【知識(shí)儲(chǔ)備】
1．分類加法計(jì)數(shù)原理
做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
2．分步乘法計(jì)數(shù)原理
做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法……做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
3．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別
分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．
4.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．
(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．
(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．
【題型精講】
【題型一 分類加法計(jì)數(shù)原理】
必備技巧 分類加法計(jì)數(shù)原理
(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．
(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．
(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏．
例1 (2022·濟(jì)南模擬)如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A．240 B．204 C．729 D．920
例2 (2022·青島模擬)若橢圓eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________．
【題型精練】
1. （2022·華師大二附中高三期中）從集合中任意選擇三個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（ ）個(gè)
A．98B．56C．84D．49
2．（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為( )
A．14 B．13
C．12 D．10
3．（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．
【題型二 分步乘法計(jì)數(shù)原理】
必備技巧 分步乘法計(jì)數(shù)原理
(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．
(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．
例3 (全國(guó)Ⅱ高考)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( )
A．24 B．18 C．12 D．9
例4 （2022·云南師大附中高三模擬）洛書，古稱龜書，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽(yáng)數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽(yáng)和為7，則這樣的四位數(shù)有___________個(gè)
例5 （2022·全國(guó)高三期末）（多選題）有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種
B．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種
C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種
D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有種
【題型精練】
1．（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）核糖核酸(縮寫為RNA)，存在于生物細(xì)胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體，RNA由核糖核苷酸經(jīng)磷酸二酯鍵縮合而成長(zhǎng)鏈狀分子，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都被一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，RNA的堿基主要有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，假設(shè)某一RNA分子由100個(gè)堿基組成，則不同的RNA分子的種數(shù)為( )
A．B．C．D．
2.（2022·安徽合肥一中高三開學(xué)考試）某校為了慶祝新中國(guó)成立70周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個(gè)節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個(gè)新節(jié)目需要加進(jìn)去，不改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（ ）種
A．165B．286C．990D．1716
3.（2022·湖南高三一模）從人中選出人參加某大學(xué)舉辦的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物比賽，每人只能參加其中一項(xiàng)，且每項(xiàng)比賽都有人參加，其中甲、乙兩人都不能參加化學(xué)比賽，則不同的參賽方案的種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【題型三 數(shù)字問(wèn)題】
必備技巧 利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．
(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．
(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，注意0的特殊性．
例6 （2022·青島二中高三課時(shí)練習(xí)）用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字．
（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？
（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？
（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
例7 （2022·煙臺(tái)高三模擬）用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)
【題型精練】
1．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）計(jì)算
（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)？
（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字可以重復(fù)的兩位數(shù)？
2.（2022·廣東高三模擬）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的
（1）密碼箱的四位密碼；
（2）比2000大的四位偶數(shù).
【題型四 涂色問(wèn)題】
必備技巧 涂色問(wèn)題的常用方法
（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;
（2）根據(jù)相對(duì)區(qū)域是否同色分類討論; 高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆

例8 （2022·福建泉州科技中學(xué)月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
例9 （2022·湖北車城高中高三月考）現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．720種B．1440種C．2880種D．4320種
【題型精練】
1．（2022·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）現(xiàn)用五種不同的顏色，要對(duì)如圖中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有__________種不同著色方法
2.（2022·濟(jì)北中學(xué)高三月考）如圖所示的，，，按照下列要求涂色．
（1）用3種不同顏色填涂圖中，，，四個(gè)區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？
（2）若恰好用3種不同顏色給，，，四個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？
（3）若有3種不同顏色，恰好用2種不同顏色涂完四個(gè)區(qū)域，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？
【題型五 幾何體問(wèn)題】
例10 （2022福建省部分名校高三聯(lián)合測(cè)評(píng)）(1)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
(2)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
【題型精練】
1.（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè).
2．（2022·濟(jì)南中學(xué)高三月考）過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有多少對(duì)？

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