1.3 乘法公式
第1課時(shí) 平方差公式
一、教學(xué)目標(biāo)
1.能根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)出平方差公式，理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能正確運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.
2.在探索平方差公式的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、歸納、概括等能力.
3.在探索平方差公式的過(guò)程中，感悟從一般到特殊、從具體到抽象地研究問(wèn)題的方法.
4.在探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表示，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：掌握平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，并能正確運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.
難點(diǎn)：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能靈活運(yùn)用公式.
三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境
【復(fù)習(xí)回顧】
問(wèn)題：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式是如何相乘的？
預(yù)設(shè)答案：
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：
先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.
教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則，待學(xué)生回答后，教師可舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子，讓學(xué)生一起計(jì)算.
如：(a+b) (m+n)= am+an+bm+bn
(x+3) (x+5)=x2+8x+15.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)回顧熟悉已學(xué)知識(shí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.
環(huán)節(jié)二 探究新知
【探究】
教師活動(dòng)：先給出式子讓學(xué)生計(jì)算出結(jié)果，然后通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些等式的規(guī)律，得出平方差公式.
問(wèn)題1：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，看誰(shuí)算得又快又對(duì)？
(1) (x+2)(x?2) = = ；
(2) (1+3a)(1?3a) = = ；
(3) (x+5y)(x?5y) = = ；
(4) (2y+z)(2y?z) = = .
預(yù)設(shè)答案：
(1) (x+2)(x?2) =x2?2x+2x?4= x2?4；
(2) (1+3a)(1?3a) =1?3a+3a?9a2=1?9a2；
(3) (x+5y)(x?5y) =x2?5xy+5xy?25y2= x2?25y2；
(4) (2y+z)(2y?z) =4y2?2yz+2yz?z2=4y2?z2.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果，由熟悉的知識(shí)入手，提高學(xué)習(xí)積極性.
觀(guān)察上面的等式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
追問(wèn)1：下列問(wèn)題中相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式有什么共同點(diǎn)？
(1) (x+2)(x?2) = x2?4；
(2) (1+3a)(1?3a) =1?9a2；
(3) (x+5y)(x?5y) = x2?25y2；
(4) (2y+z)(2y?z) =4y2?z2.
預(yù)設(shè)答案：均為相同的兩個(gè)數(shù)的和、兩個(gè)數(shù)的差的形式.
追問(wèn)2：相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)與它們積中的各項(xiàng)又有什么關(guān)系呢？
預(yù)設(shè)答案：兩個(gè)多項(xiàng)式的積恰好是這兩個(gè)多項(xiàng)式中相同的兩個(gè)數(shù)的平方差.
追問(wèn)3：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律你能得出什么結(jié)論嗎？用式子表示出來(lái).
預(yù)設(shè)答案：猜想(a+b)(a?b)=a2?b2
追問(wèn)4：你能再舉兩個(gè)例子，驗(yàn)證你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？
預(yù)設(shè)答案：
(1) (m+1)(m?1) =m2?m+m?1=m2?12
(2) (2n+3)(2n?3) =4n2?6n+6n?9=4n2?9
=(2n)2?32
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察分析能力.
追問(wèn)5：你能對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)嗎？
小組合作：
1.獨(dú)立思考，完成驗(yàn)證；
2.兩人一組，交流思路，完善過(guò)程.
推導(dǎo)過(guò)程：
(a+b)(a?b)
=a2?ab+ab?b2
=a2?b2
平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)合作探究培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)，并讓學(xué)生感知從一般到特殊的研究問(wèn)題的方法.
【做一做】
下列式子是否能用平方差公式計(jì)算，如果能，請(qǐng)計(jì)算出結(jié)果.
(1) (x?3y)(x+3y)
(2) (a?2b)(2b?a)
(3) (2a?b)(?b+2a)
(4) (a+2)(2?a)
預(yù)設(shè)答案：(1) 能，(x?3y)(x+3y)= x2?(3y)2= x2?9y2；
(2) (a?2b)(2b?a)=?(a?2b) (a?2b)，不能，不存在相反的項(xiàng)；
(3) (2a?b)(?b+2a)= (2a?b)(2a?b)，不能，不存在相反的項(xiàng)；
(4) 能，(a+2)(2?a)=(2+a)(2?a)=22?a2= 4?a2.
【歸納】

