一、單選題
1. 已知集合，則集合B為（ ）
A. B. C. D.
2. 設，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
3. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A. B.
C. D.
6. 設數(shù)列的前n項和，數(shù)列的前m項和，則m的值為（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 20
7. 已知奇函數(shù)定義域為，且對任意實數(shù)滿足，當時，，則（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示，其中，，則以下說法正確的個數(shù)為（ ）
①函數(shù)的最小正周期是；
②函數(shù)的圖象關于直線對稱；
③把函數(shù)圖像上的點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，得到的圖象；
④當時，
A. 0B. 1C. 2D. 3
9. 設函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間上函數(shù)，f'（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，且，則不等式 的解集是
A. B. （1，＋∞）C. （－∞，1）D. （0，1）
二、填空題
10. 的展開式中，常數(shù)項為______．
11. 袋子中有5個大小相同的球，其中紅球2個，白球3個，依次從中不放回的取球，則第一次取到白球且第二次取到紅球的概率是__________；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是__________.
12. 已知等比數(shù)列前項和（其中）．則的最小值是__________．
13. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞減，若實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是______．
14. 已知函數(shù)，（i）若，將函數(shù)沿x軸向右平移單位后得到函數(shù)圖像關于y軸對稱，則______；（ii）若在上單調，則ω的最大值為______．
15. 設，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間內恰有3個零點，則a的取值范圍是________．
三、解答題
16. 在中，內角所對的邊分別為，已知的面積為．
(1) 求和的值；
(2) 求的值．
17. 如圖所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中點，為棱中點，是的延長線與的延長線的交點.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求平面與平面夾角的余弦值.
18. 已知等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：，．
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）證明：；
（3）設數(shù)列滿足：，求．
19. 已知無窮數(shù)列中，、、…、構成首項為2，公差為的等差數(shù)列，、、…、，構成首項為，公比為的等比數(shù)列，其中，．
（1）當，時，求數(shù)列通項公式；
（2）若m是偶數(shù)且，求．
（3）若對任意的，都有成立，記數(shù)列的前n項和為．判斷是否存在m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
20. 已知函數(shù)，，（）．
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設，證明：當時，函數(shù)f（x）存在唯一極大值點，且．
2024-2025學年天津市河東區(qū)高三上學期第一次月考數(shù)學質量
檢測試卷
一、單選題
1. 已知集合，則集合B為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】確定全集中的元素，根據(jù)補集的含義，即可求得答案.
【詳解】∵集合，
又，
∴,
故選：D．
2. 設，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】必要性：若，則可得，所以可得，必要性成立；
若，則，而，故充分性不成立，
“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
3. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】判斷出的奇偶性，結合的符號可選出答案.
【詳解】因為的定義域為，
所以是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故排除B，D
因為，所以排除A
故選：C
4. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用等比中項的性質可求出的值，利用等差中項的性質可求出的值，再利用等差數(shù)列的求和公式以及等比中項的性質可求得的值.
【詳解】因為數(shù)列an是等比數(shù)列，則，可得，
因為等差數(shù)列bn前項和為，，
則，可得，所以，
因此，.
故選：A.
5. 已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】由指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)單調性可得答案.
【詳解】因函數(shù)在0,+∞上單調遞增，
則，，
則.
故選：A
6. 設數(shù)列前n項和，數(shù)列的前m項和，則m的值為（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 20
【正確答案】A
【分析】由結合題意可得，再由裂項求和法可化簡，即可得答案.
【詳解】由，
又，
則，
又時，，則.
則，
則.
令.
故選：A
7. 已知奇函數(shù)的定義域為，且對任意實數(shù)滿足，當時，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及對稱性，可得函數(shù)的周期性，結合對數(shù)的運算性質，可得答案.
【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，則為關于成中心對稱；
由函數(shù)對任意實數(shù)滿足，則函數(shù)關于直線成軸對稱；
故，則，即函數(shù)的最小正周期.
，
由，則，即.
故選：D.
8. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則以下說法正確的個數(shù)為（ ）
①函數(shù)的最小正周期是；
②函數(shù)的圖象關于直線對稱；
③把函數(shù)圖像上的點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，得到的圖象；
④當時，
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正確答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質逐一判斷即可.
【詳解】由圖象知：，解得，故①錯誤；
所以，解得.
將代入得，
所以，即，
又因為，所以，.
