上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行線的概念和畫法，這節(jié)課我們來研究如何判定兩條直線是不是平行線.
學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1．學(xué)會(huì)并記住平行線的判定方法 1、2、3. 2．能運(yùn)用平行線的判定方法進(jìn)行簡單的推理論證.
　如何判斷兩條直線是否平行？（1） 根據(jù)定義. （2） 根據(jù)平行公理的推論.
平行線的判定方法 1、2、3
你還記得如何用直尺和三角尺畫平行線嗎？
判定方法1 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.
簡單說成：同位角相等，兩直線平行.
同位角相等，兩直線平行.
如圖，你能說出木工用圖中的角尺畫平行線的道理嗎？
如果兩條直線被第三條直線所截，那么能否利用內(nèi)錯(cuò)角來判定兩條直線平行呢？
如圖，如果∠2 =∠3，那么 a 與 b 平行嗎？
因?yàn)椤? =∠3，∠3 =∠1，所以∠1 =∠2，所以 a∥b .
判定方法2 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.
簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.
如果兩條直線被第三條直線所截，那么能否利用同旁內(nèi)角來判定兩條直線平行呢？
如圖，如果∠2 +∠4 = 180°，那么 a 與 b 平行嗎？
因?yàn)椤? +∠4 = 180°，∠1 +∠4 = 180°，所以∠1 = ∠2，所以 a∥b .
判定方法3 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.
簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
判定方法 1 同位角相等，兩直線平行．判定方法 2 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．判定方法 3 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
例 在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么兩條直線平行嗎？為什么？
同一平面內(nèi)，同垂直于第三條直線的兩直線平行
已知條件：直線 b 與直線 c 都垂直于直線 a .要說明的結(jié)論：直線 b 與直線 c 平行嗎？
答：直線 b 與直線 c 平行.
理由如下：∵ b⊥a，∴ ∠1= 90°.同理∠2= 90°.∴ ∠1=∠2.∵ ∠1 和∠2 是同位角，∴ b∥c（同位角相等，兩直線平行）.
你還能用其他方法說明理由嗎？
1. 如圖， BE 是 AB 的延長線.（1）由∠CBE =∠A 可以判定哪兩條直線平行？根據(jù)是什么？
答： AD∥BC . 根據(jù)同位角相等，兩直線平行.
（2）由∠CBE =∠C 可以判定哪兩條直線平行？根據(jù)是什么？
答： AE∥CD . 根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.
答： AE∥CD . 根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
（3）由∠D +∠A = 180°可以判定哪兩條直線平行？根據(jù)是什么？
2. 在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的.如圖，已經(jīng)知道∠2 是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，就可以判斷兩條直軌是否平行？為什么？
解：①可度量∠3 的度數(shù)，因?yàn)椤? 與∠2是同旁內(nèi)角，若∠3=90°，則∠3+∠2=180°.根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可得兩條直軌平行.
②也可度量∠4 的度數(shù)，因?yàn)椤? 與∠2 是同位角，若∠4=90°，則∠4=∠2. 根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可得兩條直軌平行.
③還可度量∠5 的度數(shù)，因?yàn)椤? 與∠2 是內(nèi)錯(cuò)角，若∠5=90°，則∠5=∠2. 根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得兩條直軌平行.
3.如圖，這是小明同學(xué)自己制作的英語抄寫紙的一部分，其中的橫線互相平行嗎？你有多少種判別方法？
答：平行 . 理由不唯一.
如圖，下列推理正確的有（ ）①因?yàn)椤?=∠4，所以 AD∥BC；②因?yàn)椤螧AD+∠D=180°，所以 AD∥BC；③因?yàn)椤?=∠3，所以 AD∥BC；④因?yàn)椤?+∠2+∠B=180°，所以 AD∥BC.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
誤區(qū) 不能準(zhǔn)確識(shí)別截線和被截線，從而誤判兩直線平行
錯(cuò)解錯(cuò)在沒有分清截線和被截線.①中∠2 和∠4 的公共邊所在的直線（截線）是AC，另外兩邊所在的直線（被截線）分別是 AB 和 CD，所以由∠2=∠4 得 AB∥CD，所以①錯(cuò)誤；同理由∠BAD+∠D=180°，可得 AD∥BC，所以②錯(cuò)誤.
兩條直線位置關(guān)系的判定，主要是通過角的關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的.要識(shí)別是哪兩條直線被第三條直線所截而成的角，要從組成角的兩邊入手：兩個(gè)角的公共邊所在的直線就是截線，即第三條直線，另外兩條邊所在的直線就是被截線.正確區(qū)分截線和被截線是判斷兩條直線平行的關(guān)鍵.
1. 如圖，直線 a，b，c 被直線 l 所截，量得∠1＝∠2＝∠3.（1）若∠1＝∠2，則_____∥_____，理由是_________________________.
同位角相等，兩直線平行
（2）若∠1＝∠3，則_____∥_____，理由是_________________________.（3）直線 a，b，c 互相平行嗎？為什么？
內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
解：平行，∵ b∥a ，c∥a ，∴ b∥c ，∴ a∥b∥c .
2. 如圖，如果∠2 =∠6，那么_____∥_____，如果∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180°， 那么______∥______；如果∠9 =∠______，那么 AD∥BC；如果∠9 =__________，那么 AB∥CD.
3.如圖，當(dāng)∠1 =∠3 時(shí)，直線 a，b 平行嗎？當(dāng)∠2+∠3 = 180°時(shí)，直線 a，b 平行嗎？為什么？
解：∵∠1=∠3，∠3=∠4，∴∠1=∠4，∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）.∵∠3=∠4，∠2=∠5，∠2+∠3=180°，∴∠4+∠5=180°，∴a∥b（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.
