1．直線方程的五種形式
2．兩條直線的位置關(guān)系
(1)兩條直線平行與垂直
①兩條直線平行：
(ⅰ)對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
(ⅱ)當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.
②兩條直線垂直：
(ⅰ)如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.
(2)兩條直線的交點(diǎn)
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．幾種距離
(1)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(2)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4圓的定義與方程
5．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法
(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系．(最重要)
dr?相離．
(2)代數(shù)法：eq \(――――→,\s\up7(判別式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0?相交,＝0?相切,0)，
O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0)
【方法技巧】
處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ），
（2）利用條件找到 SKIPIF 1 < 0 與過(guò)定點(diǎn)的曲線 SKIPIF 1 < 0 的聯(lián)系，得到有關(guān) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的等式，
（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得無(wú)論 SKIPIF 1 < 0 的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的等式進(jìn)行變形，直至找到 SKIPIF 1 < 0 ，
①若等式的形式為整式，則考慮將含 SKIPIF 1 < 0 的式子歸為一組，變形為“ SKIPIF 1 < 0 ”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去 SKIPIF 1 < 0 變?yōu)槌?shù).
【核心題型】
題型一：待定系數(shù)法求直線方程
1．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓 SKIPIF 1 < 0 ，直線l過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 ，則“直線l與圓C相切”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先化簡(jiǎn)“直線l與圓C相切”得到 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ，再利用充分條件必要條件的定義判斷得解.
【詳解】當(dāng)直線l沒(méi)有斜率時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ,與圓不相切.
當(dāng)直線l有斜率時(shí)，設(shè)直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題得 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 .
所以“直線l與圓C相切”成立，則“ SKIPIF 1 < 0 ”不一定成立；“ SKIPIF 1 < 0 ”成立，則“直線l與圓C相切”成立.
所以“直線l與圓C相切”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分條件.
故選：B
2．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）已知直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 交于A，B兩點(diǎn)，則線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)互相垂直兩直線斜率之間的關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，
因此直線 SKIPIF 1 < 0 的垂直垂直平分線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的垂直垂直平分線方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
3．（2022·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且被圓 SKIPIF 1 < 0 截得的弦長(zhǎng)為4，則直線l的方程是 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，驗(yàn)證后得到 SKIPIF 1 < 0 滿足要求，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到答案.
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
由題意圓心到直線l的距離 SKIPIF 1 < 0
（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心到直線的距離 SKIPIF 1 < 0 ，符合題意，
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
圓心到直線的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，則直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上，直線 l的方程為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
題型二：已知兩直線位置求參數(shù)或者范圍
4．（2023·吉林·東北師大附中校考二模）直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離最大時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出直線 SKIPIF 1 < 0 所過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，分析可知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離最大，利用兩直線垂直斜率的關(guān)系可求得實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值.
【詳解】直線方程 SKIPIF 1 < 0 可化為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離最大，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)橹本€ SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
5．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知圓 SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且圓心在 SKIPIF 1 < 0 軸的正半軸上，直線 SKIPIF 1 < 0 被圓 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則過(guò)圓心 SKIPIF 1 < 0 且與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直的直線的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用已知弦長(zhǎng)先求圓心坐標(biāo)，然后可求過(guò)圓心與直線L垂直的直線的方程.
