1.能夠理解并掌握正多邊形與圓之間的密切聯(lián)系，以及如何通過圓來構(gòu)造正多邊形。2.經(jīng)歷從具體到抽象、從感性到理性的探究過程，培養(yǎng)抽象思維和用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。3.鼓勵學(xué)生勇于探索知識，培養(yǎng)他們的探索精神和創(chuàng)新意識。
問題一： 什么是正多邊形？
各條邊相等，各個(gè)角也相等的多邊形是正多邊形.
等邊三角形是正三角形，正方形是正四邊形。
正多邊形都是軸對稱圖形，在日常生活和美術(shù)設(shè)計(jì)中都很常見。
做一做：分別畫出下圖中各正多邊形的對稱軸，看看能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)果？
以正五邊形為例，如圖所示，我們發(fā)現(xiàn)正五邊形有五條對稱軸，而且這些對稱軸都交于一點(diǎn)O 。根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，我們知道這些對稱軸是正五邊形各邊的垂直平分線，因而點(diǎn) O 到正五邊形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，記為 R 。
那么以點(diǎn) O 為圓心， R 為半徑的圓就過正五邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，它是該正五邊形的外接圓，如圖。
如圖 1 和圖 2，其他正多邊形也有類似的結(jié)論。
例：利用尺規(guī)作圖，作出已知圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形。
解：圓的內(nèi)接正方形的作法： （1）用直尺任作圓的一條直徑 AC， （2） 作與直徑 AC 垂直的直徑 BD， （3） 順次連結(jié)所得的圓上四點(diǎn)，則四邊形 ABCD即為所求作的正方形，如圖。
因?yàn)閳A的內(nèi)接正六邊形的邊長與圓的半徑相等。
試一試：如圖所示，從圓上某一點(diǎn)開始，依次以圓的半徑長為半徑作圓，也可作出圓的內(nèi)接正六邊形。想一想，為什么這兩種方法作出來的圖形都是正六邊形？
例3 :已知正六邊形的邊長為2，則它的內(nèi)切圓的半徑為　 ?。?
例4:如圖，已知⊙O，用直尺和圓規(guī)作⊙O的內(nèi)接正三角形．
解：如圖 ∴△ABC就是所求作的三角形.
【知識技能類作業(yè)】必做題：
1．一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)是（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7
【知識技能類作業(yè)】選做題：
5．如圖，已知⊙O和⊙O上的一點(diǎn)A，請回答下列問題：（1）作⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）連結(jié)BF，CE，判斷四邊形BCEF的形狀，并加以證明．
解: （1）如圖所示；
6．如圖甲所示，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答相關(guān)問題：作法如圖乙所示.①作直徑AF.②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N.③連結(jié)AM，MN，NA.（1）求∠ABC的度數(shù).（2）△AMN是正三角形嗎?請說明理由.（3）從點(diǎn)A開始，以DN長為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連結(jié)這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值.
（2）△AMN是正三角形，理由如下： 如圖，連接FN、OD、ON， 由題意易得FN=ON=OF， ∴△OFN是等邊三角形， ∴∠NFA=60°，∴∠NMA=60°， 同理∠ANM=60°，∴∠MAN=60°， ∴△AMN是正三角形；
這兩個(gè)圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心。外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距。正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角。
任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓。
3.如圖，在正十二邊形A1A2……A12 中，連結(jié)A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度數(shù)．
解：設(shè)兩個(gè)正六邊形的中心為點(diǎn)O，連接MN，OP，OB，OQ，過點(diǎn)O作OG⊥PM，OH⊥AB，MN交圓O的內(nèi)接正六邊形于點(diǎn)N，∵正六邊形，∴∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，

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初中數(shù)學(xué)華東師大版（2024）九年級下冊電子課本 舊教材

27.4 正多邊形和圓

版本： 華東師大版（2024）

年級： 九年級下冊

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