專(zhuān)題三　微拓展　數(shù)列中的新定義問(wèn)題 -2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課件（含練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

隨著高考改革的不斷推進(jìn)，解答題中壓軸題越來(lái)越新穎，在各地的模擬題中，新定義數(shù)列題型出現(xiàn)的越來(lái)越多，常以新定義、新運(yùn)算和新構(gòu)造形式呈現(xiàn)，有時(shí)還伴隨著數(shù)列與集合，難度較大.
數(shù)列中的新定義、新運(yùn)算問(wèn)題
　(2024·武漢模擬)對(duì)于數(shù)列{an}，如果存在等差數(shù)列{bn}和等比數(shù)列{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)，則稱(chēng)數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的.(1)證明：如果{an}是等差數(shù)列，則{an}是“優(yōu)分解”的；
(2)記Δan=an+1-an，Δ2an=Δan+1-Δan(n∈N*)，證明：如果數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的，則Δ2an=0(n∈N*)或數(shù)列{Δ2an}是等比數(shù)列；
(3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，如果{an}和{Sn}都是“優(yōu)分解”的，并且a1=3，a2=4，a3=6，求{an}的通項(xiàng)公式.
遇到新定義、新運(yùn)算問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義、新運(yùn)算的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義、新運(yùn)算的要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以解決，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.
(2)若數(shù)列{ln cn}為m階等差數(shù)列，求證：{cn}為m階等比數(shù)列；
(3)若數(shù)列{ln cn}既是m階等差數(shù)列，又是m+1階等差數(shù)列，證明：{cn}是等比數(shù)列.
新情境題型或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情境，應(yīng)耐心讀題，在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息遷移，達(dá)到靈活解題的目的.
(2024·江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考)隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代來(lái)臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問(wèn)題引起了人們的高度關(guān)注，國(guó)際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有AES，DES，RSA等，不同算法密鑰長(zhǎng)度也不同，其中RSA的密鑰長(zhǎng)度較長(zhǎng)，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用.設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱(chēng)p，q互素.對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過(guò)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為φ(n).(1)試求φ(1)+φ(9)，φ(7)+φ(21)的值；
(2)設(shè)p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，試用p，k表示φ(pk)(k∈N*)，并探究φ(pq)與φ(p)和φ(q)的關(guān)系；
1.(2024·黃山統(tǒng)考)北宋數(shù)學(xué)家沈括博學(xué)多才、善于觀察.據(jù)說(shuō)有一天，他走進(jìn)一家酒館，看見(jiàn)一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”，沈括“用芻童(長(zhǎng)方臺(tái))法求之，常失于數(shù)少”，他認(rèn)為堆積的酒壇、棋子等雖然看起來(lái)像實(shí)體，但中間是有空隙的，應(yīng)該把他們看成離散的量.經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，沈括提出對(duì)上底有ab個(gè)，下底有cd個(gè)，共n層的堆積物(如圖)，
2.設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a1，a2，…，an為n(n=2，3，4，…)階“曼德拉數(shù)列”：①a1+a2+a3+…+an=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1.(1)若某2k(k∈N*)階“曼德拉數(shù)列”{an}是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式(1≤n≤2k，用k，n表示)；
(2)若某2k+1(k∈N*)階“曼德拉數(shù)列”{an}是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式(1≤n≤2k+1，用k，n表示)；

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