一、填空題（本大題共有12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1. 已知集合，，則________.
2. 不等式的解集為______．
3. 雙曲線的離心率為______．
4. 某校學(xué)生志愿者協(xié)會共有200名成員，其中高一學(xué)生100名，高二學(xué)生60名，高三學(xué)生40名.為了解志愿者的服務(wù)意愿，需要用分層抽樣的方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則高三學(xué)生應(yīng)抽取_________名.
5. 拋物線過點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為______．
6. 已知向量，，且滿足，則________.
7. 已知扇形圓心角為，半徑為，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于________.
8. 設(shè)實(shí)數(shù)?滿足，則的最大值是___________．
9. 已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則該展開式中的系數(shù)為________.
10. 已知和的圖像的連續(xù)三個交點(diǎn)，，構(gòu)成，則的面積為________.
11. 在矩形中，邊，的長分別為，，若，分別是邊，上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿，則的取值范圍是________.
12. 設(shè)集合A是由所有滿足下面兩個條件有序數(shù)組構(gòu)成：①；②；則集合A中的元素共有________個.
二、選擇題（本大題共有4題，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分，滿分18分）
13. 設(shè)，則“”是“”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
14. 如果兩個三角形不在同一平面上，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個三角形（ ）
A. 全等B. 相似
C. 相似但不全等D. 不相似
15. 若實(shí)數(shù)a使得，則（ ）
A. B.
C. 且D. a可以是任意實(shí)數(shù)
16. 已知函數(shù)是定義在上的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，若其前項(xiàng)和小于零，則的值（ ）
A. 恒正數(shù)B. 恒為負(fù)數(shù)C. 恒為0D. 可正可負(fù)
三、解答題（本大題共有5題，滿分76分，解答下列各題必須寫出必要的步驟）
17. 如圖，在四面體中，，，從頂點(diǎn)作平面的垂線，垂足恰好落在的中線上，
（1）若的面積為3，求四面體的體積；
（2）若，且與重合，求二面角的大小.
18. 設(shè)函數(shù)，.
（1）求方程的實(shí)數(shù)解；
（2）若不等式對于一切都成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
19. 甲乙兩人輪流投擲骰子（正方體型，六個面分別標(biāo)記有1，2，3，4，5，6點(diǎn)），每人每次投擲兩顆，
（1）甲投擲一次，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率；
（2）甲乙各投擲一次，求甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)的概率；
（3）若第一個使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于者為勝，否則輪由另一人投擲.求先投擲人的獲勝概率.
20. 如圖，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，、的延長線分別交橢圓于點(diǎn)，

（1）若軸，求的面積；
（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求的最小值.
21. 設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線.
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間.
（2）求證：不經(jīng)過點(diǎn).
（3）當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積.是否存在點(diǎn)使得成立?若存在，這樣的點(diǎn)有幾個? （參考數(shù)據(jù)：，，）
2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段性
檢測試卷
一、填空題（本大題共有12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1. 已知集合，，則________.
【正確答案】
【分析】通過列舉表示集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為.
2. 不等式的解集為______．
【正確答案】
【分析】由不等式，可得，即可解得不等式的解集．
【詳解】由不等式可得，
，
故不等式的解集為，
故答案為．
本題考查絕對值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式來解．
3. 雙曲線的離心率為______．
【正確答案】
【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得，從而求得雙曲線的離心率.
【詳解】因?yàn)殡p曲線，
所以，則，
所以雙曲線的離心率為.
故
4. 某校學(xué)生志愿者協(xié)會共有200名成員，其中高一學(xué)生100名，高二學(xué)生60名，高三學(xué)生40名.為了解志愿者的服務(wù)意愿，需要用分層抽樣的方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則高三學(xué)生應(yīng)抽取_________名.
【正確答案】10
分析】根據(jù)分層抽樣定義及性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)分層抽樣定義及性質(zhì),設(shè)高三學(xué)生應(yīng)抽取名
，.
故10.
5. 拋物線過點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為______．
【正確答案】
【分析】將已知點(diǎn)代入拋物線方程求得，結(jié)合拋物線定義求解即可.
【詳解】由題意，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線為，
故所求為.
故答案為.
6. 已知向量，，且滿足，則________.
【正確答案】
【分析】將平方轉(zhuǎn)化，再由即可求得.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，則，
又因?yàn)?，，所以，所?
故答案為.
7. 已知扇形的圓心角為，半徑為，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于________.
【正確答案】
【分析】首先得到圓錐的母線，再求出圓錐的底面半徑，即可得解.
