1. 設(shè)集合則=_________
【正確答案】
【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.
【詳解】集合則.
故
2. 已知關(guān)于的二次不等式的解集為，則不等式的解集為_(kāi)____________.（用集合或區(qū)間表示）
【正確答案】或
【分析】由題意可知的兩根分別為從而可得，代入求解即可.
【詳解】解：由題意可知的兩根分別為，
由韋達(dá)定理可得，
所以不等式即為，
即，解得或.
所以原不等式的解集為：或.
故或
3. 已知集合，若，則__________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合元素與集合之間的關(guān)系結(jié)合集合的互異性分析求解.
【詳解】因?yàn)?，且?br>則或，解得.
故答案為.
4. 已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值是______．
【正確答案】2
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)求出的值，再通過(guò)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱來(lái)確定的值.
【詳解】由為冪函數(shù)，則，解得，或，
當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于對(duì)稱，
因此，
故2.
5. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出對(duì)稱軸與的關(guān)系即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，圖象開(kāi)口向上，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
解得.
故答案為.
6. 若，則 的值為_(kāi)_________.
【正確答案】
【分析】弦化切，代入即可.
【詳解】
故答案：
7. 正實(shí)數(shù)a、b，若a與b的幾何平均值為2，那么a與4b的算術(shù)平均值的最小值為_(kāi)_______．
【正確答案】4
【分析】根據(jù)幾何平均數(shù)求出，再利用基本不等式“積定，和最小”求解．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故4．
8. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則______.
【正確答案】
【分析】由題意可得且，直接計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則.
因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，
所以.
故
9. 寫(xiě)出使得函數(shù)的值域?yàn)榈囊粋€(gè)定義域_________．
【正確答案】（答案不唯一）
【分析】求出當(dāng)和2時(shí)所對(duì)應(yīng)值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】由得，
即，得，
由得，即或，
則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可舉例定義域?yàn)?
故答案為.
10. 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是____________.
【正確答案】
【分析】求定義域，求導(dǎo)，依題得到在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，由根的判別式和韋達(dá)定理得到不等式組，求得，化簡(jiǎn)并計(jì)算得到，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，即可推得所求式的范圍.
【詳解】由，可得
由題意得方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
故Δ=4?8a>0x1+x2=1a>0x1?x2=12a>0,解得，
又
.
設(shè)，則，
故在上單調(diào)遞增，則，
即的取值范圍是.
故答案為.
11. 設(shè)，若時(shí)，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)____
【正確答案】
【分析】可得時(shí)，不等式不恒成立，當(dāng)，必定是方程的一個(gè)正根，由此可求出.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，由于的圖象開(kāi)口向上，
則不恒成立，
當(dāng)時(shí)，由可解得，
而方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且異號(hào)，
所以，必定是方程的一個(gè)正根，
則，，則可解得，
故實(shí)數(shù)的取值集合為.
故答案為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是先判斷，再得出當(dāng)，必定是方程的一個(gè)正根.
12. 已知方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，滿足，且在區(qū)間和上各存在唯一整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．
【正確答案】
【分析】方法一可以化為．令，易得?x為偶函數(shù)，所以只需考慮時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)．若，則．令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，列出不等式組即可．
方法二：由，得．令，易得均為奇函數(shù)，所以只需考慮時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)得到的單調(diào)性，根據(jù)直線過(guò)特殊點(diǎn)時(shí)的值即可得到的取值范圍．
方法三：．令，作圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍．
【詳解】方法一．
令，則．所以?x為偶函數(shù)．
所以只需考慮時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)即可．
當(dāng)時(shí)，令，得．
令，則．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，0，所以上單調(diào)遞減．
因?yàn)樵趨^(qū)間上存在唯一的整數(shù)，
所以，即．
所以的取值范圍為．
方法二：．
令，則，所以為奇函數(shù)．
因?yàn)橐彩瞧婧瘮?shù)，
所以只需考慮時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)．
易知，當(dāng)x∈0,1時(shí)，，所以在0,1上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，所以在1,+∞上單調(diào)遞減．
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，．
因?yàn)榕c?x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，
所以，所以的取值范圍為．
方法三：由，得．
令，兩函數(shù)均為偶函數(shù)，
所以只需考慮時(shí)，?x與φx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
且在區(qū)間上存在唯一整數(shù)．
如圖，作的部分圖象，根據(jù)圖象易得，
所以解得，
所以取值范圍為．
故
方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法
（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．
（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．
（3）將函數(shù)的化為的形式，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為y=fx與y=gx圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.
二、選擇題：（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.
13. 已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可先得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.
【詳解】由正弦函數(shù)的定義可知，
再利用誘導(dǎo)公式知.
故選：B
14. 已知，使成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.
【詳解】對(duì)于A，，A不是；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由，得，B不是；
對(duì)于C，，可能有，如，C不是；
對(duì)于D，由，得，則；若，則，D是.
故選：D
15. 已知三次函數(shù)的圖象如圖，則不正確的是（ ）
A.
B.
C. 的解集為
D. 若，則
【正確答案】D
【分析】由圖象初步確定三次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式分析函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為三次函數(shù)，可設(shè)，.
由圖可知：；.
所以設(shè)，.
所以，由，.
