（1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；
一、放；二、靠；三、移 ；四、畫.
連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離
從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.
你能把現(xiàn)實(shí)生活中的活動(dòng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解答嗎？
請(qǐng)各位同學(xué)用直尺量一量自己的數(shù)學(xué)課本，它的寬度是多少？
你的直尺與課本的兩邊成什么角度？量在課本的哪個(gè)位置？大家量得的結(jié)果是一樣的嗎？
可以把直尺放在課本上任何一個(gè)位置，必須保持直尺與課本的兩邊互相垂直，量得的結(jié)果是一樣的．
畫兩條互相平行的直線，從其中一條直線上任取兩點(diǎn)，比較這兩點(diǎn)到另一條直線的距離.再多取幾個(gè)點(diǎn)，結(jié)果會(huì)發(fā)生變化嗎？由此你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？
畫兩條互相平行的直線a、b，在直線a上取A、B兩點(diǎn).量出點(diǎn)A、B到直線b的距離.
把一把三角尺的一條直角邊沿著直線b移動(dòng)，觀察三角尺的另一條直角邊與直線a交點(diǎn)處的刻度，刻度有改變嗎？
如圖，l1 // l2，在直線 l1上任取兩點(diǎn)A，C，分別作AB⊥ l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分別為點(diǎn)B，D.于是AB⊥ l1 ，CD⊥ l1.
圖中的線段AB，CD都是平行線 l1 與 l2 的公垂線段.
與兩條平行直線都垂直的直線，叫作這兩條平行直線的公垂線，這時(shí)連接兩個(gè)垂足的線段叫作這兩條平行直線的公垂線段.
1.如圖（1），已知m∥n，下列哪條為公垂線_____；2.如圖（2），已知m∥n，下列哪條為公垂線段_____.
比較線段AB與CD的長度，可以發(fā)現(xiàn)AB=CD.再另取幾個(gè)點(diǎn)，也會(huì)發(fā)現(xiàn)平行線 l1 與 l2 的公垂線段的長度相等，且均等于線段AB的長度，由此可得：兩條平行線的所有公垂線段都相等.數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明上述結(jié)論是真的.
兩條平行線的所有公垂線段都相等設(shè)直線 l1 // l2，在l1上任取兩點(diǎn)A，C，過點(diǎn)A作 l2 的垂線，垂足為點(diǎn)B，過點(diǎn)C作 l2 的垂線，垂足為點(diǎn)D，如圖所示.由于AB⊥l2，CD⊥l2，因此AB∥CD.
將直線AB沿點(diǎn)A到點(diǎn)C的方向平移線段AC的長度，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C，直線AB的像是過點(diǎn)C且與AB平行的直線.根據(jù)平行線的基本事實(shí)得，直線AB的像就是直線CD.于是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線CD上.由于l1 // l2 ，因此l1的方向（從點(diǎn)A到點(diǎn)C的方向）與l2的方向
（從點(diǎn)B到點(diǎn)D的方向）相同，從而在上述平移下，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線l2上，于是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就是直線l2與直線CD的交點(diǎn)D.因此，線段AB的像是線段CD.根據(jù)平移保持任意兩點(diǎn)間距離不變可得，AB=CD.這就說明了：兩條平行線的所有公垂線段都相等.
兩條平行線的所有公垂線段都??????.
幾何語言：∵a∥b，AB⊥b，CD⊥b∴AB=CD
由上述結(jié)論可以進(jìn)一步猜測(cè)：平行線 l1 與 l2 之間的距離等于l1 任一點(diǎn)到直線 l2的距離.
結(jié)論：兩條平行線的公垂線段的長度叫作兩條平行線間的距離.
下面來說明這個(gè)猜測(cè)是真的.如圖，線段AB是兩條平行線 l1 與 l2 的公垂線段，從而線段AB的長度是直線 l1 與 l2 之間的距離.又線段AB的長度是點(diǎn)A到直線 l2 的距離，因此，平行線 l1 與 l2之間的距離等于直線 l1 上的點(diǎn)A到直線 l2的距離.
由此可知：兩條平行線間的距離等于其中一條直線上任意一個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離.
