大題仿真卷05（A組+B組+C組）
（模式：5道解答題 滿分：78分 限時：70分鐘）
一、解答題
1．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，且，，且.
(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)為的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）由已知可得，結(jié)合，可得平面，再結(jié)合面面垂直的判定定理即可證結(jié)論.
（2）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量法可求平面與平面所成銳二面角的大小.
【解析】（1）取中點，連接、.
因為，所以，所以，
因為底面是邊長為2的菱形，且，
所以是等邊三角形，所以且，
又，，所以，所以.
又由于，且、AD是平面上的兩條相交直線，
故平面.
又由于平面，
所以平面平面.
（2）以為坐標(biāo)原點，、、為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則P0,0,1，A1,0,0，，，，
進(jìn)而有.
于是，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量.
又平面的一個法向量，
故，
因此平面與平面所成銳二面角的大小為.
2．已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值；
(2)已知關(guān)于x的方程在上有解，求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由f-x=fx可構(gòu)造方程求得的值；
（2）利用換元法令，從而得到方程在時有解，再分參數(shù)，求出右邊的值域即可.
【解析】（1）由偶函數(shù)定義知：f-x=fx，
即，.
（2）由（1）知，
，即，
即，令，則，
則方程在時有解，
則，令，，則.
3．2024年法國奧運會落下帷幕．某平臺為了解觀眾對本次奧運會的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對本屆奧運會的滿意度評分（滿分100分），平臺將評分分為共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．
(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數(shù)；
(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概率；
(3)已知這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差．
【答案】(1)
(2)
(3)這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，.
【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可；
（2）先求出的人數(shù)，利用對立事件結(jié)合古典概型求解即可；
（3）根據(jù)題意利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式運算求解.
【解析】（1）∵，
∴第35百分位數(shù)為第兩個數(shù)的平方數(shù)
（2）由圖1可知，圖2中有2人，
所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分設(shè)為事件，
所以.
（3）由題意可知：落在的頻率為，落在的頻率為，
因為這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，
位于上的均值為73，方差為134.6，
所以，
設(shè)這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，
所以，解得：，
，
解得：.
這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，.
4．在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右焦點為.
(1)若直線與軸相交于點，到直線的距離為，求；
(2)若，點為橢圓上的任意一點，設(shè)橢圓的上、下頂點分別為 ,記的面積為，的面積為,若,求的取值范圍；
(3)若，過點的直線與橢圓交于兩點（在的上方），線段上存在點，使得，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】小問1：使用點到直線的距離公式結(jié)合向量的數(shù)量積求解，
小問2：表示出三角形的面積，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程代入消元求解出相應(yīng)的變量的范圍，進(jìn)而求出的范圍,
小問3：首先設(shè)直線的方程，再設(shè)，，利用條件結(jié)合韋達(dá)定理將的橫坐標(biāo)用斜率表示出來，再將代入直線方程，求出和斜率的關(guān)系，進(jìn)而利用斜率,求出滿足的直線方程，然后根據(jù)直線的斜率不存在時，，
由，解出，滿足斜率存在時的直線方程，最后利用將軍飲馬的思路，求對稱點求出的最小值.
【解析】（1）由已知，因為，
所以到直線的距離，所以，所以，
又因為，所以，；
（2）當(dāng)時，，則，
設(shè)，則，，
因為，所以，即，又因為，所以，
所以，所以，,
所以的范圍是；
（3）顯然點在橢圓外，設(shè)，，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去，化簡得，
則 由，
得，所以或，由，可得，
解得，
消去可得，
當(dāng)直線的斜率不存在時，，
由，可得滿足方程，
所以點滿足直線，且位于橢圓的內(nèi)部，設(shè)F21,0關(guān)于直線的對稱點為，則 ，
又F1-1,0，所以，
當(dāng)在橢圓內(nèi)部，滿足要求，所以的最小值為．
【點睛】在第三小問中利用直線的斜率為“橋梁”求解出點滿足的直線方程是解決這一問題的關(guān)鍵點.
5．對于集合且，定義且.集合A中的元素個數(shù)記為，當(dāng)時，稱集合A具有性質(zhì).
(1)判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；
(2)設(shè)集合，且具有性質(zhì)，若中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，求的值；
(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，問：集合A中的元素個數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)，理由見解析
(2)的值分別為4，5或5，9
(3)存在最大值，最大值為4
【分析】（1）根據(jù)集合A具有性質(zhì)的定義進(jìn)行判斷，可得答案；
（2）寫出中的所有元素，分類討論，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列出相應(yīng)的方程組，解得答案；
（3）一數(shù)列新定義得在集合中，，得到，由此分類討論，可確定n的取值，可得答案.