①平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，這兩條直線也互相平行.②判定方法 1：同位角相等，兩直線平行.③判定方法 2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.④判定方法 3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.⑤同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.
應(yīng)用：判定生活中的平行線
如圖所示，已知直線 a，b，c，d，e，且∠1 = ∠2，∠3 + ∠4 = 180°，則 a 與 c 平行嗎？為什么？
解：∵∠1 = ∠2，∴ a∥b（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.
∵∠3 + ∠4 = 180°，∴b∥c（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.又∵ a∥b，∴ a∥c（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）.
1. 從課后習(xí)題中選??；2. 完成練習(xí)冊本課時(shí)的習(xí)題.
1. 如圖，為了加固房屋，要在屋架上加一根橫梁 DE，使 DE∥BC. 如果∠ABC = 31°，∠ADE 應(yīng)為多少度？
解：要使 DE∥BC，需∠ADE = ∠ABC，而∠ABC = 31°，∴∠ADE = 31°. 根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”.
2.如圖， 一個(gè)彎形管道 ABCD 的拐角∠ABC = 120°，∠BCD = 60°，這時(shí)說管道AB∥CD 對嗎？為什么？
解：對.∵∠ABC = 120°，∠BCD = 60°，∴∠ABC +∠BCD = 120°+ 60°= 180°.∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.
3. 如圖，這是兩條道路互相垂直的交通路口，你能畫出它的平面示意圖嗎？類似地，你能畫出 兩條道路成 75°角的交通路口的示意圖嗎？
解：（1）兩條道路互相垂直時(shí)：（如圖①）（2）兩條道路成 75°角時(shí)：（如圖②）
4. 如圖，直線 a，b，c 被直線 l 所截，量得∠1=∠2=∠3.（1）從∠1=∠2 可以得出哪兩條直線平行？根據(jù)是什么？（2）從∠1=∠3 可以得出哪兩條直線平行？根據(jù)是什么?（3）直線 a，b，c 互相平行嗎？根據(jù)是什么？
解：（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行，由∠1=∠2，可得出 a∥b；（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，由∠1=∠3，可以得出 a∥c；（3）a∥b∥c .根據(jù)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.
5. 如圖，有一塊方形玻璃，用什么方法可以檢驗(yàn)它相對的兩條邊是否平行？
解：如圖，可測∠1 與∠2，若∠1+∠2 = 180°，則可判斷上下兩邊平行；然后再測∠2 與∠3，若∠2+∠3 = 180°，則可判斷左右兩邊平行.
6. 根據(jù)圖中所給出的條件，找出互相平行的直線和互相垂直的直線.
解：如圖，由∠3 =∠2= 40°，可得 d∥c . 由 d∥c ，可得∠5 =∠4 =50°. 從而∠5 +∠3 =90°.可得 e⊥a .
∵∠6=∠1=40°，∠4=50°，∴∠4+∠6=90°.可得 e⊥b .由e⊥a、e⊥b，可得 a∥b .綜上所述，有a∥b，d∥c，e⊥a，e⊥b .
綜合運(yùn)用7. 如圖，E 是 AB 上一點(diǎn)，F(xiàn) 是 DC 上一點(diǎn)，G 是 BC 延長線上一點(diǎn).
（1）如果∠B = ∠DCG ，可以判斷哪兩條直線平行？為什么？（2）如果∠D = ∠DCG ，可以判斷哪兩條直線平行？為什么？（3）如果∠D + ∠DFE = 180°，可以判斷哪兩條直線平行？為什么？
解：（1）AB∥DC 因?yàn)橥唤窍嗟?，兩直線平行.（2）AD∥BC 因?yàn)閮?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.（3）AD∥EF 因?yàn)橥詢?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
8. 如圖，這些圖案中有一些平行條紋，請你設(shè)計(jì)一些類似圖案，并把你的設(shè)計(jì)與同學(xué)們交流一下.
9. 借助直尺、三角尺和量角器，在圖中找出互相平行的直線和互相垂直的直線.
解：由實(shí)際操作，利用平行線的識(shí)別方法易知：a∥b，d∥e，g∥f，a⊥d，b⊥d，a⊥e，b⊥e，g⊥h，f⊥h.
10. 如圖，為了說明示意圖中的平安大街與長安街是互相平行的，在地圖上量得∠1=90°，你能通過度量圖中已標(biāo)出的其他的角來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎？說出你的理由.
解：①通過度量圖中的∠2，若∠2 = 90°，則∠1+∠2 = 180°. 根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，得出平安大街與長安街互相平行.②也可通過度量圖中的∠3，若∠3 = 90°，則∠1=∠3. 根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，得出平安大街與長安街互相平行.
③還可通過度量圖中的 ∠4，若∠4=90°，則∠2=∠4 =90°（對頂角相等），有∠1 +∠2=180°.根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，從而平安大街與長安街互相平行.④通過度量圖中的∠5，若∠5=90°，則∠1=∠5.根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，得出平安大街與長安街互相平行.
拓廣探索11. 觀察如圖所示的長方體，用符號(hào)表示下列兩棱的位置關(guān)系：A1B1______AB，AA1______AB，A1D1______C1D1，AD______BC.你能在教室里找到這些位置關(guān)系的實(shí)例嗎？與同學(xué)們討論一下.
12. 如圖，當(dāng)∠1=∠3 時(shí)，直線 a，b 平行嗎？當(dāng)∠2 + ∠3 = 180°時(shí)，直線 a，b 平行嗎？為什么？
解：如圖所示：當(dāng)∠1 =∠3 時(shí)，a∥b .理由：∵∠1 =∠3，又∵∠1 =∠4（對頂角相等），∴∠3 =∠4，∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）.

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7.2.2 平行線的判定

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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