1.垂線的定義 當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足.
在平面內(nèi)垂直于同一條兩條直線平行.
在平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線必垂直于另一條.
在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖掘能使渠道最短？請畫出圖來，并說明理由.
(1)畫已知直線的垂線能畫幾條?(2)過直線上的一點畫直線的垂線，這樣的垂線能畫幾條?(3)過直線外的一點畫直線的垂線，這樣的垂線能畫幾條?
任畫一條直線 l，用三角板或量角器過任意一點 P 畫直線 l 的垂線.
1.放2.靠3.移4.畫
問題：這樣畫 l 的垂線可以畫幾條？
若直線 l 經(jīng)過點 P，則直線 l 的垂線 a 的畫法如圖所示.若直線l不經(jīng)過點P，則直線l的垂線b的畫法如圖所示.
由此可知，無論點P在直線l上還是在直線l外，過點P都只能畫直線l的一條垂線.
理由如下：假如過點P還有一條直線c，能使c⊥l，則c//a（或c//b）.又直線c與直線a（或直線b）有公共點P，因此這是不可能的.
于是，可得關(guān)于垂線的基本事實：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.注意：（1）“過一點”中的點，可以在已知直線上，也可以在已知直線外；（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
如圖，設(shè) PO 垂直于直線 l ，O 為垂足，線段 PO 叫作點 P 到直線 l 的垂線段.經(jīng)過點 P 的其他直線分別交直線 l 于點 A，B，C，D，…，線段 PA，PB，PC，PD，…都不是垂線段，稱為斜線段.
比較圖中 PA，PB，PO，PC，PD 五條線段的長度，哪條線段最短？
通過比較，我發(fā)現(xiàn)垂線段PO最短.
數(shù)學上已經(jīng)證明這一發(fā)現(xiàn)是正確的.你能用一句話表示這個結(jié)論嗎？
直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.通常簡單說成：垂線段最短.從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離，例如，圖中，垂線段PO的長度叫作點P到直線l的距離.
讓我們回到本節(jié)課開始時提出的問題：在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖掘能使渠道最短？
如圖，三角形ABC中，∠C＝90°.（1）分別指出點A到直線BC，點B到直線AC的距離是哪些線段的長？（2）三條邊AB、AC、BC中哪條邊最長？為什么？
（1）點A到直線BC的距離是線段AC的長， 點B到直線AC的距離是線段BC的長.
（2）三條邊AB、AC、BC中AB最長. 理由：連接線段外一點與線段上各點 的所有線段中，垂線段最短.
（1）量出圖中點P到直線AB的距離.
（2）某單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處，如圖所示，問建在哪個位置才最節(jié)省水管？為什么？
如圖所示，過點C作CA⊥l，垂足為A，這時在河岸l上的A處建一個水泵房引水到C處，才最節(jié)省水管.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.
（3）由（1）（2）你會發(fā)現(xiàn)可以怎樣求點到直線的距離？
由（1）（2）可知，求點到直線的距離可以轉(zhuǎn)化為求點到點的距離.
例3 如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足為點D，AB=5，BC=12，AC=13.求：（1）點A到直線BC的距離；（2）點B到直線AC的距離.
解（1）因為∠ABC=90°，所以AB⊥BC，點B為垂足，所以線段AB即為點A到直線BC的垂線段.因為AB=5，所以點A到直線BC的距離為5.
1 如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，求點A到 BC的距離，點C到AB的距離.
2 某公園的4條縱橫交錯的人行道和一噴泉的示意圖如圖所示（比例 尺為1：5000），其中直線a，b，c，d表示人行道，點P表示噴泉. 量出點P到4條直線的距離， 并求出其實際距離.
3 如圖，體育課上應(yīng)該怎樣測量同學們的跳遠成績？
解：體育課上，測量同學們的跳遠成績的方法是先過落地點作起跳線的垂線，然后量取落地點到起跳線的垂線段的長度，此長度就是同學們的跳遠成績.
1.過點P 向線段AB 所在直線引垂線，正確的是（ ）
A B C D
2.如圖， AB⊥CD，∠ACB=90°，線段AC、BC、CD中最短的是 ( ) A. AC B. BC C. CD D. 不能確定
3. P 是直線 AB 外一點，過點 P 作 PO⊥AB ，垂足為 O ，若 C 為直線 AB 上任意一點，則線段 PC 與線段 PO 的大小關(guān)系是（ ）A. PC ＞ PO B. PC ＜ POC. PC ≥ PO D. PC ≤ PO
4.下列說法正確的是（ ） A.線段AB叫做點B到直線AC的距離 B.線段AB的長度叫做點A到直線AC的距離 C.線段BD的長度叫做點D到直線BC的距離 D.線段BD的長度叫做點B到直線AC的距離
5.一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，C、D 是分別位于公路AB兩側(cè)的加油站.（1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點M的位置時，距離加油站C最近；行駛到點N的位置時，距離加油站D最近，請在圖中分別畫出點M、N的位置；
（2）當汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離C、D兩加油站都越來越近？在哪一段路上距離加油站D越來越近，而離加油站C卻越來越遠？
在公路 AB 的 AM 段距離 C、D 兩加油站都越來越近，在 MN 段距離加油站 D 越來越近，而加油站 C 卻越來越遠.
6.如圖，平原上有A，B，C，D 四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府準備修建一個蓄水池.（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H 點的位置，使它到四個村莊距離之和最??；（2）計劃把河水引入蓄水池 H 中，怎樣開渠最短并說明根據(jù).
解：（1）∵兩點之間線段最短，∴連接AD，BC 交于 H ，則 H 為蓄水池位置，它到四個村莊距離之和最小.
（2）過 H 作 HG⊥EF ，垂足為 G .“過直線外一點與直線各點的連線中，垂線段最短”是把河水引入蓄水池 H 中開渠最短的根據(jù).
（1）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
一、放；二、靠；三、移 ；四、畫.

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4.5 垂線

版本： 湘教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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