【解析】（1），故集合具有性質(zhì).
故集合不具有性質(zhì)
（2）因集合具有性質(zhì)，
故.
（i）若，
則 ,解得 ,
經(jīng)檢驗，符合題意，故的值分別為4，5.
（ii）若，
則 ,解得,
經(jīng)檢驗，符合題意，故的值分別為5，9.
（3）不妨設(shè)，
則在集合中，.
又中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，
則，
即，故.
當(dāng)時，是集合A中互不相同的4項，
從而，與集合A具有性質(zhì)矛盾.
當(dāng)時，，即成等差數(shù)列，且公差也為，
故中的元素從小到大的前三項為，
且第四項只能是或.
（i）若第四項為，則，從而，
于是，故，與集合A具有性質(zhì)矛盾.
（ii）若第四項為，則，故.
另一方面，，即.
于是，
故，與集合具有性質(zhì)矛盾.
因此，.
由（2）知，時，存在集合A具有性質(zhì)，
故集合中的元素個數(shù)存在最大值，最大值為4.
【點睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題，綜合考查了學(xué)生的閱讀理解接受并理解新信息的能力，解答的關(guān)鍵是理解新定義的含義并能依此解決問題，其中還要注意分類討論與整合的思想方法.
一、解答題
1．如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑，，為半圓弧的中點.若異面直線和所成角的大小為，求:
(1)該幾何體的體積；
(2)直線和所成角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運算根據(jù)直線和所成角的大小為 ，求出幾何體的高，進(jìn)而可求體積；
（2）利用向量的坐標(biāo)運算證明直線和垂直，即可求解.
【解析】（1）連接，由題意得關(guān)于平面對稱，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，
所以，
因為異面直線和所成角的大小為，
所以，解得，
；
（2），
因為，
所以直線和所成角的大小為.
2．已知函數(shù)，
（1）若，求；
（2）如果關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍
【答案】（1）或，；（2）
【分析】（1）化簡得到，計算解得答案.
（2），畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像得到答案.
【解析】（1）
或，故或，
（2）設(shè)
則
畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：或或
即
【點睛】本題考查了三角函數(shù)求值，函數(shù)的零點問題，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.
3．為了了解廣大消費者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性，某汽車APP采用問卷調(diào)查形式對400名消費者進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的4倍.
(1)完善2×2列聯(lián)表，請根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析消費者對新能源車和燃油車的意向購買與年齡是否有關(guān)；
(2)采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購買新能源車的消費者中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取5人，求這5人中青年人數(shù)的分布和期望.
附：，.
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)題意分別求出愿意購買新能源車的中年人數(shù)和青年人數(shù)以及愿意購買燃油車中年人數(shù)和青年人數(shù)，即可補(bǔ)全列聯(lián)表，再根據(jù)公式計算出，根據(jù)表格即可判斷；
（2）先求出抽取9人中青年人數(shù)和中年人數(shù)，求出青年人數(shù)的可能取值及其對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可求解.
【解析】（1）中老年共有150人，且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍，
所以愿意購買新能源車的中老年人數(shù)為100人，愿意購買燃油車的中老年人數(shù)為50人，
青年共有250人，愿意購買新能源車是愿意購買燃油車的4倍，
所以青年中愿意購買新能源車為200人，愿意購買燃油車為50人，
故2×2列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：消費者購買新能源車和燃油車的意向與年齡無關(guān)，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認(rèn)為消費者購買新能源車和燃油車的意向與年齡有關(guān)；
（2）愿意購買新能源車的共有300人，青年人與中老年人的比例為，
所以分層隨機(jī)抽樣抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，記這5人中，
青年的人數(shù)為，則的可能取值為，
，
.
所以的分布列如下：
則，
所以這5人中青年人數(shù)的期望為.
4．已知橢圓的下頂點為，右焦點為，離心率為，是橢圓上一動點，當(dāng)直線經(jīng)過點時，原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線與圓相交于點（異于點），關(guān)于的對稱點記為，直線與橢圓相交于點（異于點）.
①若，求的面積；
②設(shè)直線、的斜率分別為、，試探究是否為定值，并說明理由.
【答案】(1)
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）運用橢圓的離心率公式以及點到直線的距離公式，解方程可得，，，進(jìn)而得到所求橢圓方程；
（2）①設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得的坐標(biāo)，聯(lián)立圓方程可得的坐標(biāo)，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，求得的坐標(biāo)，由可得，求得，坐標(biāo)，以及，，由的面積為，計算可得；②運用兩點的斜率公式，分別計算線的斜率為，直線的斜率為，即可得證.
