類型一、二次函數(shù)的應(yīng)用：銷售問(wèn)題
1．（2023·廣西南寧·?？家荒＃┠成痰曩?gòu)進(jìn)一批清潔劑，每瓶進(jìn)價(jià)為20元，出于營(yíng)銷考慮，要求每瓶清潔劑的售價(jià)不低于20元且不高于28元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該清潔劑每周的銷售量y（瓶）與每瓶清潔劑的售價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：當(dāng)銷售單價(jià)為23元時(shí)，銷售量為34瓶；當(dāng)銷售單價(jià)為25元時(shí)，銷售量為30瓶．
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
(2)設(shè)該商店每周銷售這種清潔劑所獲得的利潤(rùn)為w元，將該清潔劑銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使商店銷售該清潔劑所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)
(2)該清潔劑銷售單價(jià)定為28元時(shí)，才能使商店銷售該清潔劑所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是192元．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.
【詳解】（1）解：設(shè)與的關(guān)系式為，由題意，得，圖象過(guò)點(diǎn)與，
把與代入，
得：，
解得：，
∴y與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
∵每瓶清潔劑的售價(jià)不低于20元且不高于28元，
∴；
（2）解：由題意可得：
，
此時(shí)當(dāng)時(shí)，最大，
又由（1）可知：，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
即當(dāng)時(shí)，（元，
答：該清潔劑銷售單價(jià)定為28元時(shí)，才能使商店銷售該清潔劑所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是192元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)．
2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一人一盔安全守規(guī)，一人一帶平安常在！某摩托車配件店經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)進(jìn)價(jià)為元的新款頭盔每月的銷售量件與售價(jià)元的相關(guān)信息如下：
(1)試用你學(xué)過(guò)的函數(shù)來(lái)描述與的關(guān)系，這個(gè)函數(shù)可以是 (填“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”)，寫出這個(gè)函數(shù)解析式為 ．
(2)若獲利不得高于進(jìn)價(jià)的，那么售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)到最大？
【答案】(1)一次函數(shù)；
(2)售價(jià)定為元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)到最大
【分析】（1）由表格知，售價(jià)每增加元，銷售量對(duì)應(yīng)減少元，所以這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2） 設(shè)利潤(rùn)為，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）由表格知，售價(jià)每增加元，銷售量對(duì)應(yīng)減少元，所以這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，
設(shè)其解析式為，
根據(jù)題意，得
解得
∴，
故答案為：一次函數(shù)；；
（2）設(shè)利潤(rùn)為，則，
∵獲利不得高于進(jìn)價(jià)的，
，
，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，最大，
答：售價(jià)定為元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)到最大．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）我市某景區(qū)商店在銷售北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”紀(jì)念品時(shí)，發(fā)現(xiàn)該紀(jì)念品的月銷售量y件是銷售單價(jià)x元的一次函數(shù)，如表是該商品的銷售數(shù)據(jù)．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若該商品的進(jìn)貨單價(jià)是30元．請(qǐng)問(wèn)，每件商品的銷售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大月利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
(2)每件商品的銷售價(jià)定為60元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大月利潤(rùn)是1800元．
【分析】（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)月利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn)×月銷售量列出列出解析式，再將其化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)其性質(zhì)取最大值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
根據(jù)題意得，，
解得：，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：設(shè)每個(gè)月可獲得的利潤(rùn)為w，
根據(jù)題意得，，
整理得，，
∵，
∴該拋物線開(kāi)口向下，w有最大值，
當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為1800元．
∴每件商品的銷售價(jià)定為60元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大月利潤(rùn)是1800元．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
4．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）受2022年卡塔爾世界杯的影響，全世界范圍內(nèi)掀起了踢足球熱潮，值此時(shí)機(jī)，某足球生產(chǎn)廠商推出了一款成本為50元的足球，物價(jià)部門規(guī)定，該產(chǎn)品利潤(rùn)率不得高于，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的日銷量 （個(gè)與售價(jià)（元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．關(guān)于日銷量與售價(jià)的幾組對(duì)應(yīng)值如下：
(1)求日銷量y（個(gè)）與售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
(2)①請(qǐng)寫出每天銷售總利潤(rùn)w（元）與售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
②如果廠商請(qǐng)你幫忙定價(jià)，售價(jià)定為多少元可使每天總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)，
(2)①；②當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)w最大，最大利潤(rùn)為14900元
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)過(guò)，，可求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）①根據(jù)題意求出總利潤(rùn)與的函數(shù)關(guān)系式即可；②依據(jù)函數(shù)的增減性和自變量的取值范圍即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)系式為，把，，代入得：
，
解得，
故與的之間的函數(shù)關(guān)系式為，
的取值范圍為：；
（2）①，
即每天銷售總利潤(rùn)（元）與售價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為；
②，
，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，
，
當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為14900元．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，在求二次函數(shù)的最值時(shí)，注意自變量的取值范圍，容易出錯(cuò)．
5．（2023·黑龍江大慶·?？家荒＃┠呈性邳h中央實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號(hào)召下，大力開(kāi)展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)50萬(wàn)件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）之間的函數(shù)圖像是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價(jià)z（元/件）與年銷售量x（萬(wàn)件）之間的函數(shù)圖像是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤(rùn)為w萬(wàn)元．（毛利潤(rùn)＝銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用）
(1)直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式 ， （不必寫出自變量的取值范圍）；
(2)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬(wàn)件時(shí)，所獲毛利潤(rùn)最大？最大毛利潤(rùn)是多少？
(3)由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會(huì)超過(guò)80萬(wàn)元，今年最多可獲得多少萬(wàn)元的毛利潤(rùn)？
【答案】(1)
(2)，年產(chǎn)量為25萬(wàn)件時(shí)毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)為250萬(wàn)元
(3)今年最多可獲得毛利潤(rùn)240萬(wàn)元
【分析】（1）結(jié)合圖像，利用待定系數(shù)法求出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)“毛利潤(rùn)=銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用”可得w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）令，解方程求得x的值，然后根據(jù)函數(shù)圖像結(jié)合y的取值范圍，求得x的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）解：圖①可得函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得：，
