天津市河?xùn)|區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)【含答案】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題共45分）
一、選擇題：（本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)符合題目要求）
1. 設(shè)集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.
【詳解】由題設(shè)可得，故，
故選：B.
2. 若，則“”是“”成立的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】由，解得，
由，解得，
所以“”是“”成立的充分不必要條件.
故選：A.
3. 函數(shù)的圖象大致為（）
A B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再取一個(gè)特殊值即可得到正確選項(xiàng)即可.
【詳解】由可得：是奇函數(shù)，
故A,B是錯(cuò)誤的；
又由，故D是錯(cuò)誤的；
故選：C.
4. 某校根據(jù)學(xué)生情況將物理考試成績進(jìn)行賦分，目的是為了更好地對新高考改革中不同選科學(xué)生的考試成績進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，?jīng)過對全校300名學(xué)生的成績統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這些同學(xué)物理成績大于等于60分的人數(shù)為（）
A. 270B. 240C. 180D. 150
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出，進(jìn)而求出物理成績大于等于60分的人數(shù).
【詳解】，解得，
故物理成績大于等于60分的人數(shù)為.
故選：B.
5. 已知，，，則這三個(gè)數(shù)的大小順序是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可以得出，然后即可得出，，的大小順序．
【詳解】解：，，，
．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義，考查了計(jì)算和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
6. 如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，已知為棱的中點(diǎn)，分別在棱上，，記四棱錐，三棱錐與三棱錐的體積分別為，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件分別計(jì)算出的值，即可求解.
【詳解】由題意知：，
，
.
，，.
故選：C.
7. 已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是（）
A. 的最小值為
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 的最小正周期為
D. 的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)選項(xiàng)的內(nèi)容，我們可以利用輔助角公式把函數(shù)解析式化為余弦型函數(shù)形式，結(jié)合余弦型函數(shù)的最值性質(zhì)、單調(diào)性性質(zhì)、最小正周期公式、圖象平移的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】.
A：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
函數(shù)的最小值為，所以本選項(xiàng)說法不正確；
B：由，顯然不是的子集，
所以本選項(xiàng)說法不正確；
C：的最小正周期為，因此本選項(xiàng)說法不正確；
D：的圖象向右平移個(gè)單位得到
，所以本選項(xiàng)說法正確，
故選：D
8. 拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線的交點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由題和拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.
【詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)，雙曲線半焦距，設(shè)點(diǎn) 是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，即，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上，
所以拋物線的準(zhǔn)線，從而軸，所以，

即
故雙曲線的離心率為
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
9. 已知且，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將變形為，借鑒“1”的妙用的處理方式，以及基本不等式求解即可.
【詳解】
因?yàn)椋?br>故；
當(dāng)且僅當(dāng)，且，也即，且時(shí)取得等號(hào).
故的最小值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題處理的關(guān)鍵是能夠觀察到三者之間的關(guān)系，同時(shí)要熟練掌握“”的妙用的處理方式.
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）
10. 已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為________
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算直接化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義可得解.
【詳解】，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故答案為：.
11. 在的展開式中，的系數(shù)是______．
【答案】
【解析】
【分析】寫出已知二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而寫出對應(yīng)項(xiàng)，即可得系數(shù).
【詳解】已知二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為，，
令，可得，則.
故答案為：
12. 已知圓與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，且，則的值為______．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，再利用勾股定理求出，由圓心到準(zhǔn)線的距離可得答案.
【詳解】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，連接，
拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，
所以，
所以圓心到準(zhǔn)線的距離為，
解得，或（舍去）.
故答案為：4.