【解析】（1）據(jù)題意，橢圓的離心率為，即.
當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的方程為，即，
由原點到直線的距離為，可知，即.
聯(lián)立可得，，，故.
所以橢圓的方程為.
（2）①據(jù)題意，直線的斜率存在，且不為0，
設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
聯(lián)立，整理可得，
所以或.
所以點的坐標(biāo)為，
聯(lián)立和，
整理可得，所以或.
所以點的坐標(biāo)為.
顯然，是圓的直徑，故，
所以直線的方程為.
用代替，得點的坐標(biāo)為，
即.
①由可得，，
即，解得.
根據(jù)圖形的對稱性，不妨取，
則點，的坐標(biāo)分別為，，
故，.
所以的面積為.
②直線的斜率，
直線的斜率.
所以為定值，得證.
【點睛】知識點點睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，以及直線與圓的方程聯(lián)立，解方程求交點，考查直線的斜率公式的運用以及“設(shè)而不求，整體代換的思想”，化簡整理的運算能力，計算量較大，屬于中檔題．
5．已知為實數(shù)，．對于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．
(1)若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；
(2)證明：若為的“正向數(shù)組”，則對任意，都有；
(3)已知對任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．
【答案】(1)不是的“正向數(shù)組”；
(2)證明見解析；
(3)的取值范圍是.
【分析】（1）代入有，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到的正負(fù)時不同取值情況即可；
（2）假設(shè)存在,使得,通過正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對任意恒成立，設(shè)，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立；
（3）代入有恒成立或恒成立，設(shè)，求出是的最大值或最小值時的取值范圍即可.
【解析】（1）若，，
對，即，
而當(dāng)，時，
，，
即，不滿足題意.
所以不是的“正向數(shù)組”.
（2）反證法:假設(shè)存在,使得,
為的“正向數(shù)組”，
對任意,都有.
對任意恒成立.
令，則在上恒成立，
，
設(shè)，
，
則當(dāng)時，在上為負(fù)，在上為正，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，當(dāng)，，當(dāng)，，
即存在，使在上為正，在上為負(fù)，在上為正，
所以Fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)，，當(dāng)，，則Fx的值域為；
若，，F(xiàn)x在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)，，當(dāng)，，則Fx的值域為.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)，，當(dāng)，，
必存在，使在上為負(fù)，在上為正，
所以Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)，，當(dāng)，，則Fx的值域為.
由值域可看出，與在上恒成立矛盾.
對任意，都有.
（3）都是的“正向數(shù)組”，
對任意，，都有，
則恒成立或恒成立，
即恒成立或恒成立，
設(shè)，
則，
即是的最大值或最小值.
，
且.
當(dāng)時，由（2）可得，的值域為，無最大值或最小值；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
又，則在上為負(fù)，在上為正，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則是的最小值，滿足，
此時對任意，，都有
.
的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第2問的關(guān)鍵是運用反證法，通過函數(shù)的圖象與性質(zhì)推理出與假設(shè)矛盾的結(jié)論，最后即得到證明；本題第3問的關(guān)鍵是理解“正向數(shù)組”的變形推理得到恒成立或恒成立，并構(gòu)造函數(shù)，得到是的最大值或最小值，最后結(jié)合前面的證明得到結(jié)果.
一、解答題
1．已知在中，角所對的邊分別為，且滿足，；
(1)求角的值；
(2)若的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用兩角和差的余弦公式化簡得，再根據(jù)題中條件利用正弦定理進(jìn)行化簡求出，最后根據(jù)角的大小關(guān)系，確定角的值；
（2）由，，借助余弦定理求出，即為等腰直角三角形，再根據(jù)的面積為，求出的值，即可得到的的周長.
【解析】（1）由題意得：，
即：，
，，
又，因此，
因為，因此，故為銳角，
因此；
（2）由，，
則由余弦定理：，得：，
因此可得：，，因此，為等腰直角三角形，
又得：，
因此，的周長為.
2．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是線段的中點，.
(1)求證：；
(2)設(shè)，在線段上是否存在點（異于點），使得二面角的大小為.
【答案】(1)證明見解析
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)余弦定理計算，根據(jù)勾股定理得到，確定平面，得到證明.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.
【解析】（1），故，
，則，故，
又，平面，，故平面，
平面，故，

（2）△和△所在的平面互相垂直，則平面平面，
且平面，故平面，
如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
取得到，
則，解得，不滿足題意.
綜上所述：不存在點，使二面角的大小為.