當時，，
所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，故②正確；
把函數(shù)圖像上的點橫坐標縮短為原來的，
得到，故③正確；
當時，，
，，故④錯誤.
所以說法正確的是②③.
故選：C.
9. 設函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間上函數(shù)，f'（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，且，則不等式 的解集是
A. B. （1，＋∞）C. （－∞，1）D. （0，1）
【正確答案】D
【分析】構造函數(shù)，求導，結合，可得在上單調遞增，則不等式，可變?yōu)?，則，結合單調性即可求解．
【詳解】構造函數(shù)，則，由，所以，即在上單調遞增．因為，則不等式，可變?yōu)?，則，所以，所以，故選D
本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查學生發(fā)散思維和計算能力，屬中檔題．解題的關鍵在于根據(jù)給出的條件，構造新函數(shù)，求導可應用題中條件，得到新函數(shù)的單調性，把問題轉化為根據(jù)單調性解不等式問題，進而得到答案．
二、填空題
10. 的展開式中，常數(shù)項為______．
【正確答案】3
【分析】先求出展開式中的通項公式，然后令的指數(shù)為0求解.
【詳解】由展開式中的通項公式為：，
令，則，
故展開式中的常數(shù)項為：，
故3.
11. 袋子中有5個大小相同的球，其中紅球2個，白球3個，依次從中不放回的取球，則第一次取到白球且第二次取到紅球的概率是__________；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是__________.
【正確答案】 ①. ##0.3 ②. 12##0.5
【分析】由題意設第一次取到白球為事件A，第二次取到紅球為事件B，由古典概型概率公式和獨立事件的乘法公式分別求出，結合條件概率公式計算即可求解.
【詳解】由題意，設第一次取到白球為事件A，第二次取到紅球為事件B，
則，
所以.
故；.
12. 已知等比數(shù)列前項和（其中）．則的最小值是__________．
【正確答案】
【分析】由等比數(shù)列前n項和可得，再利用基本不等式可得答案.
【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和，
所以，
，
，
又，即，
解得，，，
，
當且僅當，即，時等號成立.
故答案為.
13. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞減，若實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】分析可知函數(shù)在上單調遞增，且，由已知條件可得出，結合函數(shù)的單調性和奇偶性可得出關于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞減，
則函數(shù)在上單調遞增，且，
因為，由，
可得，即，
即，所以，，即，解得.
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
14. 已知函數(shù)，（i）若，將函數(shù)沿x軸向右平移單位后得到函數(shù)圖像關于y軸對稱，則______；（ii）若在上單調，則ω的最大值為______．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】（i）根據(jù)輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，結合正弦型函數(shù)圖像平移的性質，結合正弦型奇偶性進行求解即可；
（ii）根據(jù)正弦型函數(shù)單調性與周期性的關系，結合正弦型函數(shù)的單調性分類討論進行求解即可.
【詳解】.
（i）若，則，
函數(shù)沿x軸向右平移單位后得到函數(shù)圖像的解析式為：
，
由題意可知：函數(shù)的圖像關于y軸對稱，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，
于是有，
因，所以令，得；
（ii）因為函數(shù)在上單調，
所以函數(shù)的最小正周期，
解得，
當函數(shù)在上單調遞增時，
因，所以，
則有，
即，
而，所以令，則有；
當函數(shù)在上單調遞減時，
因為，所以，
則有，
即，
而，所以令，則有；
綜上所述：ω的最大值為，
故
關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)題意分類討論.
15. 設，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間內恰有3個零點，則a的取值范圍是________．
【正確答案】，．
【分析】設，結合題意可知函數(shù)在區(qū)間，內恰有3個零點，分析時不符合題意，時，結合二次函數(shù)的正負及的正負即可求解．
【詳解】由題意，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間，內恰有3個零點，
設，
即函數(shù)在區(qū)間，內恰有3個零點，
當時，函數(shù)在區(qū)間，內最多有2個零點，不符合題意；
當時，函數(shù)的對稱軸為，
，
所以，函數(shù)在，上單調遞減，在上單調遞增，且，
當，即時，函數(shù)在區(qū)間，上無零點，
所以函數(shù)在，上有三個零點，不符合題意；
當，即時，函數(shù)在區(qū)間，上只有一個零點，
則當，時，，
令，解得或，符合題意；
當，即時，函數(shù)在區(qū)間，上有1個零點，
則函數(shù)在，上有2個零點，
則，即，所以；
當，即時，函數(shù)在區(qū)間，上有2個零點，
則函數(shù)在，上只有1個零點，
則或或，即無解．
綜上所述，的取值范圍是，．
故，．
本題主要考查了函數(shù)的零點，函數(shù)與方程等知識點，屬于較難題判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法：
(1) 直接法： 令則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；
(2) 零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性) 可確定函數(shù)的零點個數(shù)；(3) 數(shù)形結合法：轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調的函數(shù)在該區(qū)間內至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結合函數(shù)的圖象輔助解題.
