一、選擇題： 本大題共 10 小題， 每小題 4 分， 共 40 分．在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的．
1. 已知實數(shù)集， 集合， 則 （ ）
A. B. 或
C. D. 或
【正確答案】B
【分析】根據(jù)補集的定義，結(jié)合并集的定義進行求解即可.
【詳解】因為集合
所以，而，
所以 或 ，
故選：B
2. 若復(fù)數(shù)滿足， 則復(fù)數(shù)的模為（ ）
A. 2B. C. D. 4
【正確答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和減法的運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式進行求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
故選：B
3. 已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線， 且它們的離心率不相同， 則下列方程中有可能為雙曲線的標準方程的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】求出雙曲線的離心率以及漸近線方程，再逐一判斷選項的離心率和漸近線即可.
【詳解】雙曲線中，，則漸近線方程為，離心率.
對于A，，則離心率，故A錯誤；
對于B，，則漸近線方程為，故B錯誤；
對于C，，則離心率，故C錯誤；
對于D，，則漸近線方程為，離心率，故D正確.
故選：D
4. 設(shè)， 則“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)充分性、必要性的定義進行分析判斷即可.
【詳解】當成立時，顯然，
當時，例如時，分式?jīng)]有意義，
所以“ ”是“ ”的充分不必要條件，
故選：A
5. 已知一個側(cè)棱均相等的三棱錐的三視圖 (如圖)， 根據(jù)圖中標出尺寸(單位： )， 可得這個三棱錐的體積是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)三視圖還原三棱錐，畫出直觀圖，并找出相關(guān)量即可.
【詳解】由三視圖可畫出三棱錐的直觀圖，如下
在三棱錐中，，，，
，平面，，
，，
中，所以.
故選:C.
6. 已知某函數(shù)的圖象 (如圖)， 則該函數(shù)的解析式可能為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)值趨勢分析進行判斷即可.
【詳解】由圖像，
對于B， .所以不符合圖象；
對于C，所以不符合圖象；
對于D，所以不符合圖象，
最后可以確定只有A符合題意，
故選：A.
7. 將3只小球放入3個盒子中， 盒子的容量不限， 且每個小球落入盒子的概率相等． 記為分配后所?？蘸械膫€數(shù)， 為分配后不空盒子的個數(shù)， 則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)古典概型計算公式、數(shù)學(xué)期望的公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)進行判斷即可.
【詳解】因為一共有3個盒子，所以，
因此，，
由題意可知：，
，，
，
，所以，
故選：C
8. 如圖， 在正方體中， 點分別為的中點， 設(shè)過點的平面為， 則下列說法正確的是（ ）
A. 在正方體中， 存在某條棱與平面平行
B. 在正方體 中， 存在某條面對角線與平面平行
C. 在正方體 中， 存在某條體對角線與平面平行
D. 平面截正方體所得的截面為五邊形
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意可得 交平面于點， 交平面于點， 交平面于點，
故不存在某條棱與平面平行，即可以判斷選項A錯誤；
由六個面的12條面對角線與平面都相交，即可判斷選項B錯誤；
體對角線全部與交，即可判斷選項C錯誤；
補全圖形可得平面截正方體所得的截面為五邊形，即可以判斷選項D正確.
【詳解】對于選項A，交平面于點，平面，
都不與平面平行，
交平面于點，平面，
都不與平面平行，
交平面于點，平面，
都不與平面平行，
故A錯誤；
觀察幾何體可知六個面的12條面對角線與平面都相交，
故B錯誤；
四條體對角線全部與面都相交，
故C錯誤.
如下圖，取中點為，易得，
取中點為，連接，易得，
再取中點，連接，則，
，
是平面與正方體底面的交線，
延長，與的延長線交于，連接，交于，
則可得五邊形即為平面交正方體的截面，
故D正確；
故選：D.
9. 已知函數(shù) 若存在互不相等的實數(shù)， 使得， 則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.
