1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).
2.通過(guò)實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫(huà)指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做 ，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．
(3)(eq \r(n,a))n＝ .
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq \r(n,an)＝ ，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，n>1)．
正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝ ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 ,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．
3．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是 .
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
常用結(jié)論
1．指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.如圖所示是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．
【核心題型】
題型一 指數(shù)冪的運(yùn)算
(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：
①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．
②運(yùn)算的先后順序．
(2)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．
【例題1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若，則 ．
【變式1】（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則 ．
【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)則 ．
【變式3】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：
（1） =
（2）（=
（3 設(shè)，則的值為
題型二 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論．
【例題2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝，y＝lga（x＋）（a＞0，且a≠1）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（23-24高三上·山東濰坊·期中）已知指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象如圖所示，則（ ）
A．B．
C．D．
題型三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．
(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．
命題點(diǎn)1 比較指數(shù)式大小
【例題3】（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【變式3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若，則有（ ）
A．B．
C．D．
命題點(diǎn)2 解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式
【例題4】（23-24高三上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù)（且）在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．2C．3D．
【變式1】（23-24高三上·河南周口·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2023·山東菏澤·三模）已知函數(shù)，若，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式3】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
命題點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【例題5】（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【變式1】（23-24高三上·廣東茂名·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)當(dāng)在上是增函數(shù)，求a的范圍．
【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【變式3】（23-24高三上·江蘇淮安·期中）已知不等式.
(1)求不等式的解集；
(2)若當(dāng)時(shí)，不等式 總成立，求的取值范圍.
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（ ）
A．B．C．5D．10
2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知是奇函數(shù)，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（23-24高三上·廣東梅州·期中）計(jì)算：（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)的最大值是，最小值是，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（23-24高三上·福建漳州·階段練習(xí)）小明同學(xué)對(duì)函數(shù)且進(jìn)得研究，得出如下結(jié)論，其中正確的有（ ）
A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)有可能是奇函數(shù)，也有可能是偶函數(shù)
C．函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減D．函數(shù)不一定有零點(diǎn)
6．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的定義域?yàn)?br>B．的值域?yàn)?br>C．當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)
D．當(dāng)時(shí)，
三、填空題
7．（2023·上海金山·一模）若時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
8．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù).例如：，.已知函數(shù)，則 ，函數(shù)的值域?yàn)? .
四、解答題
9．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）畫(huà)下列函數(shù)圖像
(1)；
(2).
10．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：
(1)；
(2)
11．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式，對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
12．（23-24高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，，其中均為實(shí)數(shù).
(1)若函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求的值;
(2)如果函數(shù)的定義域和值域都是，求的值.
(3)若滿(mǎn)足不等式，且函數(shù)在區(qū)間上有最小值，求實(shí)數(shù)a的值.
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）已知且，下列等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．2D．-2
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江西南昌·三模）設(shè)函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：①；②，③，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·福建莆田·階段練習(xí)）函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為（ ）
A．9B．8C．D．
7．（23-24高三上·云南楚雄·期末）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（ ）
A．1B．C．2D．
8．（23-24高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）下列結(jié)果正確的是（ ）
A．B．
C． D．
二、多選題
9．（2024·廣西柳州·三模）若，則（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·浙江溫州·期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．不等式的解集是
B．，都有
C．是R上的遞減函數(shù)
D．的值域?yàn)?br>11．（22-23高三上·河北邯鄲·期中）設(shè)函數(shù)f(x)＝，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．|f(x)|是偶函數(shù)B．-f(x)是奇函數(shù)
C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù)D．f(|x|)f(x)是偶函數(shù)
三、填空題
12．（2024·北京房山·一模）若對(duì)任意，函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)的一個(gè)解析式是 ．
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則 ．
14．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)使得成立，若正整數(shù)的最大值為8，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
15．（23-24高三上·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）求值或化簡(jiǎn)
(1)計(jì)算：；
(2)化簡(jiǎn)（用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）：
16．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由的圖象通過(guò)怎樣的變換得到的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
17．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)．
(1)求的值；
(2)記集合，集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）解不等式：
(1)．
(2)．
19．（23-24高三下·全國(guó)·自主招生），求
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·寧夏固原·一模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿(mǎn)足，且時(shí)，，若關(guān)于的方程至少有兩解，則的取值范圍為（ ）．
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且，則（ ）
A．，，B．，，
C．D．
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，x，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．4
二、多選題
6．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列大小關(guān)系正確的是．（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（23-24高三上·上海靜安·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為 .
四、解答題
9．（23-24高三上·河北石家莊·期末）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的值域?yàn)?，求的取值范圍?br>(2)若過(guò)點(diǎn)可以作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，求的取值范圍．
10．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)若的值域?yàn)?，求滿(mǎn)足條件的整數(shù)的值；
(2)若非常數(shù)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，，，求的取值范圍.
a>1
0

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