1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.
【詳解】因為集合，，
所以，
故選：A.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】分別判斷充分性和必要性是否成立即可.
【詳解】若，如，則，故充分性不成立；
若，則，則，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3. 三個數(shù)，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，即得解.
【詳解】由題得，
，.
所以.
故選：A
本題主要考查指數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
4. 已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（ ）

A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】利用排除法，根據(jù)選項代特值檢驗即可.
【詳解】設(shè)題設(shè)函數(shù)為，由選項可知：ABCD中的函數(shù)定義域均為R，
對于選項D：若，但此時，矛盾，故可排除D；
對于選項C：若，但此時，矛盾，故可排除C；
對于選項B：若，但此時，矛盾，故可排除B.
故選：A.
5. 隨著居民家庭收入的不斷提高，人們對居住條件的改善的需求也在逐漸升溫．某城市統(tǒng)計了最近5個月的房屋交易量，如下表所示：
若與滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗回歸方程為，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，變量與正相關(guān)
B. 經(jīng)驗回歸方程中
C. 可以預(yù)測時房屋交易量約為（萬套）
D. 時，殘差為
【正確答案】D
【分析】首先求出、，根據(jù)回歸方程必過樣本中心點求出參數(shù)，從而得到回歸方程，再一一判斷即可.
【詳解】對于B，依題意，，
所以，解得，所以，故B正確；
對于A，因為經(jīng)驗回歸方程，，
所以變量與正相關(guān)，故A正確；
對于C，當(dāng)時，，
所以可以預(yù)測時房屋交易量約為（萬套），故C正確；
對于D，當(dāng)時，，
所以時，殘差，故D錯誤.
故選：D
6. 在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】
根據(jù)三棱錐的表面積進一步求出正方體的棱長，最后求出正方體的外接球的半徑，進一步求出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)正方體的棱長為，則，
由于三棱錐的表面積為，
所以
所以
所以正方體的外接球的半徑為，
所以正方體的外接球的體積為
故選：．
與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.
7. 將函數(shù)圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù) 的圖象，則（ ）
A. B. 在上單調(diào)遞增
C. 在上的最小值為D. 直線是圖象的一條對稱軸
【正確答案】D
【分析】由平移變換內(nèi)容得可判斷A；求出的增區(qū)間可判斷B；依據(jù)的范圍即可求出的值域即可判斷C；根據(jù)對稱軸方程求解的對稱軸方程即可判斷D.
【詳解】對于選項A，由題意，可得，
故A錯誤；
對于選項B，令，，
所以在上單調(diào)遞增，故B錯誤；
對于選項C，因為，所以，故，
在上的最小值為0，故C錯誤；
對于選項D，函數(shù)的對稱軸方程為，
化簡可得，取，可得，
所以是圖象的一條對稱軸，故D正確.
故選：D.
8. 已知雙曲線：，圓與圓的公共弦所在的直線是的一條漸近線，則的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【正確答案】C
【分析】兩圓的方程相減可得雙曲線的一條漸近線方程，據(jù)此可求雙曲線的離心率.
【詳解】因為，，所以兩圓方程相減可得，
由題意知的一條漸近線為，即，
雙曲線的離心率．
故選：C．
9. 已知函數(shù)（，且），，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（ ）
A. B. ．C. D.
【正確答案】D
【分析】利用三角恒等變換化簡得到，從而得到，根據(jù)函數(shù)極大值點的個數(shù)得到方程，求出答案.
【詳解】，
，，
函數(shù)在區(qū)間上恰有3個極大值點，
故，解得.
故選：D
二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將正確的答案填寫到答題卡上.試題中包含2個空的，答對1個空的得3分，全部答對的得5分.
10. 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)________．
【正確答案】##
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則計算出答案.
【詳解】.
故
11. 的展開式中常數(shù)項是______．（用數(shù)字作答）
【正確答案】
【分析】利用二項式展開式的通項公式求出指定項即可.
【詳解】由的展開式的通項得：，
令，得，故．
故答案為.
12. 袋子中有6個大小相同的小球，其中4個紅球，2個白球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，則兩次都摸到紅球的概率為__________；在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為__________.
【正確答案】 ①. ## ②. ##
【分析】利用古典概型和條件概率公式計算即可.
【詳解】兩次都摸到紅球的概率為，
第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率，可通過縮小樣本空間得出.
故；
13. 在中，已知，為線段的中點，若，則______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運算公式可得，由平面向量基本定理可得、的值，進而計算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，在中，已知，則，
由于為線段的中點，
則，
又，、不共線，故，，
所以．
故．
14. 已知實數(shù)，，，則的最小值是______．
【正確答案】
【分析】先利用基本不等式求得的最小值，進而求得的最小值，即可得到答案.
【詳解】由題意，設(shè)，
又由，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，
即的最小值為，所以的最小值是.
