2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色.墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A B.
C. D.
2. 已知，則（ ）
A B. 1C. D. 2
3. 已知非零向量，，則“”是“向量”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 若過(guò)點(diǎn)與圓相切兩條直線的夾角為，則（ ）
A. B. C. D.
5. 二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. 480B. 240C. 120D. 15
6. 已知底面半徑為2的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱側(cè)面積與圓錐側(cè)面積的比值為（ ）
A. 1B. C. D.
7. 函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（ ）
A πB. C. D. 4
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)或或是無(wú)理數(shù)時(shí)，；當(dāng)（，，是互質(zhì)的正整數(shù)）時(shí)，．那么當(dāng)，，，都屬于時(shí)，下列選項(xiàng)恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 隨機(jī)變量，分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，且，，則（ ）
A. B.
C. D.
10. 在正四棱柱中，，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（ ）
A. 過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與直線，都垂直
B. 過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與直線，都相交
C. 有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足和的面積相等
D. 有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足平面平面
11. 已知是曲線上的一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A. 曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B. 對(duì)任意，直線與曲線有唯一交點(diǎn)
C. 對(duì)任意，恒有
D. 曲線在的部分與軸圍成圖形的面積小于
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿足，則線段__________．
13. 已知曲線在處的切線恰好與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．
14. 數(shù)學(xué)老師在黑板上寫上一個(gè)實(shí)數(shù)，然后老師拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面向上，就將黑板上的數(shù)乘以再加上3得到，并將擦掉后將寫在黑板上；如果反面向上，就將黑板上的數(shù)除以再減去3得到，也將擦掉后將寫在黑板上．然后老師再拋擲一次硬幣重復(fù)剛才的操作得到黑板上的數(shù)為．現(xiàn)已知的概率為0.5，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．
15. 在中，角對(duì)邊分別為，，，已知，．
（1）求角和角．
（2）若邊上的高為，求的面積．
16. 已知雙曲線與過(guò)點(diǎn)，的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且雙曲線的離心率．
（1）求直線和雙曲線的方程；
（2）設(shè)，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求證：．
17. 如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，側(cè)面是正三角形，是棱的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．
18. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）若，且一次函數(shù)的圖象和曲線相切于處，求函數(shù)的解析式并證明：恒成立．
（3）若，且函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19. 已知整數(shù)，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，即且．?dāng)?shù)列滿足，．若對(duì)于，恒有等于同一個(gè)常數(shù)，則稱數(shù)列為的“左型間隔數(shù)列”；若對(duì)于，恒有等于同一個(gè)常數(shù)，則稱數(shù)列為的“右型間隔數(shù)列”；若對(duì)于，恒有或者，則稱數(shù)列為的“左右型間隔數(shù)列”．
（1）寫出數(shù)列的所有遞增的“左右1型間隔數(shù)列”；
（2）已知數(shù)列滿足，數(shù)列是的“左型間隔數(shù)列”，數(shù)列是的“右型間隔數(shù)列”，若，且有，求的值；
（3）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，．若存在的一個(gè)遞增的“右4型間隔數(shù)列”，使得對(duì)于任意的，都有，求的關(guān)于的最小值（即關(guān)于的最小值函數(shù)）．
2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題
考生注意：
1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色.墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】先求出集合A，后根據(jù)交集概念計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選：C．
2. 已知，則（ ）
A. B. 1C. D. 2
【正確答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>故選：A．
3. 已知非零向量，，則“”是“向量”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】C
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，為非零向量?br>若，則，則，
所以，所以，故充分性成立；
若，則，所以，
所以，則，故必要性成立；
所以“”是“向量”的充要條件.
故選：C．
4. 若過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由題意求出點(diǎn)到圓心的距離為，進(jìn)而可得，結(jié)合二倍角的余弦公式計(jì)算即可求解.