【詳解】當時，，或，或舍去，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，此時函數(shù)有最大值，最大值為，
當時，，
函數(shù)的圖象如下圖所示：
因為存在互不相等的實數(shù)， 使得，
說明函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，
所以由數(shù)形結(jié)合思想可知：
不妨設(shè)，
即，
，
因為，
所以，
由，
因為，所以，
故選：A
關(guān)鍵點睛：利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.
10. 已知無窮項實數(shù)列滿足： ， 且 ， 則（ ）
A. 存在， 使得B. 存在， 使得
C. 若， 則D. 至少有2021個不同的， 使得
【正確答案】D
【分析】題設(shè)的遞推關(guān)系可化為，利用數(shù)學(xué)歸納法可證命題：命題若，則及若，則，從而可判斷各項正誤.
【詳解】因，故，
所以，其中，
故，否則，矛盾.
又，故即，
故當時，，故A錯誤.
當時，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：若，則.
當時，符合，
設(shè)當時，，
則當時，，故當時，結(jié)論成立.
由數(shù)學(xué)歸納法可得.
故當時，，
故為遞減數(shù)列，故不成立，
故B錯誤.
取， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證：，
當時，，命題成立；
設(shè)當時，，
則，故當時命題成立，
由數(shù)學(xué)歸納法可得命題成立.
若，則即或，
從而或，
或或，
從而或或或，
當時，因為，故，
所以即，所以此時有不同的的值有個，
而，故D成立（此時無需討論其余情況）.
同理若，此時至少有個不同的，使得成立，
但時即即，故C不成立.
故選：D.
思路點睛：對于給定遞推關(guān)系的數(shù)列的性質(zhì)研究問題，可將該關(guān)系進行變形化簡，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法來研究各類性質(zhì)，注意根據(jù)新的遞推關(guān)系的形式合理選擇首項.
非選擇題部分
二、填空題： 本大題共 7 小題， 單空題每小題 4 分， 多空題每小題 6 分， 共 36 分．
11. 瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理： 三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上， 這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”． 在非等邊中， ， 點坐標為， 點坐標為， 且其“歐拉線”與圓 相切， 則的“歐拉線”方程為______________，圓M的半徑______________．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】由“歐拉線”的定義可得，等腰三角形的“歐拉線”就是底邊的中垂線；直線與圓相切，半徑等于圓心到直線的距離.
【詳解】因為 ，所以 的中垂線就是“歐拉線”.
又因為的中點為 ， ，
所以 的“歐拉線”方程為 即；
圓M的半徑為
故，
12. 若實數(shù)滿足約束條件則的最小值為___，的最大值為_________．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】畫出二元一次不等式組表示平面區(qū)域，由直線及的幾何意義即可求解.
【詳解】解：因為實數(shù)滿足約束條件，所以不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示陰影部分，
因為，即，
所以當直線經(jīng)過時在軸上截距最小，即取得最小值2；
的幾何意義，表示可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率，
由，可得交點，
由圖可知.
故；.
13. 已知的展開式的各項系數(shù)的絕對值之和為1024 ， _______，， 展開式中含的項的系數(shù)為_______．
【正確答案】 ①. ； ②. .
【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.
【詳解】二項式的通項公式為：，
所以的展開式的各項系數(shù)的絕對值之和為1024，
因此有，即；
在通項公式中，令，所以展開式中含的項的系數(shù)為，
故；.
14. 如圖， 在中， ， 點在邊上，且， 則 _______， 的面積為_______．
【正確答案】 ①. ②. ##
【分析】利用余弦定理直接計算即可求得，利用余弦定理求得，進而可得，取中點,可得，利用三角形面積公式即可得結(jié)果.
【詳解】在中， ，
,則.
取中點,由可知.
,
，
,
.
故;.
.
