例．為了保護(hù)學(xué)生視力，要求學(xué)生寫字時應(yīng)保持眼睛與書本最佳距離約為．如圖，為桌面，嘉琪同學(xué)眼睛看作業(yè)本的俯角為，身體離書桌距離，眼睛到桌面的距離．

(1)通過計(jì)算，請判斷嘉琪的眼睛與作業(yè)本的距離是否符合最佳要求；
(2)為確保眼睛與作業(yè)本的距離符合最佳要求，在身體離書桌的距離和眼睛到桌面的距離保持不變的情況下，需將作業(yè)本沿方向移動到點(diǎn)處，求作業(yè)本移動的距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，．）
【變式訓(xùn)練1】．（1）如圖：為測量河寬（假設(shè)河的兩岸平行），在點(diǎn)處測得，在點(diǎn)處測得，且，則河寬為多少（結(jié)果保留根號）．
（2）如圖所示，小明同學(xué)在學(xué)校某建筑物的點(diǎn)處測得旗桿頂部點(diǎn)的仰角為，旗桿底部點(diǎn)的俯角為．若旗桿底部點(diǎn)到建筑物的水平距離米，旗桿臺階高米，則旗桿頂點(diǎn)離地面的高度為多少米（結(jié)果保留根號）．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，小明為了測量小河對岸大樹的高度，他在點(diǎn)A測得大樹頂端的仰角為，沿斜坡走米到達(dá)斜坡上點(diǎn)，在此處測得樹頂端點(diǎn)的仰角為，且斜坡的坡比為，，A，在同一水平線上．

(1)求小明從點(diǎn)A到點(diǎn)的過程中，他上升的高度．
(2)大樹的高度約為多少米參考數(shù)據(jù)：，，
【變式訓(xùn)練3】．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺內(nèi)的嵩岳寺塔是中國現(xiàn)存最早的磚塔，也是全國古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年間，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，也是中國唯一的一座十二邊形塔．某數(shù)學(xué)小組測量嵩岳寺塔的高度，如圖，在臺階底端A處用測角儀測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為，在臺階頂端B處用測角儀又測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為．已知測角儀的高度為，平臺的高度為，臺階的坡度，圖中所有點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)A，H與點(diǎn)C在同一水平線上，求嵩岳寺塔的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

【變式訓(xùn)練4】．小東同學(xué)學(xué)習(xí)了《銳角三角函數(shù)》一章后，決定運(yùn)用所學(xué)知識測算教室對面遠(yuǎn)處正在施工的塔吊（一種將重物吊到高處的建筑工具）的高度．小東現(xiàn)在所處的位置是四樓教室的點(diǎn)處，小東利用測角儀測得對面遠(yuǎn)處塔吊正在施工的六層（每層高）建筑物的頂部點(diǎn)的仰角為，測得被這幢六層建筑物遮住了一部分的塔吊的頂端點(diǎn)的仰角為．按照安全規(guī)定：此時塔吊的底部點(diǎn)距建筑物的底部點(diǎn)是．利用這些數(shù)據(jù)，小東經(jīng)過詳細(xì)的計(jì)算，得出塔吊的高度約為，但這個高度明顯違反了此種塔吊使用的安全規(guī)定（塔吊的最高高度與建筑物的最高高度差必須保持在），親愛的同學(xué)，你也來利用小東測得的數(shù)據(jù)，仔細(xì)算一算塔吊的高度，并判斷該塔吊是否違規(guī)操作．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，，）

類型二、方位角問題
例．如圖一艘輪船位于燈塔的正西方向的處，且燈塔到處的距離為20海里，輪船沿東北方向勻速航行，速度為10海里/時．

(1)多長時間后，輪船行駛到達(dá)位于燈塔的西北方向上的處？（結(jié)果保留根號）
(2)輪船不改變航行行駛到達(dá)位于燈塔的北偏東15°方向上的處，求燈塔到處的距離。（結(jié)果保留根號）
【變式訓(xùn)練1】．如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道，經(jīng)測量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，米，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向，點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，米，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東．

(1)求步道的長度（精確到個位）；
(2)點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請計(jì)算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：，）
【變式訓(xùn)練2】．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測得漁船在北偏西的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點(diǎn)之間的距離為30海里．