故y與x之間的關(guān)系式為．
圖②可得：函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
設(shè)，
則，解得：，
故z與x之間的關(guān)系式為．
故答案為：．
（2）解：
∵，
∴當(dāng)x＝25時(shí)，W有最大值250，
∴年產(chǎn)量為25萬(wàn)件時(shí)毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)為250萬(wàn)元．
（3）解：令，得，解得：（負(fù)值舍去），
由圖像可知，當(dāng)時(shí)，，
由，的性質(zhì)可知，
當(dāng)時(shí)，W隨x的增大而增大，
故當(dāng)x＝20時(shí)，W有最大值240．
答：今年最多可獲得毛利潤(rùn)240萬(wàn)元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)圖像獲取所需信息是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2023·北京海淀·人大附中?？家荒＃橹笇?dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，小明進(jìn)行了如下調(diào)查，得到某種蔬菜的售價(jià)x（元/千克）與相應(yīng)需求量p（千克）以及供給量q（千克）的數(shù)據(jù)，如下表：
(1)觀察表中的數(shù)據(jù)，小明發(fā)現(xiàn)：供給量q（千克）與售價(jià)x（元/千克）之間滿足______函數(shù)關(guān)系（橫線上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____；
(2)為了研究這種蔬菜的需求量p（千克）與售價(jià)x（元/千克）之間的關(guān)系，小明在坐標(biāo)系中，以售價(jià)為橫坐標(biāo)、相應(yīng)需求量為縱坐標(biāo)描出下列四個(gè)點(diǎn)，將其用平滑曲線連線，如圖．通過(guò)再圖觀察，小明發(fā)現(xiàn)這種蔬菜的需求量p（千克）與售價(jià)x（元/千克）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系，并進(jìn)一步確定它的函數(shù)表達(dá)式滿足的形式，請(qǐng)求出p關(guān)于x關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．
(3)為使這種蔬菜供需平衡（即供給量與需求量相等），售價(jià)應(yīng)定為多少？
【答案】(1)一次函數(shù)，
(2)
(3)為使這種蔬菜供需平衡（即供給量與需求量相等），售價(jià)應(yīng)定為5元．
【分析】（1）根據(jù)供給量q（千克）與售價(jià)x（元/千克）之間的數(shù)量關(guān)系可得到答案；
（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式即可；
（3）根據(jù)供給量與需求量相等得到，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：觀察表中的數(shù)據(jù)，可發(fā)現(xiàn)供給量q（千克）與售價(jià)x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，它的函數(shù)表達(dá)式是，
故答案為：一次函數(shù)，
（2）由表格可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴
解得，
∴p關(guān)于x關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是．
（3）當(dāng)蔬菜供需平衡（即供給量與需求量相等）時(shí)，，
即，
解得（不合題意，舍去），
∴為使這種蔬菜供需平衡（即供給量與需求量相等），售價(jià)應(yīng)定為5元．
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，還考查了待定系數(shù)法、解一元二次方程等知識(shí)，根據(jù)題意得到函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·湖北孝感·?？家荒＃┲锌寂R近，某中學(xué)食堂為提高全體初三學(xué)子伙食，精心購(gòu)買A、B兩種食材共，A食材的價(jià)格為每千克5元，當(dāng)B食材購(gòu)買量不大于時(shí)，B食材的價(jià)格為每千克9元，當(dāng)B食材購(gòu)買量大于時(shí)，每增加，B食材的價(jià)格降低元．設(shè)購(gòu)買B種食材（x為10的整數(shù)倍）．
(1)若，購(gòu)買A、B兩種食材共花了3800元，求A、B兩種食材各多少千克？
(2)若，且購(gòu)買A食材的數(shù)量不少于B食材數(shù)量的一半，求購(gòu)買A種食材多少千克時(shí)，購(gòu)買的總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是多少元？
(3)若購(gòu)買A食材不超過(guò)，購(gòu)買B食材超過(guò)，商家獲得的最大銷售額為4000元，求m的值．
【答案】(1)購(gòu)買A種食材，購(gòu)買B種食材
(2)購(gòu)買A種食材200千克時(shí)，購(gòu)買的總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是4200元
(3)100
【分析】（1）設(shè)購(gòu)買B種食材，則購(gòu)買A種食材，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（2）根據(jù)總費(fèi)用等于A，B兩種食材費(fèi)用之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；
（3）令（2）中解析式，則解一元二次方程即可．
【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買B種食材，則購(gòu)買A種食材，根據(jù)題意得：
，
解得：，
所以，
答：購(gòu)買A種食材，購(gòu)買B種食材；
（2）解：當(dāng)時(shí)，購(gòu)買B種食材的價(jià)格為每千克，
設(shè)購(gòu)買的總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意得：
，
整理得：，
∴該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，
∵購(gòu)買A食材的數(shù)量不少于B食材數(shù)量的一半，
∴，解得：，
∵且x為10的整數(shù)倍，
∴且x為10的整數(shù)倍，
∵，
∴該函數(shù)圖象向下，
∴當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，w有最小值，最小值為，此時(shí)，
∴購(gòu)買A種食材200千克時(shí)，購(gòu)買的總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是4200元；
（3）解：由題意，結(jié)合（2）得：
令，
解得：，
∵購(gòu)買B食材超過(guò)300千克，
∴應(yīng)舍去，只取，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一元一次方程以及一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式或方程．
8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）垃圾分類作為一個(gè)公共管理的綜合系統(tǒng)工程，需要社會(huì)各個(gè)方面共同發(fā)力．洛陽(yáng)市某超市計(jì)劃定制一款家用分類垃圾桶，獨(dú)家經(jīng)銷，生產(chǎn)廠家給出如下定制方案：不收設(shè)計(jì)費(fèi)，定制不超過(guò)套時(shí)．每套費(fèi)用元；超過(guò)套后，超出的部分折優(yōu)惠．已知該超市定制這款垃圾桶的平均費(fèi)用為元套
(1)該超市定制了這款垃圾桶多少套？
(2)超市經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)此款垃圾桶售價(jià)定為/套時(shí)，平均每天可售出套；售價(jià)每降低元．平均每天可多售出套，售價(jià)下降多少元時(shí)．可使該超市平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大？
【答案】(1)該超市定制這款垃圾桶套
(2)售價(jià)下降元時(shí)，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大
【分析】（1）設(shè)該超市定制了這款垃圾桶套，根據(jù)題意，列出方程，即可；
（2）設(shè)售價(jià)下降元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)為元，根據(jù)題意，列出方程，解出方程，即可．
【詳解】（1）設(shè)該超市定制了這款垃圾桶套，
∵，
∴，
∴，
解得：，
答：該超市定制了這款垃圾桶套．
（2）設(shè)售價(jià)下降元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)為元，
∴，
，
∵且，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
答：售價(jià)下降元時(shí)，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程和二次函數(shù)的運(yùn)用，根據(jù)題意，列出等式．
9．（2023·安徽淮北·淮北一中校聯(lián)考一模）某商場(chǎng)試銷一款玩具，進(jìn)價(jià)為20元/件，商場(chǎng)與供貨商約定，試銷期間利潤(rùn)不高于，且同一周內(nèi)售價(jià)不變．從試銷記錄看到，當(dāng)售價(jià)為22元時(shí)，一周銷售了80件該玩具；當(dāng)售價(jià)為24元時(shí)，一周銷售了60件該玩具．每周銷量（件）與售價(jià)（元）符合一次函數(shù)關(guān)系．
(1)求每周銷量（件）與售價(jià)（元）之間的關(guān)系式；
(2)若商場(chǎng)一周內(nèi)銷售該玩具獲得的利潤(rùn)為210元，則該玩具的售價(jià)為多少元
(3)商場(chǎng)將該玩具的售價(jià)定為多少時(shí)，一周內(nèi)銷售該玩具獲得利潤(rùn)最大最大利潤(rùn)為多少元
【答案】(1)
(2)23元
(3)25元；250元
【詳解】（1）解：（1）設(shè)每周銷量（件）與銷售單價(jià)（元）之間的關(guān)系式為
則解得：
（件）與銷售單價(jià)（元）之間的關(guān)系式為：
故答案為：
（2）解：根據(jù)題意可得
整理，得，解得，
利潤(rùn)不高于，
舍去
答：該玩具的售價(jià)為23元．
故答案為：23元．
（3）根據(jù)題意得：，
隨著的減小而增大
當(dāng)時(shí)，取最大值且元
答：最大利潤(rùn)為250元．
故答案為：250元
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、解一元二次方程、解二元一次方程以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)．解題過(guò)程中需要注意通過(guò)因式分解實(shí)現(xiàn)降次求得的取值是否符合題意以及是否能熟練掌握頂點(diǎn)式二次函數(shù)的解析式．
