一、單選題
1. 已知集合，則集合B為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】確定全集中的元素，根據(jù)補(bǔ)集的含義，即可求得答案.
【詳解】∵集合，
又，
∴,
故選：D．
2. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】必要性：若，則可得，所以可得，必要性成立；
若，則，而，故充分性不成立，
“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
3. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】判斷出的奇偶性，結(jié)合的符號(hào)可選出答案.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>所以是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除B，D
因?yàn)?，所以排除A
故選：C
4. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值，再利用等差數(shù)列的求和公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，則，可得，
因?yàn)榈炔顢?shù)列bn前項(xiàng)和為，，
則，可得，所以，
因此，.
故選：A.
5. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】由指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得答案.
【詳解】因函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，
則，，
則.
故選：A
6. 設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和，數(shù)列的前m項(xiàng)和，則m的值為（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 20
【正確答案】A
【分析】由結(jié)合題意可得，再由裂項(xiàng)求和法可化簡(jiǎn)，即可得答案.
【詳解】由，
又，
則，
又時(shí)，，則.
則，
則.
令.
故選：A
7. 已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱(chēng)性，可得函數(shù)的周期性，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案.
【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，則為關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)；
由函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)；
故，則，即函數(shù)的最小正周期.
，
由，則，即.
故選：D.
8. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①函數(shù)的最小正周期是；
②函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；
③把函數(shù)圖像上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到的圖象；
④當(dāng)時(shí)，
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正確答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】由圖象知：，解得，故①錯(cuò)誤；
所以，解得.
將代入得，
所以，即，
又因?yàn)椋裕?
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故②正確；
把函數(shù)圖像上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，
得到，故③正確；
當(dāng)時(shí)，，
，，故④錯(cuò)誤.
所以說(shuō)法正確的是②③.
故選：C.
9. 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間上函數(shù)，f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式 的解集是
A. B. （1，＋∞）C. （－∞，1）D. （0，1）
【正確答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，結(jié)合，可得在上單調(diào)遞增，則不等式，可變?yōu)?，則，結(jié)合單調(diào)性即可求解．
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，由，所以，即在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋瑒t不等式，可變?yōu)椋瑒t，所以，所以，故選D
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生發(fā)散思維和計(jì)算能力，屬中檔題．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)給出的條件，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)可應(yīng)用題中條件，得到新函數(shù)的單調(diào)性，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根據(jù)單調(diào)性解不等式問(wèn)題，進(jìn)而得到答案．
二、填空題
10. 的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．
【正確答案】3
【分析】先求出展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式，然后令的指數(shù)為0求解.
【詳解】由展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為：，
令，則，
故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：，
故3.
11. 袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中紅球2個(gè)，白球3個(gè)，依次從中不放回的取球，則第一次取到白球且第二次取到紅球的概率是__________；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是__________.
【正確答案】 ①. ##0.3 ②. 12##0.5
【分析】由題意設(shè)第一次取到白球?yàn)槭录嗀，第二次取到紅球?yàn)槭录﨎，由古典概型概率公式和獨(dú)立事件的乘法公式分別求出，結(jié)合條件概率公式計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)第一次取到白球?yàn)槭录嗀，第二次取到紅球?yàn)槭录﨎，
則，
所以.
故；.
12. 已知等比數(shù)列前項(xiàng)和（其中）．則的最小值是__________．
【正確答案】
【分析】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和可得，再利用基本不等式可得答案.
【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和，
所以，
，
，
又，即，
解得，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.
故答案為.
13. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由已知條件可得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
因?yàn)椋桑?br>可得，即，
即，所以，，即，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
14. 已知函數(shù)，（i）若，將函數(shù)沿x軸向右平移單位后得到函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則______；（ii）若在上單調(diào)，則ω的最大值為_(kāi)_____．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】（i）根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)圖像平移的性質(zhì)，結(jié)合正弦型奇偶性進(jìn)行求解即可；
（ii）根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性與周期性的關(guān)系，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】.