(1)求觀測站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號）；
(2)漁船從點(diǎn)P處沿射線的方向航行一段時間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時，從B測得漁船在北偏西的方向．在漁船到達(dá)C處的同時，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時25海里的速度前往C處，請問補(bǔ)給船能否在100分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：）
【變式訓(xùn)練3】．在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A、B同時收到某事故漁船P的求救訊息，已知此時救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里
(1)求收到求救訊息時事故漁船P與救助船B之間的距離（結(jié)果保留根號）；
(2)求救助船A、B分別以40海里/小時，30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．
【變式訓(xùn)練4】．如圖，某漁船在完成捕撈作業(yè)后準(zhǔn)備返回港口C，途經(jīng)某海域A處時，港口C的工作人員監(jiān)測到點(diǎn)A在南偏東方向上，另一港口B的工作人員監(jiān)測到點(diǎn)A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西方向，且B、C兩地相距120海里．
(1)求出此時點(diǎn)A到港口C的距離（計(jì)算結(jié)果保留根號）；
(2)若該漁船從A處沿方向向港口C駛?cè)?，?dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)時，測得港口B在的南偏東的方向上，求此時漁船的航行距離（計(jì)算結(jié)果保留根號）．
課后訓(xùn)練
1．遮陽傘可以遮住灼灼驕陽，站在傘下會涼爽很多，如圖①，把遮陽傘（傘體的截面示意圖為）用立柱固定在地面上的點(diǎn)O處，此時垂直于地面，遮陽傘頂點(diǎn)A與P重合．需要遮陽時，向上調(diào)節(jié)遮陽傘立柱上的滑動調(diào)節(jié)點(diǎn)，打開支架，傘面撐開如圖②，其中，，，為中點(diǎn)，，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽光線與傘口垂直時，遮陽效果最佳．（圖中的虛線就是太陽光線，同一時刻的太陽光線是平行的）

(1)某天上午10點(diǎn)，太陽光線與地面的夾角為，如圖③，為使遮陽效果最佳，滑動調(diào)節(jié)點(diǎn)，此時立柱與支梁夾角_________度．
(2)在（1）的情況下，若為遮陽傘落在地面上的陰影如圖④所示，求出這個陰影的長度．
(3)如圖⑤，正午時分，太陽光與地面的夾角約為，滑動調(diào)節(jié)點(diǎn)到，使遮陽效果最佳，此對調(diào)節(jié)點(diǎn)滑動的距離約為多少？（，，，結(jié)果精確到）
2．某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側(cè)面如圖2所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚前端自然下垂邊的長度，遮陽棚固定點(diǎn)A距離地面高度，遮陽棚與墻面的夾角．

(1)如圖2，求遮陽棚前端B到墻面的距離；
(2)如圖3，某一時刻，太陽光線與地面夾角，求遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）
3．綜合與實(shí)踐
【問題情境】某消防隊(duì)在一次應(yīng)急演練中，消防員架起一架長的云梯，如圖，云梯斜靠在一面墻上，這時云梯底端距墻腳的距離，．
(1)【獨(dú)立思考】這架云梯頂端距地面的距離有多高？
(2)【深入探究】消防員接到命令，按要求將云梯從頂端下滑到位置上(云梯長度不改變)，，那么它的底部在水平方向滑動到的距離也是嗎？若是，請說明理由；若不是，請求出的長度．
(3)【問題解決】在演練中，高的墻頭有求救聲，消防員需調(diào)整云梯去救援被困人員．經(jīng)驗(yàn)表明，云梯靠墻擺放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的，則云梯和消防員相對安全．在相對安全的前提下，云梯的頂端能否到達(dá)高的墻頭去救援被困人員？
4．如圖，甲、乙兩隊(duì)同時從A點(diǎn)出發(fā)，相約去河對面的公園D游玩．甲隊(duì)選擇的線路為，其中在BC段劃船過河；乙隊(duì)選擇的線路為，其中在FE段乘坐游船過河．已知四邊形為矩形，A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，長為600米，，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）