15. 某學(xué)校社會實踐小組共有7名成員， 該小組計劃前往該地區(qū)的三個紅色教育基地進行“學(xué)黨史， 頒黨恩， 跟黨走”的主題宣講志愿服務(wù)．若每名成員只去一個基地， 每個基地至少有兩名成員前往， 且甲、乙、丙三名成員作為負責(zé)人分別帶隊前往三個基地， 則不同的服務(wù)方案共有_______種．
【正確答案】
【分析】先把甲、乙、丙全排列分配到三個基地，再將剩下的4名成員分成3組，三組人數(shù)分別為2，1，1，然后再進行分配.
【詳解】甲、乙、丙三名成員作為負責(zé)人分別帶隊前往三個基地則分配方法為，
剩下四人分成三組人數(shù)為2，1，1，故不同的分配方案有，
所以不同的分配方案有，所以共計216種.
故216.
16. 已知，是橢圓上的兩點(點在第一象限)，若，且直線，的斜率互為相反數(shù)，且，則直線的斜率為____________.
【正確答案】
【分析】
設(shè)直線斜率為，得出直線的方程，聯(lián)立方程組消元，得出點坐標，代入橢圓方程計算的值即可得出的斜率.
【詳解】解：延長交橢圓于，由對稱性可知，
設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組，
消元得：，
設(shè)，，
則，
，.
，
即，
，
把代入橢圓方程得：，
解得，，
直線的斜率為.
故答案為.
本題考查橢圓的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)，考查分析問題能力，屬于中檔題.
17. 已知、、是平面向量，是單位向量． 若，， 則的最大值為_______．
【正確答案】
【分析】作，，，，分析可知則點在以線段為直徑的圓上，點在以點為圓心，為半徑的圓上，可得，設(shè)，利用圓的幾何性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.
【詳解】因為，則，即，
因為，即，
作，，，，則，
，則，
固定點，則為的中點，則點在以線段為直徑的圓上，
點在以點為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示：
，
設(shè)，則，
因為，，
故
，
當時，等號成立，即的最大值為.
故答案為.
方法點睛：求向量模的常見思路與方法：
（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用，勿忘記開方；
（2）或，此性質(zhì)可用來求向量的模，可實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化；
（3）一些常見的等式應(yīng)熟記：如，等.
三、解答題
18. 已知函數(shù)的最小正周期為 4 ．
（1）求的值及函數(shù)的對稱中心；
（2）若，且，求.
【正確答案】（1）；對稱中心為；
（2）.
【分析】（1）首先根據(jù)二倍角公式，和差公式，輔助角公式，對函數(shù)化簡，變形為；根據(jù)周期求的值；根據(jù)整體代入的方法求函數(shù)的對稱中心；
（2）首先根據(jù)求出，；從而根據(jù)湊角及和差公式即可求出的值.
【小問1詳解】
，
因為的最小正周期為，所以，又因為，所以解得；
故.
由，得，
所以函數(shù)的對稱中心為.
【小問2詳解】
由，得，即，
又，所以，結(jié)合，
可知，故，
所以
.
19. 如圖， 在四棱錐中， 底面是矩形，， 點為側(cè)棱上一動點 (不含端點)．
（1）求證： 平面 平面；
（2）若， 是否存在點使得直線與平面所成角為？ 若存在， 求出的值； 若不存在， 說明理由．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）存在；或
【分析】（1）由和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而得到平面平面-
（2）作交于，得到平面，以所在的直線分別為軸，過點平行與的直線為軸建立空間直角坐標系，即，求得平面的法向量和向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問1詳解】
證明：因為四邊形為矩形，可得，
又因為，且，平面，
所以平面，
又因為平面，所以平面平面-
【小問2詳解】
解：作交于，
因為，所以 所以平面，
以所在的直線分別為軸，過點平行與的直線為軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示，
可得，所以，
記，即，所以，
所以，
由，故可設(shè)平面的法向量，
又由，得，可解得，所以，
若直線與平面所成角為，
則有，所以，
化簡得，解得，
因此，當時，直線與平面所成角為.