如圖，設(shè)l1//l2，A，B分別為l1，l2上的任意點(diǎn)，連結(jié)線段AB，再過A作AC⊥l2，垂足為C，則AC是l1，l2之間的公垂線段，AB是l1，l2之間的斜線段．因?yàn)锳C，AB又分別是A點(diǎn)到l2的垂線段和斜線段，所以AC < AB（垂線段最短）.
兩平行線上各取一點(diǎn)連接而成的所有線段中，公垂線段最短．
如圖，已知AD//BC，判斷 與 是否相等，并說明理由.
∴△ABC與△DBC的高相等
∵ △ABC與△DBC的底都是BC
∴ △ABC與△DBC是同底等高
∴S△ABC=S△DBC
例1 如圖，AB∥DC，AB=DC，DE⊥AB，BF⊥CD， 垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，那么線段AE與CF相等嗎？解 因?yàn)锳B//DC，DE⊥AB，所以DE⊥DC.又AB//DC,BF⊥CD,于是BF⊥AB.因而DE//FB.
又DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，從而線段DF，EB都是平行線DE與FB的公垂線段.故DF=EB.又AB=DC，所以AB-EB=DC-DF，即AE=CF.
例2 設(shè)a，b，c是三條互相平行的直線，如圖所示. 已知a與b的距離為5，b與c的距離為2，求a與c的距離. 解 在a上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AC⊥c，分別與b，c相交于B，C兩點(diǎn).因?yàn)閍，b，c是三條互相平行的直線，所以∠ 1= ∠ 2= ∠ 3=90°，即AB⊥b，AC⊥a.
因此，線段AB，BC，AC分別是平行線a與b，b與c，a與c的公垂線段.又AC=AB+BC=5+2=7，因此，a與c的距離是7.
若將例2中的“如圖所示”去掉，a與c的距離會(huì)變化嗎？將你的結(jié)果與同學(xué)交流.
設(shè)a，b，c是三條互相平行的直線.已知a與b的距離為5，b與c的距離為2，求a與c的距離.
（1）如圖1， ∵AB=5， BC=2， ∴AC=7.
ab c
（2）如圖2 ,∵AB=5， BC=2， ∴AC=3.
1 利用平移畫一條直線和已知直線 l 平行，且要求兩條平行線間的距離 為 2 cm，這樣的直線可以畫幾條？
解：可以畫兩條，如圖所示.
2 如圖，MN // AB，P，Q為直線 MN 上的任意兩點(diǎn)， △PAB 和 △QAB 的面積有什么關(guān)系？為什么？
解：相等.因?yàn)椤鱌AB和△QAB的AB邊上的高相等，都是MN與AB之間的距離，所以兩個(gè)三角形的面積相等.
1.兩平行線的公垂線段有多少條？（ ）A.1 B.2C.無數(shù)條 D.一條也沒有
2.點(diǎn)P，M分別在直線AB和直線CD上，且AB∥CD，點(diǎn)P到CD的距離為5cm，則點(diǎn)M到AB的距離為(　　) A.大于5 cm B.小于5 cmC.5 cm D.不確定
3.如圖，a⊥c，b⊥c，c交a，b于A、B兩點(diǎn)，d交AB于C、D兩點(diǎn)，且d與c不平行，則AB CD（填“＞”、“=”、“＜”）
4.如圖，長方形ABCD的寬AD的長度是2cm，點(diǎn)P到AB的距離是1.6cm，那么點(diǎn)P到CD的距離是_________.　
5.如圖，已知直線MN∥PQ，BC=4cm，若三角形ABC的面積為6cm2,則平行線MN，PQ的距離是　　　cm.
6.如圖是山坡上兩棵樹,你能量出他們之間的距離嗎?
7.（1）如圖，MN∥AB, P、Q為直線MN上的任意兩點(diǎn)， ΔPAB和ΔQAB的面積相等嗎？
M P Q N
A B
（2）如圖，MN∥AB， P是MN上的一動(dòng)點(diǎn)，P沿MN的方向每次移動(dòng)1cm，當(dāng)它移動(dòng)10cm 時(shí)得到ΔP1AB，那么ΔP1AB的面積是多少？
M P N
A B
公垂線，公垂線段，平行線間的距離
兩條平行線的公垂線段都相等

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4.6 兩條平行線間的距離

版本： 湘教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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