【詳解】由題意，設(shè)所求的直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，并設(shè)圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
則由題意知： SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)閳A心在 SKIPIF 1 < 0 軸的正半軸上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∵圓心 SKIPIF 1 < 0 在所求的直線上，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求的直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選∶A．
6．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．1B．3C．8D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線方程表達(dá)式及其位置關(guān)系可得 SKIPIF 1 < 0 ，在利用基本不等式即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【詳解】由題可知，兩條直線斜率一定存在，
又因?yàn)閮芍本€垂直，所以斜率乘積為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立；
因此 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
題型三：直線的定點(diǎn)問(wèn)題
7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 ，若在直線 SKIPIF 1 < 0 上存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】設(shè)出 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)坐標(biāo)，由 SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【詳解】對(duì)于直線 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 兩邊平方得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
且最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A
8．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作圓 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為直線 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn)，由圓的切線的性質(zhì)得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓C的方程聯(lián)立可得直線 SKIPIF 1 < 0 的方程，將其變形分析可得直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)的定點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離分析可得答案．
【詳解】由題意可得 SKIPIF 1 < 0 的圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 與圓相離；
設(shè) SKIPIF 1 < 0 為直線 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò)點(diǎn)P作圓 SKIPIF 1 < 0 的切線，切點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，
則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上，
以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
則其方程為 SKIPIF 1 < 0 ，變形可得 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，
變形可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，
則 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，C到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離最大，
其最大值為 SKIPIF 1 < 0 ,
故選∶B
題型四：直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題
9．（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）若 SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離取得最大值時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出直線 SKIPIF 1 < 0 所過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，分析可知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為射線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離最大，求出直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率，可得出直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率.
【詳解】圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，
將直線 SKIPIF 1 < 0 的方程變形為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，如下圖所示：
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為射線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離最大，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
10．（2023·北京平谷·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)M、N在圓 SKIPIF 1 < 0 上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱，則圓C的半徑（ ）
A．最大值為 SKIPIF 1 < 0 B．最小值為 SKIPIF 1 < 0 C．最小值為 SKIPIF 1 < 0 D．最大值為 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑的表達(dá)式，利用已知條件，得到圓心在直線上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓心 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)圓心 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，圓C的半徑的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
11．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一束光線從點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 出發(fā)射到 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng) SKIPIF 1 < 0 反射后，再經(jīng) SKIPIF 1 < 0 反射，落到線段 SKIPIF 1 < 0 上（不含端點(diǎn)），則 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先根據(jù)題意求得 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱的點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，再數(shù)形結(jié)合得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的變動(dòng)范圍，從而得到 SKIPIF 1 < 0 ，由此得解.
【詳解】設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱的點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得：
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
如圖所示：
利用光線反射的性質(zhì)可知，當(dāng)這束光線反射后最終經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則其先經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng)這束光線反射后最終經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則其先經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 之間為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的變動(dòng)范圍，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 ，即直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
12．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直線 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】求出直線 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱直線 SKIPIF 1 < 0 ，由于直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離最大， SKIPIF 1 < 0 取最小值可得答案.
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴直線 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱直線 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，
圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圓心 SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離最大， SKIPIF 1 < 0 取最小值，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
題型五：幾何法求圓的方程
13．（2022秋·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考期末）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 上的任意一點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為圓 SKIPIF 1 < 0 上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【分析】由圓內(nèi)的弦長(zhǎng)求得圓心O到弦中點(diǎn)Q的長(zhǎng)即得點(diǎn)Q的軌跡方程，從而轉(zhuǎn)化成求兩圓上任意兩點(diǎn)間距離的最小值.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在以原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓心，1為半徑的圓上，即：方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 上兩點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ．若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 恰為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)可得 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程為圓 SKIPIF 1 < 0 ，又根據(jù)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程可確定 SKIPIF 1 < 0 ，交點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恰為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，即圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 有公共點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可得實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【詳解】解：圓 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 恰為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，直線與圓相交弦長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
又直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是兩垂線的交點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上，則圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程是 SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡要除去點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
由已知得圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 有公共點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 相切，則面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】據(jù)題意分析可知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；圓的圓心到直線距離的最大時(shí)，圓的半徑最大，即可得到面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 直線方程為： SKIPIF 1 < 0 可化為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,
易知： SKIPIF 1 < 0 圓的半徑最大時(shí)，圓的面積最大， SKIPIF 1 < 0 圓心到直線的距離最大時(shí)圓的面積最大，
又 SKIPIF 1 < 0 動(dòng)圓 SKIPIF 1 < 0 ,圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與已知直線垂直時(shí)圓的半徑最大， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
題型六：待定系數(shù)法求圓的方程
16．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的公切線共有（ ）
A．0條B．1條C．2條D．3條
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意求得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到兩圓的圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓內(nèi)切，即可知道公切線只有1條.
