感悟高考 明確備考方向
1.[數(shù)列求和](多選題)(2021·新高考Ⅱ卷, T12)設正整數(shù)n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},記ω(n)=a0+a1+…+ak,則(　 　)A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1C.ω(8n+5)=ω(4n+3)D.ω(2n-1)=n
解析:對于A選項,ω(n)=a0+a1+…+ak,2n=a0×21+a1×22+…+ak-1×2k+ak×2k+1,所以ω(2n)=a0+a1+…+ak=ω(n),A選項正確;對于B選項,取n=2,2n+3=7=1×20+1×21+1×22,所以ω(7)=3,而2=0×20+1×21,則ω(2)=1,即ω(7)≠ω(2)+1,B選項錯誤;對于C選項,8n+5=a0×23+a1×24+…+ak×2k+3+5=1×20+1×22+a0×23+a1×24+…+ak×2k+3,所以ω(8n+5)=2+a0+a1+…+ak,4n+3=a0×22+a1×23+…+ak×2k+2+3=1×20+1×21+a0×22+a1×23+…+ak×2k+2,所以ω(4n+3)=2+a0+a1+…+ak,因此,ω(8n+5)=ω(4n+3),C選項正確;對于D選項,2n-1=20+21+…+2n-1,故ω(2n-1)=n,D選項正確.故選ACD.
2.[數(shù)列求和](2020·新高考Ⅰ卷,T14)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為　　　　.?
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
高考對數(shù)列求和主要考查分組轉化、錯位相減、裂項相消等方法,難度為中等偏下,有時也常與函數(shù)、不等式等交匯命題.以解答題為主,也有選擇題、填空題,難度中等.
突破熱點 提升關鍵能力
熱點一　分組轉化法求和
分組求和的策略:(1)若數(shù)列{cn}的通項公式為cn=an±bn,且{an},{bn}為等差數(shù)列或等比數(shù)列,則可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和.
(3)若數(shù)列的通項公式中有(-1)n等特征,根據(jù)正號、負號分組求和.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
分組轉化法求和的關鍵是將數(shù)列通項轉化為若干個可求和的數(shù)列通項的和或差,常見錯誤為不能準確分組或不分奇數(shù)項與偶數(shù)項.
熱點訓練1　(2022·山東煙臺一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a4=9,S3=15.(1)求{an}的通項公式;
解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知得a1+3d=9,3a1+3d=15,解得a1=3,d=2,所以an=2n+1,n∈N*.
熱點訓練1　(2022·山東煙臺一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a4=9,S3=15.
(2)保持數(shù)列{an}中各項先后順序不變,在ak與ak+1(k=1,2,…)之間插入2k個1,使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列{bn},記{bn}的前n項和為Tn,求T100的值.
熱點二　裂項相消法求和
裂項相消法就是把數(shù)列的每一項分解,使得相加后項與項之間能夠相互抵消,但在抵消的過程中,有的是依次項抵消,有的是間隔項抵消.常見的裂項方式有
(1)求{an}的通項公式;
裂項相消法的基本思路是將通項拆分,可以產(chǎn)生相互抵消的項.需注意抵消后并不一定只剩下首尾兩項,也有可能前面剩兩項,后面剩兩項或者前面剩幾項,后面剩幾項.
熱點三　錯位相減法求和
如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,那么求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn時,可采用錯位相減法.用錯位相減法求和時,應注意:(1)等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”和“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便準確寫出“Sn-qSn”的表達式.
典例3　(2022·山東濟南一中模擬預測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且Sn=2Sn-1+n(n≥2,n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
解:(1)由Sn=2Sn-1+n(n≥2,n∈N*),得Sn+1=2Sn+n+1,作差得an+1=2an+1,即an+1+1=2(an+1)(n≥2,n∈N*).又a1=1,由S2=a1+a2=2a1+2,得a2=3,所以a2+1=4=2(a1+1),所以數(shù)列{an+1}是以2為公比和首項的等比數(shù)列,所以an+1=2×2n-1=2n, 所以an=2n-1.故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1(n∈N*).
典例3　(2022·山東濟南一中模擬預測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且Sn=2Sn-1+n(n≥2,n∈N*).(2)設bn=(2n-1)(an+1),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
錯位相減法求和需要兩邊先同時乘等比數(shù)列的公比再錯位相減,常見錯誤有符號錯誤或不能準確“錯項對齊”.
熱點訓練3　 (2022·山東濰坊一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,S3=a3+6.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
解:(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q,由a1=2,S3=a3+6,得a1(1+q+q2)=6+q2a1,解得q=2,所以an=2n(n∈N*).
熱點訓練3　 (2022·山東濰坊一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,S3=a3+6.
(2)設bn=lg2an,求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.
熱點四　與數(shù)列相關的綜合問題
數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考命題的一個方向,此類問題突破的關鍵在于通過函數(shù)關系尋找數(shù)列的遞推關系,求出數(shù)列的通項公式或前n項和公式,再利用數(shù)列或數(shù)列對應的函數(shù)解決最值、范圍問題,通過放縮進行不等式的證明.
(1)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題要注意兩點:(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),其定義域是正整數(shù)集(或它的有限子集),在求解數(shù)列最值或不等關系時要特別注意.(2)解題時準確構造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件.

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