1．集合與元素
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數(shù)集的記法
2.集合的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B或B?A.
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A B或B A.
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運算
【方法技巧】
集合基本運算的方法技巧：
（1）當集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算，也可借助Venn圖運算；
（2）當集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解．對于端點處的取舍，可以單獨檢驗.
集合常與不等式，基本函數(shù)結(jié)合，常見邏輯用語常與立體幾何，三角函數(shù)，數(shù)列，線性規(guī)劃等結(jié)合.
【核心題型】
題型一：元素與集合
1．（2022·安徽省舒城中學(xué)三模（理））已知集合，其中為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】計算出集合，在利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡各選項中的復(fù)數(shù)，即可得出合適的選項.
【詳解】當時，，，，，則，
，，
，，
故選：B.
2．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出集合，再根據(jù)集合中和，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為集合，所以，
在集合中，由，得，即，
又，所以，，，即.
故選：B.
3．（2022·全國·高三專題練習（理））已知集合，，且有個子集，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解對數(shù)不等式可求得集合，由子集個數(shù)可確定中元素僅有個，從而得到，由此得到的范圍.
【詳解】由題意得：，
有個子集，中的元素個數(shù)為個；
，，即，或，
即實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
題型二：集合中元素的特性
4．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)集合， ，則集合元素的個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)集合B的描述，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列舉出元素即可.
【詳解】當時，y＝1；
當時，y＝0；
當x＝3時，．
故集合B共有3個元素．
故選：B.
5．（2021·全國·高三專題練習（文））已知集合，、、為非零實數(shù) ，則的子集個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分都是正數(shù)，都是負數(shù)，中有一個是正數(shù)，另兩個是負數(shù)，中有兩個是正數(shù)，另一個是負數(shù)四種情況分別得出m的值，從而求得集合M的元素的個數(shù)，由此可得出集合M的子集的個數(shù).
【詳解】因為集合，、、為非零實數(shù) ，
所以當都是正數(shù)時，；
當都是負數(shù)時，；
當中有一個是正數(shù)，另兩個是負數(shù)時，，
當中有兩個是正數(shù)，另一個是負數(shù)時，，
所以集合M中的元素是3個，所以的子集個數(shù)是8，
故選：D.
6．（2022·河南鄭州·高三階段練習（理））定義集合運算：，設(shè)，，則集合的所有元素之和為（ ）
A．16B．18C．14D．8
【答案】A
【分析】由題設(shè)，列舉法寫出集合，根據(jù)所得集合，加總所有元素即可.
【詳解】由題設(shè)知：，
∴所有元素之和.
故選：A.
題型三：集合的表示方法
7．（2022·陜西·交大附中模擬）已知表示正整數(shù)集合，若集合，則中元素的個數(shù)為（ ）
A．16B．15C．14D．13
【答案】D
【分析】根據(jù)集合描述的幾何意義，列舉出第一象限內(nèi)符合要求的點坐標，即可知元素的個數(shù).
【詳解】由題設(shè)，又，
由，則，
由，則，
由，則，
同理，均屬于集合A，
所以第一象限中有13個點屬于集合A.
故選：D
8．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，則A中元素的個數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】由橢圓的性質(zhì)得，再列舉出集合的元素即得解.
【詳解】解：由橢圓的性質(zhì)得，
又,
所以集合
共有11個元素.
故選：C
9．（2022·全國·高三專題練習（理））已知集合，，則B中所含元素的個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)集合B的形式，逐個驗證的值，從而可求出集合B中的元素.
【詳解】時，，3，4，
時，，3，
時，，
時，無滿足條件的值；故共6個，
故選：D．
題型四：集合的基本關(guān)系
10．（2022·四川瀘州·一模）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得集合，再根據(jù)集合的運算以及包含關(guān)系，即可判斷和選擇.
【詳解】，又，
故，，，，故A正確，其它選項錯誤.
故選：A.
11．（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知非空集合， 其中，若滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】可設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件可得滿足的條件，再根據(jù)根分布可求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】，
因為非空，故可設(shè)，則為方程的兩個實數(shù)根.
設(shè)，
又，
因為， 故，所以，解得.
故選：A.
12．（2022·青?！つM預(yù)測（理））已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解指數(shù)不等式化簡集合A，解一元二次不等式化簡集合B，再利用交集、并集的定義結(jié)合性質(zhì)求解作答.
