注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無(wú)效．
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】C
【分析】利用存在量詞命題否定是全稱量詞命題，即可作出判斷.
【詳解】由命題“，”的否定是“，”,
故選：C.
2. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以,
故選：B.
3. 已知a為實(shí)數(shù)，則“”是“是奇函數(shù)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】由是奇函數(shù)，
則，即，
即，
所以，即，
所以“”是“是奇函數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 已知，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較即可.
【詳解】因?yàn)椋?，且?br>所以，
而，，
所以.
故選：D.
5. 按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本息和y（單位：萬(wàn)元）與儲(chǔ)存時(shí)間x（單位：月）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）．若本金為6萬(wàn)元，在第26個(gè)月時(shí)本息和為24萬(wàn)元，則在第39個(gè)月時(shí)本息和是（ ）
A. 30萬(wàn)元B. 36萬(wàn)元C. 48萬(wàn)元D. 60萬(wàn)元
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，得到，再將代入即可得解.
【詳解】由題意得，，即，，
所以當(dāng)時(shí)，.
即第39個(gè)月時(shí)本息和是48萬(wàn)元.
故選：C.
6. 已知函數(shù)若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用定義可知在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，再根據(jù)是的最小值，即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
任設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，所以，
所以在上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，所以，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，
又因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，即時(shí)，取最小值，
所以，解得,
故選：A.
7. 已知定義在上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】令，由已知不等式和等式可求得的奇偶性和單調(diào)性，將所求不等式化為，由單調(diào)性可得自變量大小關(guān)系，進(jìn)而解得結(jié)果.
【詳解】不妨令，則由得：，
令，則在上單調(diào)遞增；
，，
為定義在R上的奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增；
由得：，即，
，解得：，即不等式的解集為.
故選：C
8. 若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】利用代入消元的方式可將所求式子化為，分別在、和的情況下，結(jié)合基本不等式求得最值.
【詳解】由得：，
；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）；
當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）；
綜上所述：，即的最大值為.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．已知，，則下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BC
【分析】采用作差法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，，
，，，，，
，即，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
，，，即，，B正確；
對(duì)于C，，
，，，，，
即，，C正確；
對(duì)于D，，
，，，，
即，，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 下列說(shuō)法正確是（ ）
A. 函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)點(diǎn)
B. 函數(shù)與是同一函數(shù)
C. 若的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?br>D. 若函數(shù)，則
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)，可確定選項(xiàng)正確，由兩個(gè)函數(shù)定義域不同，可確定錯(cuò)誤，利用抽象函數(shù)的定義域的判斷及分母不為0，可確定正確，利用換元法求函數(shù)解析式，要注意定義域，即可判斷錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，根據(jù)，則，即函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)，故正確；
對(duì)于選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，肯定不是同一個(gè)函數(shù)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，根據(jù)且可得：且，故正確；
對(duì)于選項(xiàng)，令（），則，
則，故錯(cuò)誤.
故選.
11. 已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B.
C. 為奇函數(shù)D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【正確答案】ACD
【分析】取可知A正確；取，結(jié)合A中式子可知B錯(cuò)誤；令可求得為偶函數(shù)，分別令、可證得D正確；取，，結(jié)合D的結(jié)論可證得C正確.
【詳解】對(duì)于A，取，則，A正確；
對(duì)于B，若恒成立，則，恒成立，顯然不合題意，
不恒等于，
令，則，，
將代入A中式子可得：，即，
，B錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，則，即，
為定義在上的偶函數(shù)，；
令，則，
令，則，即，
，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確；
對(duì)于C，取，，則，
由D知：，，
為奇函數(shù)，C正確.
故選：ACD.
第II卷（非選擇題，共92分）
注意事項(xiàng)：第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 函數(shù)，的值域?yàn)開(kāi)_____．
【正確答案】
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為，根據(jù)其單調(diào)性求解即可.
【詳解】由，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)，的值域?yàn)?
故答案為.
13. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且滿足不等式，則的取值范圍為_(kāi)_________．
【正確答案】
【分析】由題意得，解得的值，進(jìn)而結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由題意得，解得，
所以，定義域?yàn)椋?br>而，則函數(shù)為偶函數(shù)，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由，得，即，
解得，即的取值范圍為.
故答案為.
14. 黎曼函數(shù)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，其在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．黎曼函數(shù)定義在上，其解析式如下：定義在上的函數(shù)，滿足，，且函數(shù)為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則__________．
【正確答案】##
【分析】應(yīng)用函數(shù)的奇偶性定義和周期性定義證明函數(shù)為偶函數(shù)和周期函數(shù)，再應(yīng)用周期性與函數(shù)解析式求值即可.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以.
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，即.
于是，則，
于是，即
所以，所以函數(shù)周期為4.
由得，則，所以，所以為偶函數(shù).
因?yàn)榍?，所以?br>又因?yàn)椋?br>所以，，
又，所以
，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，所以，
所以
故答案為.
四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知全集，不等式的解集是，，．
（1）計(jì)算；
（2）若不等式的解集為，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根據(jù)分式不等式的求解，可得集合的元素，結(jié)合補(bǔ)集與并集的運(yùn)算，可得答案；
（2）根據(jù)不等式與方程的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理整理不等式，根據(jù)充分不必要條件，可得集合之間的關(guān)系，建立不等式，可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由，且，則，
由，等價(jià)于，解得，則，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由題意可得，為方程的兩個(gè)解，
則，，化簡(jiǎn)可得，，
所以不等式等價(jià)于，
化簡(jiǎn)可得，則，解得，
所以，
因?yàn)?，且，所以，則，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是D的真子集，
則，（等號(hào)不同時(shí)成立）,解得或.