(1)求D到的距離；（結(jié)果精確到個位）
(2)甲、乙兩隊(duì)在陸地上都是步行，且步行速度均為．已知甲隊(duì)劃船的速度為，乙隊(duì)游船的速度為，若長為1800米，請通過計(jì)算說明哪一隊(duì)先到達(dá)公園D．
5．下圖是測溫員使用測溫槍的側(cè)面示意圖，其中槍柄與手臂始終在同一直線上，槍身與額頭保持垂直．量得胳膊，，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為（即的長度），槍身．

(1)求的度數(shù)；
(2)測溫時規(guī)定槍身端點(diǎn)，A與額頭距離范圍為，若測得，小紅與測溫員之間距離為．問此時槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
（參考數(shù)據(jù)：）
6．如圖，一數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組要測量某路燈Q﹣P﹣M的頂部到地面的距離的長，他們借助卷尺、測角儀進(jìn)行測量，測量結(jié)果如下：
根據(jù)以上測量結(jié)果，計(jì)算路燈頂部到地面的距離為多少米．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1米．）
專題10 解三角形的實(shí)際應(yīng)用
類型一、仰角、俯角問題
例．為了保護(hù)學(xué)生視力，要求學(xué)生寫字時應(yīng)保持眼睛與書本最佳距離約為．如圖，為桌面，嘉琪同學(xué)眼睛看作業(yè)本的俯角為，身體離書桌距離，眼睛到桌面的距離．

(1)通過計(jì)算，請判斷嘉琪的眼睛與作業(yè)本的距離是否符合最佳要求；
(2)為確保眼睛與作業(yè)本的距離符合最佳要求，在身體離書桌的距離和眼睛到桌面的距離保持不變的情況下，需將作業(yè)本沿方向移動到點(diǎn)處，求作業(yè)本移動的距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，．）
【答案】(1)距離不符合最佳要求
(2)作業(yè)本移動的距離
【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——仰角俯角問題，勾股定理，熟練掌握仰俯角的概念是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義列式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出的長，再利用三角函數(shù)求出移動后的俯角，再求出的長，即可求出最后結(jié)果．
【詳解】（1）解：如圖，在中，
，，
，
，
，
，
，
距離不符合最佳要求；
（2）在中，，，
，
為了符合最佳要求，，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練1】．（1）如圖：為測量河寬（假設(shè)河的兩岸平行），在點(diǎn)處測得，在點(diǎn)處測得，且，則河寬為多少（結(jié)果保留根號）．
（2）如圖所示，小明同學(xué)在學(xué)校某建筑物的點(diǎn)處測得旗桿頂部點(diǎn)的仰角為，旗桿底部點(diǎn)的俯角為．若旗桿底部點(diǎn)到建筑物的水平距離米，旗桿臺階高米，則旗桿頂點(diǎn)離地面的高度為多少米（結(jié)果保留根號）．
【答案】（1）河寬為；（2）旗桿頂點(diǎn)離地面的高度為米
【分析】（1）根據(jù)，，則，根據(jù)等角對等邊，，在中，根據(jù)，得出的長即可；
（2）作于點(diǎn)，構(gòu)成兩個直角三角形．運(yùn)用銳角三角函數(shù)分別求出和，即可解答．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
答：河寬為；
（2）解：如圖，作于點(diǎn)．
∵根據(jù)題意可得：在中，有，
在中，有，∴，
∴旗桿頂點(diǎn)離地面的高度為米．
答：旗桿頂點(diǎn)離地面的高度為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，小明為了測量小河對岸大樹的高度，他在點(diǎn)A測得大樹頂端的仰角為，沿斜坡走米到達(dá)斜坡上點(diǎn)，在此處測得樹頂端點(diǎn)的仰角為，且斜坡的坡比為，，A，在同一水平線上．

(1)求小明從點(diǎn)A到點(diǎn)的過程中，他上升的高度．
(2)大樹的高度約為多少米參考數(shù)據(jù)：，，
【答案】(1)小明從點(diǎn)A到點(diǎn)的過程中，他上升的高度為米
(2)大樹的高度約為米
【分析】（1）作于，在中，，則．由勾股定理得,即可求出答案；
（2）延長交于點(diǎn)設(shè)米．求出米在中，，則米在中，，則米．由得到，即可求得答案．
【詳解】（1）作于，如圖所示，