所以，，
又當(dāng)x∈?1,1時(shí)，f'x>0.
對(duì)A: ,，因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)B：因?yàn)?，而?br>所以成立，故B正確；
對(duì)C：，
因?yàn)椋曰颍?br>所以：不等式的解集為，故C正確；
對(duì)D：因?yàn)椋?br>由，
所以，所以，所以，即.故D錯(cuò)誤.
故選：D.
16. 已知集合，對(duì)于集合中的任意元素和，記.若集合，，均滿足，則中元素個(gè)數(shù)最多為（ ）
A. 10B. 11C. 1023D. 1024
【正確答案】B
【分析】分析可得當(dāng)和同時(shí)為時(shí)，，當(dāng)和至少有一個(gè)為時(shí)，，要使，則的所有元素的位置至多有個(gè)，討論即可得到集合的元素個(gè)數(shù)的最值．
【詳解】依題意，對(duì)于中元素和，
當(dāng)和同時(shí)為時(shí)，，
當(dāng)和至少有一個(gè)為時(shí)，，
要使得的一個(gè)子集中任兩個(gè)不同元素、，均滿足，
設(shè)集合中的元素記為，
則的所有元素的位置至多有個(gè)，
若位置為，其它位置為的元素有個(gè)，
若全為的有個(gè)，
綜上中元素最多有個(gè)．
故選：B．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是分析出的所有元素的位置至多有個(gè)，從而確定中元素個(gè)數(shù)的最大值.
三、解答題:（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.
17. 已知，為第二象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)結(jié)合已知得出，即可根據(jù)二倍角的正弦公式代入數(shù)值得出答案；
（2）根據(jù)兩角和差的余弦公式代入數(shù)值得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
，為第二象限角，
，
則；
【小問(wèn)2詳解】
.
18. 已知函數(shù).
（1）證明函數(shù)在上嚴(yán)格增；
（2）若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，求不等式的解集.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即得；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出值，再求出方程的解，分別利用函數(shù)在和上的單調(diào)性即可求得不等式的解集.
【小問(wèn)1詳解】
因，任取，且，
由
，
因，則，，故，
即.
故函數(shù)在上嚴(yán)格增；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為奇函數(shù)，則，
所以．
所以，即，
所以，
由得：，即，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集為.
19. 問(wèn)題：正實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即且時(shí)取等號(hào).學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問(wèn)題：
（1）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值；
（2）若實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足，求證：；
（3）求代數(shù)式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
【正確答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析 （3）時(shí)，取得最小值．
【分析】（1）利用“1”的代換湊配出積為定值，從而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式進(jìn)行放縮：，再利用不等式的性質(zhì)得出大?。⒌贸龅忍?hào)成立的條件．
（3）令，，構(gòu)造，即以，即，然后利用（2）的結(jié)論可得．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值是．
【小問(wèn)2詳解】
，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)且同號(hào)時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)滿足.
【小問(wèn)3詳解】
令，，由得，
，
又，所以，
構(gòu)造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等號(hào)時(shí)，且同正，
結(jié)合，解得，即，．
所以時(shí)，取得最小值．
本題考查用基本不等式求最小值，考查方法的類比：“1”的代換．解題關(guān)鍵是“1”的代換，即利用，從而借助基本不等式得出大小關(guān)系，同時(shí)考查新知識(shí)（新結(jié)論）的應(yīng)用，考查了學(xué)生的靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新性思維要求較高，本題屬于難題．
20. 已知，函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；
（2）若關(guān)于的方程的解集中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，若，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）或，
（3）.
【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式即可求解，
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有且僅有一正根.即可利用二次型函數(shù)的性質(zhì)分類求解，
（3）利用單調(diào)性的定義即可求解函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性求解最值，將問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
時(shí)，
所以得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
【小問(wèn)2詳解】
方程，即，即.
∴，化為：，方程的解集中有且只有一個(gè)元素，等價(jià)于有且僅有一正根.
（1）若，化為，解得，符合題意；
（2）若，此時(shí).
①令，得，解得，符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)解，設(shè)為，.
則，.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有一正、一負(fù)根，符合題意.
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)方程有兩個(gè)正根，不符合題意.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或，
【小問(wèn)3詳解】
.
當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)椋?，所?
所以，所以，
所以.
所以在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，.
即：，
即：，因?yàn)椋?br>整理得：，令.
因時(shí)，存在，
故只需.
因?yàn)?，?duì)稱軸方程，所以在上單調(diào)遞增，
所以，故，得.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
方法點(diǎn)睛：處理多變量函數(shù)最值問(wèn)題的方法有：（1）消元法：把多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化單變量問(wèn)題，消元時(shí)可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時(shí)可以利用基本不等式來(lái)處理，用這個(gè)方法時(shí)要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
21. 設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.
（2）求證：不經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？
（參考數(shù)據(jù)：，，）
【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）證明見(jiàn)解析 （3）2
【分析】（1）直接代入，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；
（2）寫(xiě)出切線方程，將代入再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)即可；
（3）分別寫(xiě)出面積表達(dá)式，代入得到，再設(shè)新函數(shù)研究其零點(diǎn)即可.
【小問(wèn)1詳解】
，
當(dāng)時(shí)，f'x

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