【知識儲備】
1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)．
(2)分類：
(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系．
3．復(fù)數(shù)的運算
(1)運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(—→))＋eq \(OZ2,\s\up6(—→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(—→))＝eq \(OZ2,\s\up6(—→))－eq \(OZ1,\s\up6(—→)).
4．復(fù)數(shù)的三角形式
如圖的復(fù)平面中，r＝eq \r(a2＋b2)，cs θ＝eq \f(a,r)，sin θ＝eq \f(b,r)，tan θ＝eq \f(b,a)(a≠0)．
任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cs θ＋isin θ)的形式．我們把r(cs θ＋isin θ)叫做復(fù)數(shù)的三角形式．
對應(yīng)于復(fù)數(shù)的三角形式，把z＝a＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．
復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示：已知復(fù)數(shù)z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，則
z1·z2＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
【題型精講】
【題型一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念】
必備技巧 解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項
(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
例1 （2022·安徽淮北·一模）若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的虛部為B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限
C．D．的共軛復(fù)數(shù)為
【答案】D
【解析】.
的虛部為，故A錯誤；
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，故B錯誤；
，故C錯誤；
的共軛復(fù)數(shù)為，故D正確.
故選：D.
例2 （2022·安徽黃山·二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，
，故復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：A
例3 （2022·遼寧·二模）設(shè)（i為虛數(shù)單位），若為實數(shù)，則a的值為（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【解析】，
因為為實數(shù)，所以，解得.故選：A.
【題型精練】
1. （2022·浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，，下列選項中正確的是（ ）
A．若是純虛數(shù)，則這個純虛數(shù)為
B．若為實數(shù)，則
C．若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則
D．當時，
【答案】D
【解析】，
對于A：當是純虛數(shù)時，則且，解得，此時這個純虛數(shù)為，故A不正確；
對于B：當為實數(shù)時，則，解得，故B不正確；
對于C：當在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則，解得，故C不正確；
對于D：當時，，所以，故D正確，故選：D.
2．（2022·廣東茂名·二模）（多選）已知復(fù)數(shù)，，若為實數(shù)，則下列說法中正確的有（ ）
A．B．
C．為純虛數(shù)D．對應(yīng)的點位于第三象限
【答案】AC
【解析】因為為實數(shù)，所以，解得，
所以，，所以，故A正確，
，故B錯誤，
因為，所以，故C正確，
因為，所以，其對應(yīng)的點在第四象限，故D錯誤．
故選:AC．
3．（2022·江西鷹潭·一模）已知復(fù)數(shù)滿足 （其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】依題意，
，
所以的虛部為.
故選：C
4. （2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．
B．是純虛數(shù)
C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限
D．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在角的終邊上，則
【答案】D
【解析】由題設(shè)，且對應(yīng)點在第一象限，A、C錯誤；
不是純虛數(shù)，B錯誤；由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以，D正確.
故選：D
【題型二 復(fù)數(shù)的四則運算】
必備技巧 復(fù)數(shù)的四則運算
(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算．
(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．
例4 （2022·陜西·西安中學(xué)二模）若復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為
.
所以，故的虛部為.
故選：A
例5 （2022·河北·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，故選：C．
例6 （2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意， ， ，
；
故選：D.
【題型精練】
1．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題中為真命題的序號是______．
①； ②若，則；
③若，則； ④；
⑤，則； ⑥；
⑦兩個共軛復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù)；⑧若，則z必為實數(shù)．
【答案】①⑤⑧
【解析】①設(shè)，則，
所以①正確
②設(shè)，
，但與不能比較大小
所以②不正確
③設(shè)，，
則
所以③不正確
④設(shè)，
則，
所以④不正確
⑤設(shè)，
則，
⑥當，時，，
所以⑥不正確
⑦如果兩個復(fù)數(shù)是實數(shù)，差值也是實數(shù)，
所以⑦不正確
⑧設(shè)（，），則，
所以⑧正確
故答案為：①⑤⑧
2. （2021·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可得：.
故選：D.
3. （2022·江蘇·新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】因為，所以故選：D
4. （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知a，，i是虛數(shù)單位.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因，a，，則有，
所以.
故選：B
【題型三 復(fù)數(shù)的幾何意義】
必備技巧 復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq \(OZ,\s\up7(―→))；
(2)由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．
例7 （2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】，，
，
，則對應(yīng)的點為，位于第四象限.
故選：D.
例8 （2022江西省景德鎮(zhèn)一中月考）在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形的三個頂點，A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，(為虛數(shù)單位)，則點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題知，，，，設(shè).
則，.
因為為平行四邊形，所以.
由，解得，
所以點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
故選：A.
例9 （2022·貴州畢節(jié)·三模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，關(guān)于虛軸對稱的點為，
所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，即，
所以，.
故選：D
【題型精練】
1．（2022·全國·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，得，
則.
故選：A.
2. （2022·全國·模擬預(yù)測）已知點，，，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意知，，于是，
故選：C.
3. （2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)三模）設(shè)復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在直線上， 則的最小值為___________
【答案】9
【解析】
故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為 ，又因為點在直線
，整理得：
當且僅當 時，即 時等號成立，即的最小值為9
故答案為：9
【題型四 復(fù)數(shù)的?！?br>必備技巧 復(fù)數(shù)的模
1.復(fù)數(shù)的模：設(shè)eq \(OZ,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝a＋bi，則向量eq \(OZ,\s\up6(→))的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2.兩個復(fù)數(shù)的差的模的幾何意義
兩個復(fù)數(shù)的差的模的幾何意義是∶復(fù)平面內(nèi)與這兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點之間的距離.即設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是，則=
例10 （2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，∴解得∴.
故選：D
例11 （2022·河南開封·高三階段練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，且，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，表示點，
故復(fù)數(shù)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓.
故選：C
例12 （2022·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．5D．6
【答案】C
【解析】設(shè).則表示復(fù)平面點到點的距離為3.
則的最大值為點到的距離加上3.即.故選：C.
【題型精練】
1．（2022·陜西西安·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，
所以，
故選：B
2. （2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為復(fù)數(shù)z滿足，所以，
即，化簡得：，
故選：C
3. （2022·全國·高三專題練習(xí)）若z是復(fù)數(shù)，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，動點的軌跡可看作以為圓心，2為半徑的圓，
|z+1-i|+|z|可看作點P到和的距離之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知當P，A，O三點共線時，|z+1-i|+|z|取得最大值時，
且最大值為|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故選：D．
滿足條件(a，b為實數(shù))
復(fù)數(shù)的分類
a＋bi為實數(shù)?b＝0
a＋bi為虛數(shù)?b≠0
a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0

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