13. 某廠產(chǎn)品有的產(chǎn)品不需要調(diào)試就可以出廠上市，另的產(chǎn)品經(jīng)過調(diào)試以后有能出廠，則該廠產(chǎn)品能出廠的概率______；任取一出廠產(chǎn)品，求未經(jīng)調(diào)試的概率______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】答題空一：根據(jù)題意設(shè)出事件，利用全概率公式即可求解；答題空二：利用空一結(jié)果，根據(jù)貝葉斯公式即可求解.
【詳解】設(shè)事件表示產(chǎn)品能出廠上市，事件表示產(chǎn)品不需要調(diào)試，表示產(chǎn)品需要調(diào)試，
則有，，，，
由全概率公式可得：
；
由貝葉斯公式可得：
.
故答案為：；
14. 在等腰梯形中，，是腰的中點(diǎn)，則的值為______；若是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
【答案】 ①. ?8 ②.
【解析】
【分析】作出輔助線，求出各邊長，建立平面直角坐標(biāo)系，得到，求出，設(shè)，，故，求出，故，從而得到最小值.
【詳解】過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，
因?yàn)榈妊菪沃?，?br>所以，由勾股定理得，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
故，
是腰的中點(diǎn)，故，
所以，
設(shè)，，，
則，故，，
故，
，
故
，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
故答案為：?8，
15. 已知函數(shù)，若有三個(gè)不等零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】函數(shù)有三個(gè)不等零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)不等實(shí)根. 分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，，令，結(jié)合的單調(diào)性討論根的情況；當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，顯然方程無實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．
【詳解】由有三個(gè)不等零點(diǎn)，等價(jià)于有三個(gè)不等實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，，
由，得，
即，
令，
由于在上單調(diào)遞增，故，
故當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根；
當(dāng)時(shí)，方程在上有一實(shí)根．
當(dāng)時(shí)，，由，得
當(dāng)時(shí)，顯然方程無實(shí)根；
當(dāng)時(shí)，，令，，
當(dāng)時(shí)，，所以0,2上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值
；；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)的圖象如圖，
要使有三個(gè)不等實(shí)根，需滿足：在上有一實(shí)根，在上有兩個(gè)實(shí)根．
由圖可知與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，即，
綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于零點(diǎn)問題常轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)問題，分離常數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合利用兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)得到參數(shù)的范圍.
三、解答題：（本大題5個(gè)題，共75分）
16. 的內(nèi)角的對邊分別為，已知，．
（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正余弦定理角化邊即可得出答案；
（2）先利用余弦定理求出,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，以及二倍角公式求出和，最后再根據(jù)正弦的差角公式即可得出答案.
【小問1詳解】
因?yàn)椋捎嘞叶ɡ碛校?，所以?br>因?yàn)?，由正弦定理得：，所以?br>所以．
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>，
．
17. 如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求平面與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知寫出、、的坐標(biāo)，由點(diǎn)坐標(biāo)可得，，的坐標(biāo)，即有，，根據(jù)線面垂直的判定即可證平面；
（2）由已知點(diǎn)坐標(biāo)及，可寫出、的坐標(biāo)，進(jìn)而求面的一個(gè)法向量，根據(jù)直線方向向量與平面法向量夾角的坐標(biāo)表示，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）由坐標(biāo)系易知為平面的法向量，結(jié)合（2）所得法向量，根據(jù)兩個(gè)平面法向量夾角的坐標(biāo)表示，即可求二面角的余弦值，進(jìn)而求其正弦值．
【小問1詳解】
證明：如圖，以為原點(diǎn)，分別以，為軸，軸,過D作AP平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，得，，，
所以，，即，，又，所以平面；
【小問2詳解】
解：由可是，
由，可得，所以，
設(shè)為平面的法向量，
則不妨設(shè)，則，故，
設(shè)直線與平面所成角為，所以，
則直線與平面所成角的正弦值為；
【小問3詳解】
解：因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?，設(shè)二面角的大小為，
所以，所以.則二面角的正弦值為．
18. 已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡，從而可求的范圍，注意判別式的要求.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過，故，
因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）
設(shè)，
因?yàn)橹本€的斜率存在，故，
故直線，令，則，同理.
直線，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
綜上，或.
19. 設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知，．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．記，求；
（3）求．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求基本量，進(jìn)而寫出和的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)已知有，結(jié)合（1）即可得；
（3）應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和.
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為．
已知，所以，解得，則，
由于，所以，，解得，則.
【小問2詳解】
由（1）知：，所以，
所以.
【小問3詳解】
由（2）得，設(shè)，
所以①，②，
①②得：，
整理得.
20. 已知函數(shù)與為函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）求在點(diǎn)處的切線方程；
（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得，解得答案；
(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線斜率，點(diǎn)斜式得切線方程；
(3)由參變分離得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，的答案.
【小問1詳解】
由題意可為，的定義域?yàn)?br>因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解，
當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞減，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意,
所以.
【小問2詳解】
所以切線方程為．
.
【小問3詳解】
若恒成立，則，
由，
因?yàn)?，所以?br>令，則，
令，則，
所以在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以存在唯一，使得，
即，即
令，則，
所以函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，則，，由，
則，所以，
當(dāng)時(shí)，gx0，?x單調(diào)遞增，
所以，
則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)恒成立問題求解方法：
(1)首先參變分離；
(2)利用導(dǎo)數(shù)求得分離后函數(shù)的最值；
(3)根據(jù)函數(shù)的最值得到參數(shù)范圍.

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