【知識儲備】
1.排列與排列數(shù)
（1）定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．
（2）排列數(shù)的公式：．
特例：當時，；規(guī)定：．
（3）排列數(shù)的性質：
①；②；③．
（4）解排列應用題的基本思路：
通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達形式本質是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數(shù)字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用．
2.組合與組合數(shù)
（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．
（2）組合數(shù)公式及其推導
求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：
第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；
第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；
根據(jù)分步計數(shù)原理，得到；
因此．
這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．
（3）組合數(shù)的主要性質：①；②．
（4）組合應用題的常見題型：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型
3. 解決排列、組合問題的十種技巧
(1)特殊元素、位置優(yōu)先法．
(2)相鄰問題捆綁法．
(3)不相鄰問題插空法．
(4)定序問題倍縮法．
(5)分排問題直排法．
(6)環(huán)排問題直排法
(7)至多、至少問題正難則反法
(8)不同元素平均分組倍除法
(9)相同元素分組分配隔板法
(10)“小集團”排列問題先整體后局部法．
【題型精講】
【題型一 10大技巧在排隊問題中的應用】
方法技巧 排列問題常用方法
1.簡單問題直接法：直接利用兩個計數(shù)原理，直接進行排列組合解答.
2.特殊元素(特殊位置)優(yōu)先法：優(yōu)先考慮一些特殊的元素和位置.
3.相鄰問題捆綁法：先把相鄰元素捆綁在一起，再進行排列.
4.不相鄰問題插空法：先把沒有位置要求的元素排列好，再排不相鄰的元素.
5.定序問題縮倍法（等概率問題縮倍法）先把所有的元素安排好，再縮小一定的倍數(shù).
6.至少問題間接法：一般先考慮全部的排法，再排除不滿足題意的排法.
例1 （2022·華師大二附中高三練習） 有7名同學，其中3名男生、4名女生，求在下列不同條件下的排法種數(shù)．
(1)選5人排成一排；
(2)全體站成一排，女生互不相鄰；
(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；
(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；
(5)男生順序已定，女生順序不定；
(6)站成三排，前排2名同學，中間排3名同學，后排2名同學，其中甲站在中間排的中間位置；
(7)7名同學站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；
(8)7名同學坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．
【題型精練】
1. （2022·華師大二附中高三期中）現(xiàn)有8個人男3女）站成一排.
(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
(2)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？
(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？
(4)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？
(5)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？
(8)第3和第6個排男生，有多少種不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？
(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？
2．（2022·全國高三課時練習）某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）
3．（2022·全國高三課時練習）十進制的算籌計數(shù)法是中國數(shù)學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)字1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)用6根算籌表示不含0的無重復數(shù)字的三位數(shù)，算籌不能剩余，則這個三位數(shù)能被3整除的概率為（ ）
A．B．C．D．
4. （2022·汕頭模擬）2022年北京冬季奧運會期間，從3名男志愿者和2名女志愿者中選4名去支援“冰壺”“花樣滑冰”“短道速滑”三項比賽志愿者工作，其中冰壺項目需要一男一女兩名，花樣滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．則不同的支援方法的種數(shù)是（ ）
A．36B．24C．18D．42
【題型二 10大技巧在數(shù)字問題中的應用】
例2 （2022·云南師大附中高三模擬）用0、1、2、3、4五個數(shù)字:
(1)可組成多少個五位數(shù)；
(2)可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)；
(3)可組成多少個無重復數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；
(4)可組成多少個無重復數(shù)字的五位奇數(shù)．
【題型精練】
1．（2022·石家莊模擬）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數(shù)字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以適當?shù)姆绞饺糠湃胗颐娴谋砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）.
A．8B．12C．16D．20
2. 用1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù).
（1）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個數(shù)；
（2）在組成的四位數(shù)中，求大于2000的自然數(shù)個數(shù)；
（3）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù).
【題型三 10大技巧在組合問題中的應用】
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?br>(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
例3 （2022·青島二中高三課時練習）男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名．現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)男運動員3名，女運動員2名；
(2)至少有1名女運動員；
(3)隊長中至少有1人參加；
(4)既要有隊長，又要有女運動員．
【題型精練】
1．（2022·高三課時練習）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人．現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核．
（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；
（Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
2.（2022·廣東高三模擬）若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中同時取3個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，則不同的取法共有（ ）
A．36種B．40種C．44種D．48種
3. （2022·浙江高三模擬）現(xiàn)準備將6本不同的書全部分配給5個不同的班級，其中甲乙兩個班級每個班至少2本，其他班級允許1本也沒有，則不同的分配方案有________種.(用數(shù)字作答)
【題型四 10大技巧在分組分配問題中的應用】
必備技巧 分組、分配問題的求解策略
1．對不同元素的分配問題
(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù)．
(2)對于部分均分，解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．
(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
2．對于相同元素的“分配”問題，常用方法是采用“隔板法”．
例4 （2022·福建泉州科技中學月考）按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
例5 （2022·湖北車城高中高三月考）按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（列式并用數(shù)字作答）
（1）5個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少放一個小球；
（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．
【題型精練】
1．（2022·常州市新橋高級中學高三模擬）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.為了表彰 ? 兩個志愿者小組，組委會決定將3個不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配給 ? 兩個小組，要求每個小組至少有一個“冰墩墩”，則這6個吉祥物的分配方法種數(shù)為（ ）
A．9B．18C．19D．20
2.（2022·濟北中學高三月考）將4個編號為1、2、3、4的不同小球全部放入4個編號為1、2、3、4的4個不同盒子中.求：
（1）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？
（2）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？
（3）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？
（4）把已知中4個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？
【題型五 10大技巧在幾何問題中的應用】
例6 （2022福建省部分名校高三聯(lián)合測評）如圖，的邊上有四點、、、，上有三點、、，則以、、、、、、、中三點為頂點的三角形的個數(shù)為（ ）
A．B．
C．D．
【題型精練】
1.（2022·全國高三課時練習）以長方體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出2個三角形，則這2個三角形不共面的情兄有（ ）種
A．1480B．1468C．1516D．1492
2．（2022·濟南中學高三月考）以一個正方體的頂點為頂點的四面體的個數(shù)為( )
A．70B．64C．58D．52
【題型六 10大技巧在染色問題中的應用】
例7 （2022·浙江模擬）給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（ ）種不同的染色方案.
A．96B．144C．240D．360
【題型精練】
1.（2022·全國高三課時練習）隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅、黃、藍、綠、黑這5種顏色供選擇，則“任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中月考）如圖所示，積木拼盤由，，，，五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：與為相鄰區(qū)域，與為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是（ ）
A．780B．840C．900D．960
3. （2022·廣東·揭陽市榕城區(qū)仙橋中學）現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．720種B．1440種C．2880種D．4320種
【題型七 10大技巧在方程問題中的應用】
例8 （2022·浙江模擬）方程的正整數(shù)解共有（ ）組
A．165B．120C．38D．35
【題型精練】
1.（2022·全國高三課時練習）方程的正整數(shù)解的個數(shù)__________.

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