10．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）一食品店平均每天可賣出個(gè)某種甜點(diǎn)，賣出個(gè)甜點(diǎn)的利潤(rùn)是元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每下降元，每天可多賣出個(gè)甜點(diǎn)，為了使每天獲得的利潤(rùn)更多，該店決定把零售單價(jià)下降元．
(1)零售單價(jià)下降元后，該店平均每天可賣出______個(gè)甜點(diǎn)，利潤(rùn)是______元；
(2)在不考慮其它因素的條件下，當(dāng)定為多少元時(shí)，才能使該店每天獲得的利潤(rùn)是元，并且賣出的甜點(diǎn)更多；
(3)若使該店每天獲取的利潤(rùn)最大，應(yīng)定為多少元？并求出此時(shí)的最大利潤(rùn)．
【答案】(1)，
(2)元
(3)當(dāng)應(yīng)定為元時(shí)，該店每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元
【分析】（1）根據(jù)題意先求出每天可賣出的甜點(diǎn)數(shù)，再根據(jù)利潤(rùn)單個(gè)甜點(diǎn)利潤(rùn)銷售量求出對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)即可；
（2）根據(jù)利潤(rùn)單個(gè)甜點(diǎn)利潤(rùn)銷售量列出方程求解即可；
（3）設(shè)每天的利潤(rùn)為W，根據(jù)利潤(rùn)單個(gè)甜點(diǎn)利潤(rùn)銷售量列出W與x的二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：個(gè)，
∴零售單價(jià)下降元后，該店平均每天可賣出個(gè)甜點(diǎn)，
∴此時(shí)的利潤(rùn)是元，
故答案為：，；
（2）解：由題意得，，
整理得：，即，
解得或，
∵要使且賣出的甜點(diǎn)更多，
∴降價(jià)越多，即，
∴當(dāng)定為元時(shí)，才能使該店每天獲得的利潤(rùn)是元，并且賣出的甜點(diǎn)更多，
（3）解：設(shè)每天的利潤(rùn)為W，
由題意得，
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，W最大，最大為，
∴當(dāng)應(yīng)定為元時(shí)，該店每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出對(duì)應(yīng)的方程和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
類型二、二次函數(shù)的應(yīng)用：分段問(wèn)題
11．（2023·河北保定·?？寄M預(yù)測(cè)）東東在網(wǎng)上銷售一種成本為30元件的恤衫，銷售過(guò)程中的其他各種費(fèi)用（不再含恤衫成本）總計(jì)50（百元）．若銷售價(jià)格為（元件），銷售量為（百件），當(dāng)時(shí)，與之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)時(shí)，，有關(guān)銷售量（百件）與銷售價(jià)格（元件）的相關(guān)信息如表：
(1)求當(dāng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求銷售這種恤衫的純利潤(rùn)百元與銷售價(jià)格元件的函數(shù)關(guān)系式；
銷售價(jià)格定為每件多少元時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)
(2) ；價(jià)格定為80元件時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是10000元
【分析】（1）把代入得，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為：，把，；，，代入解方程組即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)的范圍分類討論，由“總利潤(rùn)單件利潤(rùn)銷售量”可得函數(shù)解析式；②結(jié)合（1）中兩個(gè)函數(shù)解析式，分別依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)求其最值即可．
【詳解】（1）解：把代入得，
設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為：，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，
解得：，
與的函數(shù)關(guān)系式為：；
故答案為：；
（2）①當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
銷售這種恤衫的純利潤(rùn)（百元）與銷售價(jià)格（元件）的函數(shù)關(guān)系式為；
②當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值70（百元）；
當(dāng)時(shí)，，
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，（百元）（元），
答：銷售價(jià)格定為80元件時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是10000元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)和反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意依據(jù)相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，并熟練掌握二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·湖北咸寧·校聯(lián)考一模）李麗大學(xué)畢業(yè)后回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，開(kāi)了一家服裝專賣店代理品牌服裝的銷售．已知該品牌服裝進(jìn)價(jià)每件40元，日銷售（件）與銷售價(jià)（元/件）之間的關(guān)系如圖所示（實(shí)線），每天付員工的工資每人82元，每天應(yīng)支付其他費(fèi)用106元．
(1)直接寫出日銷售（件）與銷售價(jià)（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)某天的銷售價(jià)為48元/件時(shí)，收支恰好平衡（收入=支出），求該店員工人數(shù)；
(3)若該店只有2名員工，則每天能獲得的最大利潤(rùn)是多少元?此時(shí)，每件服裝的價(jià)格應(yīng)定為多少元?
【答案】(1)；
(2)3人．
(3)每天能獲得的最大利潤(rùn)是180元，此時(shí)，每件服裝的價(jià)格應(yīng)定為55元．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)收入等于支出，可得一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程，可得答案；
（3）分兩種情況解答：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)，依據(jù)：總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量-工人工資及其他費(fèi)用列出函數(shù)解析式，求解即可．
【詳解】（1）解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為，由圖象可得：，解得：．
∴；
當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為，由圖象得：
，解得：．
∴．
綜上所述：y=．
（2）設(shè)人數(shù)為a，當(dāng)時(shí)，，
則，
解得：．
答：該店員工人數(shù)為3．
（3）設(shè)每件服裝的價(jià)格為元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)為元．
當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)，最大值．
當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)，最大值＝171．
∵
∴最大值
答：每天能獲得的最大利潤(rùn)是180元，此時(shí)，每件服裝的價(jià)格應(yīng)定為55元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用與一次函數(shù)和一元一次方程的應(yīng)用能力，理解題意找到符合題意得相等關(guān)系函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考一模）某商場(chǎng)銷售的一種商品的進(jìn)價(jià)為元/件，連續(xù)銷售天后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：在這天內(nèi)，該商品每天的銷售價(jià)格（元/件）與時(shí)間（第天）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，該商品的日銷售量（件）與時(shí)間（第天）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．
(1)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)設(shè)銷售該商品的日利潤(rùn)為（元），求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出在這天內(nèi)哪天的日利潤(rùn)最大，最大日利潤(rùn)是多少元？
(3)在這天內(nèi)，日利潤(rùn)不低于元的共有多少天？請(qǐng)直接寫出結(jié)果．
【答案】(1)
(2)，當(dāng)時(shí)，w最大，；
(3)日利潤(rùn)不低于元的共有天；
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像利用待定系數(shù)法可直接得到答案；
（2）根據(jù)利潤(rùn)利潤(rùn)單價(jià)數(shù)量，寫出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可直接得到答案；
（3）根據(jù)利潤(rùn)不低于原列不等式即可得到答案；
【詳解】（1）解：由題意可得，
①當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)解析式為：，
由圖像可得，函數(shù)經(jīng)過(guò)，，將點(diǎn)代入解析式得，
，
解得：，
∴，
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
綜上所述可得，；
（2）解：由題意可得，
① 當(dāng)時(shí)，
，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，w最大，
，
② 當(dāng)時(shí)，
，
∵，
∴y隨x增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，w最大，
∴，
綜上所述：，當(dāng)時(shí)，w最大，；
（3）解：根據(jù)題意可得，
，解得：，且t為整數(shù)，，解得： ，且t為整數(shù)，
∴，
綜上所述：日利潤(rùn)不低于元的共有天；
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)解決銷售利潤(rùn)問(wèn)題，二次函數(shù)解決銷售利潤(rùn)問(wèn)題及不等式解決銷售利潤(rùn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求出利潤(rùn)w與t的函數(shù)關(guān)系式．
