1．直線方程的五種形式
2．兩條直線的位置關(guān)系
(1)兩條直線平行與垂直
①兩條直線平行：
(ⅰ)對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
(ⅱ)當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.
②兩條直線垂直：
(ⅰ)如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.
(2)兩條直線的交點(diǎn)
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．幾種距離
(1)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(2)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4圓的定義與方程
5．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法
(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系．(最重要)
dr?相離．
(2)代數(shù)法：eq \(――――→,\s\up7(判別式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0?相交,＝0?相切,0)，
O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0)
【方法技巧】
處理定點(diǎn)問題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），
（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，
（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，
①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點(diǎn)；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).
【核心題型】
題型一：待定系數(shù)法求直線方程
1．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓，直線l過點(diǎn)且傾斜角為，則“直線l與圓C相切”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為4，則直線l的方程是 （ ）
A．B．或
C．D．或
題型二：已知兩直線位置求參數(shù)或者范圍
4．（2023·吉林·東北師大附中?？级＃┲本€的方程為，當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知圓過點(diǎn)，且圓心在軸的正半軸上，直線被圓所截得的弦長為，則過圓心且與直線垂直的直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知，若直線與直線垂直，則的最小值為（ ）
A．1B．3C．8D．9
題型三：直線的定點(diǎn)問題
7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，與直線，若在直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．1D．
題型四：直線有關(guān)的對稱問題
9．（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）若為圓上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)街本€的距離取得最大值時(shí)，直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·北京平谷·統(tǒng)考模擬預(yù)測）點(diǎn)M、N在圓上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則圓C的半徑（ ）
A．最大值為B．最小值為C．最小值為D．最大值為
11．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測），，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，若直線關(guān)于的對稱直線與圓：交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
題型五：幾何法求圓的方程
13．（2022秋·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為圓上的兩個不同的動點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．11B．12C．13D．14
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是圓上兩點(diǎn)，且．若存在，使得直線與的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動圓與直線相切，則面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
題型六：待定系數(shù)法求圓的方程
16．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（ ）
A．0條B．1條C．2條D．3條
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，D在圓Γ上，點(diǎn)C在圓Γ內(nèi)，，若，且與共線，則圓Γ的周長為（ ）
A．B．C．D．
題型七：幾何法求弦長
19．（2023·全國·模擬預(yù)測）若直線與直線被圓截得的弦長之比為，則圓C的面積為（ ）
A．B．C．D．
20．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓被軸截得的弦長為2，且與直線相切，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．3D．
21．（2022秋·四川廣安·高三四川省鄰水縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線被圓截得的弦長為，則正實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．8B．4C．1D．
題型八：圓或者直線上的點(diǎn)的距離問題
22．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知，關(guān)于直線對稱的圓記為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，上的動點(diǎn)，EF長度的最小值為4，則（ ）
A．或B．或C．或D．或
23．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是圓O：上一動點(diǎn)，若直線l：上存在點(diǎn)Q，滿足線段PQ的中點(diǎn)也始終在圓O上，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓 上任意一點(diǎn)，為直線的定點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2B．C．3D．
題型九：直線和圓的綜合問題
25．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）過拋物線的焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．
(1)若，求；
(2)若，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．
26．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，直線恰為拋物的準(zhǔn)線.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)滿足：，設(shè)中點(diǎn)為.
（i）求直線的斜率；
（ii）設(shè)面積為，求的最大值.
27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：上點(diǎn)與圓上點(diǎn)M的距離的最大值為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)動直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過點(diǎn)（Q與A，B不重合），證明：動直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【高考必刷】
一、單選題
28．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，圓，若在圓上存在唯一的點(diǎn)使得，則可以為（ ）
A．B．C．D．
29．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎?，若直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知直線：，：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
31．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）已知直線，直線，其中實(shí)數(shù)，則直線與的交點(diǎn)位于第一象限的概率為（ ）
A．B．C．D．
32．（2023·山東·煙臺二中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的離心率為3，斜率為的直線分別交F的左右兩支于A，B兩點(diǎn)，直線分別交F的左、右兩支于C，D兩點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，點(diǎn)E恒在直線l上，若直線l的斜率存在，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·河北邢臺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，圓，過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．12C．D．
34．（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知O為平面點(diǎn)角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)，B為圓上動點(diǎn)，記經(jīng)過A、B的直線為l，以O(shè)為圓心與l相切的圓的面積為，經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的圓的面積為，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
35．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知圓：與圓：，則下列說法正確的是（ ）
A．若圓與x軸相切，則
B．直線與圓始終有兩個交點(diǎn)
C．若，則圓與圓相離
D．若圓與圓存在公共弦，則公共弦所在的直線方程為
36．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線交軸于點(diǎn)P，圓，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線與交于點(diǎn)C，則（ ）
A．若直線l與圓M相切，則
B．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為
C．直線經(jīng)過一定點(diǎn)
D．已知點(diǎn)，則為定值
37．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．圓心到直線的最大距離為8
B．若直線平分圓的周長，則
C．若圓上至少有三個點(diǎn)到直線的距離為，則
D．若，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，有最大值
38．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為圓上的兩點(diǎn)，為直線上一動點(diǎn)，則（ ）
A．直線與圓相離
B．當(dāng)為兩定點(diǎn)時(shí)，滿足的點(diǎn)有2個
C．當(dāng)時(shí)，的最大值是
D．當(dāng)為圓的兩條切線時(shí)，直線過定點(diǎn)
三、填空題
39．（2023·云南曲靖·曲靖一中?？寄M預(yù)測）已知橢圓，圓，直線與圓相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn).若，則直線的方程是__________.
40．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程為______．
41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，設(shè)直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，若圓上有且只有一個點(diǎn)滿足，則的值為__________.
42．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知P是拋物線上的動點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為，到圓上動點(diǎn)Q的距離為，則的最小值為______．
四、解答題
43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)引圓：的一條切線，切點(diǎn)為，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過圓M上一點(diǎn)A引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，是否存在點(diǎn)A使得的面積為？若存在，求點(diǎn)A的個數(shù)；否則，請說明理由.
44．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上，求：
(1)求圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，求的最小值；
(3)若過點(diǎn)的直線被圓所截得弦長為，求該直線的方程．
名稱
方程
適用范圍
點(diǎn)斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直線x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直線x＝x1 和直線y＝y(tǒng)1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用
定義
平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓
方
程
標(biāo)準(zhǔn)式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圓心為(a，b)
半徑為r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要條件：D2＋E2－4F>0
圓心坐標(biāo)：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半徑r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
方法
位置
關(guān)系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系
代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況
外離
d>r1＋r2
無解
外切
d＝r1＋r2
一組實(shí)數(shù)解
相交
|r1－r2|

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