【母題來源】2022年高考全國乙卷（理科）
【母題題文】過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為____________．
【答案】或或或；
【試題解析】解：依題意設(shè)圓的方程為，
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
故答案為：或或或；
【命題意圖】本題考查圓的一般方程的形式，通過解方程組求一般方程中的系數(shù).
【命題方向】這類試題在考查題型選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，多為低檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見的命題角度有：
（1）直線的方程；（2）圓的方程；（3）直線與圓的位置關(guān)系；（4）圓與圓的位置關(guān)系.
【得分要點(diǎn)】
（1）正確寫出圓的一般方程的形式；
（2）解方程組；
（3）一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式.
考向二 直線與圓的位置關(guān)系
【母題來源】2022年高考全國甲卷（文科）
【母題題文】 若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．
【答案】
【試題解析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.
【詳解】解：∵點(diǎn)M在直線上，
∴設(shè)點(diǎn)M為，又因為點(diǎn)和均在上，
∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，通過圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系求解.
【命題方向】這類試題在考查題型選擇、填空題出現(xiàn)，多為低檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見的命題角度有：
（1）直線的方程；（2）圓的方程；（3）直線與圓的位置關(guān)系；（4）圓與圓的位置關(guān)系.
【得分要點(diǎn)】
（1）正確寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出圓心到直線的距離；
（3）由直線與圓的位置關(guān)系確定圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系.
一、單選題
1．（湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
2．（2022·四川樂山·高一期末）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（文））直線與圓相交，所得弦長為整數(shù)，這樣的直線有（ ）條
A．10B．9
C．8D．7
4．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則k＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）直線被圓所截得的弦長為（ ）
A．B．4C．D．
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）若圓與單位圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．2C．D．
7．（2022·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A（2，0），B（0，﹣1），點(diǎn)是圓x2+（y﹣1）2＝1上任意一點(diǎn)，則 面積最大值為（ ）
A．2B．C．D．
8．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知圓，點(diǎn)M為直線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則當(dāng)四邊形周長取最小值時，四邊形的外接圓方程為（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知圓C過圓與圓的公共點(diǎn)．若圓，的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
11．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知中，，，點(diǎn)在直線上，的外接圓圓心為，則直線的方程為______．
12．（2022·天津二中模擬預(yù)測）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長_________．
13．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））直線被圓O；截得的弦長最短，則實(shí)數(shù)m=___________.
14．（2022·上海靜安·模擬預(yù)測）已知雙曲線的兩條漸近線均與圓相切，右焦點(diǎn)和圓心重合，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．
15．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，所有滿足的點(diǎn)都不在圓C上，則圓C的方程可以是______（寫出滿足條件的一個圓的方程即可）．
三、解答題
16．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知動點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，圓的方程為．
(1)求的方程，并說明是什么曲線；
(2)設(shè)、、是上的三個點(diǎn)，直線、均與圓相切，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由．
17．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，直線l：x＝－4，過點(diǎn)P作PQ與直線l垂直，垂足為Q，點(diǎn)，且．
(1)求曲線C的方程；
(2)過曲線C上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切線與y軸交于A，B，求△MAB面積的取值范圍．
18．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（理））已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在直線上．
(1)若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；
(2)若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．
專題09 直線與圓
考向一 求圓的方程
【母題來源】2022年高考全國乙卷（理科）
【母題題文】過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為____________．
【答案】或或或；
【試題解析】解：依題意設(shè)圓的方程為，
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
故答案為：或或或；
【命題意圖】本題考查圓的一般方程的形式，通過解方程組求一般方程中的系數(shù).
【命題方向】這類試題在考查題型選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，多為低檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見的命題角度有：
（1）直線的方程；（2）圓的方程；（3）直線與圓的位置關(guān)系；（4）圓與圓的位置關(guān)系.
【得分要點(diǎn)】
（1）正確寫出圓的一般方程的形式；
（2）解方程組；
（3）一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式.
考向二 直線與圓的位置關(guān)系
【母題來源】2022年高考全國甲卷（文科）
【母題題文】 若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．
【答案】
【試題解析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.
【詳解】解：∵點(diǎn)M在直線上，
∴設(shè)點(diǎn)M為，又因為點(diǎn)和均在上，
∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，通過圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系求解.
【命題方向】這類試題在考查題型選擇、填空題出現(xiàn)，多為低檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見的命題角度有：
（1）直線的方程；（2）圓的方程；（3）直線與圓的位置關(guān)系；（4）圓與圓的位置關(guān)系.