【詳解】點(diǎn)到圓心的距離為，圓的半徑為，
所以，于是．
故選：A．
5. 二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. 480B. 240C. 120D. 15
【正確答案】B
【分析】運(yùn)用通項(xiàng)公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)榈玫匠?shù)項(xiàng)，則．.
故選:B．
6. 已知底面半徑為2的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱側(cè)面積與圓錐側(cè)面積的比值為（ ）
A. 1B. C. D.
【正確答案】C
【分析】借助于軸截面求圓柱的高為，再結(jié)合圓柱、圓錐的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.
【詳解】作出軸截面，如圖所示，
由題意可得：，可知分別為的中點(diǎn)，
則分別為的中點(diǎn)，則，
可得；，所以比值為．
故選：C．
7. 函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（ ）
A. πB. C. D. 4
【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與其對(duì)應(yīng)方程的根、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.
【詳解】由得，即，
函數(shù)零點(diǎn)即方程的根，
作出函數(shù)和的圖象，如圖，
由圖可知兩個(gè)圖均關(guān)于中心對(duì)稱且在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
故函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，所以4個(gè)零點(diǎn)的和為．
故選：B．
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)或或是無(wú)理數(shù)時(shí)，；當(dāng)（，，是互質(zhì)的正整數(shù)）時(shí)，．那么當(dāng)，，，都屬于時(shí)，下列選項(xiàng)恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】使用特值法可排除A,B,C,據(jù)，的取值可分類討論證明D正確.
詳解】當(dāng)時(shí)，，，，
所以，，故排除B、C；
當(dāng)，時(shí)，，，，
所以，故排除A．
下面證明D的正確性：
當(dāng)，之一為無(wú)理數(shù)或者0或者1時(shí)，不等式右邊為0，顯然成立．
當(dāng)，都是真分?jǐn)?shù)時(shí)，不妨設(shè)，，
則不等式右邊為，顯然有左邊大于或等于．
所以不等式成立．
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 隨機(jī)變量，分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，且，，則（ ）
A B.
C. D.
【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)和二項(xiàng)分布的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，根?jù)對(duì)稱性，知道，故A正確；
對(duì)B，因?yàn)椋蔅正確；
對(duì)C，因?yàn)?，故C正確；
對(duì)D，因?yàn)?，，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC．
10. 在正四棱柱中，，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（ ）
A. 過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與直線，都垂直
B. 過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與直線，都相交
C. 有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足和的面積相等
D. 有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足平面平面
【正確答案】AB
【分析】由空間線線、線面、面面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】
由圖可知直線和直線異面，
則過(guò)空間中一點(diǎn)都是有且僅有一條直線與它們垂直，故A正確；
又易知與，都相交，且點(diǎn)在上，
所以過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與直線，都相交，故B正確；
連接交于，易知，所以，
可知到的距離大于，且，
又到的距離小于，結(jié)合所以三角形面積不可能相等，故C錯(cuò)誤；
由正四棱柱易得：平面，又平面，
所以對(duì)任意恒有平面平面，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11. 已知是曲線上的一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A. 曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B. 對(duì)任意，直線與曲線有唯一交點(diǎn)
C. 對(duì)任意，恒有
D. 曲線在的部分與軸圍成圖形的面積小于
【正確答案】ACD
【分析】將，替換為，計(jì)算即可判斷A；取，可判斷有三個(gè)交點(diǎn)即可判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)得出的取值范圍，再結(jié)合的單調(diào)性進(jìn)行求解即可判斷C；利用圖象的對(duì)稱性和半圓的面積進(jìn)行比較即可判斷D．
【詳解】A．對(duì)于，將，替換為，，所得等式與原來(lái)等價(jià)，故A正確；
B．取，可以求得，，均可，故B錯(cuò)誤；
C．由，，函數(shù)，故，
令，解得：，在，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
又因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，，所以有，故C正確；
D．當(dāng)時(shí)，，又，
，所以．
曲線與軸圍成半圓，又曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則曲線與軸圍成圖形的面積小于，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿足，則線段__________．
【正確答案】##
【分析】由已知可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程即可求得點(diǎn)坐標(biāo)，得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闄E圓，則，所以，，
因?yàn)?