在中，
，
．
，
，
米
答：小明從點(diǎn)A到點(diǎn)的過程中，他上升的高度為米
（2）如圖，延長交于點(diǎn)設(shè)米．
由題意，得，
米．
米，
米
在中，，
米
在中，，
米．
，
，
解得．
答：大樹的高度約為米
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角、仰角、三角函數(shù)的概念等知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺內(nèi)的嵩岳寺塔是中國現(xiàn)存最早的磚塔，也是全國古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年間，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，也是中國唯一的一座十二邊形塔．某數(shù)學(xué)小組測量嵩岳寺塔的高度，如圖，在臺階底端A處用測角儀測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為，在臺階頂端B處用測角儀又測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為．已知測角儀的高度為，平臺的高度為，臺階的坡度，圖中所有點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)A，H與點(diǎn)C在同一水平線上，求嵩岳寺塔的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】
【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，延長交于點(diǎn)K，延長交于點(diǎn)L，如圖所示，則，．根據(jù)題意可得，．，設(shè)嵩岳寺塔的高度為，則，．
在和中，利用銳角三角函數(shù)，即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，延長交于點(diǎn)K，延長交于點(diǎn)L，如圖所示，則，．

由題意得，，．
∵臺階的坡度，
∴，
即，
設(shè)嵩岳寺塔的高度為，則，．
在中，，
∴．
在中，，，
∴，
解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合實(shí)際意義．
答：嵩岳寺塔的高度約為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4】．小東同學(xué)學(xué)習(xí)了《銳角三角函數(shù)》一章后，決定運(yùn)用所學(xué)知識測算教室對面遠(yuǎn)處正在施工的塔吊（一種將重物吊到高處的建筑工具）的高度．小東現(xiàn)在所處的位置是四樓教室的點(diǎn)處，小東利用測角儀測得對面遠(yuǎn)處塔吊正在施工的六層（每層高）建筑物的頂部點(diǎn)的仰角為，測得被這幢六層建筑物遮住了一部分的塔吊的頂端點(diǎn)的仰角為．按照安全規(guī)定：此時塔吊的底部點(diǎn)距建筑物的底部點(diǎn)是．利用這些數(shù)據(jù)，小東經(jīng)過詳細(xì)的計(jì)算，得出塔吊的高度約為，但這個高度明顯違反了此種塔吊使用的安全規(guī)定（塔吊的最高高度與建筑物的最高高度差必須保持在），親愛的同學(xué)，你也來利用小東測得的數(shù)據(jù)，仔細(xì)算一算塔吊的高度，并判斷該塔吊是否違規(guī)操作．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，，）

【答案】塔吊的高度為：，塔吊沒有違規(guī)操作.
【分析】如圖，過作于，交于，則，，，，，，，可得，再分別求解，，，從而可得答案.
【詳解】解：如圖，過作于，交于，則，
∵，
∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，
∴，，，，，，
∴，

∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴塔吊的高度為：，而，
∴塔吊沒有違規(guī)操作.
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，作出合適的輔助線，理解仰角的含義是解本題的關(guān)鍵．
類型二、方位角問題
例．如圖一艘輪船位于燈塔的正西方向的處，且燈塔到處的距離為20海里，輪船沿東北方向勻速航行，速度為10海里/時．

(1)多長時間后，輪船行駛到達(dá)位于燈塔的西北方向上的處？（結(jié)果保留根號）
(2)輪船不改變航行行駛到達(dá)位于燈塔的北偏東15°方向上的處，求燈塔到處的距離。（結(jié)果保留根號）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1），的位置就是燈塔的西北方向，在直角中求得，即可利用速度公式求解；
（2）在中利用三角函數(shù)即可求解．
【詳解】（1）解：在中，，，海里，
海里．
輪船行駛到燈塔的西北方向點(diǎn)所用的時間為（小時）；
（2）解：在中，，，．
海里．
海里
答：燈塔到處的距離是海里．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道，經(jīng)測量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，米，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向，點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，米，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東．