【詳解】圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為a，
所以圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ．
圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
圓心距 SKIPIF 1 < 0 ，所以兩圓相內(nèi)切．
所以兩圓的公切線只有1條.
故選：B．
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與直線 SKIPIF 1 < 0 和圓 SKIPIF 1 < 0 都相切的半徑最小的圓的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】求出過(guò)圓心與直線垂直的直線方程，所求圓的圓心在此直線上，又圓心到直線的距離可得所求圓的半徑，設(shè)所求圓的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，且圓心在直線 SKIPIF 1 < 0 的左上方，利用 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【詳解】圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò)圓心 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直的直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，所求圓的圓心在此直線上，又圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則所求圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)所求圓的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，且圓心在直線 SKIPIF 1 < 0 的上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不符合題意，舍去 ），故所求圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C．
18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，D在圓Γ上，點(diǎn)C在圓Γ內(nèi)， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線，則圓Γ的周長(zhǎng)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求出圓的方程，然后可解.
【詳解】以C為原點(diǎn)，BC和CD坐在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)圓的一般方程為 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以圓的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0
故選：B
題型七：幾何法求弦長(zhǎng)
19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 被圓 SKIPIF 1 < 0 截得的弦長(zhǎng)之比為 SKIPIF 1 < 0 ，則圓C的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出圓心分別到兩條直線的距離，根據(jù)勾股定理求出兩條直線被圓截得的弦長(zhǎng)，根據(jù)弦長(zhǎng)之比為 SKIPIF 1 < 0 列式求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得圓的半徑，從而可得圓的面積.
【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離分別為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 被圓 SKIPIF 1 < 0 截得的弦長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 被圓 SKIPIF 1 < 0 截得的弦長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓C的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B．
20．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知圓 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 軸截得的弦長(zhǎng)為2，且與直線 SKIPIF 1 < 0 相切，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由已知求出圓心 SKIPIF 1 < 0 .根據(jù)圓與 SKIPIF 1 < 0 軸的關(guān)系可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而由直線與圓相切可得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可得出答案.
【詳解】由已知可得，圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 .
圓心到 SKIPIF 1 < 0 軸的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又圓 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 相切，則圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
21．（2022秋·四川廣安·高三四川省鄰水縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線被圓 SKIPIF 1 < 0 截得的弦長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則正實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．8B．4C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】求出圓心到一條漸近線的距離，利用弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)的關(guān)系求解即可.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
由雙曲線的對(duì)稱性，取雙曲線的一條漸近線 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓心到漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，依題意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A
題型八：圓或者直線上的點(diǎn)的距離問(wèn)題
22．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱的圓記為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，EF長(zhǎng)度的最小值為4，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】畫(huà)出圖形，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 過(guò)兩圓圓心且與對(duì)稱軸垂直又接近于對(duì)稱軸時(shí)， SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)度最小，此時(shí)圓心 SKIPIF 1 < 0 到對(duì)稱軸的距離為4，根據(jù)點(diǎn)到直線的的公式建立方程即可求解.
【詳解】
由題易知兩圓不可能相交或相切，則如圖，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 過(guò)兩圓圓心且與對(duì)稱軸垂直又接近于對(duì)稱軸時(shí)， SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)度最小，
此時(shí)圓心 SKIPIF 1 < 0 到對(duì)稱軸的距離為4，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
23．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是圓O： SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)，若直線l： SKIPIF 1 < 0 上存在點(diǎn)Q，滿足線段PQ的中點(diǎn)也始終在圓O上，則k的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由題意分析可知，只要O的圓心到直線l的距離不超過(guò)3，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求得k的取值范圍.
【詳解】由題意分析可知，直線l： SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)閳AO： SKIPIF 1 < 0 的圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
若滿足線段PQ的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)在圓上，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)圓心O到直線l的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D.
.
24．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為拋物線 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為直線 SKIPIF 1 < 0 的定點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】畫(huà)圖，找出拋物線焦點(diǎn)，化簡(jiǎn)圓的普通方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線定義以及共線性質(zhì)分析得出最值.