3．為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對原點的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值.（表中）
(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點的距離的回歸方程類型？
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：
（i）建立關(guān)于的回歸方程；
（ii）樣本對原點的距離時，金屬含量的預(yù)報值是多少？
(3)已知該金屬在距離原點米時的平均開采成本（單位：元）與關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時，開采成本最大？
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
(3)10
【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出相對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，即可判斷；
（2）（i）由（1）及所給數(shù)據(jù)求出、，即可得到回歸方程；（ii）將代入計算即可；
（3）依題意，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值點，從而得解.
【解析】（1）因為的線性相關(guān)系數(shù)，
的線性相關(guān)系數(shù)，
，
更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點的距離的回歸方程類型.
（2）（i）依題意，可得，
，
，關(guān)于的回歸方程為.
（ii）當(dāng)時，金屬含量的預(yù)報值為.
（3）因為，
令，則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
在處取得極大值，也是最大值，此時取得最大值，
故為10時，開采成本最大.
4．已知雙曲線的右頂點為是雙曲線上兩點，過作斜率為的直線，與雙曲線只有點這一個交點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若是以為直角頂點的等腰直角三角形，求的面積；
(3)已知點和雙曲線上兩動點，滿足，過點作于點，證明：點在一個定圓上，并求定圓的方程.
【答案】(1)
(2)144
(3)證明見解析，
【分析】（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)和斜率可得方程；
（2）利用弦長公式得出，結(jié)合垂直關(guān)系可得，利用可求斜率，進(jìn)而可得三角形的面積；
（3）設(shè)出的方程，結(jié)合垂直關(guān)系，得出過定點，進(jìn)而可證結(jié)論.
【解析】（1）因為右頂點為，所以，
又因為過斜率為的直線與雙曲線只有點這一個交點，
所以，即，所以方程為.
（2）由題意可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)，則，
聯(lián)立，，
，，
設(shè)，則，
，
利用代換可得，
由題意，，
整理得，，
，因為，所以，即，
此時，所以的面積為.
（3）若直線的斜率為0，設(shè)，則，解得，
不妨設(shè)，則;
因為，所以，解得或（舍）.
若直線的斜率不為0，設(shè)，;
，，
，，
，
，
，
，
因為，所以，即，
，
整理得，即，
即或，
當(dāng)時，過點，舍去；
當(dāng)時，，此時過定點；
綜上可知直線恒過定點.
因為，所以點一定在以為直徑的圓上，
定圓的圓心為，半徑為，所以方程為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩點：一是等腰直角三角形條件的轉(zhuǎn)化，利用垂直和相等得出弦長；二是第三問中在定圓上的問題轉(zhuǎn)化為直線恒過定點的問題.
5．設(shè)函數(shù)的定義域為開區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．
(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；
(2)設(shè)，求證：存在無窮多條“切線”；
(3)設(shè)，求證：對任意實數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”
【答案】(1)是，理由見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）記，設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再證明直線與的圖象只有唯一的公共點，將與函數(shù)聯(lián)立，得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解．
（2）將點處的切線的方程與聯(lián)立得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)存在唯一零點，即可得證；
（3）類似第（2）問的思路得到在上有且僅有一解，則或，再分、兩種情況說明即可.
【解析】（1）記，則，設(shè)切點為，
由切線方程為知，則，解得．
所以切點為，下面證明直線與的圖象只有唯一的公共點，
將與函數(shù)聯(lián)立，得．
記，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
故函數(shù)只有一個零點，故是一條“切線”；
（2）因為，所以，
則點處的切線方程為，
將點處的切線的方程與聯(lián)立得，
記，
則直線為“切線”函數(shù)有且僅有一個零點（此時，一個對應(yīng)一條“切線”），顯然是的零點，
故只要沒其它零點，此時，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故此時為唯一的極小值點（也是最小值點），而，
故無其他零點，故直線為“切線”，因為的任意性，
故函數(shù)存在無窮多條“切線”，
（3）因為，則，
設(shè)點在函數(shù)的圖象上，
則點的切線為，與聯(lián)立得：
，
由題意得直線為“切線”，故方程在上有且僅有一解，
則或，
若，則是方程的唯一解（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標(biāo)為上的任意值）．
若，則（此時只有一條“切線”，切點的橫坐標(biāo)為）
或（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標(biāo)為上的任意值），
綜上，，即證．
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于新定義問題的關(guān)鍵是理解定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解問題.
年齡段
購車意向
合計
愿意購買新能源車
愿意購買燃油車
青年
中老年
合計
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年齡段
購車意向
合計
愿意購買新能源車
愿意購買燃油車
青年
200
50
250
中老年
100
50
150
合計
300
100
400
X
2
3
4
5
P
6
60

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