(1)求步道的長度（精確到個位）；
(2)點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請計(jì)算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)141米
(2)經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D較近，理由見解析
【分析】（1）過D作，交的延長線于F，易證四邊形是矩形，因此，在中，由于，通過解直角三角形可得，代入即可求解步道的長度；
（2）在中，解直角三角形，在中，根據(jù)，可得，，因此經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為（米），另外，，因此經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為米，由此比較可得到他走哪一條路較近．
【詳解】（1）過D作，交的延長線于F，如圖：

∴，
由題意可知：，
∴四邊形是矩形，
∴，
在中，，
∴（米）；
∴步道的長度約為141米．
（2）在中，，
∴，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東，即，
∵，
∴．
∵在中，，
∴，，
∵，
∴經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為（米），
∵，
∴，
∴米，
∴經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為米，
∵，
∴經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D較近．
【點(diǎn)睛】本題考查通過勾股定理，銳角三角函數(shù)解直角三角形，讀懂題意，從實(shí)際問題從抽象出幾何問題，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測得漁船在北偏西的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點(diǎn)之間的距離為30海里．

(1)求觀測站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號）；
(2)漁船從點(diǎn)P處沿射線的方向航行一段時間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時，從B測得漁船在北偏西的方向．在漁船到達(dá)C處的同時，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時25海里的速度前往C處，請問補(bǔ)給船能否在100分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)觀測站A，B之間的距離為海里；
(2)補(bǔ)給船能在100分鐘之內(nèi)到達(dá)C處，理由見解析
【分析】（1）過點(diǎn)P作于D點(diǎn)，可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）過點(diǎn)B作，垂足為F，根據(jù)題意得：，，從而求出，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)P作于D點(diǎn)，

∴，
點(diǎn)P在點(diǎn)B的東北方向上，
，
在中，海里，
（海里），（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
∴觀測站A，B之間的距離為海里；
（2）解：補(bǔ)給船能在100分鐘之內(nèi)到達(dá)C處，
理由：過點(diǎn)B作，垂足為F，

，
由題意得：，，
，
在中，，
）海里，
在中，，
海里，
∴補(bǔ)給船從B到C處的航行時間（分鐘），
，
∴補(bǔ)給船能在100分鐘之內(nèi)到達(dá)C處．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】．在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A、B同時收到某事故漁船P的求救訊息，已知此時救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里
(1)求收到求救訊息時事故漁船P與救助船B之間的距離（結(jié)果保留根號）；
(2)求救助船A、B分別以40海里/小時，30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．
【答案】(1)海里
(2)救助船B先到達(dá)
【分析】（1）如圖，作于，在中先求出的長，繼而在中求出的長即可；
（2）根據(jù)“時間=路程÷速度”分別求出救助船A和救助船B所需的時間，進(jìn)行比較即可．
【詳解】（1）解：作于C．
則，
由題意得：海里，，，
在中，∵，，
∴海里，
在中，∵，，，
∴（海里），
答：收到求救訊息時事故漁船P與救助船B之間的距離為海里；
（2）∵海里，海里，救助船A，B分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，
∴救助船A所用的時間為（小時），救助船B所用的時間為（小時）
∵，
∴救助船B先到達(dá)．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用等，熟練正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4】．如圖，某漁船在完成捕撈作業(yè)后準(zhǔn)備返回港口C，途經(jīng)某海域A處時，港口C的工作人員監(jiān)測到點(diǎn)A在南偏東方向上，另一港口B的工作人員監(jiān)測到點(diǎn)A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西方向，且B、C兩地相距120海里．
(1)求出此時點(diǎn)A到港口C的距離（計(jì)算結(jié)果保留根號）；
(2)若該漁船從A處沿方向向港口C駛?cè)?，?dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)時，測得港口B在的南偏東的方向上，求此時漁船的航行距離（計(jì)算結(jié)果保留根號）．
【答案】(1)此時點(diǎn)到港口的距離為海里
(2)此時該漁船的航行距離為海里．
【分析】（1）延長，過點(diǎn)作延長線與點(diǎn)，利用，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)N，推出，設(shè)，則，，根據(jù)，列式計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示：延長，過點(diǎn)作延長線與點(diǎn)，
由題意可得：，海里，
則海里，
，
即，
（海里），
即此時點(diǎn)到港口的距離為海里；
（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)N，如圖：
由（1）得：海里，海里，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分，
∴，
設(shè)，則，，
∵，，
∴，
∵，∴，解得：，
∴海里，
答：此時該漁船的航行距離為海里．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．
課后訓(xùn)練
1．遮陽傘可以遮住灼灼驕陽，站在傘下會涼爽很多，如圖①，把遮陽傘（傘體的截面示意圖為）用立柱固定在地面上的點(diǎn)O處，此時垂直于地面，遮陽傘頂點(diǎn)A與P重合．需要遮陽時，向上調(diào)節(jié)遮陽傘立柱上的滑動調(diào)節(jié)點(diǎn)，打開支架，傘面撐開如圖②，其中，，，為中點(diǎn)，，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽光線與傘口垂直時，遮陽效果最佳．（圖中的虛線就是太陽光線，同一時刻的太陽光線是平行的）