【詳解】如圖所示：
由 SKIPIF 1 < 0 知，拋物線焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，化為 SKIPIF 1 < 0 ，
即為以 SKIPIF 1 < 0 為圓心，1為半徑的圓，
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，恒過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于拋物線的準(zhǔn)線： SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最小,此時(shí)為3，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為： SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A.
題型九：直線和圓的綜合問(wèn)題
25．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）過(guò)拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 的兩條不同的直線 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓 SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 為圓心 SKIPIF 1 < 0 的公共弦所在的直線記為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離的最小值．
【答案】(1)24
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立拋物線 SKIPIF 1 < 0 的方程可得關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，即可得到 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)表示，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，求解 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）結(jié)合（1），根據(jù)拋物線的定義得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到圓 SKIPIF 1 < 0 的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得到圓 SKIPIF 1 < 0 的方程，同理也可得到圓 SKIPIF 1 < 0 的方程，兩圓方程相減即可得到直線 SKIPIF 1 < 0 的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．
【詳解】（1）依題意，拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，且其在拋物線內(nèi)部，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）結(jié)合（1），
由拋物線的定義得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓 SKIPIF 1 < 0 的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
于是圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的公共弦所在直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答小問(wèn)（2）的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的定義求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到圓 SKIPIF 1 < 0 的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，可得到圓 SKIPIF 1 < 0 的方程，同理可得到圓 SKIPIF 1 < 0 的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解．
26．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作圓 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 恰為拋物 SKIPIF 1 < 0 的準(zhǔn)線.
(1)求拋物線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線 SKIPIF 1 < 0 上四點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 .
（i）求直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
（ii）設(shè) SKIPIF 1 < 0 面積為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)（i）0；（ii）48
【分析】（1）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于 SKIPIF 1 < 0 ，由幾何性質(zhì)易得： SKIPIF 1 < 0 ，即可解決；（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，（i）中，由于 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在拋物線 SKIPIF 1 < 0 上，得 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 ，代入聯(lián)立得 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，即可解決；（ⅱ）由（i）得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 上，得 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 即可解決.
【詳解】（1）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于 SKIPIF 1 < 0 .
由幾何性質(zhì)易得： SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相似，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
所以拋物線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為： SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0
（i）由題意， SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在拋物線 SKIPIF 1 < 0 上，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 代入，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
同理： SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為0.
（ⅱ）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 上，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取到最大價(jià) SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為48.
27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C： SKIPIF 1 < 0 上點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 上點(diǎn)M的距離的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓C的方程；
(2)動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （Q與A，B不重合），證明：動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)證明見(jiàn)解析，直線l過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）設(shè)圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)形結(jié)合得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與圓上點(diǎn)M的距離的最大值為 SKIPIF 1 < 0 加上半徑，從而列出方程，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 在橢圓上，從而求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到橢圓方程；
（2）先考慮直線l斜率存在，設(shè)直線l： SKIPIF 1 < 0 ，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，由 SKIPIF 1 < 0 求出直線l： SKIPIF 1 < 0 或l： SKIPIF 1 < 0 ，舍去不合要求的解，再考慮直線l斜率不存在時(shí)，得到直線l： SKIPIF 1 < 0 ，不合要求，證明出結(jié)論，及定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C： SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為1，
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 上點(diǎn)M的距離的最大值為 SKIPIF 1 < 0 加上半徑，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則橢圓C的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
則直線l： SKIPIF 1 < 0 或l： SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)镼與A，B不重合，故 SKIPIF 1 < 0 不合要求，
所以直線l： SKIPIF 1 < 0 ，即直線過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l： SKIPIF 1 < 0 ，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，直線l： SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)镼與A，B不重合，所以不滿足題意.
綜上，直線l過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
【高考必刷】
一、單選題
28．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 ，若在圓 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 可以為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓 SKIPIF 1 < 0 ，故點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是兩圓的交點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可求出．
【詳解】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可知，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
若在圓 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,故圓 SKIPIF 1 < 0 和圓 SKIPIF 1 < 0 相切，
即 SKIPIF 1 < 0 或, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (無(wú)解)，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故選：D．
29．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直線 SKIPIF 1 < 0 上存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分析可得直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共點(diǎn)（公共點(diǎn)不能是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析運(yùn)算.