（i）若，則，
函數(shù)沿x軸向右平移單位后得到函數(shù)圖像的解析式為：
，
由題意可知：函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，
于是有，
因，所以令，得；
（ii）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，
所以函數(shù)的最小正周期，
解得，
當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增時(shí)，
因，所以，
則有，
即，
而，所以令，則有；
當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減時(shí)，
因?yàn)?，所以?br>則有，
即，
而，所以令，則有；
綜上所述：ω的最大值為，
故
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分類(lèi)討論.
15. 設(shè)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
【正確答案】，．
【分析】設(shè)，結(jié)合題意可知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，分析時(shí)不符合題意，時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的正負(fù)及的正負(fù)即可求解．
【詳解】由題意，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)，
即函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)最多有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
，
所以，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上無(wú)零點(diǎn)，
所以函數(shù)在，上有三個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上只有一個(gè)零點(diǎn)，
則當(dāng)，時(shí)，，
令，解得或，符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上有1個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)在，上有2個(gè)零點(diǎn)，
則，即，所以；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上有2個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)在，上只有1個(gè)零點(diǎn)，
則或或，即無(wú)解．
綜上所述，的取值范圍是，．
故，．
本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：
(1) 直接法： 令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；
(2) 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3) 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.
三、解答題
16. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為．
(1) 求和的值；
(2) 求的值．
【正確答案】（1），（2）
【分析】（1）由面積公式可得結(jié)合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展開(kāi)求值.
【詳解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.
（2）,
本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查基本運(yùn)算求解能力.
17. 如圖所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；
（3）求平面與平面夾角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而利用向量法即可證明平面；
（2）利用向量法求解直線(xiàn)與平面所成的夾角的正弦值即可；
（3）利用向量法求解平面與平面所成的夾角的余弦值即可.
【小問(wèn)1詳解】
在三棱柱中，平面，，
則直線(xiàn)兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

由，得，，
在中，且是棱的中點(diǎn)，則也是的中點(diǎn)，即，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量n=x,y,z，則
則，令，得，
，因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)槠矫?，所以平面?br>【小問(wèn)2詳解】
由（1）知平面的法向量，又，
設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，
則，
所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，令，得
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值．
18. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿(mǎn)足：，．
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）證明：；
（3）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，求．
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析； （3）.
【分析】（1）利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由題及（1）可求得與，即可完場(chǎng)證明；
（3）由錯(cuò)位相減法可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
因，則，.
則是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)的公差為，
則，則；
由（1），，因，
則
注意到， ，則命題得證；
【小問(wèn)3詳解】
由（1）可得，則，
則.
得，則，
兩式相減得：
.
19. 已知無(wú)窮數(shù)列中，、、…、構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，、、…、，構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其中，．
（1）當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若m是偶數(shù)且，求．
（3）若對(duì)任意的，都有成立，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．判斷是否存在m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【正確答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)的取值利用分段數(shù)列的形式表示通項(xiàng)公式即可；
（2）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可求解；
（3）由題意可知數(shù)列的周期，先將數(shù)列的前項(xiàng)和求出，然后利用周期性可得，構(gòu)造函數(shù)，利用定義法可求出的最大值，即可判斷.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)閙是偶數(shù)，
所以
；
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，
所以數(shù)列的周期為，
由（1）可得，
又，
所以，
設(shè)，
則，
因?yàn)?，所以?br>即，
故時(shí)，取得最大值，最大值為，
從而最大值為，不可能有成立，
故不存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù).
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決（3）的關(guān)鍵是利用數(shù)列的周期性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.
20. 已知函數(shù)，，（）．
（1）求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)，且．
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；
（2），考慮和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值即可；
（3）求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，確定，結(jié)合（2）中的結(jié)論得到，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算最值得到證明．
【小問(wèn)1詳解】
由得，
又，所以，
所以切線(xiàn)方程為：，即；
【小問(wèn)2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，
所以存在，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，
時(shí)，是減函數(shù)，
時(shí)，是增函數(shù)，
所以，所以只需，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)不等式成立，
綜上所述：；
【小問(wèn)3詳解】
，
因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，由正切函數(shù)的性質(zhì)及可知，
在內(nèi)，存在唯一實(shí)數(shù)，使得，
當(dāng)時(shí)，f'x>0，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，f'x

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