(1)某天上午10點(diǎn)，太陽光線與地面的夾角為，如圖③，為使遮陽效果最佳，滑動調(diào)節(jié)點(diǎn)，此時立柱與支梁夾角_________度．
(2)在（1）的情況下，若為遮陽傘落在地面上的陰影如圖④所示，求出這個陰影的長度．
(3)如圖⑤，正午時分，太陽光與地面的夾角約為，滑動調(diào)節(jié)點(diǎn)到，使遮陽效果最佳，此對調(diào)節(jié)點(diǎn)滑動的距離約為多少？（，，，結(jié)果精確到）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，，由可得，從而得到，由即可得到柱與支梁夾角度數(shù)；
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)，可得，再 利用可求出的長度，即可得到陰影的長度；
（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)題可求出，由，，即可得到調(diào)節(jié)點(diǎn)滑動的距離；
【詳解】（1）解：∵遮陽效果最佳，

∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
，
∵為中點(diǎn)，，
∴，，
∴立柱與支梁夾角度；
（2）解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∵，，
∴，，
，
∵，，，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴,
∴陰影的長度為．
（3）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∵遮陽效果最佳，即，，
∴由四邊形內(nèi)角和知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
．
∴調(diào)節(jié)點(diǎn)滑動的距離約為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的三角函數(shù)值，平行四邊形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
2．某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側(cè)面如圖2所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚前端自然下垂邊的長度，遮陽棚固定點(diǎn)A距離地面高度，遮陽棚與墻面的夾角．

(1)如圖2，求遮陽棚前端B到墻面的距離；
(2)如圖3，某一時刻，太陽光線與地面夾角，求遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)遮陽棚前端B到墻面的距離約為
(2)遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長約為
【分析】（1）作于E，在中，根據(jù)列式計(jì)算即可；
（2）作于E，于H，延長交于K，則，可得四邊形，四邊形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，進(jìn)而可得的長．
【詳解】（1）解：如圖3，作于E，
在中，，即，
∴，
答：遮陽棚前端B到墻面的距離約為；
（2）解：如圖3，作于E，于H，延長交于K，則，

∴四邊形，四邊形是矩形，
由（1）得，
∴，
在中，，即，
∴，由題意得：，
∴，∴，
在中，，即，
∴，∴，
答：遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長約為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
3．綜合與實(shí)踐
【問題情境】某消防隊(duì)在一次應(yīng)急演練中，消防員架起一架長的云梯，如圖，云梯斜靠在一面墻上，這時云梯底端距墻腳的距離，．
(1)【獨(dú)立思考】這架云梯頂端距地面的距離有多高？
(2)【深入探究】消防員接到命令，按要求將云梯從頂端下滑到位置上(云梯長度不改變)，，那么它的底部在水平方向滑動到的距離也是嗎？若是，請說明理由；若不是，請求出的長度．
(3)【問題解決】在演練中，高的墻頭有求救聲，消防員需調(diào)整云梯去救援被困人員．經(jīng)驗(yàn)表明，云梯靠墻擺放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的，則云梯和消防員相對安全．在相對安全的前提下，云梯的頂端能否到達(dá)高的墻頭去救援被困人員？
【答案】(1)m
(2)不是m，而是m
(3)云梯的頂端能到達(dá)高的墻頭去救援被困人員
【分析】（1）本題考查解直角三角形，將梯子底部到墻的距離線段對應(yīng)為一個直角邊，梯子頂端到地的距離線段對應(yīng)為另一個直角邊，所以梯子頂端到地的距離為，所以梯子頂端到地為米；
（2）根據(jù)勾股定理求出，再與作差，求出的長度；
（3）先求出梯子能夠到達(dá)墻面的最大高度，再與比較，即可求得．
【詳解】（1）解：（1）在中，
∴．
（2）解：云梯的底部在水平方向滑動到的距離不是m．理由如下：
由（1）可知m，
∴．
在中，
∴，
∴．
（3）解：若云梯底端離墻的距離剛好為云梯長度的，
則能夠到達(dá)墻面的最大高度為．
∵，
∴，
因此，云梯的頂端能到達(dá)高的墻頭去救援被困人員．
4．如圖，甲、乙兩隊(duì)同時從A點(diǎn)出發(fā)，相約去河對面的公園D游玩．甲隊(duì)選擇的線路為，其中在BC段劃船過河；乙隊(duì)選擇的線路為，其中在FE段乘坐游船過河．已知四邊形為矩形，A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，長為600米，，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）