14．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考一模）某商店決定購(gòu)A，B兩種“冰墩墩”紀(jì)念品進(jìn)行銷售．已知每件A種紀(jì)念品比每件B種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)高30元．用1000元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同．
(1)求A，B兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？
(2)該商場(chǎng)通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出A型紀(jì)念品的售價(jià)與數(shù)量的關(guān)系如下表，
①當(dāng)x為何值時(shí)，售出A紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？
②該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B型紀(jì)念品共200件，其中A型紀(jì)念品的件數(shù)小于B型紀(jì)念品的件數(shù)，但不小于50件．若B型紀(jì)念品的售價(jià)為每件元時(shí)，商場(chǎng)將A，B型紀(jì)念品均全部售出后獲得的最大利潤(rùn)為2800元，直接寫出m的值．
【答案】(1)，兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是元和元
(2)①當(dāng)時(shí)，售出紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元；②32
【分析】（1）設(shè)紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是元，則紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)用1000元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量相同，列出分式方程，進(jìn)行求解即可；
（2）①設(shè)利潤(rùn)為，根據(jù)圖表，利用總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷售數(shù)量，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求出最值即可；②根據(jù)題意可得，此時(shí)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)型紀(jì)念品為件，再由A型紀(jì)念品的件數(shù)不小于50件，可得，設(shè)總利潤(rùn)為，求出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的值．
【詳解】（1）解：設(shè)紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是元，則紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是元，
由題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；
當(dāng)時(shí)：；
∴，兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是元和元；
（2）解：①設(shè)利潤(rùn)為，由表格，得：
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴隨著的增大而增大，
∴當(dāng)售價(jià)為元時(shí)，利潤(rùn)最大為：元；
當(dāng)，，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大為元；
綜上：當(dāng)時(shí)，售出紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．
②∵商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B型紀(jì)念品共200件，其中A型紀(jì)念品的件數(shù)小于B型紀(jì)念品的件數(shù)，
∴A型紀(jì)念品的件數(shù)小于100件，
∴，此時(shí)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)型紀(jì)念品為件，
∴購(gòu)進(jìn)型紀(jì)念品為件，
∵A型紀(jì)念品的件數(shù)不小于50件，
∴，
∴，
設(shè)總利潤(rùn)為y元，根據(jù)題意得：
，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)， y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，
∵將A，B型紀(jì)念品均全部售出后獲得的最大利潤(rùn)為2800元，
∴，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)題意，正確的列出分式方程和函數(shù)表示式，利用函數(shù)的性質(zhì)，求最值是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年全球疫情肆虐，醫(yī)用物質(zhì)緊缺，一線的抗議人員奮不顧身，用血肉之軀為我們開(kāi)辟一條安全的道路，直至11月，全國(guó)各地相繼宣布解封，各行各業(yè)紛紛復(fù)工投入上產(chǎn)，“陽(yáng)光醫(yī)療器械廠”立即投入生產(chǎn)，下圖表是12月份前5天的防護(hù)服售價(jià)y（元/套），和銷量t（套）的關(guān)系表：
由于物價(jià)部門發(fā)現(xiàn)這種亂象，從第5天開(kāi)始工廠對(duì)外調(diào)整價(jià)格為28元一套，據(jù)統(tǒng)計(jì)第6天以后防護(hù)服銷量t（套）和第x天的關(guān)系出現(xiàn)：（，且x為整數(shù)）．
(1)直接寫出銷量t與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式：并且求出第6天以后第幾天的銷量最大，最大值為多少；
(2)若成本價(jià)為22元，該工廠這些天（按20天計(jì)）出售防護(hù)服得到的利潤(rùn)W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式：直接寫出第幾天的利潤(rùn)的最大．
【答案】(1)，第6天以后第20天的銷量最大，最大值為500套
(2)第20天的利潤(rùn)的最大，最大值3000元．
【分析】（1）前4天銷量每天增加20套，故屬于一次函數(shù)，用待定系數(shù)法求解即可；第6天以后銷量最值直接求 最大值即可；
（2）表示出20天的利潤(rùn)W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式再求最值即可，注意分兩種情況討論即可．
【詳解】（1）∵由表格可知，前4天銷量每天增加20套，
∴銷量t與第x天（前4天）滿足的一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)
由表格可知和在上
∴，解得
∴銷量t與第x天（前4天）滿足的；
∵的對(duì)稱軸為直線，而
∴當(dāng)時(shí)，t隨x的增大而增大
∴當(dāng)時(shí)，t最大，最大值，
即第6天以后第20天的銷量最大，最大值為500套；
（2）當(dāng)時(shí)銷售價(jià)格
∴
對(duì)稱軸為直線，而
∴當(dāng)時(shí)，隨x的增大而增大
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值元，
當(dāng)時(shí)，
對(duì)稱軸為直線，而
∴當(dāng)時(shí)，隨x的增大而增大
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值，
綜上所述，第20天的利潤(rùn)的最大，最大值3000元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及分段函數(shù)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是要求同學(xué)們熟練掌握配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用，難度較大．
16．（2023·遼寧阜新·?？家荒＃┠惩婢哌B鎖店研制出一種新式文具，試銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，若每件文具的售價(jià)不超過(guò)元，每天可銷售件；若每件文具售價(jià)超過(guò)元，每提高元，每天的銷量就會(huì)減少件，但每件文具售價(jià)不得高于元，這家文具連鎖店每天需要支付因這種文具而產(chǎn)生的其他費(fèi)用（不含文具成本）元，設(shè)每件文具的售價(jià)為（元），文具連鎖店每件利潤(rùn)為元，文具連鎖店每天銷售這種文具的純收入為（元）．（注：純收入＝銷售額﹣成本﹣其他費(fèi)用）
(1)根據(jù)題意，填寫下表：
(2)經(jīng)調(diào)查，該文具店每天銷售這種文具的每件收入為（元）與零售價(jià)（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如果這種文具每件的售價(jià)不超過(guò)元，那么如何定價(jià)才能使該文具連鎖店每天銷售這種文具的純收入最高？最高純收入為多少元？
【答案】(1)；
(2)；
(3)當(dāng)售價(jià)為元時(shí)可該使該文具連鎖店每天銷售這種文具的的純收入最高，最高純收入為元
【分析】（1）根據(jù)表中文具的銷售量和售價(jià)的變化情況填空即可；
（2）利用表中的對(duì)應(yīng)值確定一次函數(shù)解析式即可；
（3）分和兩種情況，根據(jù)“純收入=（售價(jià)進(jìn)價(jià)）×銷售量每天固定成本”可得函數(shù)解析式，當(dāng)時(shí)，利用一次函數(shù)的增減性求解；當(dāng)時(shí)將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；綜合以上兩種情況下的最值，從而得出答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，銷售量為300件，
當(dāng)時(shí)，銷售量為（件），
補(bǔ)全表格如圖：
（2）解：與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
把點(diǎn)和代入上式得
，
解得，
即與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（3）解：時(shí)，，
解得，
所以文具的進(jìn)價(jià)為元，每件利潤(rùn)，
當(dāng)每件文具售價(jià)不超過(guò)元，即時(shí)，；
當(dāng)每件文具售價(jià)超過(guò)元，即時(shí)，；
①當(dāng)時(shí)，中隨的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值；
②當(dāng)時(shí)，，
，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值；
綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值；
答：當(dāng)售價(jià)為元時(shí)可該使該文具連鎖店每天銷售這種文具的的純收入最高，最高純收入為元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并據(jù)此正確列出函數(shù)解析式，還要熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)．
