第2講　數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用(文理)
1 解題策略 · 明方向
2 考點分類 · 析重點
3 易錯清零 · 免失誤
4 真題回放 · 悟高考
5 預(yù)測演練 · 巧押題
01 解題策略 · 明方向
1．高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求數(shù)列的前n項和，難度中等偏下．2．在考查數(shù)列求和的同時，將數(shù)列與函數(shù)、不等式交匯滲透．
02 考點分類 · 析重點
考點一　數(shù)列的通項公式
考點二　數(shù)列的求和問題
裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，從而達到在求和時某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列{an}的通項公式，使之符合裂項相消的條件．
考向2　錯位相減法求和(2020·百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a4＝9，a2a3＝8．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{n·Sn}的前n項和Tn.
應(yīng)用錯位相減法求和的關(guān)注點(1)錯位相減法適用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列．(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式．
(3)公差d大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7－a13＝1，可得2a1＋12d－(a1＋12d)＝1，即a1＝1，由a1，a3－1，a6＋5成等比數(shù)列，可得(a3－1)2＝a1(a6＋5)，即為(1＋2d－1)2＝1＋5d＋5，解得d＝2(負值舍去)，則an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*，所以數(shù)列{(－1)n－1an}的前21項和為a1－a2＋a3－a4＋…＋a19－a20＋a21＝1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21．
(1)以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．(2)以數(shù)列為背景的不等式證明問題，多與數(shù)列求和有關(guān)，常轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的最值問題，同時要注意比較法、放縮法、基本不等式的應(yīng)用．(3)如果是解不等式，注意因式分解的應(yīng)用．(4)當(dāng)已知數(shù)列關(guān)系式時，需要知道其范圍時，可借助數(shù)列的單調(diào)性，即比較相鄰兩項的大小即可．
考點三　與數(shù)列相關(guān)的綜合問題
1．求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題注意兩點：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集(或它的有限子集)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視．(2)解題時準確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件．2．?dāng)?shù)列為背景的不等式恒成立、不等式證明，多與數(shù)列的求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性處理．
03 易錯清零 · 免失誤
1．忽視等比數(shù)列中的隱含條件致誤各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S30＝70，則S40＝______.【錯解】　150或－200【剖析】　數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q10>0．忽略了此隱含條件，就產(chǎn)生了增解－200．
【解析】　(1)因為點(an＋1，Sn)在直線y＝x－2上，所以an＋1＝2＋Sn(n∈N*)．①當(dāng)n≥2時，an＝2＋Sn－1．②①－②，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)．當(dāng)n＝1時，a2＝2＋S1＝2＋a1，所以a2＝4，則a2＝2a1．綜上，an＋1＝2an(n∈N*)．所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n(n∈N*)．
3．用錯位相減法求和時對項的位置處理不當(dāng)(2020·合肥一中10月月考)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝20，a2＋a4＝10．(1)令Tn＝a1a2a3…an，求Tn的最大值；(2)令bn＝lg2an，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn.
【剖析】　運用錯位相減法求和的一般步驟為：一是判斷模型，如本題中數(shù)列{an}，{bn}一個為等比數(shù)列，一個為等差數(shù)列；二是錯開位置，如本題的②式，向右錯開一個位置來書寫，這樣為兩式相減不會看錯項做準備；三是相減，如本題中相減時要注意②式中的最后一項的符號，學(xué)生常在此處出錯，一定要小心．
04 真題回放 · 悟高考
1．(理)(2020·全國卷Ⅱ卷)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝(　　)A．2　　B．3　C．4　　D．5
2．(2020·全國卷Ⅰ卷)數(shù)列{an}滿足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16項和為540，則a1＝____.【解析】　an＋2＋(－1)nan＝3n－1，當(dāng)n為奇數(shù)時，an＋2＝an＋3n－1；當(dāng)n為偶數(shù)時，an＋2＋an＝3n－1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，
S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5…＋a15＋(a2＋a4)＋…(a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，∴a1＝7．
3．(文)(2020·全國卷Ⅱ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝_____.【解析】　∵{an}是等差數(shù)列，且a1＝－2，a2＋a6＝2設(shè){an}等差數(shù)列的公差d根據(jù)等差數(shù)列通項公式：an＝a1＋(n－1)d可得a1＋d＋a1＋5d＝2即：－2＋d＋(－2)＋5d＝2整理可得：6d＝6
4．(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝_______.
5．(2019·全國卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝______.
6．(理)(2020·全國卷Ⅰ卷)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項和．【解析】　(1)設(shè){an}的公比為q，a1為a2，a3的等差中項，∵2a1＝a2＋a3，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，∵q≠1，∴q＝－2．
7．(理)(2020·全國卷Ⅲ卷)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn.【解析】　(1)由題意可得a2＝3a1－4＝9－4＝5，a3＝3a2－8＝15－8＝7，由數(shù)列{an}的前三項可猜想數(shù)列{an}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，即an＝2n＋1，
證明如下：當(dāng)n＝1時，a1＝3成立；假設(shè)n＝k時，ak＝2k＋1成立．那么n＝k＋1時，ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1也成立．則對任意的n∈N*，都有an＝2n＋1成立．
8．(2019·全國卷Ⅱ)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16．(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝lg2an，求數(shù)列{bn}的前n項和．【解析】　(1)設(shè){an}的公比為q(q>0)，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0．解得q＝－2(舍去)或q＝4．因此{an}的通項公式為an＝2×4n－1＝22n－1．
9．(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S9＝－a5．(1)若a3＝4，求{an}的通項公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．

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