注意事項：
1.答卷前，請考生先在答題卡上準確工整地填寫本人姓名、準考證號；
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂：非選擇題必須使用0.5mm黑色簽字筆答題；
3.請在答題卡中題號對應的區(qū)域內作答，超出區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效；
4.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、損毀；考試結束后，將答題卡交回.
第I卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】先求出，圖知道陰影部分表示中把中去掉后剩下元素組成的集合，寫出結果即可.
【詳解】，由圖知道陰影部分表示中把中去掉后剩下元素組成的集合.
即圖中陰影部分表示的集合為.
故選：A.
2. 設復數(shù)滿足，則（ ）
A. B. 1C. D.
【正確答案】B
【分析】利用復數(shù)的除法算出復數(shù)，由模長公式計算.
【詳解】復數(shù)滿足，得，
則.
故選：B.
3. 設等差數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A. 58B. 68C. 116D. 136
【正確答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式結合前項和公式求解即可.
【詳解】因為，所以即
所以
故選：B.
4. 遺忘曲線由德國心理學家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律，某同學利用信息技術擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經(jīng)過的時間（小時）的大致關系：，則記憶率為20%時經(jīng)過的時間約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A. 80小時B. 90小時C. 100小時D. 120小時
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題設得到，兩邊取對數(shù)求解，即可得出結果.
【詳解】根據(jù)題意得，整理得到，兩邊取以10為底的對數(shù)，
得到，即，又，
所以，得到，
故選：C
5. 在平行四邊形中，點，，分別滿足，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】以為基底，根據(jù)向量的加法、減法、數(shù)乘運算求解即可.
【詳解】由題意，如圖，

，
故選：A
6. 已知函數(shù)，若正實數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A B. 7C. D.
【正確答案】D
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性單調性，據(jù)此可得，再由基本不等式求最值即可.
【詳解】因為，所以函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，
又，
所以為奇函數(shù)，且易知在上單調遞減，
又，即
所以，即，
，當且僅當即時等號成立，
故選：D
7. 已知為銳角，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用誘導公式與兩角和的余弦公式化簡已知條件等式得，根據(jù)角的范圍與函數(shù)值的大小比較得，從而得到，然后利用兩角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得.
【詳解】由，
得，
則，由為銳角，則，
又，，
故，
所以
，
由二倍角余弦公式得，則.
又為銳角，所以，
故.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】問題等價于恒成立，不妨令，求出即可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】當，恒成立，
，即恒成立.
不妨令，則
設，有，，
當時，，在上單調遞增，有，
所以時， ，當且僅當時等號成立.
故，
當且僅當，即時上式取得等號，
由對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質可知，方程顯然有解，
所以，得.
故選：B.
方法點睛：
問題等價于恒成立，由，利用，得到.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知向量，，滿足，，，則（ ）
A. B. 當時，
C. 當時，D. 在上的投影向量的坐標為
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)向量坐標運算及模的定義判斷A，根據(jù)平行可得坐標關系判斷B，根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0判斷C，根據(jù)向量的投影向量的概念判斷D.
【詳解】對A，，所以，故A錯誤；
對B，當時，，即，故B正確；
對C，，由可得，即，故C正確；
對D，在上的投影向量為，故D錯誤.
故選：BC
10. 已知函數(shù)，，定義域均為，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)與有相同的最小正周期
B. 若函數(shù)在上單調遞增，則的最小值為
C. 當，的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到
D. 當時，若方程在區(qū)間內的解為，，則
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)正余弦型函數(shù)周期判斷A，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調性判斷B，根據(jù)圖象平移判斷C，根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性及誘導公式判斷D.
【詳解】對A，周期均為，故A正確；
對B，時，，由在上單調遞增，
所以，解得，故B正確；
對C，當時，，函數(shù)y=fx的圖象向右平移個單位得到
，故C錯誤；
對D，當時，，即，
由可知，
因為，且，所以由正弦函數(shù)性質可知，
即，所以，即，
所以，故D正確.