【詳解】若 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上（點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 不能是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ），
∵以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，則圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
即直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共點(diǎn)（公共點(diǎn)不能是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ），
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共點(diǎn)時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的公共點(diǎn)為A或B時(shí)，則直線 SKIPIF 1 < 0 即為x軸，即 SKIPIF 1 < 0 ；
綜上所述：實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
30．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，則“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】斜率相等且截距不同的兩條直線平行，或不存在斜率的兩個(gè)不同直線也平行，由此利用條件的充分性和必要性定義即可得出答案.
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，充分性成立；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，必要性不成立
故選：A．
31．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知直線 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 ，其中實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)位于第一象限的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】首先由兩條直線相交，聯(lián)立方程組寫(xiě)出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，接下來(lái)根據(jù)交點(diǎn)在第一象限得到a的范圍，利用幾何概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由題意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
由幾何概型的概率公式知，所求的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
32．（2023·山東·煙臺(tái)二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為3，斜率為 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 分別交F的左右兩支于A，B兩點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 分別交F的左、右兩支于C，D兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E，點(diǎn)E恒在直線l上，若直線l的斜率存在，則直線的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由點(diǎn)差法可得 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 關(guān)系式、 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 關(guān)系式，由E，M，N三點(diǎn)共線， SKIPIF 1 < 0 列式可得結(jié)果.
【詳解】由題得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ①，同理得 SKIPIF 1 < 0 ②，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則E，M，N三點(diǎn)共線，所以 SKIPIF 1 < 0 ，將①②代入得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即點(diǎn)E在直線 SKIPIF 1 < 0 上.
故選：A.
33．（2023·河北邢臺(tái)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．12C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)求出AB的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程為圓心 SKIPIF 1 < 0 、半徑為1的圓，得 SKIPIF 1 < 0 的最大值，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【詳解】由題意知， SKIPIF 1 < 0 ，圓M的半徑為4，設(shè)AB的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即點(diǎn)D的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為1，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為12.
故選：B.
34．（2023·全國(guó)·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知O為平面點(diǎn)角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，B為圓 SKIPIF 1 < 0 上動(dòng)點(diǎn)，記經(jīng)過(guò)A、B的直線為l，以O(shè)為圓心與l相切的圓的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】設(shè)l與x軸交點(diǎn)為C， SKIPIF 1 < 0 ，利用三角函數(shù)的定義和正弦定理，得到 SKIPIF 1 < 0 ，從而有 SKIPIF 1 < 0 ，再利用點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離求解.
【詳解】解：如圖所示：
設(shè)l與x軸交點(diǎn)為C， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C．
二、多選題
35．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若圓 SKIPIF 1 < 0 與x軸相切，則 SKIPIF 1 < 0
B．直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 始終有兩個(gè)交點(diǎn)
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相離
D．若圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 存在公共弦，則公共弦所在的直線方程為 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】選項(xiàng)A：若圓 SKIPIF 1 < 0 與x軸相切，則 SKIPIF 1 < 0 等于圓的半徑；
選項(xiàng)B：直線恒過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部，故直線與圓 SKIPIF 1 < 0 始終有兩個(gè)交點(diǎn)；
選項(xiàng)C：利用圓心距與半徑之和的關(guān)系，判斷兩圓是否外離；
選項(xiàng)D：若圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 有公共弦，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得公共弦所在的直線方程為．
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，半徑為2，若圓 SKIPIF 1 < 0 與x軸相切，則 SKIPIF 1 < 0 ，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：直線 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，恒過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部，故直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 始終有兩個(gè)交點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：若 SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，其圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，其圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
圓心距 SKIPIF 1 < 0 ，兩圓外離，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：若圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 有公共弦，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得 SKIPIF 1 < 0
即公共弦所在的直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
36．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn)P，圓 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)C，則（ ）
A．若直線l與圓M相切，則 SKIPIF 1 < 0
B．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0
C．直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)
D．已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為定值
【答案】ACD
【分析】根據(jù)圓心到直線距離等于半徑建立等式，解出 SKIPIF 1 < 0 即可判斷A；根據(jù) SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相切可得四邊形面積等于兩個(gè)全等的直角三角形面積和，根據(jù)三角形面積公式即可求出結(jié)果；根據(jù)相切可知 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共圓，且 SKIPIF 1 < 0 為直徑，求出圓的方程即可得弦所在的直線方程，進(jìn)而判斷C；根據(jù)直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn)及 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即C在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上，求出圓的方程可發(fā)現(xiàn)圓心為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷D.
