一、單選題
1. 已知集合，且，則M可以（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.
【詳解】由于，,故,
故選：B
2. 命題p：，，則是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)全稱命題的否定是特征命題進(jìn)行解答即可.
【詳解】因?yàn)槊}：，，所以為：，.
故選：C.
3. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再根據(jù)特殊函數(shù)值排除部分選項(xiàng)即可得到答案.
【詳解】由已知的
，即是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除D，
，排除C，
，所以在是減函數(shù)，排除B，
故選：A.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；
(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；
(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.
4. 在中，“”是“是鈍角三角形”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由得，充分性成立，是鈍角三角形，鈍角不一定是角，必要性不成立，即可得答案.
【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，即，所以，，又為?nèi)角的補(bǔ)角，所以，是鈍角三角形；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，不一定是鈍角．所以“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判定，考查向量數(shù)量積的概念，是基礎(chǔ)題.
5. 函數(shù)的最小值為（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式求和的最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”.
故選：B
6. 如圖為2014—2022年中國(guó)游戲用戶規(guī)模（單位：百萬(wàn)人）及同比增長(zhǎng)率、2010—2022年中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲獲批版號(hào)數(shù)量（單位：個(gè)）統(tǒng)計(jì)圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 2014—2022年中國(guó)游戲用戶規(guī)模逐年增長(zhǎng)
B. 2014—2022年中國(guó)游戲用戶規(guī)模的同比增長(zhǎng)率的中位數(shù)為
C. 2010—2022年中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲獲批版號(hào)數(shù)量的極差為223個(gè)
D. 2010—2022年中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲獲批版號(hào)數(shù)量的平均數(shù)超過(guò)1600個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖逐項(xiàng)分析樣本的數(shù)字特征即可判斷.
【詳解】A選項(xiàng)：2022年中國(guó)游戲用戶規(guī)模比2021年少，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：2014—2022年中國(guó)游戲用戶規(guī)模的同比增長(zhǎng)率從小到大依次為，，
，，，，，，，中位數(shù)為，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：2010—2022年中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲獲批版號(hào)數(shù)量的極差為（個(gè)），C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：
，D正確．
故選：D
7. 設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求解得取值范圍，即可得到答案．
【詳解】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，
可得，，，
．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的大小比較問(wèn)題，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確求解得取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．
8. 已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用賦值法對(duì)進(jìn)行合理取值，即可得出選項(xiàng)中各函數(shù)值，得出結(jié)論.
【詳解】令得；
令得，所以；
令得，所以；
令得，所以；
令4得.
綜上只有正確.
故選：A
二、多選題
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C 若，則D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)B舉反例即可，選項(xiàng)A利用不等式的性質(zhì)即可判斷；選項(xiàng)C,D利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A: 若，由不等式的基本性質(zhì)即可得到，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：令，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則，設(shè)函數(shù)，
此函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，故；
當(dāng)時(shí)，則，設(shè)函數(shù),
此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，故，
當(dāng)時(shí)，則顯然成立，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D: 若,設(shè)函數(shù)，此函數(shù)在實(shí)數(shù)域上單調(diào)遞增，故，故D正確；
故選：ACD
10. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性的定義及基本初等函數(shù)在上的單調(diào)性，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出答案.
【詳解】對(duì)于A，，定義域?yàn)椋?br>，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)，在上單調(diào)遞增，故A不符題意；
對(duì)于B，，定義域?yàn)镽，
，故函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)，在上單調(diào)遞減，故B符合題意；
對(duì)于C，，定義域?yàn)镽，
，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)，在上單調(diào)遞減，故C符合題意；
對(duì)于D，，定義域?yàn)镽，
，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D不符題意.
故選：BC.
11. 下列說(shuō)法中（ ）
①若方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，則；
②函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
③若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)椋?br>④曲線和直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m，則m的值不可能是1．
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】ACD
【解析】
【分析】由韋達(dá)定理即可判斷①，求出函數(shù)的定義域即可判斷②，由換元法結(jié)合二次函數(shù)的值域即可判斷③，列出方程，代入計(jì)算，即可判斷④.
【詳解】對(duì)于①，若方程有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則，
解得，所以是正確的；
對(duì)于②，函數(shù)有意義，則，解得，因此，
所以函數(shù)既是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以不正確；
對(duì)于③，令，則，則，其中，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，故正確；
對(duì)于④，一條曲線和直線有公共點(diǎn)，則，
所以，即，所以，
因此公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以是，故的值不可能是，所以正確；
故選：ACD
三、填空題
12. 函數(shù)的定義域?yàn)開_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】的定義域滿足，解得，
故定義域?yàn)椋?br>故答案為：
13. 從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任意抽取兩名同學(xué)參加安全知識(shí)競(jìng)賽，則同學(xué)甲被抽到且乙抽不到的概率為__________．
【答案】
【解析】
【分析】
基本事件總數(shù)，同學(xué)甲被抽到且乙抽不到包含的基本個(gè)數(shù)，由此能求出同學(xué)甲被抽到且乙抽不到的概率．
【詳解】解：從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任意抽取兩名同學(xué)參加安全知識(shí)競(jìng)賽，
基本事件總數(shù)，
同學(xué)甲被抽到且乙抽不到包含的基本個(gè)數(shù)，
則同學(xué)甲被抽到且乙抽不到的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．
14. 設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(2)＝4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】(－∞，2]
【解析】
【詳解】因?yàn)閒(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)
四、解答題（滿分77分）
15. （1）計(jì)算：；
（2）計(jì)算：；
（3）已知，，求ab的值．
【答案】（1）；（2）2；（3）8
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)指對(duì)互化，即可根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.
【詳解】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）由，，可得，．
所以.
16. 我國(guó)遼東半島普蘭附近的泥炭層中，發(fā)掘出的古蓮子，至今大部分還能發(fā)芽開花，這些古蓮子是多少年以前的遺物呢？要測(cè)定古物的年代，可用放射性碳法.在動(dòng)植物的體內(nèi)都含有微量的放射性，動(dòng)植物死亡后，停止了新陳代謝，不再產(chǎn)生，且原有的會(huì)自動(dòng)衰變，經(jīng)過(guò)5570年(叫做的半衰期)，它的殘余量只有原始量的一半，經(jīng)過(guò)科學(xué)家測(cè)定知道，若的原始含量為，則經(jīng)過(guò)年后的殘余量(與之間滿足.現(xiàn)測(cè)得出土的古蓮子中殘余量占原始量的，試推算古蓮子是多少年前的遺物.(注：計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位數(shù)；，.
【答案】古蓮子約為1036年前的遺物
【解析】
【分析】
由的半衰期，計(jì)算可得，再由兩邊取2為底的對(duì)數(shù)，計(jì)算可得所求值.
【詳解】由題意可得，
即，
解得，
由，
即，
兩邊取2為底的對(duì)數(shù)，可得，
，
則.
則古蓮子約為1036年前的遺物.
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用以及指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，還考查了函數(shù)思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.
17. 如圖，在中，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)F為上的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)C，設(shè).