20. 已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為， 且
（1）求數(shù)列的前項和；
（2）在數(shù)列中， ， 且 若對任意的正整數(shù)， 不等式 恒成立， 求實數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)求得與，即可求得其通項公式；
（2）根據(jù)，可得，兩式作差，在根據(jù)題意，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，進而求得，再根據(jù)，可得，對，，三種情況進行分類討論，解決恒成立問題，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
解：等差數(shù)列的公差為，
由，得
解得，
所以；
【小問2詳解】
解：由，得，
相減得，即．
又，，得，
故對任意成立，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
所以；
將代入，得，
即有對任意恒成立．
（ⅰ）當時，成立，所以符合題意-
（ⅱ）當時，由恒成立，即
易知當時，；當時，，故．
所以，且，可解得；
（ⅲ）當時，由恒成立，即
由，
可知當時，，即；
當且時，，即，
又當時，，當時，，當時，，
所以．
所以．
即且，得，解得；
綜上，
21. 如圖，已知點是拋物線上位于第一象限的點，點，點是軸上的兩個動點(點位于軸上方)， 滿足，線段分別交軸正半軸、拋物線于點，射線交軸正半軸于點
（1）若四邊形ANPM為矩形，求點的坐標；
（2）記的面積分別為，求的最大值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)，可得對角線互相平分，即的中點在軸上，然后點在拋物線，即可得；
（2）聯(lián)立直線方程與拋物線，根據(jù)韋達定理求得兩點的縱坐標關(guān)系，再根據(jù)條件判斷與相似，進而求得兩點的坐標關(guān)系，再表示并化簡為關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)兩點的位置關(guān)系，以線段為直徑的圓與拋物線有交點得出關(guān)于的約束，即可確定中取值范圍，最后可得
【小問1詳解】
當四邊形為矩形時，
的中點在軸上，則有：
故-
【小問2詳解】
設(shè)點，直線方程：，
顯然有
聯(lián)立直線與拋物線，得：
消去得：
則有：
由，得：
又由，可得：△∽△
則有：
從而，即
所以，進而有：
結(jié)合（注：由，得，故有）
可得：
又由題意知，存在拋物線上的點滿足條件，即以線段為直徑的圓與拋物線有
交點，且易得圓方程：
聯(lián)立拋物線與圓，得
消去得：
由，結(jié)合，可解得：
令，求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增
又
故有：在上單調(diào)遞增
因此，
解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；在求解相關(guān)最值問題時，通常是先建立目標函數(shù)，然后應(yīng)用函數(shù)的知識來解決問題；
22. 對于正實數(shù)有基本不等式：，其中，為的算術(shù)平均數(shù)，，為的幾何平均數(shù)．現(xiàn)定義的對數(shù)平均數(shù)：
（1）設(shè)，求證：：
（2）①證明不等式：：
②若不等式對于任意的正實數(shù)恒成立，求正實數(shù)的最大值．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）①證明見解析；②2
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在，上單調(diào)遞減，由（1），即可證明；
（2）①用分析法證明：轉(zhuǎn)化為證明，令，由（1）有，即可證明；②先把題意轉(zhuǎn)化為恒成立.令，求出導(dǎo)函數(shù)，對k分類討論：，不符合題意；當時，在，上單調(diào)遞減，恒有（1），符合題意．即可求出正實數(shù)的最大值．
【小問1詳解】
令，則，
，得在，上單調(diào)遞減，
又（1），故當時，，
因此，當時，；
【小問2詳解】
（2）①證明：要證，，，只要證，
只要證，即證，
令，由（1）有，即得，
因此，；
②由，，，恒成立，
得恒成立，即得恒成立，
令，有恒成立，
得恒成立，恒成立，
令，有，
又（1），
當（1），即時，
方程有一根大于1，一根小于1，
可得在，上單調(diào)遞增，故有（1），不符合；
當時，有，
，從而在，上單調(diào)遞減，
故當時，恒有（1），符合．
綜上所述，正實數(shù)的取值范圍為，
因此，正實數(shù)的最大值為2．
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

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