【得分要點(diǎn)】
（1）正確寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出圓心到直線的距離；
（3）由直線與圓的位置關(guān)系確定圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系.
一、單選題
1．（湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
由直線與直線垂直求出的值，再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】
直線與直線垂直,
則，解得：或，
所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.
故選：B.
2．（2022·四川樂山·高一期末）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而即可得到該圓的方程.
【詳解】
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則 ，解之得
則圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心坐標(biāo)為
則該圓的方程為，
故選：D．
3．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（文））直線與圓相交，所得弦長為整數(shù)，這樣的直線有（ ）條
A．10B．9
C．8D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
求出過定點(diǎn)的直線與圓的最短弦長為，最長的弦長為直徑10，則弦長為6的直線恰有1條，最長的弦長為直徑10，也恰有1條，弦長為7，8，9的直線各有2條，即可求出答案.
【詳解】
直線過定點(diǎn)，圓半徑為5，
最短弦長為，恰有一條，但不是整數(shù)；
弦長為6的直線恰有1條，有1條斜率不存在，要舍去；
最長的弦長為直徑10，也恰有1條；
弦長為7，8，9的直線各有2條，共有8條，
故選：C．
4．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則k＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
圓心到直線的距離為，則,而，所以，解方程即可求出答案.
【詳解】
圓的圓心，
所以圓心到直線的距離為，則，
而，所以，解得：.
故選：B.
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）直線被圓所截得的弦長為（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用直線被圓截得的弦長公式求解即可.
【詳解】
由題意圓心，圓C的半徑為3，
故C到的距離為，
故所求弦長為.
故選：A.
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）若圓與單位圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
兩圓恰有三條公切線，說明兩圓為外切關(guān)系，圓心距.
【詳解】
由題，兩圓恰有三條公切線，說明兩圓為外切關(guān)系（兩條外公切線，一條內(nèi)公切線），因此圓心距，結(jié)合解得．
故選：C.
7．（2022·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A（2，0），B（0，﹣1），點(diǎn)是圓x2+（y﹣1）2＝1上任意一點(diǎn)，則 面積最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式及圖形求出圓上點(diǎn)到直線距離的最大值，由此可求面積的最大值.
【詳解】
由已知，
要使的面積最大，只要點(diǎn)P到直線的距離最大．
由于AB的方程為1，即x﹣2y﹣2＝0，
圓心（0，1）到直線AB的距離為d，
故P到直線AB的距離最大值為1，
所以面積的最大值為，
故選：D．
8．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知圓，點(diǎn)M為直線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則當(dāng)四邊形周長取最小值時，四邊形的外接圓方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，利用切線長定理求出四邊形周長最小時點(diǎn)M的坐標(biāo)即可求解作答.
【詳解】
圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線l的距離，
依題意，，四邊形周長，
當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，此時直線，由得點(diǎn)，
四邊形的外接圓圓心為線段中點(diǎn)，半徑，方程為.
故選：D
9．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知圓C過圓與圓的公共點(diǎn)．若圓，的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意求解圓，的公共弦方程，再計算圓中的公共弦長即可得圓C的直徑，進(jìn)而求得面積即可
【詳解】
由題，圓，的公共弦為和的兩式相減，化簡可得，又到的距離 ，故公共弦長為，故圓C的半徑為，故圓C的面積為
故選：B
10．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用圓與準(zhǔn)線相切可得，求解即可．
【詳解】
因為圓的圓心為，半徑為
拋物線的準(zhǔn)線為，所以，即，
故選：A.
二、填空題
11．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知中，，，點(diǎn)在直線上，的外接圓圓心為，則直線的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
圓心到點(diǎn)的距離即為半徑，可得到外接圓的方程，聯(lián)立圓的方程與直線的方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線方程兩點(diǎn)式即可求解.
【詳解】
因為的外接圓圓心為，所以的外接圓半徑為，
即的外接圓方程為．
聯(lián)立，解得，或，
所以或（與點(diǎn)重合），舍，
所以直線的方程為，即．
故答案為：.
12．（2022·天津二中模擬預(yù)測）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長_________．
【答案】
【解析】
【分析】
將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得，接著計算到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長公式計算可得結(jié)果.
【詳解】
由題可知：
，即
且
由兩圓向外切可知，解得
所以
到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為
則直線被圓所截的弦長為
故答案為：
13．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））直線被圓O；截得的弦長最短，則實(shí)數(shù)m=___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
求出直線MN過定點(diǎn)A（1,1），進(jìn)而判斷點(diǎn)A在圓內(nèi)，當(dāng)時，|MN|取最小值，利用兩直線斜率之積為-1計算即可.