【詳解】解：對(duì)于A，若直線l與圓M相切，則圓心到直線的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正確；
對(duì)于B，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為圓的兩條切線，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ，
所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共圓，且 SKIPIF 1 < 0 為直徑，
所以該圓圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是該圓和圓 SKIPIF 1 < 0 的相交弦，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為兩圓方程相減，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，所以C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0
即點(diǎn)C在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)辄c(diǎn)C在該圓上，所以 SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正確．
故選：ACD
37．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為直線 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的最大距離為8
B．若直線 SKIPIF 1 < 0 平分圓 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)，則 SKIPIF 1 < 0
C．若圓 SKIPIF 1 < 0 上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作圓 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線，切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 有最大值
【答案】BD
【分析】由圓 SKIPIF 1 < 0 ，知圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，由直線過(guò)圓心可求 SKIPIF 1 < 0 ，從而判斷B； SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,可求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的最大距離，判斷A；由已知圓心到直線的距離 SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 的范圍判斷C；利用 SKIPIF 1 < 0 ，從而可求 SKIPIF 1 < 0 最小時(shí) SKIPIF 1 < 0 的位置判斷D．
【詳解】由圓 SKIPIF 1 < 0 ，知圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)于A,直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的最大距離為 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正確；
對(duì)于B,直線 SKIPIF 1 < 0 平分圓 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)，則直線過(guò)圓心 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
對(duì)于C,若圓 SKIPIF 1 < 0 上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則圓心到直線的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D, SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 最大，只需要 SKIPIF 1 < 0 最大即可，又 SKIPIF 1 < 0 ，故需 SKIPIF 1 < 0 最小，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直，故此時(shí) SKIPIF 1 < 0 與定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合，故 SKIPIF 1 < 0 ,故D正確，
故選：BD．
38．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 上的兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為直線 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相離
B．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為兩定點(diǎn)時(shí)，滿足 SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 有2個(gè)
C．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
D．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離判斷A；確定 SKIPIF 1 < 0 最大時(shí)的情況判斷B；取AB中點(diǎn)D，由線段PD長(zhǎng)判斷C；求出直線AB的方程判斷D作答.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，即直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相離，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)A，B為過(guò)點(diǎn)P的圓O的切線的切點(diǎn)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最大，而 SKIPIF 1 < 0 ，
顯然 SKIPIF 1 < 0 是銳角，正弦函數(shù)在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 最大，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 最大，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 最小，則有 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為兩定點(diǎn)時(shí)，滿足 SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 只有1個(gè)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令A(yù)B的中點(diǎn)為D，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D在以O(shè)為圓心， SKIPIF 1 < 0 為半徑的圓上，
SKIPIF 1 < 0 ，顯然當(dāng) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 無(wú)最大值，C不正確；
對(duì)于D，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為切線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上，
此圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，于是直線 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，D正確.
故選：AD
三、填空題
39．（2023·云南曲靖·曲靖一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，與 SKIPIF 1 < 0 軸正半軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)直線和圓 SKIPIF 1 < 0 相切、直線和橢圓 SKIPIF 1 < 0 相交且 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求得直線 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【詳解】由題意可知直線 SKIPIF 1 < 0 有斜率，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立直線和圓的方程： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立直線和橢圓的方程： SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 可知： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
在直線方程中，令 SKIPIF 1 < 0
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， 直線方程為 SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】求解直線和圓相切的問(wèn)題，有兩種方法，一種是利用圓心到直線的距離等于半徑來(lái)進(jìn)行求解；另一種是聯(lián)立直線的方程和圓的方程，化簡(jiǎn)后利用判別式來(lái)進(jìn)行求解.