三、解答題
16. 在中，內角所對的邊分別為，已知的面積為．
(1) 求和的值；
(2) 求的值．
【正確答案】（1），（2）
【分析】（1）由面積公式可得結合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展開求值.
【詳解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.
（2）,
本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎知識,考查基本運算求解能力.
17. 如圖所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中點，為棱中點，是的延長線與的延長線的交點.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求平面與平面夾角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量，進而利用向量法即可證明平面；
（2）利用向量法求解直線與平面所成的夾角的正弦值即可；
（3）利用向量法求解平面與平面所成的夾角的余弦值即可.
【小問1詳解】
在三棱柱中，平面，，
則直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖：

由，得，，
在中，且是棱的中點，則也是的中點，即，，
設平面的一個法向量n=x,y,z，則
則，令，得，
，因為，所以，
又因為平面，所以平面．
【小問2詳解】
由（1）知平面的法向量，又，
設直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【小問3詳解】
設平面的一個法向量，
則，令，得
設平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值．
18. 已知等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：，．
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）證明：；
（3）設數(shù)列滿足：，求．
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析； （3）.
【分析】（1）利用構造法，結合等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由題及（1）可求得與，即可完場證明；
（3）由錯位相減法可得答案.
【小問1詳解】
因，則，.
則是以為首項，公比為的等比數(shù)列；
【小問2詳解】
設的公差為，
則，則；
由（1），，因，
則
注意到， ，則命題得證；
【小問3詳解】
由（1）可得，則，
則.
得，則，
兩式相減得：
.
19. 已知無窮數(shù)列中，、、…、構成首項為2，公差為的等差數(shù)列，、、…、，構成首項為，公比為的等比數(shù)列，其中，．
（1）當，時，求數(shù)列的通項公式；
（2）若m是偶數(shù)且，求．
（3）若對任意的，都有成立，記數(shù)列的前n項和為．判斷是否存在m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【正確答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，根據(jù)的取值利用分段數(shù)列的形式表示通項公式即可；
（2）根據(jù)題意結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可求解；
（3）由題意可知數(shù)列的周期，先將數(shù)列的前項和求出，然后利用周期性可得，構造函數(shù)，利用定義法可求出的最大值，即可判斷.
【小問1詳解】
當時，，
當時，，
所以；
【小問2詳解】
因為m是偶數(shù)，
所以
；
【小問3詳解】
因為對任意的，都有成立，
所以數(shù)列的周期為，
由（1）可得，
又，
所以，
設，
則，
因為，所以，
即，
故時，取得最大值，最大值為，
從而最大值為，不可能有成立，
故不存在滿足條件的實數(shù).
關鍵點點睛：解決（3）的關鍵是利用數(shù)列的周期性，結合函數(shù)的單調性求解.
20. 已知函數(shù)，，（）．
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設，證明：當時，函數(shù)f（x）存在唯一的極大值點，且．
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義即可求解；
（2），考慮和兩種情況，得到函數(shù)的單調區(qū)間，只需，設，求導得到單調區(qū)間，計算最值即可；
（3）求導得到單調區(qū)間，確定，結合（2）中的結論得到，設，求導得到函數(shù)單調遞增，計算最值得到證明．
【小問1詳解】
由得，
又，所以，
所以切線方程為：，即；
【小問2詳解】
，
當時，，為上的增函數(shù)，
所以存在，，不符合題意；
當時，由，得，
時，是減函數(shù)，
時，是增函數(shù)，
所以，所以只需，
設，則，
當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù)，
則，所以當且僅當時不等式成立，
綜上所述：；
【小問3詳解】
，
因為是上的減函數(shù)，由正切函數(shù)的性質及可知，
在內，存在唯一實數(shù)，使得，
當時，f'x>0，為增函數(shù)，
當時，f'x

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