【詳解】依題意可得圓錐的母線，設(shè)圓錐的底面半徑為，
則，解得，
所以扇形圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值為.
故
8. 設(shè)實(shí)數(shù)?滿足，則的最大值是___________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)基本不等式求得正確答案.
【詳解】依題意，
當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.
故
9. 已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則該展開式中的系數(shù)為________.
【正確答案】
【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和為求出，再寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算可得.
【詳解】依題意可得，所以，
則展開式的通項(xiàng)為，，
令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.
故
10. 已知和的圖像的連續(xù)三個交點(diǎn)，，構(gòu)成，則的面積為________.
【正確答案】.
【分析】根據(jù)函數(shù)和的圖象，可知為等腰三角形，即可求的面積.
【詳解】作出函數(shù)和的圖象，可知為等腰三角形，
且的底邊長為π，高為，則的面積為.
故答案為.
11. 在矩形中，邊，的長分別為，，若，分別是邊，上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿，則的取值范圍是________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件，求得、的關(guān)系，代入數(shù)量積公式，即可求得答案.
詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
所以，設(shè)，，其中，，
因?yàn)?，所以，即?br>又，，
所以，
即的取值范圍是1,4.
故1,4.
12. 設(shè)集合A是由所有滿足下面兩個條件的有序數(shù)組構(gòu)成：①；②；則集合A中的元素共有________個.
【正確答案】232
【分析】從條件②入手分類討論，應(yīng)用排列組合知識即可得到有序數(shù)組的個數(shù)即可.
【詳解】當(dāng)時，有五個數(shù)是0，
另一個數(shù)為1或，這樣有個；
當(dāng)時，中有四個數(shù)是0，
另兩個數(shù)為兩個1或兩個或一個1和一個，
這樣有個；
當(dāng)時，中有三個數(shù)是0，
另三個數(shù)為三個1或三個或一個1和兩個或兩個1和一個，
這樣有個；
綜上集合A中的元素共有232個.
故232
二、選擇題（本大題共有4題，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分，滿分18分）
13. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】由可得或，即可判斷.
【詳解】由可得或，
又或
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選:
14. 如果兩個三角形不在同一平面上，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個三角形（ ）
A. 全等B. 相似
C. 相似但不全等D. 不相似
【正確答案】B
【分析】根據(jù)等角定理進(jìn)行判斷.
【詳解】根據(jù)等角定理：如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).
兩個三角形的兩邊分別平行，那么這兩個三角形的三個角可能出現(xiàn)以下情況：
（1）三組角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；
（2）三組角中有一組對應(yīng)角互補(bǔ)，如，，，
又，則，所以，此時兩個三角形相似；
（3）三組角中有兩組對應(yīng)角互補(bǔ)，如，，，
由，則，這與矛盾，故這種情況不會出現(xiàn).
（4）三組對應(yīng)角都互補(bǔ)，即，，，
這與，矛盾，所以該情況也不會出現(xiàn).
綜上可知，兩個三角形相似.
故選：B
15. 若實(shí)數(shù)a使得，則（ ）
A. B.
C. 且D. a可以是任意實(shí)數(shù)
【正確答案】D
【分析】先求時范圍，再求其補(bǔ)集即可.
【詳解】設(shè)，則，
所以，此方程組無解，
所以使的實(shí)數(shù)不存在，
即對任意的實(shí)數(shù)，總有，
故選：D.
16. 已知函數(shù)是定義在上的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，若其前項(xiàng)和小于零，則的值（ ）
A. 恒為正數(shù)B. 恒為負(fù)數(shù)C. 恒為0D. 可正可負(fù)
【正確答案】A
【分析】設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，由題可知，則，再根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)得到，，即可得到，，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性得到，，從而得解.
【詳解】函數(shù)是定義在上的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，
，且當(dāng)，；當(dāng)，．
設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，由題可知，
則，即，則，．
所以，，
結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)遞減和奇函數(shù)性質(zhì)，可得，
所以，，
∴；
綜上，的值恒為正數(shù)．
故選：A．
三、解答題（本大題共有5題，滿分76分，解答下列各題必須寫出必要的步驟）
17. 如圖，在四面體中，，，從頂點(diǎn)作平面的垂線，垂足恰好落在的中線上，
（1）若的面積為3，求四面體的體積；
（2）若，且與重合，求二面角的大小.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由圖可得平面，從而，求出及，再由的面積求出，最后由錐體的體積公式計(jì)算可得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【小問1詳解】
依題意可得平面，平面，所以，
又，，所以，，
又為的中線，所以，
又，所以，
所以；
【小問2詳解】
依題意可得平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以，則，A2,0,0，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，
又平面的一個法向量為，
顯然二面角為銳二面角，設(shè)為，則，
所以，即二面角的大小為.