故答案為.
本題主要考查了利用基本不等式求最值問題，其中解答中先利用基本不等式求得的最小值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.
15. 已知函數(shù)，，，其中表示a，b中最大的數(shù)．若，則________；若對恒成立，則t的取值范圍是________．
【正確答案】 ①. ②. .
【分析】由函數(shù)的定義，求，由時，，當(dāng)時，可得已知條件等價于在上恒成立，化簡可求的范圍．
詳解】由已知，
若，則，所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因為對恒成立；
所以當(dāng)時，恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，
若，則當(dāng)時，，矛盾，
當(dāng)時，可得恒成立，所以，
所以t的取值范圍是為，
故，.
三?解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 在中，角，，的對邊分別為，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由余弦定理計算可得；
（2）利用余弦定理計算可得；
（3）首先求出，從而由二倍角公式求出、，最后由兩角和的正弦公式計算可得.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理可得，
又，，
由余弦定理，即，解得或（舍去），
所以.
【小問2詳解】
由余弦定理.
【小問3詳解】
由（2）可得，
所以，
，
又，
所以
.
17. 如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點是棱上靠近端的三等分點，點是棱上一點.
（1）證明：平面；
（2）求點到平面的距離；
（3）求平面與平面夾角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）.
【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及點到面的距離公式計算即可；
（3）利用空間向量計算面面夾角即可.
【小問1詳解】
以點為坐標(biāo)原點，分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
，設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，得，則.
又，可得，因平面，所以平面.
【小問2詳解】
因為平面，所以點到平面的距離等于點A到平面的距離.
易知，則點A到平面的距離為.
【小問3詳解】
易知，設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，則.
設(shè)平面與平面的夾角為，
則
故平面與平面的夾角的余弦值為.
18. 已知橢圓的離心率為，左頂點與上頂點的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）點在橢圓上，且點不在軸上，線段的垂直平分線與軸相交于點，若為等邊三角形，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根據(jù)已知條件得出關(guān)于，再由以及可得出、的值，由此可得出橢圓的方程；
（2）分析可知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的斜率為，設(shè)點，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，進而可求得線段的中垂線方程，進而可求得點的坐標(biāo)，由為等邊三角形可得出，可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.
【小問1詳解】
解：（1）由題意可知離心率，即可得，
且，又，解得，，
所以橢圓C的方程為.
【小問2詳解】
解：如下圖所示：
由題意可知A?2,0，結(jié)合圖形可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，
因為點不在軸上，則，直線的方程為，
設(shè)，聯(lián)立可得，
顯然是方程的一個根，
由韋達定理可得，則，
所以，即，
可得的中點為，
所以直線的垂直平分線方程為，
令，解得，即，
若為等邊三角形，則，
即，
整理得，解得或（舍），所以，，
所以，直線的方程為或.
關(guān)鍵點點睛：本題第（2）小問的關(guān)鍵在于設(shè)出直線的方程求出后，進一步求出點、的坐標(biāo)，結(jié)合得出關(guān)于的方程求解.
19. 已知為等差數(shù)列，前項和為是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.
（1）求和的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和；
（3）若數(shù)列滿足：，證明.
【正確答案】（1），；
（2）；
（3）證明見解析．
【分析】（1）由等比數(shù)列的通項公式求得公比，即可得數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求出公差和首項后，即可得解；
（2）利用裂項相消法即可得解；
（3）真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：設(shè)，則，利用此性質(zhì)將放大為即可證明．
【小問1詳解】
解：設(shè)公差為d，公比為q，
∵，，∴，解得或，
∵，∴，
故數(shù)列的通項公式為，
∵，，
∴，，解得，，
故數(shù)列的通項公式為；
小問2詳解】
解：，
.
【小問3詳解】
證明：，
設(shè)，，則，∴，
∴，
∴．
20. 設(shè)函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)
（i）當(dāng)時，取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；
（ii）若存在兩個極值點，證明.
【正確答案】（1）
（2）（i）單調(diào)增區(qū)間，，單調(diào)減區(qū)間為
（ii）證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）（i），時，取得極值，所以，求出，進而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（ii），存在兩個極值點，即方程，在上有兩個不等實根，所以，而等價于，構(gòu)造函數(shù)即可得證.
【小問1詳解】
，
則，
所以曲線在點處的切線方程為，即；
【小問2詳解】
（i），
，
∵時，取得極值，∴，解得，
∴，
令，得或；令，得，
∴的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；
（ii），
∵存在兩個極值點，
∴方程，即在上有兩個不等實根.
∵，解得，
則
∴所證不等式等價于，
即，
不妨設(shè)，即證，
令，，
則，
∴在上遞增，∴，
∴成立，
∴.
方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
時間
1
2
3
4
5
交易量（萬套）
0.8
1.0
1.2
1.5

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