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)與及其導函數(shù)f'x與的定義域均為.若為奇函數(shù)，，，則（ ）
A. B.
C. 曲線y=f'x關于點12,1中心對稱D.
【正確答案】ACD
【分析】對A，賦值法令和計算即可；對B，易知f'x為偶函數(shù)，不能確定；對C，運用已知條件推出關于中心對稱，進而得到關于中心對稱；對D，由f'x為偶函數(shù)得f'x周期為2，結合條件得到， 求出，進而求.
【詳解】對于A，令，令，則，A正確；
對于B，為奇函數(shù)，則f'x為偶函數(shù)，則求不出，故B錯誤；
對于C，，
又，則，
則關于中心對稱.
，結合函數(shù)圖象平移，
關于中心對稱，C正確；
對于D，由于f'x為偶函數(shù)，結合C所得對稱中心，知f'x周期為2，且，，
又則，且
，
，
則D正確.
故選：ACD
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)，則______________.
【正確答案】
【分析】利用分段函數(shù)解析式分別代入計算可得結果.
【詳解】根據(jù)分段函數(shù)性質可得，
由可得，即
故
13. 育才中學研究性學習小組為測量如圖所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三點，，處測得雕塑頂端處仰角均為，且，，則該雕塑的高度為______________m．

【正確答案】
【分析】由題可得，，由正切函數(shù)定義得出，進而得出點為的外心，根據(jù)已知條件及余弦定理，正弦定理即可求解．
【詳解】
由題可知，，，
設，在中，，所以，
同理可得，所以點為的外心，且外接圓半徑為，
由余弦定理得，，所以，
由正弦定理得，，則，
所以該雕塑的高度為，
故．
14. 已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是______________.
【正確答案】112
【分析】作出的圖象，換元后，先考慮方程根的個數(shù)及根所在范圍，再由數(shù)形結合求原函數(shù)零點的個數(shù).
【詳解】作出的圖象，如圖，
令，考慮方程的根，由圖象可知有16個根，
分別設為，由圖象知，
，
再考慮，分別作出直線，
可知原函數(shù)共有零點個.
故112
關鍵點點睛：本題的關鍵點一個是作出函數(shù)的圖象，再一個就是通過換元結合圖象先求出方程的根的個數(shù)及范圍，最后再由數(shù)形結合確定原函數(shù)零點個數(shù).
四、解答題：本題共5題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知正項等差數(shù)列滿足：且，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的前項和.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用已知，，成等比數(shù)列，用等差數(shù)列基本量列方程并求解，再由等差數(shù)列通項公式可得結論；
（2）分別利用等差與等比數(shù)列求和公式分組求和法可得結論.
【小問1詳解】
設正項等差數(shù)列an的公差為，則，
由成等比數(shù)列，
得，則，
又，即，解得（舍），或.
所以.
數(shù)列an的通項公式為.
【小問2詳解】
由題意得，，
則，且，
故bn是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，
.
故數(shù)列的前項和為.
16. 心流是由心理學家米哈里提出的概念，指人們在進行某項活動時，完全投入并享受其中的狀態(tài).某中學的學習研究小組為設計創(chuàng)新性學習活動，隨機抽取了100名學生進行調研，男生與女生的人數(shù)之比為3：2，其中女生有35名自述活動過程中體驗到心流，男生有15名沒有體驗到心流.
（1）完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值的獨立性檢驗，能否認為學生在創(chuàng)新性學習活動中是否體驗到心流與性別有關？
（2）在體驗到心流的學生中，有，兩名同學表示特別喜愛這種創(chuàng)新性學習活動，希望參加到進一步的學習中，在接下來的進一步學習中，研究小組將每次從體驗到心流的學生中不放回的隨機抽名同學參加，記抽取兩次后抽中或的概率為，當為何值時最大？請證明你的結論.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
【正確答案】（1）答案見解析
（2）當時，最大.
【分析】（1）先計算，得到列聯(lián)表，再求出卡方值，再判斷即可；（2）先求出，再根據(jù)階乘公式化簡得到，作差比較大小得到，則為增函數(shù)，運用函數(shù)單調性可得到答案.
【小問1詳解】
因為調查的女生人數(shù)為：，所以調查的男生人數(shù)為.
所以2×2列聯(lián)表如下：
零假設:學生在創(chuàng)新性學習活動中是否體驗到心流與性別無關.