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入求得縱坐標(biāo)為，即．
故
13. 已知曲線在處的切線恰好與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．
【正確答案】2
【分析】根據(jù)是曲線在處的切線求出的方程，再求出與曲線相切的切點(diǎn)即可求解.
【詳解】由得，又切點(diǎn)為，故，切線為，
設(shè)與曲線的切點(diǎn)為，，所以，解得切點(diǎn)為，
所以，解得．
故2.
14. 數(shù)學(xué)老師在黑板上寫上一個(gè)實(shí)數(shù)，然后老師拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面向上，就將黑板上的數(shù)乘以再加上3得到，并將擦掉后將寫在黑板上；如果反面向上，就將黑板上的數(shù)除以再減去3得到，也將擦掉后將寫在黑板上．然后老師再拋擲一次硬幣重復(fù)剛才的操作得到黑板上的數(shù)為．現(xiàn)已知的概率為0.5，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【正確答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，由兩次復(fù)合列出不等式求解即可.
【詳解】由題意構(gòu)造，，
則有，，，．
因?yàn)?，恒成立?br>又的概率為0.5，
所以必有或者解得．
故
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．
15. 在中，角的對(duì)邊分別為，，，已知，．
（1）求角和角．
（2）若邊上的高為，求的面積．
【正確答案】（1），
（2）
【分析】（1）根據(jù)余弦定理求出，再將化簡(jiǎn)為，從而求出即可；
（2）根據(jù)邊上的高為求出，，利用求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由余弦定理知，故．
因?yàn)?，所以?br>又，所以，故．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)檫吷系母?，解得，?br>又，
所以的面積．
16. 已知雙曲線與過(guò)點(diǎn)，的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且雙曲線的離心率．
（1）求直線和雙曲線的方程；
（2）設(shè)，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求證：．
【正確答案】（1），；
（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由離心率求出關(guān)系，并化簡(jiǎn)雙曲線方程，再求出直線方程代入雙曲線方程中，利用求解即可；
（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，可進(jìn)一步證明，進(jìn)而證明.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)殡p曲線的離心率，
所以，解得，
設(shè)雙曲線方程.
直線過(guò)點(diǎn)，，
所以直線方程為，即，
代入雙曲線方程，得，
由題意，，解得
所以雙曲線的方程：．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，于是即?br>所以，代入得，
則，又，所以，
因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，
所以．
又，所以，故．

17. 如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，側(cè)面是正三角形，是棱的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）．
【分析】（1）取與中點(diǎn)，．連接，，，，證明四邊形是平行四邊形．得到線面垂直，再用性質(zhì)即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量為，再用向量夾角計(jì)算公式計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
證明：分別取與中點(diǎn)，．連接，，，，
則運(yùn)用中位線性質(zhì)知且,則，
則四邊形是平行四邊形．
側(cè)面是正三角形，易知，.
底面是菱形，，則底面是正三角形，則.
平面， 平面，
平面，.
由于四邊形是平行四邊形．，．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知為二面角的平面角，即，前面知道，
則過(guò)O做AD的垂線Oz，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

設(shè)，則A1,0,0，，，，，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，
則，進(jìn)而求得一個(gè)法向量為．
設(shè)直線與平面所成角為，
則．
18. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）若，且一次函數(shù)的圖象和曲線相切于處，求函數(shù)的解析式并證明：恒成立．
（3）若，且函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為，無(wú)最大值．
（2），證明見(jiàn)解析
（3）．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合單調(diào)性求解最值即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出；令，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值為即可；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，分離參數(shù)得，求解直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
故當(dāng)時(shí)，f'x

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2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市高一上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷

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