【詳解】
直線MN的方程可化為，
由，得，
所以直線MN過定點(diǎn)A（1，1），
因為，即點(diǎn)A在圓內(nèi).
當(dāng)時，|MN|取最小值，
由，得，∴，
故答案為：1.
14．（2022·上海靜安·模擬預(yù)測）已知雙曲線的兩條漸近線均與圓相切，右焦點(diǎn)和圓心重合，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件得出雙曲線的漸近線方程及圓的圓心和半徑，進(jìn)而得出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的漸近線與圓相切，得出圓心到漸近線的距離等于半徑，結(jié)合雙曲線中三者之間的關(guān)系即可求解.
【詳解】
由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，即.
由圓的方程為，得圓心為，半徑為.
因為右焦點(diǎn)和圓心重合，所以雙曲線右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又因為雙曲線的兩條漸近線均與圓相切，
所以，即，解得.所以,
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
15．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，所有滿足的點(diǎn)都不在圓C上，則圓C的方程可以是______（寫出滿足條件的一個圓的方程即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，得到，且關(guān)于點(diǎn)中心對稱，得到，進(jìn)而化簡得到，即可得到答案.
【詳解】
由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，即，
在平面直角坐標(biāo)系中所有滿足，即的點(diǎn)都不在圓C上，
所以圓C上的點(diǎn)都滿足，即圓在表示的半平面內(nèi)，
故圓C可以是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，圓C的方程可以為.
故答案為：（答案不唯一）.
三、解答題
16．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知動點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，圓的方程為．
(1)求的方程，并說明是什么曲線；
(2)設(shè)、、是上的三個點(diǎn)，直線、均與圓相切，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)答案見解析
(2)若直線、與圓相切，則直線與圓相切，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）由拋物線的定義可得出曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而可求得曲線的方程；
（2）分析可知直線、、的斜率都存在，設(shè)、、，其中、、兩兩互不相等，利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式以及幾何法判斷可得出結(jié)論.
(1)解：由題設(shè)知，曲線上任意到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，
因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
故曲線的方程為.
(2)解：若直線的斜率不存在，則直線與曲線只有一個交點(diǎn)，不合乎題意，
所以，直線、、的斜率都存在，
設(shè)、、，則、、兩兩互不相等，
則，同理，，
所以直線方程為，整理得，
同理可知直線的方程為，
因為直線與圓相切，則，
整理可得，同理可得，
所以、為方程的兩根，則，
所以，，，
圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相切. 綜上，若直線、與圓相切，則直線與圓相切.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求動點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點(diǎn)的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點(diǎn)的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點(diǎn)的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方程.
17．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，直線l：x＝－4，過點(diǎn)P作PQ與直線l垂直，垂足為Q，點(diǎn)，且．
(1)求曲線C的方程；
(2)過曲線C上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切線與y軸交于A，B，求△MAB面積的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)點(diǎn)，通過得到等式關(guān)系，化簡求得曲線方程；
（2）設(shè)切線方程，通過點(diǎn)到切線的距離，化簡成的一元二次方程，再韋達(dá)定理得出與的等式關(guān)系，再求出弦長，消去，再求面積即可．
(1)設(shè)，由，得，兩邊平方得，
所以曲線C的方程為；
(2)設(shè)點(diǎn)的切線方程為（斜率必存在），圓心為，r＝1
所以到的距離為：
平方化為，設(shè)PA，PB的斜率分別為，
則，
因為PA：，令x＝0有，同理
所以
又因為代入上式化簡為
所以，
令，，求導(dǎo)知在為增函數(shù)，所以．
18．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（理））已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在直線上．
(1)若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；
(2)若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】(1)或(2)
【解析】
【分析】
（1）求出圓心的坐標(biāo)，設(shè)出切線的方程，利用圓心到切線的距離等于半徑可求出相應(yīng)的參數(shù)值，即可得出所求切線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，由已知可得，分析可知圓與圓有公共點(diǎn)，可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)解：聯(lián)立，解得，即圓心，所以，圓的方程為.
若切線的斜率不存在，則切線的方程為，此時直線與圓相離，不合乎題意；
所以，切線的斜率存在，設(shè)所求切線的方程為，即，
由題意可得，整理可得，解得或.
故所求切線方程為或，即或.
(2)解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，
設(shè)點(diǎn)，由可得，
整理可得，
由題意可知，圓與圓有公共點(diǎn)，所以，，
即，解得.
所以，圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

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