一、單選題（本大題共8小題）
1．若向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則（ ）
A．1B．C．D．
3．某工廠生產(chǎn)三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取1個(gè)容量為的樣本，若樣本中種型號(hào)的產(chǎn)品有16件，則樣本容量（ ）
A．40B．60C．80D．100
4．用平面截一個(gè)球，所得的截面面積為，若到該球球心的距離為，則球的體積（ ）
A．B．C．D．
5．已知雙曲線過點(diǎn)，且與橢圓有相同的頂點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
6．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知直線與動(dòng)圓，下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，若直線與圓相切，則
C．若存在一條直線與圓相交截得弦長(zhǎng)為定值，則
D．當(dāng)時(shí)，直線截圓的最短弦長(zhǎng)為
8．已知，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的左支上，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．7B．8C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為和，如甲、乙兩人各射擊一次，則下列求解過程正確的是（ ）
A．目標(biāo)恰好被命中一次的概率為
B．目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為
C．目標(biāo)被命中的概率為
D．目標(biāo)被命中的概率為
10．已知曲線（ ）
A．若，則為橢圓
B．若，則為雙曲線
C．若為橢圓，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)一定大于
D．若為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則其離心率小于
11．已知圓，圓，則（ ）
A．若圓與圓無公共點(diǎn)，則
B．當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦長(zhǎng)所在直線方程為
C．當(dāng)時(shí)，P、Q分別是圓與圓上的點(diǎn)，則的取值范圍為
D．當(dāng)時(shí)，過直線上任意一點(diǎn)分別作圓、圓切線，則切線長(zhǎng)相等
三、填空題（本大題共3小題）
12．設(shè)的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則 .
13．如圖，橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)分別為，是橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則 .
14．已知圓，為圓外的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，使取得最小值的點(diǎn)稱為圓的萌點(diǎn)，則圓的萌點(diǎn)的軌跡方程為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的周長(zhǎng)為，且．
（1）求邊的長(zhǎng)；
（2）若的面積為，求角的度數(shù)．
16．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足到兩點(diǎn)的距離之比為.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)已知直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，若，求的方程.
17．已知橢圓（）的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且∠F1F2P＝90°，求△F1F2P的面積；
（3）過點(diǎn)A作斜率為k1，k2的兩條直線，分別交橢圓于D，E兩點(diǎn)，若D，E兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求k1k2的值．
18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng).
19．定義：M是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”；若G同時(shí)是圓E和圓F的“黃金點(diǎn)”，則稱G為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點(diǎn)”
(1)求點(diǎn)P所在曲線的方程.
(2)已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.
（?。┣笾本€的方程.
（ⅱ）若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點(diǎn)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k，在y軸上是否存在一點(diǎn)W，使得y軸平分？若存在，求出點(diǎn)W的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
解答：選項(xiàng)A、．
選項(xiàng)B、
選項(xiàng)C、，正確．
選項(xiàng)D、因?yàn)樗詢上蛄坎黄叫校?br>2．【正確答案】D
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：D.
3．【正確答案】C
【詳解】設(shè)種型號(hào)的產(chǎn)品有件，
因?yàn)槿N不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為2：3：5，
所以種型號(hào)的產(chǎn)品有件，種型號(hào)的產(chǎn)品有件，
由已知可得，
所以，
故選：C.
4．【正確答案】C
【詳解】設(shè)截面圓半徑為，球半徑為，球心到截面的距離為.
根據(jù)題意可得：，，
則.
所以球的半徑為，
所以球的體積為.
故選：C.
5．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以頂點(diǎn)在軸上，
因?yàn)闄E圓的左右頂點(diǎn)為，所以，
因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以，所以，
所以，所以，
故選：B.
6．【正確答案】A
【詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由已知可得，，，，則，，
所以.
又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A.
7．【正確答案】C
【詳解】對(duì)于A，將直線整理為，
令，解得，
所以直線過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
圓的方程可化為，則圓心，半徑，
因?yàn)橹本€與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑，即，解得或，
故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)圓心到直線的距離為，
則弦長(zhǎng)，若弦長(zhǎng)為定值，則為定值，
又圓心在直線上，
所以直線與直線平行或直線過圓心，
當(dāng)直線與直線平行時(shí)，可得，解得，
此時(shí)，，則是定值，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，圓，圓心，半徑為，
直線過定點(diǎn)，圓心O0,0到點(diǎn)的距離為，
當(dāng)直線垂直于時(shí)，弦長(zhǎng)最短，
直線截圓的最短弦長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
8．【正確答案】A
【分析】
求得雙曲線的，，，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用雙曲線的定義和圓的性質(zhì)，結(jié)合三點(diǎn)共線取得最值的性質(zhì)，即可得到所求最小值.
【詳解】
雙曲線中
，，，，
，，
圓半徑為，，
，
(當(dāng)且僅當(dāng)，，共線
且在，之間時(shí)取等號(hào))，
，
當(dāng)且僅當(dāng)是線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).
的最小值是7.
故選：
本題考查雙曲線的定義和方程?性質(zhì)，以及圓的方程和性質(zhì)，考查三點(diǎn)共線取得最值的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.