17．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）小黃做小商品的批發(fā)生意，其中某款“中國(guó)結(jié)”每件的成本為15元，該款“中國(guó)結(jié)”的批發(fā)單價(jià)y（元）與一次性批發(fā)量x（x為正整數(shù)）（件）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
(1)當(dāng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
(2)某零售商在小黃處一次性批發(fā)該款“中國(guó)結(jié)”，共支付7280元，求此次批發(fā)量．
(3)某零售商在小黃處一次性批發(fā)該款“中國(guó)結(jié)”x（）件，小黃獲得的利潤(rùn)為w元，當(dāng)x為何值時(shí)，小黃獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)，其中
(2)280件
(3)當(dāng)時(shí)，小黃獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3125元
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）首先可判斷出購(gòu)買的數(shù)量小于400而大于200，則由數(shù)量單價(jià)=付款額，列出關(guān)于x的一元二次方程即可求解；
（3）分及兩種情況分別計(jì)算所獲的最大利潤(rùn)，再比較即可．
【詳解】（1）解：由圖知，當(dāng)時(shí)，線段過(guò)點(diǎn)及，
設(shè)過(guò)這兩點(diǎn)的線段解析式為：，
則有：，
解得：，
即，其中；
（2）解：由圖知，當(dāng)x=200時(shí)，所付款為：（元），當(dāng)x=400時(shí)，所付款為：（元），而，則購(gòu)買數(shù)量位于200與400之間；
由題意得：，
即，
解得：，（舍去），
即此次批發(fā)量為280件；
（3）解：當(dāng)時(shí)，
即，
當(dāng)時(shí)，w有最大值，且最大值為3125；
當(dāng)時(shí)，批發(fā)價(jià)固定，批發(fā)量越大，則利潤(rùn)越大，則當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為：（元）
由于，
所以當(dāng)時(shí)，小黃獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3125元．
【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)與方程的綜合，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，正確理解題意，準(zhǔn)確列出方程或函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合．
18．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃┚珳?zhǔn)扶貧工作已經(jīng)進(jìn)入攻堅(jiān)階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優(yōu)質(zhì)草莓，今年二月份正式上市銷售．在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
設(shè)第x天的售價(jià)為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系滿足如下圖像：已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤(rùn)是w元．（利潤(rùn)＝銷售收入﹣成本）
(1)將表格中的最后一列補(bǔ)充完整；
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(3)求銷售草莓的第幾天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)y＝
(3)銷售草莓的第30天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是272元
【分析】（1）設(shè)每天的銷售量為z，則用待定系數(shù)法可求出每天的銷售量與銷售天數(shù)x的一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式填表即可；
（2）根據(jù)圖像寫出分段函數(shù)即可；
（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系列出x和w之間的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【詳解】（1）設(shè)每天的銷量為z，
∵每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，
∴z＝sx+t，
∵當(dāng)x＝1時(shí)，z＝10，x＝2時(shí)z＝12，
∴，
解得，
即z＝2x+8，
當(dāng)時(shí)，銷售量，
則將表格中的最后一列補(bǔ)充完整如下表：
（2）由函數(shù)圖像知，當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y與x成一次函數(shù)，且函數(shù)圖像過(guò)(10，14)，(20，9)，
設(shè)y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝-x+19（0＜x≤20），
當(dāng)20＜x≤30時(shí)，y＝9，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝；
（3）由題意知，當(dāng)0＜x≤20時(shí)，
w＝＝﹣x2+24x+112＝，
∴此時(shí)當(dāng)x＝12時(shí)，w有最大值為256，
當(dāng)20＜x≤30時(shí)，
w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，
∴此時(shí)當(dāng)x＝30時(shí)，w有最大值為272，
綜上所述，銷售草莓的第30天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是272元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）為推進(jìn)“書(shū)香社區(qū)”建設(shè)，某社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批圖書(shū)．已知購(gòu)買2本科技類圖書(shū)和3本文學(xué)類圖書(shū)需154元，購(gòu)買4本科技類圖書(shū)和5本文學(xué)類圖書(shū)需282元．
(1)科技類圖書(shū)與文學(xué)類圖書(shū)的單價(jià)分別為多少元？
(2)為了支持“書(shū)香社區(qū)”建設(shè)，助推科技發(fā)展，商家對(duì)科技類圖書(shū)推出銷售優(yōu)惠活動(dòng)（文學(xué)類圖書(shū)售價(jià)不變）：購(gòu)買科技類圖書(shū)超過(guò)40本但不超過(guò)50本時(shí)，每增加1本，單價(jià)降低1元；超過(guò)50本時(shí)，均按購(gòu)買50本時(shí)的單價(jià)銷售．社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種圖書(shū)共計(jì)100本，其中科技類圖書(shū)不少于30本，但不超過(guò)60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準(zhǔn)備多少購(gòu)書(shū)款？
【答案】(1)科技類圖書(shū)的單價(jià)為38元，文學(xué)類圖書(shū)的單價(jià)為26元．
(2)社區(qū)至少要準(zhǔn)備2700元購(gòu)書(shū)款．
【分析】（1）設(shè)科技類圖書(shū)的單價(jià)為x元，文學(xué)類圖書(shū)的單價(jià)為y元，然后根據(jù)題意可列出方程組進(jìn)行求解；
（2）設(shè)社區(qū)需要準(zhǔn)備w元購(gòu)書(shū)款，購(gòu)買科技類圖書(shū)m本，則文學(xué)類圖書(shū)有（100-m）本，由（1）及題意可分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)及當(dāng)時(shí)，進(jìn)而問(wèn)題可分類求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)科技類圖書(shū)的單價(jià)為x元，文學(xué)類圖書(shū)的單價(jià)為y元，由題意得：
，解得：；
答：科技類圖書(shū)的單價(jià)為38元，文學(xué)類圖書(shū)的單價(jià)為26元．
（2）解：設(shè)社區(qū)需要準(zhǔn)備w元購(gòu)書(shū)款，購(gòu)買科技類圖書(shū)m本，則文學(xué)類圖書(shū)有（100-m）本，由（1）可得：
①當(dāng)時(shí)，則有：，
∵12＞0，
∴當(dāng)m=30時(shí)，w有最小值，即為；
②當(dāng)時(shí)，則有：，
∵-1＜0，對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=50時(shí)，w有最小值，即為；
③當(dāng)時(shí)，此時(shí)科技類圖書(shū)的單價(jià)為（元），則有，
∵2＞0，
∴當(dāng)m=51時(shí)，w有最小值，即為；
綜上所述：社區(qū)至少要準(zhǔn)備2700元的購(gòu)書(shū)款．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，注意分類討論．
20．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┍斩帐?022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物．冰墩墩以熊貓為原型設(shè)計(jì)，寓意創(chuàng)造非凡、探索未來(lái)．某批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批冰墩墩玩偶出售，每件進(jìn)貨價(jià)為50元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷傳量y（萬(wàn)件）與每件的售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為 ；
(2)批發(fā)市場(chǎng)銷售冰墩墩玩偶希望每月獲利352萬(wàn)元，且盡量給客戶實(shí)惠，每件冰墩墩應(yīng)該如何定價(jià)？
(3)批發(fā)市場(chǎng)規(guī)定，冰墩墩的每件利潤(rùn)率不低于10%，若這批玩偶每月銷售量不低于20a萬(wàn)件，最大利潤(rùn)為400萬(wàn)元，求a的值．
【答案】(1)
(2)每件冰墩墩定價(jià)為58元
(3)
【分析】（1）由表可知單價(jià)為60元時(shí)，可買40萬(wàn)件，每上漲2元，銷量就降4萬(wàn)件，據(jù)此有，整理即可得；
（2）根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解，注意以讓利給顧客為依據(jù)對(duì)根作取舍；
（3）設(shè)銷售總利潤(rùn)為w，由題意，得 ，根據(jù)題意得出關(guān)于x的不等式組，求出x的取值范圍，根據(jù)拋物線的性質(zhì)和最大利潤(rùn)為400萬(wàn)元即可求出a的值．
【詳解】（1）由表可知單價(jià)為60元時(shí)，可買40萬(wàn)件，每上漲2元，銷量就降4萬(wàn)件，據(jù)此有，整理即可得：；
（2）
解得，
∵盡量給客戶優(yōu)惠
∴每件冰墩墩定價(jià)為58元；
（3）設(shè)銷售總利潤(rùn)為w，由題意，