16. 北京時(shí)間2024年8月12日凌晨，歷經(jīng)19個(gè)比賽日的激烈角逐，第33屆奧運(yùn)會(huì)在巴黎落下帷幕，奧運(yùn)會(huì)上互換的“pin”（即奧運(yùn)徽章）是奧運(yùn)會(huì)期間的一種重要紀(jì)念品和文化交流媒介．人們經(jīng)常能在奧運(yùn)村、比賽場(chǎng)館等場(chǎng)所展示和交換自己的奧運(yùn)徽章，奧運(yùn)徽章的交換不僅限于運(yùn)動(dòng)員中間，還包括觀眾、媒體、志愿者甚至奧組委人員．中國(guó)隊(duì)的熊貓pin更是受到了各國(guó)友人的喜愛(ài)，造成了一pin難求的局面．通過(guò)市場(chǎng)分析，對(duì)熊貓pin而言，某企業(yè)每生產(chǎn)x（萬(wàn)件）獲利w（x）（萬(wàn)元），且滿足.2024年8月該企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備和新的產(chǎn)品方案優(yōu)化產(chǎn)品，優(yōu)化后的產(chǎn)品的其他成本總投入為萬(wàn)元．由市場(chǎng)調(diào)研分析得知，當(dāng)前熊貓pin供不應(yīng)求．記該企業(yè)2024年8月優(yōu)化后的產(chǎn)品的利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)2024年8月優(yōu)化后的產(chǎn)品產(chǎn)是為多少萬(wàn)件時(shí)，該企業(yè)8月的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)，該企業(yè)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是390萬(wàn)元
【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而求解即可；
（2）由二次函數(shù)性質(zhì)與基本不等式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由已知，，
又，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
則時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.
因?yàn)?，所以最大值?90，
故當(dāng)產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)，該企業(yè)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是390萬(wàn)元．
17. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．
（1）判斷并用定義證明在區(qū)間1,+∞上的單調(diào)性；
（2）解關(guān)于的不等式．
【正確答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求出的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）依題意可得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，即，此時(shí)，
函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，
為奇函數(shù)，符合題意；
在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)任意的且，
則
，
因?yàn)榍?，所以，，則，
所以，所以，
即，所以在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減；
【小問(wèn)2詳解】
不等式，即，
又，，且在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，
所以，即，即，解得，
即不等式的解集為.
18. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬?duì)任意的非零實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（3）若，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【分析】（1）采用賦值法可求得，取即可得到奇偶性；
（2）任取，令，，結(jié)合已知等式和在上的正負(fù)即可得到結(jié)論；
（3）記在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)椋瑢?wèn)題轉(zhuǎn)化為；根據(jù)的單調(diào)性可求得；分別在、和的情況下，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)對(duì)稱性求得，根據(jù)包含關(guān)系可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
令，則，；
令，則，；
取，則；
為定義在上的偶函數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
任取，
令，，則，即；
，，
又當(dāng)時(shí)，，，即，
在上單調(diào)遞減.
【小問(wèn)3詳解】
由（1）（2）知：在上單調(diào)遞減且，又，
當(dāng)時(shí)，，記；
對(duì)任意，總存在，使得，
記在上的值域?yàn)椋?br>的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，；
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
，即，
由得：，又，解得：；
②當(dāng)，即時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，即，
由得：，又，解得：；
③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，
，即，
由得：，又，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19. 若定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得，則稱為上的“階交匯函數(shù)”．對(duì)于函數(shù)，記，，，…，，其中，2，3，…，并對(duì)任意的，記集合，并規(guī)定．
（1）若，函數(shù)的定義域?yàn)?，求并判斷是否為上的?階交匯函數(shù)”；
（2）若函數(shù)，試比較和的大小；
（3）設(shè)，若函數(shù)的定義域?yàn)?，且表達(dá)式為：，試證明對(duì)任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得為上的“階交匯函數(shù)”．
【正確答案】（1），為上的“2階交匯函數(shù)”
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)新定義直接計(jì)算；
（2）根據(jù)新定義直接求值比較即可；
（3）由函數(shù)定義說(shuō)明的長(zhǎng)度不變，然后得出在，，，…，（存在正整數(shù)，它們的長(zhǎng)度和大于1）中，必然存在正整數(shù)，使得，再分析得到對(duì)任意的，，進(jìn)而得到，，從而證明結(jié)論成立．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)椋?br>所以為上的“2階交匯函數(shù)”.
【小問(wèn)2詳解】
由，，
則，，
所以，
結(jié)合題設(shè)，可得.
【小問(wèn)3詳解】
證明：對(duì)于任意有限的區(qū)間，記表示區(qū)間的長(zhǎng)度，如果一個(gè)集合是若干個(gè)區(qū)間的并集，則等于組成它的所有區(qū)間的長(zhǎng)度之和，
對(duì)于任意的區(qū)間，，，
不妨設(shè)，，
若，則，，
若，則，，
若，則，，
所以，
對(duì)于任意的區(qū)間，顯然存在正整數(shù)，使得，
因此在，，，…，（它們的長(zhǎng)度和大于1）中，
必然存在正整數(shù)，使得，
因此必存在，使得，
又，則，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又，因此對(duì)任意的，，
所以，，…，，
這表示，取，
所以對(duì)任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得，
即對(duì)任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得為上的“階交匯函數(shù)”．
方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解新定義，能迅速運(yùn)用新定義解題，加速理解新定義，在問(wèn)題（3）的證明中抓住函數(shù)的定義域區(qū)間“長(zhǎng)度”與值域“長(zhǎng)度”不變，從而有，然后利用新定義追根溯源得出．

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