳解】，，
∵，∴ .
∵，，，
∴，
故選：C.
8．【答案】A
【詳解】設(shè)隨機變量為X，其可能的取值是，對應(yīng)概率為，則其數(shù)學期望(均值)為，
其方差為：
，
則，，
；
，，
；
∴，
若，則，，故，即，故A正確，B錯誤；
若，則，但無法判斷與1的大小，故無法判斷的大小，故CD錯誤．
故選：A．
9．【答案】ABC
【詳解】依題意，，即，解得，而，
所以.
故選：ABC
10．【答案】BD
【分析】根據(jù)事件的條件概率公式、獨立性公式等逐一判斷可得結(jié)果.
【詳解】依題意得，，，
， ，，
選項A：，故A錯誤；
選項B：因為，故B正確；
選項C：因為，，
故，
所以事件B與事件不相互獨立，故C錯誤；
選項D：根據(jù)互斥事件的定義可知，是兩兩互斥的事件，故D正確.
故選BD.
11．【答案】BD
【詳解】對于A：從7名志愿者中抽取3人，所有可能的情況有（種），其中恰有1名女志愿者的情況有（種），故，故A錯誤；
對于B：，故B正確；
對于C：由題意知X的可能取值為0，1，2，3，則，，，，
所以，故C錯誤.
對于D：由題可知Y的可能取值為0，1，2，3，則，，，，
則，
，
則，故D正確.
故選：BD.
12．【答案】①②④
【詳解】對于①，因為，，y關(guān)于x的回歸直線方程為，
所以，解得，所以①正確，
對于②，因為回歸方程中的，所以y與x正相關(guān)，所以②正確，
對于③，因為回歸方程中的，所以y與x的相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，所以③錯誤，
對于④，由于y關(guān)于x的回歸直線方程為，所以當數(shù)學成績每提高5分，則物理成績估計能提高分，所以④正確，
故答案為：①②④
13．【答案】1.5（或）
【詳解】的可能取值為0，1，2，且，
，，
故.
故答案為：1.5（或）.
14．【答案】 / /
【詳解】設(shè)事件第一天去餐廳，事件第二天去餐廳，事件第一天去餐廳，事件第二天去餐廳，
由題意可知，，，，
則，
，
所以第2天去餐廳的概率為；
由題意可知，每個人去餐廳的概率為，，所以.
故答案為：；
15．【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）因為，
所以，又，
所以或時，取最小值時，最小值為；
（2）因為，
所以，當時，，
所以，
當時，，
所以.
16．【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72
【分析】（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，再將剩余的4道工序全排列即可；（2）先從另外3道工序中任選2道工序放在最前和最后，再將剩余的3道工序全排列；（3）先排這2道工序，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出現(xiàn)4個空位，再將這2道工序插空
【詳解】解：（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有種不同的排法，再將剩余的4道工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；
（2）先從另外3道工序中任選2道工序放在最前和最后，有種不同的排法，再將剩余的3道工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；
（3）先排這2道工序，有種不同的排法，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；
（4）先排其余的3道工序，有種不同的排法，出現(xiàn)4個空位，再將這2道工序插空，有種不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有種加工順序，
17．【答案】(1)能
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）解：零假設(shè)周平均鍛煉時長與年齡無關(guān)聯(lián).
由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認為周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.
（2）解：抽取的8人中，周平均鍛煉時長少于5小時的有人，不少于5小時的有人，則所有可能的取值為，
所以；
所以隨機變量的分布列為：
所以數(shù)學期望.
18．【答案】(1)
(2)分布列見解析；期望為
【分析】（1）由互斥加法以及獨立乘法公式即可求解；
（2）X的可能取值為2，3，4，5，算出對應(yīng)的概率即可得分布列以及數(shù)學期望.
【詳解】（1）設(shè)一輪摸球游戲結(jié)束時摸球次數(shù)不超過3次為事件A，記第i次（，2，3）摸到紅球為事件，
則事件，
顯然、、彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：
，
因為每次摸到紅球后放回，所以，，，
所以，.
（2）依題意，X的可能取值為2，3，4，5，
，
，
，
，
所以，一輪摸球游戲結(jié)束時，此人總得分X的分布列為，
.
19．【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意列方程組求解的值，即得答案；
（2）設(shè)的方程并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，表示出直線的方程，進而求得坐標，結(jié)合化簡求值，可得t的值，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意得，
解得，
故C的方程為.
（2）證明：由題意可知直線的斜率不為0，否則將位于x軸同側(cè)，，不合題意；
設(shè)的方程為（），代入，
得，
由，得，
設(shè)，，則，，
所以，
，
直線AM的方程為，令，得，故，
同理可求，
所以，，
由，得，
即，所以，
所以，解得，（舍），
所以直線MN的方程為，故直線MN過定點.
【點睛】難點點睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線過定點問題，解答此類題目的思路并不困難，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意進行化簡即可，難點在于計算過程比較復雜，且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的計算，計算量較大，要十分細心.0
1
2
P
0
1
2
P
數(shù)學成績x
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
物理成績y
80
87
75
a
100
79
93
68
85
77
周平均鍛煉時間少于5小時
周平均鍛煉時間不少于5小時
合計
50歲以下
80
120
200
50歲以上（含50）
50
150
200
合計
130
270
400
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
1
2
3
X
2
3
4
5
P

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