（1）用表示；
（2）如果，且，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合圖形，利用向量加，減，和數(shù)乘，即可用基底表示向量；
（2）由，可得，從而可得，結(jié)合已知可得，最后利用數(shù)量模的運(yùn)算公式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，由，可得，
又，所以，
所以.
18. 設(shè)函數(shù)，
(1)方程有三個(gè)不等實(shí)根，求的值；
(2)當(dāng)且時(shí)，求函數(shù)的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】⑴由函數(shù)圖像不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)取到對(duì)稱軸時(shí)有三個(gè)不等實(shí)根，代入求出結(jié)果
⑵分類討論不同取值情況下的不同最大值得到結(jié)果
【詳解】(1)有三個(gè)不等實(shí)根，
則當(dāng)時(shí)，

（舍去）
(2) 當(dāng)且時(shí)，對(duì)稱軸
①時(shí)，
，
1）
解得
2)
,
②時(shí)，
，
綜上，
【點(diǎn)睛】在解答含有絕對(duì)值的題目時(shí)需要進(jìn)行去絕對(duì)值，分類討論化簡(jiǎn)得到函數(shù)表達(dá)式，然后討論不同情況下的不同最值問(wèn)題，屬于中檔題．
19. 對(duì)于任意兩正數(shù)u，，記區(qū)間上曲線下的曲邊梯形由直線，，和曲線所圍成的封閉圖形面積為，并約定和，已知
（1）求，，
（2）對(duì)正數(shù)k和任意兩個(gè)正數(shù)u，v，猜想與的大小關(guān)系，并證明;
（3）（i）試應(yīng)用曲邊梯形的面積說(shuō)明：對(duì)任意正數(shù)x，恒有
（ii）若，試說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1），，
（2），證明見解析
（3）（i）答案見解析；（ii）答案見解析
【解析】
【分析】（1）（2）由新定義可直接計(jì)算判斷；
（3）（i）設(shè)， 由小于高為底為1的長(zhǎng)方形面積、大于高為，底為1的長(zhǎng)方形面積，可得答案；（ii）利用（i）可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，
，
；
【小問(wèn)2詳解】
對(duì)正數(shù)k和任意兩個(gè)正數(shù)u，v，，
由題知，
，
故；
【小問(wèn)3詳解】
（i）設(shè)，由題意得，
由小于高為，底為1的長(zhǎng)方形面積，得，
由大于高為，底為1的長(zhǎng)方形面積，得，
所以對(duì)任意正數(shù)x，恒有
（ii）由（i）得
，
顯然，當(dāng)時(shí)，，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三額解題關(guān)鍵點(diǎn)是利用陰影部分的面積與相應(yīng)梯形矩形的面積大小，可推出不等式.

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