40．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 以及圓 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出所求圓的一般方程，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，解出參數(shù)，可得答案.
【詳解】聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
則圓 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 的圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 以及圓 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交點(diǎn)的圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
41．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，若圓 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一個(gè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為_(kāi)_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線上，且垂直平分線與圓相切可求解.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線上，
SKIPIF 1 < 0 所以中垂線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，由點(diǎn)斜式得 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 有且僅有一個(gè)，
SKIPIF 1 < 0 直線 SKIPIF 1 < 0 與圓相切，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為: SKIPIF 1 < 0 .
42．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知P是拋物線 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，到圓 SKIPIF 1 < 0 上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_____．
【答案】2
【分析】求出圓心坐標(biāo)和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，把 SKIPIF 1 < 0 的最小值轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 < 0 減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可得答案.
【詳解】圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，準(zhǔn)線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作準(zhǔn)線 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是拋物線 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 軸的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
到圓 SKIPIF 1 < 0 上動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，且點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 與拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為2，
故答案為：2
四、解答題
43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 引圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一條切線，切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求拋物線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過(guò)圓M上一點(diǎn)A引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，是否存在點(diǎn)A使得 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求點(diǎn)A的個(gè)數(shù)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在，點(diǎn)A的個(gè)數(shù)為2，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意可求出 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn)M作 SKIPIF 1 < 0 軸，根據(jù)勾股定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出參數(shù)p，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出切點(diǎn)弦PQ的方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，在利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線PQ的距離d，由 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 列出方程，得出A點(diǎn)的軌跡方程 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立圓的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，方程的根的個(gè)數(shù)即為點(diǎn)A的個(gè)數(shù).
【詳解】（1）解：如圖
已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò)點(diǎn)M作 SKIPIF 1 < 0 軸，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以拋物線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）存在點(diǎn)A使得 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)A的個(gè)數(shù)為2，理由如下：
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 切點(diǎn)弦PQ的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線PQ的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即點(diǎn)A的軌跡為拋物線 SKIPIF 1 < 0 往左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，
因?yàn)辄c(diǎn)A在圓M上，聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
顯然 SKIPIF 1 < 0 是一個(gè)根，因式分解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 為增函數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在一個(gè)零點(diǎn)，
所以存在兩個(gè)點(diǎn)A使得 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線切點(diǎn)弦方程及弦長(zhǎng)公式，高次方程的因式分解問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理求出方程的根，此題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，求出點(diǎn)A的軌跡方程，利用其軌跡方程和圓M有幾個(gè)交點(diǎn)即可得到點(diǎn)A的個(gè)數(shù).
44．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓心為 SKIPIF 1 < 0 的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且圓心在直線 SKIPIF 1 < 0 上，求：
(1)求圓心為 SKIPIF 1 < 0 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)若過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線被圓 SKIPIF 1 < 0 所截得弦長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，求該直線的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，利用圓經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)，且圓心在直線 SKIPIF 1 < 0 上，建立方程組就可以求得.
(2)求出圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離，即可求出 SKIPIF 1 < 0 最小值.
(3)根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求出圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離，用點(diǎn)到直線的距離公式建立方程，求出 SKIPIF 1 < 0 得值，即可寫(xiě)出直線方程.
【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且圓心在直線 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因?yàn)閳A SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線與圓相離，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
（3）當(dāng)斜率存在時(shí)，由條件可知，圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，符合截圓所得的弦長(zhǎng)為8
所以直線方程為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
名稱
方程
適用范圍
點(diǎn)斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直線x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直線x＝x1 和直線y＝y(tǒng)1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用
定義
平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓
方
程
標(biāo)準(zhǔn)式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圓心為(a，b)
半徑為r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要條件：D2＋E2－4F>0
圓心坐標(biāo)：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半徑r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
方法
位置
關(guān)系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系
代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況
外離
d>r1＋r2
無(wú)解
外切
d＝r1＋r2
一組實(shí)數(shù)解
相交
|r1－r2|

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