【詳解】解不等式：，即，解得：，則，
解不等式：，解得：，則，
因，所以.
故選：A
題型五：集合的交并補
13．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義域化簡集合，再根據(jù)集合交集的定義求解即可.
【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域可得或，
所以或，
所以，
故選：C.
14．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校模擬預(yù)測）設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合且，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得P，由一元二次不等式可得Q，根據(jù)題意可得出結(jié)果.
【詳解】∵，，
∴.
故選：B.
15．（2023·全國·高三專題練習）已知有限集X，Y，定義集合，且，表示集合X中的元素個數(shù).若，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】利用新定義及并集運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】∵
∴，，
∴，
∴，
故選：A
題型六：Venn圖
16．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校模擬預(yù)測）某單位周一?周二?周三開車上班的職工人數(shù)分別是15，12，9.若這三天中只有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為韋恩圖，結(jié)合題意設(shè)出未知量，列出方程，求出答案.
【詳解】
作出韋恩圖,如圖,
由題意得 ,則有,
所以,即，
因此要讓最大，則需要最小，
若則不滿足題意，
若則不滿足題意，
若則滿足題意，
所以這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是4，
故選:B.
17．（2007·全國·高考真題（理））如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)Venn圖表示的集合運算作答．
【詳解】陰影部分在集合的公共部分，但不在集合內(nèi)，表示為，
故選：C．
18．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元1世紀左右．該書內(nèi)容十分豐富，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦漢時期的數(shù)學(xué)成就．某數(shù)學(xué)興趣小組在研究《九章算術(shù)》時，結(jié)合創(chuàng)新，給出下面問題：現(xiàn)有100人參加有獎問答，一共5道題，其中91人答對第一題，87人答對第二題，81人答對第三題，78人答對第四題，88人答對第五題，其中答對三道題以上（包括三道題）的人可以獲得獎品，則獲得獎品的人數(shù)至少為（ ）
A．70B．75C．80D．85
【答案】B
【分析】由題意求出回答錯誤的題共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．而答錯3道題及以上的人沒有獎品，所以最多會有人沒有獎品，由此可求得答案.
【詳解】解：由題意知，一共回答了500道題，其中回答錯誤的題共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．
由于答對3道題以上（包括3道題）的人可以獲得獎品，即答錯3道題及以上的人沒有獎品，
故最多會有人沒有獎品，故獲得獎品的人數(shù)至少為75．
故選：B.
題型七：集合新定義
19．（2022·四川·模擬預(yù)測（理））設(shè)是的兩個非空子集，如果存在一個從到的函數(shù)滿足：(i)；(ii)對任意，當時，恒有，那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”，以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是（ ）
A．B．，或
C．D．
【答案】D
【分析】利用題目給出的“保序同構(gòu)”的概念，對每一個選項中給出的兩個集合，利用所學(xué)知識，找出能夠使兩個集合滿足題目所給出的條件的函數(shù)，即是函數(shù)的值域，且函數(shù)為定義域上的增函數(shù)．排除掉是“保序同構(gòu)”的，即可得到要選擇的答案．
【詳解】解：對于，，存在函數(shù)，，滿足：；對任意，，當時，恒有，所以選項A是“保序同構(gòu)”；
對于，或，存在函數(shù)，滿足：
；對任意，，當時，恒有，所以選項B是“保序同構(gòu)”；
對于，，存在函數(shù)，滿足：；
對任意，，當時，恒有，所以選項C是“保序同構(gòu)”；
對于選項D, ,不存在函數(shù)，不是“保序同構(gòu)”，所以選項D不是“保序同構(gòu)”.
故選：D．
20．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)A是任意一個n元實數(shù)集合，令集合，記集合B中的元素個數(shù)為，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】B
【分析】利用排除選項D；利用排除選項AC；舉例驗證選項B正確.
【詳解】當集合A中的元素兩兩互質(zhì)時，．
所以對于選項D，當時，，故選項D錯誤．
當時，若，其中，有，故．
對于選項A，，故．故選項A錯誤．
對于選項C，，則.故選項C錯誤．
對于選項B，，判斷正確
（事實上，當時，要使最小，，記，其中，當時，有．）
故選：B
21．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】對A、B：不妨設(shè)，可得，根據(jù)集合的定義可得Y中至少有以上5個元素，不妨設(shè)，則集合S中至少有7個元素，排除選項A，若，則集合Y中至多有6個元素，所以，排除選項B；對C：對，則與一定成對出現(xiàn)，根據(jù)集合的定義可判斷選項C；對D：取，則，根據(jù)集合的定義可判斷選項D.