平方差公式的特征：
(1)等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)為相同項(xiàng)，另一項(xiàng)為相反項(xiàng).
(2)等號(hào)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.
(3)公式中的字母可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等式子.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歸納平方差公式的特征，培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察分析能力和歸納概括能力.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【典型例題】
【例1】利用平方差公式計(jì)算：
(1) (5+6x)(5?6x)；
(2) (x?2y)(x+2y)；
(3) (?m+n)(?m?n).
分析：關(guān)鍵是確認(rèn)平方差公式中的a，b分別代表什么.
解： (1) (5+6x)(5?6x)=52?(6x)2=25?36x2；
(2) (x?2y)(x+2y)=x2?(2y)2= x2?4y2；
(3) (?m+n)(?m?n)=(?m)2?n2=m2?n2.
提問(wèn)：你還有其他的計(jì)算方法嗎？
小總結(jié)：所有的可應(yīng)用公式的乘法，都可以用一般的多項(xiàng)式乘法法則來(lái)計(jì)算.
【例2】利用平方差公式計(jì)算：
(1) (?14x?y)(?14x+y)；(2) (ab+8)(ab?8).
分析：(1)中既可以直接使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，也可以每個(gè)括號(hào)里提出一個(gè)負(fù)號(hào)后，再用平方差公式計(jì)算.
解：(1) (?14x?y)(?14x+y)=(?14x)2?y2=116x2?y2；
或(?14x?y)(?14x+y)=(14x+y)(14x?y)=(14x)2?y2=116x2?y2；
(ab+8)(ab?8) =(ab)2?82=a2b2?64.
【想一想】
(a?b)(?a?b)等于什么？你是怎樣做的？
提示：能用平方差公式計(jì)算嗎？
預(yù)設(shè)答案：
方法一：(a?b)(?a?b)=(?b+a)(?b?a)
=(?b)2?a2=b2?a2；
方法二：(a?b)(?a?b)=?(a+b)(a?b)
=?(a2?b2)= b2?a2.
教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生思考并計(jì)算，待學(xué)生完成計(jì)算后，教師匯總并補(bǔ)充，得出結(jié)論，教師可適當(dāng)追問(wèn)，還有其他的計(jì)算方法嗎？使學(xué)生理解，還可以運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在應(yīng)用過(guò)程中進(jìn)一步加深對(duì)平方差公式的認(rèn)識(shí)和理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).
環(huán)節(jié)四 課堂練習(xí)
1.下面各式的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？
(1) (x+2)(x?2)=x2?2
(2) (?3a?2)(3a?2)=9a2?4
2.計(jì)算：
(1) (?5m?n)(5m?n)
(2) (2a?13b)(?13b?2a)
(3) (3x+2)(2x?3)
(4) (?4k+3)(?4k?3)
3. (a+3)(a2+9)(a?3) 的計(jì)算結(jié)果是（ ）
A. a4+81 B. ?a4?81 C. a4?81 D. 81?a4
答案：
1. 解：(1)正確；
(2)錯(cuò)誤，(?3a?2)(3a?2)=4?9a2.
2.解： (1) (?5m?n)(5m?n)
=(?n)2?(5m)2
=n2?25m2；
(2) (2a?13b)(?13b?2a)
=(?13b)2?(2a)2
=19b2?4a2；
(3) (3x+2)(2x?3)
=6x2?9x+4x?6
=6x2?5x?6；
(4) (?4k+3)(?4k?3)
=(?4k)2?32
=16k2?9.
3. C
解：(a+1)(a?1)(a2+1)
=(a2?1)(a2+1)
=a4?1
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，培養(yǎng)獨(dú)立完成練習(xí)的習(xí)慣.
環(huán)節(jié)五 總結(jié)歸納
思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容：
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)總結(jié)回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納、鞏固所學(xué)知識(shí).

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3 乘法公式

版本： 北師大版（2024）

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