第Ⅰ卷 選擇題（共58分）
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）
1. 設集合，，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】設集合，
可得：，且，故.
故選：C.
2. 已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)，，若是實數(shù)，則實數(shù)a的值為（ ）
A. B. 2C. 0D.
【答案】A
【解析】因為，
因為是實數(shù)，則，解得.
故選：A.
3. 不等式成立的一個充分不必要條件是( )．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式化為，
即，解得
不等式成立的充要條件是
所以不等式成立的一個充分不必要條件是，
故選A.
4. 一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始，每一層塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5，公差為2的等差數(shù)列，總計一百零八座，則該塔共有（ ）
A. 八層B. 十層C. 十一層D. 十二層
【答案】D
【解析】設該塔共有層，
則，
即，
解得或（舍），
即該塔共有層.
故選：D
5. 已知某圓錐的母線長為2，記其側(cè)面積為S，體積為V，則當取得最大值時，母線與底面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖，為圓錐底面的中心，則底面圓，
則即為圓錐母線與底面所成的角，
設圓錐的半徑為，則圓錐的高為，
所以，
當且僅當即，
則母線與底面所成角的正弦值為.
故選：A.
6. 已知函數(shù)，將圖象上所有點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】依題意，為奇函數(shù)，
則，即，
由于，所以，，
因為，則，
由于在上單調(diào)遞增，
可得，解得，所以的最大值為.
故選：C.
7. 已知圓的圓心為，且直線與圓相切，則圓的標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因為直線與圓相切，設圓的半徑為r，
則，
所以圓的標準方程為.
故選：A.
8. 如圖，棱長為的正方體的內(nèi)切球為球，，分別是棱，的中點，在棱上移動，則（ ）

A. 對于任意點，平面
B. 直線被球截得的弦長為
C. 過直線的平面截球所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為
D. 當為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為
【答案】C
【解析】對于A，根據(jù)已知條件圓為以為圓心，半徑的圓；在棱上移動，
當與點重合時，平面即為平面，因為在直線上，
所以平面，所以與平面相交，A錯誤；
對于B，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
則，，，
設直線與直線夾角為，則，
由此可知，連結(jié)，過作直線的垂線，垂足為，
則在中，有，解得，
設直線被球O截得的弦長為，則，B錯誤；
對于C，過直線的平面截球O所得的所有截面圓半徑最小時，有垂直于過的平面，
此時圓的半徑為，圓的面積為，C正確；
對于D，根據(jù)題意當為的中點時，
過，，的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，
在中，，所以邊長，
所以截面面積為，D錯誤.
故選：C
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 下列通項公式中，對應的數(shù)列是遞增數(shù)列的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABD
【解析】對于A，由于，故數(shù)列是遞增數(shù)列；
對于B，由于，故數(shù)列是遞增數(shù)列；
對于C，由于，，故數(shù)列不是遞增數(shù)列；
對于D，由于，
當時，，，即，
又，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．
故選：ABD.
10. 已知，.若，則（ ）
A. 的最小值為9B. 的最小值為9
C. 的最大值為D. 的最大值為
【答案】BC
【解析】由題意知，.
A.，
當，即時，等號成立，
所以的最小值是4，故A不正確；
B. ，
當，時，等號成立，
所以的最小值為9，故B正確；
C.由于，，故，
當時等號成立，即時等號成立，
所以的最大值為，故C正確；
D.，
當且僅當時，即時，等號成立，
但，所以等號不能成立，故D不正確.
故選：BC.
11. 已知內(nèi)角對邊分別為a,b,c，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則為等腰三角形
C. 若，則為銳角三角形
D. 若的三角形有兩解
【答案】ABD
【解析】對于A，因為，則由正弦定理可得，
，所以，即，故A正確；
對于B，由余弦定理得，
化簡得，故為等腰三角形，故B正確；
對于C，由余弦定理，
因為，所以，故只能判斷為銳角，無法判斷，故C錯誤；
對于D，若，則由正弦定理得，
因為，所以三角形有兩解，故D正確；
故選：ABD.
第Ⅱ卷 非選擇題（共92分）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則________.
【答案】
【解析】若，則，故，
而，
所以.
故答案為：
13. 在《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線恰好平分矩形的面積，則該“塹堵”的正視圖的面積是_____，體積是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如下圖所示：
該幾何體為直三棱柱，正視圖為等腰直角三角形，且斜邊長上的高為，斜邊長為，
故該“塹堵”的正視圖的面積是，體積為.
故答案為：；.
14. 已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線C交于點，，若點，且，則直線的斜率為________.
【答案】
【解析】設直線的斜率為，，則直線，，
聯(lián)立方程，消去得，，
則，，
故，，
設直線的傾斜角為，則，
則，
故，
令，解得．
故答案為：．
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知函數(shù).
（1）函數(shù)取得最大值或最小值時的x組成集合A，將集合A中的所有x的值，從小到大排成一數(shù)列，記為，求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前n項和.
解：（1）由，
所以且時，最小值為，且時，最大值為，
結(jié)合題意知，，故
（2）由，
所以.
16. 某學習小組在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù)，
（1）求出這個常數(shù)；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，將該小組的發(fā)現(xiàn)推廣為一個三角恒等式，并證明你的結(jié)論.
解：（1）因為
，
故常數(shù)為；
（2）推廣：當時，．
證明：因為，則，
．
17. 在如圖所示的五面體中，四邊形為直角梯形，，平面平面，，是邊長為2的正三角形.
（1）證明：平面；
（2）證明：平面．
證明：（1）因為四邊形為直角梯形，
所以AB//CD，又平面CDEF，平面CDEF，
所以AB//平面CDEF，
又平面BAEF，平面平面，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）取的中點，連接，依題意易知，
又因為平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，所以，
所以，又，所以平面，
又平面，所以，
因為平面平面，平面平面，，
所以平面，，由（1）有：，所以，
在和中， ，，
又，所以，所以.
因為， 平面，所以平面.
18. 已知雙曲線的焦點為，且過點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點作斜率分別為直線，直線交雙曲線于兩點，直線交雙曲線于兩點，點分別是的中點，若，試判斷直線是否過定點？若是，則求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
解：（1）由題意知，
解得，
所以雙曲線的方程是；
（2）直線的方程為，設．
由，得，
所以，
所以，所以，
所以，
同理可得，
因為，所以，即，
當且時，，
所以直線的方程為，
，
，
，
，
所以，
所以直線過定點；
當或時，直線的方程為，所以直線過定點．
綜上，直線過定點．
19. 已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)
（1）求在處的切線方程；
（2）當時，，求實數(shù)的最大值；
（3）證明：當時，在處取極小值.
解：（1）
，且，則
所以在處的切線方程為
（2）當時，，即
當時，，
當時，，
即，
令，
則，
因為，所以
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，
所以，所以
所以實數(shù)的最大值為.
（3）證明：令，
若，當，和都單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，
①當，即時，則，則在上單調(diào)遞增，而，
所以當時，，所以在上單調(diào)遞減；
當時，，所以在上單調(diào)遞增；
所以在處取極小值；
②當，即時，，
，單調(diào)遞增，所以存在，使得，
當時，，則在上單調(diào)遞增，而，
所以當時，，所以在上單調(diào)遞減；
當時，，所以在上單調(diào)遞增；
所以在處取極小值.
綜上，當時，在處取極小值.；
；
.

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