1．已知點(diǎn)，，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．3D．2
2．在正方體中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直線過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．一艘輪船北偏西方向上有一燈塔，此時(shí)二者之間的距離為海里，該輪船以海里時(shí)的速度沿南偏西的方向直線航行，行駛半小時(shí)后，輪船與燈塔之間的距離為（ ）
A．18海里B．16海里C．14海里D．12海里
5．若方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（ ）
A．B．C．3D．
7．已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．B．C．1D．
8．若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知圓：的半徑為2，則（ ）
A．
B．點(diǎn)在圓的外部
C．圓與圓外切
D．當(dāng)直線平分圓的周長時(shí)，
10．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則（ ）
A．為質(zhì)數(shù)
B．為直角三角形
C．與所成角的正弦值為
D．幾何體的體積為
11．“曼哈頓距離”用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上的任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離.下列命題是真命題的是（ ）
A．若點(diǎn)，，則的值可能是
B．若點(diǎn)，，則在軸上存在點(diǎn)，使得
C．若點(diǎn)，，，則在線段上存在點(diǎn)，使得
D．若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的值可能為
三、填空題（本大題共3小題）
12．直線：與直線：平行，則 ，的傾斜角為 .
13．若直線：與：相交于點(diǎn)，，則 .
14．已知M，E，F(xiàn)均為圓柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，直線EF經(jīng)過圓柱的中心O，，圓柱的底面圓的半徑為5，則的最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是，，.已知，，.
(1)求；
(2)求的值；
(3)求的面積.
16．已知圓：，直線過點(diǎn).
(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；
(2)若與圓相切，求的方程；
(3)若與圓相交于，兩點(diǎn)，且（其中為圓的圓心）為直角三角形，求的方程.
17．如圖，在三棱柱中，平面，，

(1)證明：平面.
(2)求平面與平面的夾角.
18．如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面ABCD，E為AD的中點(diǎn).
(1)證明：平面PAB.
(2)證明.
(3)試問在線段PE上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
19．若圓與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，，且為線段PQ的中點(diǎn)，則稱是的m等距共軛圓.已知點(diǎn)，均在圓上，圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若圓是圓的8等距共軛圓，設(shè)圓心的軌跡為.
（i）求的方程.
（ii）已知點(diǎn)，直線l與曲線交于異于點(diǎn)H的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若直線HE與HF的斜率之積為3，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】根據(jù)題意可得直線的斜率.
故選：C．
2．【正確答案】B
【詳解】.
故選：B
3．【正確答案】D
【詳解】由題意可得直線的斜率為1，則直線的方程為，即.
故選：D
4．【正確答案】C
【詳解】記輪船的初始位置為，燈塔的位置為，半小時(shí)后輪船的位置為，如圖所示.
依題意得海里，海里，.
在中，由余弦定理得，
所以海里，即行駛半小時(shí)后，輪船與燈塔之間的距離為海里.
故選：C.
5．【正確答案】D
【詳解】若方程表示一個(gè)圓，則，
方程可化為，
所以，解得，且不等于0，
所以或.
故選：D
6．【正確答案】D
【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則
解得，則，
所以.
故選：D.

7．【正確答案】B
【詳解】,
故點(diǎn)到直線的距離為,
故選：B
8．【正確答案】A
【詳解】圓的圓心為，半徑，
且圓心到直線的距離，
由題意可知：，則，
即，解得或，
所以m的取值范圍為.
故選：A.
9．【正確答案】ABC
【詳解】根據(jù)題意可得，所以，A正確.
圓：，因?yàn)椋渣c(diǎn)1,4在圓的外部，B正確.
圓的圓心為，半徑為8，因?yàn)椋?br>所以圓與圓外切，C正確.
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，若直線平分圓的周長，則直線過點(diǎn)，則，得，D錯(cuò)誤.
故選：ABC．
10．【正確答案】BCD
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?br>所以不是質(zhì)數(shù)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，
所以為直角三角形，B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>所以與所成角的正弦值為，C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)已知6個(gè)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)可得幾何體為三棱臺(tái)，
且與該三棱臺(tái)的底面垂直，，
所以幾何體的體積為，D正確.
故選：BCD.
11．【正確答案】BD
【詳解】對(duì)于A，，不可能為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)，則，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，在軸上存在點(diǎn)，使得，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，作，垂足為，則，
，
直線斜率，，即，，
；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，；
恒成立，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若點(diǎn)，點(diǎn)，則滿足點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，
此時(shí)，D正確.
故選：BD.
12．【正確答案】
【詳解】根據(jù)題意可得，解得，
經(jīng)驗(yàn)證，符合題意，則的斜率為1，故的傾斜角為.
故；．
13．【正確答案】
【詳解】因?yàn)閳A心到的距離為，
所以.
故
14．【正確答案】144
【詳解】因?yàn)椋?br>又因?yàn)镺為圓柱的中心，且M，E，F(xiàn)均為圓柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)為底面圓周上時(shí)，等號(hào)成立，
且，當(dāng)且僅當(dāng)為過O且與底面平行的圓周上時(shí)，等號(hào)成立，
可得，所以的最大值144.
故144.
15．【正確答案】(1)7；
(2)；
(3).
【詳解】（1）由，得，因?yàn)椋裕?br>根據(jù)余弦定理得.
（2）根據(jù)正弦定理，得，則，，
故.
（3）的面積.
16．【正確答案】(1)或.
(2)
(3)或.
【詳解】（1）若經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)方程為，由得，則的方程為.
若不經(jīng)過原點(diǎn)，則可設(shè)的方程為，
因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，
所以的方程為，即.
故的方程為或.
（2）由圓：，可得圓心，半徑為2.
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，軸，所以直線的方程為.
（3）因?yàn)闉橹苯侨切危?，所以?br>則圓心到的距離為.
由題意易得的斜率一定存在，所以可設(shè)的方程為，即.
由，解得或，
故的方程為或.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2).
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?
因?yàn)?，所?
在菱形中，.
因?yàn)椋?br>所以平面.
（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，.取的中點(diǎn).連接.
因?yàn)槠矫妫裕?br>易得為等邊三角形.所以.
因?yàn)?，所以平?
以為原點(diǎn)，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，B1,0,0，，，.
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)?，?br>所以
令，得.
由（1）知平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?，所以平面與平面的夾角為.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在；答案見解析
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面PAB.
（2）
作交于，
因?yàn)?，所以，又，所以?br>又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>又E為AD的中點(diǎn)，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，
所以，所以，
又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面，
所以平面，
平面，所以.
（3）設(shè)存在，
作交與，
由（2）可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
設(shè)直線CM與平面PBC所成角的為，
則，
解得，所以在線段PE上存在點(diǎn)，此時(shí).
19．【正確答案】(1)；
(2)（i）；（ii）直線過定點(diǎn)
【詳解】（1）因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)，
且點(diǎn)，均在圓上，則，
可得，解得，
即圓心為，半徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）（i）因?yàn)椋深}意可得，
可知圓心的軌跡是以為圓心，半徑的圓，
所以的方程為；
（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，且，
，
整理可得，
則
可得，即或，
當(dāng)，直線過定點(diǎn)；
當(dāng)，直線過定點(diǎn)，不合題意；
可知直線過定點(diǎn)；
若直線l的斜率不存在，設(shè)，
則，即，
且在圓上，則，
即，解得，不合題意；
綜上，直線過定點(diǎn).
【方法總結(jié)】
1.動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．
解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將b用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；
2.動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．
解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€ C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．

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