得 ，
又∵，則
∵二次項(xiàng)系數(shù)，拋物線開(kāi)口向下，
①若，則當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去
②若，即
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
∴時(shí)，最大，
此時(shí)
解得，（舍）
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出y與x的關(guān)系式以及列出二元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．
類型三、二次函數(shù)的應(yīng)用：投球問(wèn)題
21．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）學(xué)校舉辦籃球比賽，運(yùn)動(dòng)員小明跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面2.4米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手的水平距離4米時(shí)到達(dá)最大高度（M點(diǎn)）4米，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈中心距地面3.1米．以地面為x軸，經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)（M點(diǎn)）與地面垂直的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
(1)請(qǐng)根據(jù)圖中信息，求出籃球運(yùn)行軌跡的拋物線解析式；
(2)請(qǐng)問(wèn)運(yùn)動(dòng)員小明的這次跳起投籃能否投中？
(3)此時(shí)，對(duì)方隊(duì)員乙上前攔截蓋帽，且隊(duì)員乙最大摸高3.2米，若隊(duì)員乙蓋帽失敗，則他距運(yùn)動(dòng)員小明至少多遠(yuǎn)？（，結(jié)果精確到0.1）（說(shuō)明：在球出手后，未達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，被防守隊(duì)員攔截下來(lái)，稱為蓋帽，但球到達(dá)最高點(diǎn)后，處于下落過(guò)程時(shí)，防守隊(duì)員再出手?jǐn)r截，屬于犯規(guī)，判進(jìn)攻方得2分．）
【答案】(1)
(2)小明的這次跳起投籃能投中
(3)他距運(yùn)動(dòng)員小明至少1.2米
【分析】（1）先根據(jù)題意得出點(diǎn)的坐標(biāo)，在根據(jù)頂點(diǎn)式帶入求解．
（2）求當(dāng)時(shí)的求函數(shù)值．
（3）求出時(shí)的x值．
【詳解】（1）解：由題意及圖形知：拋物線的頂點(diǎn)為：，過(guò)點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為：，
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
所以小明的這次跳起投籃能投中．
（3）解：當(dāng)時(shí)，，
解得：，
由題意知：，
，
，
所以他距運(yùn)動(dòng)員小明至少米．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的解析式求解及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)．
22．（2023·福建·福建省福州第十九中學(xué)校考一模）排球考試要求：墊球后，球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度至少為2米．某次摸擬測(cè)試中，某生在處將球墊偏，之后又在A、兩處先后墊球，球沿拋物線運(yùn)動(dòng)（假設(shè)拋物線、、在同一平面內(nèi)），最終正好在處墊住，處離地面的距離為1米．如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)1米為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，軸平行于地面水平直線，已知點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線表達(dá)式為和拋物線表達(dá)式為．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)第一次墊球后，球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度是否達(dá)到要求？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)為了使第三次墊球后，球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度達(dá)到要求，該生第三次墊球處離地面的高度至少為多少米？
【答案】(1)；
(2)最大高度未達(dá)到要求，理由見(jiàn)解析；
(3)米．
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將拋物線表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出實(shí)際最大高度，即可得到答案；
（3）由（1）可知，，得到拋物線表達(dá)式為，進(jìn)而得到對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)最大高度的要求和對(duì)稱軸，求出，再根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得到，求出的最小值即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線表達(dá)式為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
解得：，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：
（2）解：最大高度未達(dá)到要求，理由如下：
由（1）得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
處離地面的距離為1米，
球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度為，
最大高度未達(dá)到要求；
（3）解：由（1）可知，，
拋物線表達(dá)式為，
對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度達(dá)到要求，
，
或，
對(duì)稱軸在x軸負(fù)半軸，
，
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，
點(diǎn)離地面的高度至少為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
23．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，創(chuàng)設(shè)體育文化氛圍，某校開(kāi)展田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，小賢同學(xué)報(bào)了投鉛球比賽的項(xiàng)目，如圖曲線AB就是他投出的鉛球運(yùn)動(dòng)路線，呈拋物線形，出手點(diǎn)A離地面的高度為，鉛球飛行的水平距離的長(zhǎng)度為m．過(guò)作于點(diǎn)，以O(shè)B為軸，為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．
(1)寫出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若拋物線的解析式為
①求的取值范圍；
②若，求小賢同學(xué)投出的鉛球運(yùn)動(dòng)路線（拋物線）的解析式．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)題意可直接得出結(jié)果；
（2）①根據(jù)對(duì)稱軸在O、B之間可得：，由此確定的取值范圍；
②利用待定系數(shù)法設(shè)該拋物線的表達(dá)式為，然后將點(diǎn)A代入求解即可；
【詳解】（1）解：∵出手點(diǎn)A離地面的高度為，鉛球飛行的水平距離的長(zhǎng)度為m．
∴，．
（2）解：①∵，
∴．
②∵，
∴對(duì)稱軸：直線．
故該拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．
∴設(shè)．
將代入上式子得．
∴．
∴．
故小賢同學(xué)投出的鉛球運(yùn)動(dòng)路線的解析式為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，掌握用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式及求方程的解是解題關(guān)鍵．
24．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一小球從斜坡上的點(diǎn)處拋出，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，球的拋出路線是拋物線的一部分，斜坡可以看作直線的一部分．若小球經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解答下列問(wèn)題：
(1)求拋物線的表達(dá)式，并直接寫出拋物線的對(duì)稱軸；
(2)小球在斜坡上的落點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在斜坡上的點(diǎn)有一棵樹(shù)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，樹(shù)高為4，小球能否飛過(guò)這棵樹(shù)？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；
(4)直接寫出小球在飛行的過(guò)程中離斜坡的最大高度．
【答案】(1)；
(2)
(3)小球能飛過(guò)這棵，理由見(jiàn)解析
(4)
【分析】（1）把點(diǎn)代入，求出b的值，再把解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解；
（2）聯(lián)立得：，即可求解；
（3）把分別代入，和，即可求解；
（4）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線；
（2）解：聯(lián)立得：，
解得：或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：小球能飛過(guò)這棵，理由如下：
當(dāng)時(shí)，
對(duì)于，，
對(duì)于，，
，
∴小球能飛過(guò)這棵樹(shù)；
（4）解：根據(jù)題意得：小球在飛行的過(guò)程中離斜坡的距離為
，
∵，
∴小球在飛行的過(guò)程中離斜坡的最大高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的求解方法，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，難度適中利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在某場(chǎng)足球比賽中，球員甲將在地面上點(diǎn)處的足球?qū)χ蜷T踢出，圖中的拋物線是足球的高度與球和點(diǎn)的水平距離的函數(shù)的部分圖象（不考慮空氣的阻力），當(dāng)足球運(yùn)行到最高點(diǎn)時(shí)，此時(shí)球恰好在球員乙的正上方，球員乙在距點(diǎn)的點(diǎn)處，球距地面的高度為，即，對(duì)方球門與點(diǎn)的水平距離為．
(1)當(dāng)時(shí)，
①求與的關(guān)系式；