根據(jù)公式和數(shù)據(jù)計算可得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷不成立,
因此可以認為成立,即創(chuàng)新性學習活動中體驗到心流與否與性別無關.
【小問2詳解】
當時, 的值最大.
,運用階乘公式整理得到，
.
由于，則，則為增函數(shù).則當時， 最大.
17. 在中，的對邊分別為，，，且滿足_______________.
請在①；②，這兩個中任選一個作為條件，補充在橫線上，并解答問題.
（1）求；
（2）若面積為，，點在線段上，且，求的長.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）選擇①：利用正弦定理和余弦定理可得，即；
選擇②：由誘導公式可得，再結合可得；
（2）根據(jù)三角形面積以及角的正切值可解得，再由點的位置關系利用向量可求出結果.
【小問1詳解】
若選擇①，
由可得，
利用正弦定理可得，整理可得；
所以，又，
可得.
若選擇②,
由誘導公式可得；
由可得，
可得，所以，
即.
【小問2詳解】
如下圖所示：
由面積為可得，即，
又且，所以；
又可得；
易知，
由可得，
即可得；
由點在線段上，且，可得，
所以
即的長為.
18. 已知圓交軸于，兩點，橢圓過點且以為長軸.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知直線與橢圓交于，兩點，與圓交于，兩點，若不重合的兩條直線與分別平分線段，.
①求證：為定值；
②已知直線，與橢圓分別交于，，，，且，求四邊形面積的最大值.
【正確答案】（1）
（2）①證明見解析②四邊形面積的最大值為3.
【分析】（1）令.設橢圓C的標準方程為，橢圓經(jīng)過，代入計算即可;
（2）①畫出圖形，顯然直線與垂直，設直線，則直線l與橢圓交于, 由于直線平分直線l與圓O的交線段，則有，
運用點差法得到.②畫出圖形，得到聯(lián)立方程得，則直線l1與橢圓交線長為,同理可得直線l2與橢圓的一個交點算出D到直線l1的距離， 得到四邊形面積 ，結合.得到.和分情況討論，結合基本不等式得到四邊形面積的最大值即可.
【小問1詳解】
由,令得，令.
則可設橢圓C的標準方程為，橢圓經(jīng)過，
代入計算得到.則橢圓的標準方程.
【小問2詳解】
①顯然直線與垂直，設直線，則
直線l與橢圓交于,

由于直線平分直線l與圓O的交線段，則有，
于是,由于則則.
②由題知，則易知
令得，則直線l1與橢圓交線長為，
同理可得直線l2與橢圓的一個交點，
則D到直線l1的距離，
所以四邊形面積 .
由于.則.
當時，四邊形不存在.
當時，
所以四邊形面積的最大值,在時取到.
方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.有時候可以借助基本不等式求解.
19. 已知函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若在定義域內恒成立，求的取值范圍；
（3）求證.
【正確答案】（1）
（2）1 （3）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)兩函數(shù)關于對稱求解析式即可；
（2）先探求時成立，再證明當時恒成立，證明過程利用導數(shù)求出函數(shù)極大值即可；
（3）根據(jù)（2）可得，轉化為，再由，累加相消即可得證.
【小問1詳解】
設圖象上任意一點，則其關于直線的對稱點為，
由題意知，點在函數(shù)圖象上，
所以，
所以.
【小問2詳解】
不妨令，
則在上恒成立，
注意到且在上是連續(xù)函數(shù)，則是函數(shù)的一個極大值點，
所以，又，
所以，解得
下面證明：當時，在上恒成立，
令，則，
當時，，單調遞增；
當時，單調遞減，
所以，即在上恒成立，又，
所以，證畢.
綜上.
【小問3詳解】
由（2）知，，則，，
，
又由（2）知：在恒成立，則在0,+∞上恒成立，
當且僅當時取等號，則令，
則，
，證畢.
關鍵點點睛：在證明第（3）問時，關鍵應用（2）后合理變形，得到，再令，利用（2）中式子得，能夠利用累加相消是證明的關心流
無心流
總計
女生
35
男生
15
合計
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
心流
無心流
總計
女生
35
5
40
男生
45
15
60
合計
80
20
100

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