(1)求D到的距離；（結(jié)果精確到個位）
(2)甲、乙兩隊(duì)在陸地上都是步行，且步行速度均為．已知甲隊(duì)劃船的速度為，乙隊(duì)游船的速度為，若長為1800米，請通過計(jì)算說明哪一隊(duì)先到達(dá)公園D．
【答案】(1)D到的距離為
(2)甲隊(duì)先到達(dá)公園D，理由見解析
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)H，在中求出，，由矩形的性質(zhì)得，再在中求解即可；
（2）根據(jù)時間=路程÷速度分別求出甲隊(duì)和乙隊(duì)用的時間比較即可．
【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)H

在中，，
∵，，
∴，，
∵四邊形為矩形
∴
在中，，
∴，
在中，，
∴
∴D到的距離為346m．
（2）∵四邊形BCEF為矩形，長為1800米，
∴米，
據(jù)題意得：
甲隊(duì)所用時間為
乙隊(duì)所用時間為
∵
∴甲隊(duì)先到達(dá)公園D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意得基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
5．下圖是測溫員使用測溫槍的側(cè)面示意圖，其中槍柄與手臂始終在同一直線上，槍身與額頭保持垂直．量得胳膊，，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為（即的長度），槍身．

(1)求的度數(shù)；
(2)測溫時規(guī)定槍身端點(diǎn)，A與額頭距離范圍為，若測得，小紅與測溫員之間距離為．問此時槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)
(2)端點(diǎn)A與額頭距離在規(guī)定范圍，理由見解析
【分析】（1）過點(diǎn)B作．可得四邊形是矩形，求出，再求出的余弦值，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得答案；
（2）延長交于Q，求出的度數(shù)，解求出，進(jìn)而求出端點(diǎn)A與小紅額頭的距離，即可判斷．
【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)B作．

可得四邊形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即；
（2）解：端點(diǎn)A與額頭距離在規(guī)定范圍．理由如下：
如圖，延長交于Q，

，，
∴，
中，
∴，
∴端點(diǎn)A與小紅額頭的距離為，
，
∴端點(diǎn)A與額頭距離在規(guī)定范圍．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形．
6．如圖，一數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組要測量某路燈Q﹣P﹣M的頂部到地面的距離的長，他們借助卷尺、測角儀進(jìn)行測量，測量結(jié)果如下：
根據(jù)以上測量結(jié)果，計(jì)算路燈頂部到地面的距離為多少米．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1米．）
【答案】
【分析】過A作于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到m，m，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：過A作于H，
則m，m，
在Rt中，，
，
(m)，
答：路燈頂部到地面的距離約為.
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)關(guān)系求值．
測量項(xiàng)目
測量數(shù)據(jù)
從A處測得路燈頂部M的仰角α
α＝58°
測角儀到地面的距離AB
AB＝1.6米
路燈頂部M正下方N至測量點(diǎn)B的水平距離BN
BN＝2米
測量項(xiàng)目
測量數(shù)據(jù)
從A處測得路燈頂部M的仰角α
α＝58°
測角儀到地面的距離AB
AB＝1.6米
路燈頂部M正下方N至測量點(diǎn)B的水平距離BN
BN＝2米

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