9．【正確答案】BD
【詳解】甲、乙命中目標(biāo)的概率分別為和，
選項(xiàng)A：目標(biāo)恰好被命中一次的概率為，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為，故B正確；
選項(xiàng)CD：目標(biāo)被命中的概率為，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：BD.
10．【正確答案】BCD
【詳解】根據(jù)曲線所表示的圖形求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的表達(dá)式，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用雙曲線的離心率公式可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若為橢圓，則，A不正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，若為雙曲線，等價(jià)于，即或，B正確：
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，
當(dāng)時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，若為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，
雙曲線的離心率為，D正確.
故選：BCD.
11．【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)兩圓無公共點(diǎn)可得，圓內(nèi)含或外離，從而求出的范圍，判斷A錯(cuò)；由兩圓的方程作差，即可得出公共弦所在直線方程，判斷B正確；由，先判斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而可得范圍，判斷C正確；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，分別求出直線上任意一點(diǎn)到兩圓心的距離，進(jìn)而求出切線長(zhǎng)，即可判斷D正確.
【詳解】由題意，圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；
則圓心距為；
A選項(xiàng)，若圓與圓無公共點(diǎn)，則只需或，解得或，故A錯(cuò)；
B選項(xiàng)，若，則圓，由與兩式作差，可得兩圓公共弦所在直線方程為，故B正確；
C選項(xiàng)，若，則，此時(shí)，所以圓與圓相離；又P、Q分別是圓與圓上的點(diǎn)，所以，
即，故C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)可知，兩圓外離；
記直線上任意一點(diǎn)為，則，
所以，
，
因此切線長(zhǎng)分別為，，
即，故D正確；
故選：BCD.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
求解本題的關(guān)鍵在于熟記圓與圓位置關(guān)系、公共弦所在直線方程的求法，以及圓的切線長(zhǎng)的求法等，結(jié)合題中條件，即可求解.
12．【正確答案】.
【分析】利用余弦定理結(jié)合條件建立方程解方程即可.
【詳解】由余弦定理知，
所以，所以.
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】由橢圓定義可知：，由雙曲線定義可知：，
解得，所以，
故答案為.
14．【正確答案】.
【詳解】
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
由在圓外知的取值范圍是，所以能成立，
故的最小值為.
由知，萌點(diǎn)的軌跡為圓，方程為.
故
15．【正確答案】（1）1；（2）.
【詳解】（1）因?yàn)槿切沃荛L(zhǎng)為，所以①，
因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻芒冢?
由①②聯(lián)立，解得．
（2）由的面積得，由（1），
由余弦定理，得，
∵，∴．
16．【正確答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）由條件可知，所以，化簡(jiǎn)可得，
所以.
（2）表示圓心為，半徑為的圓；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>即與圓沒有交點(diǎn)，故不符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，
圓心到直線的距離為，
因?yàn)椋?，解得或?br>所以的方程為或.
17．【正確答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）由題意，橢圓（）焦點(diǎn)在x軸，2a＝，
則，橢圓的離心率，
所以c＝1.
由b2＝a2﹣c2＝1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）因?yàn)椤螰1F2P＝90°，則當(dāng)x＝c＝1時(shí)，解得：y＝±，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，±），
所以△F1F2P的面積，
所以△F1F2P的面積.
（3）點(diǎn)A（0，1），設(shè)，
則
由直線AD的斜率
直線AE的斜率
即k1k2的值為．
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2).
(3).
【分析】（1）由已知四邊形為矩形，證明，由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；
（3）設(shè)，求，利用向量方法求直線與平面所成的角的正弦值，列方程求.
【詳解】（1）因?yàn)?，因?yàn)?，?br>所以四邊形為矩形，
在中，，，，
則，
所以，所以，
且平面平面，平面
平面平面，
所以平面；
（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，可得，
則，，，，C?1,3,0，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取.
設(shè)平面的法向量為，，
由，取，
.
二面角是鈍角，
二面角的正弦值為.
（3）設(shè)，則，
又平面的法向量為，
直線與平面所成的角的正弦值為，
解得，.
19．【正確答案】(1)
(2)（?。áⅲ┐嬖冢?br>【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P為圓A的“黃金點(diǎn)”，
所以，即，
所以點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，
故點(diǎn)P所在曲線的方程為
（2）（ⅰ）因?yàn)镻為圓B的“黃金點(diǎn)”，則
所以，即點(diǎn)P在圓上，
則P是圓和的交點(diǎn).
因?yàn)镻，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”，
所以直線即為圓和的公共弦所在直線，兩圓方程相減可得，
故直線的方程為.
( ii )設(shè)的圓心為，半徑為，
的圓心為，半徑為.
直線的方程為，得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)S到直線的距離為，
則，所以圓H的方程為.
假設(shè)軸上存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，.
若軸平分，則，即，
整理得
又，所以代入上式可得，
整理得①，
由可得，
所以，代入①并整理得，
此式對(duì)任意的都成立，所以.
故軸上存在點(diǎn)，使得軸平分.

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