18. 設(shè)函數(shù)，.
（1）求方程的實(shí)數(shù)解；
（2）若不等式對于一切都成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程進(jìn)行求解.
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到的最小值即可求解.
【小問1詳解】
由，代入方程得：，
即，解得，即.
【小問2詳解】
不等式即，
原不等式可化為對都成立，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，，
所以，即，解得：
19. 甲乙兩人輪流投擲骰子（正方體型，六個面分別標(biāo)記有1，2，3，4，5，6點(diǎn)），每人每次投擲兩顆，
（1）甲投擲一次，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率；
（2）甲乙各投擲一次，求甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)的概率；
（3）若第一個使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于者為勝，否則輪由另一人投擲.求先投擲人的獲勝概率.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；
（2）記投擲一次兩顆骰子點(diǎn)數(shù)為，則的可能取值為，，，，，求出所對應(yīng)的概率，再由相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；
（3）由（2）可知同時投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于的概率為，分析可得先投擲的人第（且）輪獲勝，其概率為，再由無窮等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得，
【小問1詳解】
記兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同為事件，則；
【小問2詳解】
記投擲一次兩顆骰子點(diǎn)數(shù)為，則的可能取值為，，，，，
所以，
，
，
，
，
，
記甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)為事件，
則；
【小問3詳解】
由（2）可知同時投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于的概率為，
若先投擲的人第一輪獲勝，其概率為；
若先投擲的人第二輪獲勝，即第一輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；
若先投擲的人第三輪獲勝，即前兩輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；
若先投擲的人第四輪獲勝，即前三輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；
，
分析可得，若先投擲的人第（且）輪獲勝，其概率為；
所以、、、組成以為首項(xiàng)，為公比的無窮等比數(shù)列，
所以，
從而，先投擲人的獲勝概率為.
20. 如圖，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，、的延長線分別交橢圓于點(diǎn)，

（1）若軸，求的面積；
（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求的最小值.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由橢圓方程求出，從而可得坐標(biāo)，將其橫坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出的值，進(jìn)而可求出的面積;
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為，代入橢圓方程中求出得，因?yàn)?，可得，?jì)算即可得出坐標(biāo)；
（3）由（2）同理可求得，從而可得化簡后結(jié)合基本不等式可得答案
【小問1詳解】
設(shè)橢圓半長軸長為，短半軸長為，半焦距為，
由橢圓，得，則，
所以，
當(dāng)時，，得，
所以
所以的面積為;
【小問2詳解】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），則直線的方程為，
將其代入橢圓方程中可得，
整理得，
所以，得，
所以，
因?yàn)?，所以，可得?br>化簡得，
解得，代入得出
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
【小問3詳解】
由（2）得
同理可求得，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最大值為
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛： 的最大值得關(guān)鍵是結(jié)合韋達(dá)定理得出,再轉(zhuǎn)換未知量,最后應(yīng)用基本不等式求解即可.
21. 設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線.
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間.
（2）求證：不經(jīng)過點(diǎn).
（3）當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積.是否存在點(diǎn)使得成立?若存在，這樣的點(diǎn)有幾個? （參考數(shù)據(jù)：，，）
【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）證明見解析 （3）2
【分析】（1）直接代入，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；
（2）寫出切線方程，將代入再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)即可；
（3）分別寫出面積表達(dá)式，代入得到，再設(shè)新函數(shù)研究其零點(diǎn)即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，定義域?yàn)?，則，
當(dāng)時，；當(dāng)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
即的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
，切線的斜率為，
則切線方程為，
將代入則，
即，則，，
令，
假設(shè)過，則在存在零點(diǎn).
，在上單調(diào)遞增，，
在無零點(diǎn)，與假設(shè)矛盾，故直線不過.
【小問3詳解】
時，.
，設(shè)與軸交點(diǎn)為，
時，若，則此時與必有交點(diǎn)，與切線定義矛盾.
由（2）知.所以，
則切線的方程為，
令，則.
，則，
，記，
滿足條件的有幾個即有幾個零點(diǎn).
，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；
因?yàn)?，，?br>，
所以由零點(diǎn)存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個零點(diǎn)，在上必有一個零點(diǎn)，
綜上所述，有兩個零點(diǎn)，即滿足的有兩個.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用的是反證法，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點(diǎn)問題.

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