②當(dāng)球的高度為時(shí)，求足球與對(duì)方球門的水平距離；
(2)防守隊(duì)員丙站在距點(diǎn)正前方的點(diǎn)處，球員甲罰出的任意球高過(guò)球員丙的頭頂并直接射進(jìn)對(duì)方球門，已知丙的身高為，即，球門的高度為，即，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)①；②當(dāng)球的高度為時(shí)，求足球與對(duì)方球門的水平距離為或
(2)
【分析】（1）依題意，設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而，根據(jù)對(duì)方球門與點(diǎn)的水平距離為，即可求解．
（2）設(shè)拋物線解析式為，依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解不等式組即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為，
令，即，
解得：，
∵對(duì)方球門與點(diǎn)的水平距離為，
∴當(dāng)球的高度為時(shí)，求足球與對(duì)方球門的水平距離為或；
（2）解：設(shè)拋物線解析式為，
依題意，當(dāng)時(shí)，，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，滑雪大跳臺(tái)在設(shè)計(jì)時(shí)融入了敦煌壁畫中“飛天”的元素，故又名“雪飛天”．圖1為“雪飛天”滑雪大跳臺(tái)賽道的橫截面示意圖．運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)起跳后到著陸坡著落時(shí)的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，取水平線為軸，鉛垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)示如圖2，從起跳到著落的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的鉛垂高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．在著陸坡上設(shè)置點(diǎn)作為標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)，著陸點(diǎn)在點(diǎn)或超過(guò)點(diǎn)視為成績(jī)達(dá)標(biāo)．
(1)在某運(yùn)動(dòng)員的一次試跳中，測(cè)得該運(yùn)動(dòng)員的水平距離與鉛垂高度的幾組數(shù)據(jù)如上表，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員鉛垂高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式
(2)請(qǐng)問(wèn)在此次試跳中，該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)是否達(dá)標(biāo)？
(3)此次試跳中，該運(yùn)動(dòng)員在空中從起跳到達(dá)最高點(diǎn)的高度或從最高點(diǎn)到下落的高度（m）與時(shí)間（s）均滿足（其中為常數(shù)，表示重力加速度，取），運(yùn)動(dòng)員要完成“飛天”動(dòng)作至少在空中要停留3秒鐘，問(wèn)該運(yùn)動(dòng)員從起跳到落地能完成動(dòng)作嗎？
【答案】(1)；
(2)不達(dá)標(biāo)
(3)不能
【分析】（1）根據(jù)題意可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，從而得到拋物線的解析式為，再把點(diǎn)代入，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解；
（3）分別把和代入，求出t的值，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的解析式為，
即，
即該運(yùn)動(dòng)員鉛垂高度的最大值為；
把點(diǎn)代入得：
，解得：，
∴滿足的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∴該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)不達(dá)標(biāo)；
（3）解：當(dāng)時(shí)，，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，，
解得：或，
∴該運(yùn)動(dòng)員從起跳到落地所用時(shí)間為，
∵運(yùn)動(dòng)員要完成“飛天”動(dòng)作至少在空中要停留3秒鐘，
∴該運(yùn)動(dòng)員從起跳到落地不能完成動(dòng)作．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·北京西城·校考一模）奧運(yùn)會(huì)主火炬手小王練習(xí)射箭點(diǎn)火．他需要用火種點(diǎn)燃箭頭，然后準(zhǔn)確地射向米遠(yuǎn)、20米高的火炬塔．火炬塔上面是一個(gè)弓形的圣火臺(tái)，該弓形的弦記為，且火炬塔垂直平分，這支箭飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分，記這支箭飛行的水平距離為（單位：），距地面的豎直高度為（單位：），獲得數(shù)據(jù)如表：
小芳根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)h隨自變量d的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了研究．下面是小芳的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
(1)k的值為_(kāi)________；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，描全以表中各對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；
(3)只要小王射出箭的軌跡與線段有公共點(diǎn)，那么這支箭就可以射入圣火臺(tái)．請(qǐng)問(wèn)小王是否可以將這支箭射入圣火臺(tái)？答：_______________（填“是”或者“否”）
(4)開(kāi)幕式當(dāng)晚，只要小王射出的箭能夠進(jìn)入圣火臺(tái)上方邊長(zhǎng)為4米的正方形范圍內(nèi)（包含邊界），都可以順利點(diǎn)燃主火炬．小芳發(fā)現(xiàn)，在射箭的初始角度和力量不變的情況下，小王還可以通過(guò)調(diào)整與火炬塔的水平距離來(lái)改變這支箭的飛行軌跡（即向右平移原拋物線）．若保證圣火被點(diǎn)燃，小王可以沿橫軸正方向移動(dòng)的最大距離是______________米．（結(jié)果請(qǐng)保留根號(hào)）
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)是
(4)
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性結(jié)合表格數(shù)據(jù)可知當(dāng)與時(shí)的函數(shù)值相等，據(jù)此即可求解；
（2）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，然后用光滑的曲線連接即可；
（3）先求得拋物線的解析式，再求出當(dāng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值，再和作比較即可；
（4）利用已求得拋物線的解析式，根據(jù)題意，先求得正方形左下角的點(diǎn)的坐標(biāo)和右上角的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的平移列出方程，求得平移的距離，即可求解．
【詳解】（1）解：∵這只箭飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分，
根據(jù)表格數(shù)據(jù)和二次函數(shù)圖像的對(duì)稱的性質(zhì)可得：對(duì)稱軸為直線，
∴與時(shí)的函數(shù)值相等，
∵當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，．
故答案為：．
（2）解：先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，然后用光滑的曲線連接如下圖：
（3）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，
，
∴小王可以將這支箭射入圣火臺(tái)．
故答案為：是．
（4）解：由（3）可知：二次函數(shù)的解析式為，
∵圣火臺(tái)上方高4米的范圍內(nèi)，都可以順利點(diǎn)燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不變的情況下，射手可以通過(guò)調(diào)整與火炬塔的距離來(lái)改變這只箭的飛行軌跡，即相當(dāng)于將圖像左右平移可以保證圣火被點(diǎn)燃，
依題意，正方形左下角的點(diǎn)的坐標(biāo)為，右上角的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)前進(jìn)米，即拋物線向右平移米，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)正方形的右上角的點(diǎn)時(shí)，
∴，
解得：，（不合題意，舍去），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查拋物線的對(duì)稱性，描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像，二次函數(shù)圖像的平移．根據(jù)函數(shù)圖像獲取信息解題的關(guān)鍵．
28．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）原地正面擲實(shí)心球是中招體育考試項(xiàng)目之一．受測(cè)者站在起擲線后，被擲出的實(shí)心球進(jìn)行斜拋運(yùn)動(dòng)，實(shí)心球著陸點(diǎn)到起擲線的距離即為此項(xiàng)目成績(jī)．實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作拋物線的一部分．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)心球從出手到著陸的過(guò)程中，豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系．小明使用內(nèi)置傳感器的智能實(shí)心球進(jìn)行擲實(shí)心球訓(xùn)練．
(1)第一次訓(xùn)練時(shí)，智能實(shí)心球回傳的水平距離與豎直高度的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下：
則：①拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)是______，頂點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)際意義是________；
②求y與x近似滿足的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出本次訓(xùn)練的成績(jī)．
(2)第二次訓(xùn)練時(shí)，y與x近似滿足函數(shù)關(guān)系，則第二次訓(xùn)練成績(jī)與第一次相比是否有提高？為什么？
(3)實(shí)心球的拋物線軌跡是影響成績(jī)的重要因素，可以通過(guò)多種方法調(diào)整實(shí)心球的軌跡．小明擲實(shí)心球的出手高度不變，即拋物線中c的值不變，要提高成績(jī)應(yīng)使a，b的值做怎樣的調(diào)整?