【詳解】解：不妨設(shè)，則的值為，
顯然，，所以集合Y中至少有以上5個元素，
不妨設(shè)，
則顯然，則集合S中至少有7個元素，
所以不可能，故排除A選項；
其次，若，則集合Y中至多有6個元素，則，故排除B項；
對于集合T，取，則，此時，，故D項正確；
對于C選項而言，，則與一定成對出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項錯誤.
故選：D.
題型八：集合的綜合問題
22．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測（理））已知．
(1)當時，求的解集；
(2)若的解集包含，求a的取值范圍．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）通過討論的范圍解不等式.
（2）結(jié)合的解集包含來化簡不等式，進而解出不等式，再利用解集包含求出a的取值范圍.
【詳解】（1）當時，
當時，不等式為，解得，故；
當時，不等式為，解得，無解；
當時，不等式為，解得，故，
綜上所述，不等式的解集為．
故答案為：.
（2）
的解集包含，即在上成立，
即的解集包含， 即，解得，
由已知可得解得，
所以的取值范圍為．
故答案為：．
23．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為集合，關(guān)于的不等式的解集為．
(1)當時，求；
(2)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）由題知，，再根據(jù)集合運算求解即可；
（2）由題知，再分時和時兩種情況討論求解即可.
（1）
解：要使函數(shù)有意義，則，解得，
所以，所以或，
當時，，
所以或．
（2）
解：由（1）得，或
因為是的充分條件，則，
①當時，，則，所以；
②當時，，則，所以；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
24．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，定義集合，集合．
(1)若，寫出相應(yīng)的集合和；
(2)若集合，求出所有滿足條件的；
(3)若集合只含有一個元素，求證：．
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）由、解得，可得，；
（2）由得或，然后由，，方程只有一個實數(shù)解0，得， 轉(zhuǎn)化為有唯一實數(shù)解0，可得答案；
（3）由條件，有唯一解，得有解，分有唯一解、有兩個解，結(jié)合的圖像和實數(shù)解的個數(shù)可得答案.
【詳解】（1），，由解得或，由解得，所以，．
（2）由
，
得或，
，，而方程只有一個實數(shù)解0，所以，
即只需有唯一實數(shù)解0，所以．
（3）由條件，有唯一解，所以有解，
①若有唯一解，則，且有唯一解，結(jié)合圖像可知，所以，所以．②若有兩個解，
則，且兩個方程，總共只有一個解，結(jié)合圖像可知有唯一解，所以，，所以，且的對稱軸，所以，所以．
綜上，．
【點睛】本題主題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，方程根與系數(shù)的應(yīng)用，考查了系數(shù)對新定義的理解能力及計算能力.
【高考必刷】
一、單選題
25．（2022·河北·模擬預(yù)測（理））已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，，再根據(jù)并集的定義求解即可．
【詳解】，
，
，
故選：．
26．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測（理））已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集運算求解.
【詳解】∵，
∴，即集合的元素個數(shù)為3.
故選：C.
27．（2022·廣東韶關(guān)·一模）設(shè)全集，集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化簡集合B，再由并集與補集的定義求解即可
【詳解】由題意，，
又，
所以，
又
所以，
故選：B.
28．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）已知全集為R，集合，，則Venn圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先確定集合中的元素，然后根據(jù)Venn圖表示的集合進行計算．
【詳解】或，，
Venn圖中陰影部分所表示的集合為．
故選：D．
29．（2022·四川資陽·一模（理））已知全集，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】計算，，再計算補集得到答案.
【詳解】，故，故.
故選：D
二、多選題
30．（2023·全國·高三專題練習）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素，分析與集合、、的關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素，則或，
故陰影部分所表示的集合為或 .
故選：AD.
31．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A，B均為R的子集，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)集合圖逐一判斷即可得到答案
【詳解】如圖所示
根據(jù)圖像可得,故A正確；由于 ，故B錯誤； ,故C錯誤
故選：AD
32．（2022·湖南·模擬預(yù)測）如果一個無限集中的元素可以按照某種規(guī)律排成一個序列（或者說，可以對這個集合的元素標號表示為），則稱其為可列集．下列集合屬于可列集的有（ ）
A．
B．Z
C．Q
D．R
【答案】ABC
【分析】根據(jù)自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題中定義逐一判斷即可.
【詳解】令即可表示所有自然數(shù)，故集合N可標號表示為，故為可列集，同理，Z為可列集，
對于Q，整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，由于其區(qū)間可由可列個區(qū)間組成，故可只討論區(qū)間內(nèi)的情況．
令，當分母為1時，分子只有一種取值，故記作，同理，
綜上，集合Q可標號表示為，故Q為可列集，
有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，所以實數(shù)不是可列集，
故選：ABC
33．（2022·全國·高三專題練習）已知集合E是由平面向量組成的集合，若對任意，，均有，則稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】作出各個選項表示的平面區(qū)域，根據(jù)給定集合E是“凸”的意義判斷作答.
【詳解】設(shè)，，，則C為線段AB上一點，
因此一個集合E是“凸”的就是E表示的平面區(qū)域上任意兩點的連線上的點仍在該區(qū)域內(nèi)，
四個選項所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示：
A B
C D
觀察選項A，B，C，D所對圖形知，B不符合題意，ACD符合題意.
故選：ACD
【點睛】思路點睛：涉及符合某個條件的點構(gòu)成的平面區(qū)域問題，理解不等式變?yōu)閷?yīng)等式時的曲線方程的意義，
再作出方程表示的曲線，作圖時一定要分清虛實線、準確確定區(qū)域.
34．（2022·江蘇·常州市平陵高級中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由對數(shù)運算可知，，由的定義可知AC正誤；解不等式求得集合，由交集和并集定義可知BD正誤.
【詳解】對于A，，，，A正確；
對于C，，，C錯誤；
對于BD，，，
，，BD正確.
故選：ABD.
三、填空題
35．（2007·湖北·高考真題（理））設(shè)A、B為兩個集合．下列四個命題：
①不包含于對任意，有；
②不包含于 ；
③不包含于 不包含于；
④不包含于 存在，使得．
其中真命題的序號是________________．（把符合要求的命題序號都填上）
【答案】④
【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系，對每個選項進行逐一分析， 即可判斷.
【詳解】對①：取，滿足不包含于，但存在，有，故①錯；
對②：取，滿足不包含于，但，故②錯；
對③：取，滿足不包含于，但包含于，故③錯；
對④：不包含于 存在，使得正確，故④正確；
故答案為：④.
36．（2022·陜西·大荔縣教學(xué)研究室一模）設(shè)三元集合，則_________.
【答案】1
【分析】根據(jù)集合相等求得，由此求得.
【詳解】依題意，，
所以，所以，，
此時兩個集合都是，符合題意.
所以.
故答案為：
37．（2020·江蘇省天一中學(xué)一模）設(shè)集合，則___________.
【答案】
【分析】根據(jù)集合交集的概念與運算，即可求解.
【詳解】由題意，集合，
根據(jù)集合交集的概念與運算，可得.
故答案為：.
38．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，其中且，函數(shù)，且對任意，都有，則的值是_________．
【答案】或3.
【分析】先判斷區(qū)間與的關(guān)系可得，再分析時定義域與值域的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可確定定義域與值域的區(qū)間端點的不等式，進而求得和即可.最后分析當時，，從而確定定義域與值域的關(guān)系，列不等式求解即可
【詳解】先判斷區(qū)間與的關(guān)系，因為，故或.因為當，即時，由題意，當時，，故不成立；故.
再分析區(qū)間與的關(guān)系，因為，故或.
①當，即時，因為在區(qū)間上為減函數(shù)，故當， ，因為，而，故此時，即，因為，故即，故，解得，因為，故.此時區(qū)間在左側(cè)，在右側(cè).故當時，，因為，故，所以 ，此時，故，解得，因為，故；
②當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，易得，故此時且，即且，所以，故，故，即，，因為，故；
綜上所述，或3
故答案為：或3.集合
非負整數(shù)集
(或自然數(shù)集)
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
符號
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
運算
文字語言
集合語言
圖形語言
記法
并集
所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合
{x|x∈A，
或x∈B}
A∪B
交集
所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合
{x|x∈A，
且x∈B}
A∩B
補集
全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集
{x|x∈U，
且x?A}
?UA

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