【答案】(1)①，頂點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)際意義是實(shí)心球拋出后達(dá)到的最大垂直高度；②，本次訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)?br>(2)有提高，理由見(jiàn)解析
(3)a變大，b變大
【分析】（1）①根據(jù)表格數(shù)據(jù)和題意可解答；②利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出第二次著陸的距離，與第一次比較即可得出結(jié)論；
（3）可根據(jù)拋物線的最大垂直高度、對(duì)稱軸的位置和著陸距離，結(jié)合前兩次的函數(shù)解析式和結(jié)論可作出結(jié)論．
【詳解】（1）解：①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，當(dāng)和時(shí)，y值相等，則直線是對(duì)稱軸，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
由于頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，故實(shí)際意義為實(shí)心球拋出后達(dá)到的最大垂直高度，
故答案為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)際意義是實(shí)心球拋出后達(dá)到的最大垂直高度；
②設(shè)y與x近似滿足的函數(shù)關(guān)系式為，
將，代入，得，解得，
∴y與x近似滿足的函數(shù)關(guān)系式為；
令，由得，（負(fù)值舍去），
∴本次訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)椋?br>（2）解：有提高，理由為：
對(duì)于函數(shù)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
令，由得，（負(fù)值舍去），
∵，，
∴第二次拋出的最大垂直高度大于第一次，著陸更遠(yuǎn)，成績(jī)更集中，
即第二次訓(xùn)練成績(jī)與第一次相比有提高；
（3）解：對(duì)于函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，
由題意，，，著陸距離為（負(fù)值舍去），最大垂直高度為，
要提高成績(jī)，只需提高最大垂直高度，對(duì)稱軸盡可能的遠(yuǎn)離拋出位置，著陸距離盡可能的遠(yuǎn)，
結(jié)合第一次和第二次的拋物線方程，可將a變大，b變大．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是理解題意，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析解答．
29．（2023·北京海淀·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一小球M從斜坡上的點(diǎn)O處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫．若小球到達(dá)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式（不寫自變量x的取值范圍）；
(2)若要在斜坡上的點(diǎn)B處豎直立一個(gè)高4米的廣告牌，點(diǎn)B與拋出點(diǎn)O的水平距離為2，請(qǐng)判斷小球M能否飛過(guò)這個(gè)廣告牌？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；
(3)直接寫出小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡的最大高度．
【答案】(1)，
(2)小球M能飛過(guò)這棵樹(shù)；理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，把代入即可確定拋物線解析式；
（2）將分別代入兩個(gè)函數(shù)求解，比較即可．
（3）設(shè)小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡的高度為h米，先根據(jù)拋物線和一次函數(shù)的解析式可得出h關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】（1）解：∵小球到達(dá)的最高的點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
把代入得，，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，，
∵，
∴小球M能飛過(guò)這棵樹(shù)；
（3）小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡的高度，
∴小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡的最大高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
30．（2023·河北滄州·?？家荒＃┛蒲腥藛T為了研究彈射器的某項(xiàng)性能，利用無(wú)人機(jī)測(cè)量小鋼球豎直向上運(yùn)動(dòng)的相關(guān)數(shù)據(jù)．無(wú)人機(jī)上升到離地面30米處開(kāi)始保持勻速豎直上升，此時(shí)，在地面用彈射器（高度不計(jì)）豎直向上彈射一個(gè)小鋼球（忽路空氣阻力），在1秒時(shí)，它們距離地面都是35米，在6秒時(shí)，它們距離地面的高度也相同．其中無(wú)人機(jī)離地面高度（米）與小鋼球運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示；小鋼球離地面高度（米）與它的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中拋物線所示．
（1）直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時(shí)，小鋼球和無(wú)人機(jī)的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【分析】（1）先設(shè)出一次函數(shù)的解析式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（3）當(dāng)1＜x≤6時(shí)小鋼球在無(wú)人機(jī)上方，因此求y2-y1，當(dāng)6＜x≤8時(shí)，無(wú)人機(jī)在小鋼球的上方，因此求y1-y2，然后進(jìn)行比較判斷即可．
【詳解】解：（1）設(shè)y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=kx+b'，
∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，30）和（1，35），
則，
解得，
∴y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）∵時(shí)，，
∵的圖象是過(guò)原點(diǎn)的拋物線，
∴設(shè)，
∴點(diǎn)，在拋物線上．
∴，即，
解得，
∴．
答：與的函數(shù)關(guān)系式為．
（3）設(shè)小鋼球和無(wú)人機(jī)的高度差為米，
由得或.
①時(shí)，
，
∵，∴拋物線開(kāi)口向下，
又∵，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為；
②時(shí)，
，
∵，∴拋物線開(kāi)口向上，
又∵對(duì)稱軸是直線，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為70．
∵，
∴高度差的最大值為70米．
答：高度差的最大值為70米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)實(shí)際情況判斷無(wú)人機(jī)和小鋼球的高度差．
類型四、二次函數(shù)的應(yīng)用：噴水問(wèn)題
31．（2023·湖南永州·?？家荒＃┮蛔鶚蛉鐖D，橋下水面寬度是10米，高是4米．如圖，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的解析式；
(2)要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米？
【答案】(1)
(2)寬度須不超過(guò)5米
【分析】（1）先根據(jù)題意得到，然后把拋物線設(shè)成交點(diǎn)式進(jìn)行求解即可；
（2）求出當(dāng)時(shí)x的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意得，，
設(shè)拋物線解析式為，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，則，
解得，
∴要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確求出對(duì)應(yīng)的拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．
32．（2023·貴州銅仁·校考一模）如圖，古代一石橋有17個(gè)大小相同的橋洞，橋面平直，其中三個(gè)橋洞抽象成拋物線，其最大高度為，寬為，將橋墩的寬度、厚度忽略不計(jì)，以水平方向?yàn)闄M軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，．
(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若一艘高于水平面的小船想要通過(guò)橋洞，根據(jù)安全需要，它頂部最寬處兩側(cè)距橋洞的水平距離均不得小于，設(shè)它頂部最寬處為，求d的值不得超過(guò)多少小船才能順利通過(guò)？
【答案】(1)
(2)不得超過(guò)m
【分析】（1）設(shè)，把頂點(diǎn)坐標(biāo)為代入可得解析式；
（2）將代入解出x的值可得答案．
【詳解】（1）設(shè)這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，
由題意得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
∵頂部最寬處兩側(cè)距橋洞的水平距離均不得小于，
∴，
解得，
∴d的值不得超過(guò)m，小船才能順利通過(guò)．
【點(diǎn)睛】本題考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．
33．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D1，一段高架橋的兩墻，由拋物線一部分連接，為確保安全，在拋物線一部分內(nèi)修建了一個(gè)菱形支架，拋物線的最高點(diǎn)到的距離米，，點(diǎn)，在拋物線一部分上，以所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，確定一個(gè)單位長(zhǎng)度為1米．
(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求高架橋兩端的的距離；
(3)如圖2，現(xiàn)在將菱形做成廣告牌，且在菱形內(nèi)再做一個(gè)內(nèi)接矩形廣告牌，已知矩形廣告牌的價(jià)格為80元/米，其余部分廣告牌的價(jià)格為160元/米，試求菱形廣告牌所需的最低費(fèi)用．
【答案】(1)
(2)米
(3)元
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作 軸于點(diǎn)，在 中，軸，，勾股定理得出，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)，解方程，得出的坐標(biāo)，即可求解．
（3）待定系數(shù)法得出直線的解析式為，直線的解析式為，設(shè)矩形中，米，則，代入，，繼而得出，由（1）得出，設(shè)總費(fèi)用為，進(jìn)而根據(jù)面積乘以廣告牌的價(jià)格得出的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作 軸于點(diǎn)，
∵四邊形是菱形，，
∴，，
在 中，軸，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，
將，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）令，
解得：，
∴，
∴（米）
（3）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)，代入得，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)矩形中，米，
則，代入，，
得，
∴ ，
∴，
由（1）可得，
，
設(shè)總費(fèi)用為，
∴
；
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
最小值為，
∴菱形廣告牌所需的最低費(fèi)用為元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？家荒＃┤鐖D，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面寬，當(dāng)水位上升時(shí)，水面寬．
(1)按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)有一條船以的速度向此橋徑直駛來(lái)，當(dāng)船距離此橋，橋下水位正好在處，之后水位每小時(shí)上漲，當(dāng)水位達(dá)到 處時(shí)，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時(shí)，水面寬是多少？它能否安全通過(guò)此橋？
【答案】(1)
(2)水面寬是，它能安全通過(guò)此橋
【分析】（1）以拱橋最頂端為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)設(shè)函數(shù)解析式為，由待定系數(shù)法求出其解即可；
（2）計(jì)算出船行駛到橋下的時(shí)間，由這個(gè)時(shí)間按計(jì)算水位上升的高度，從而得出此時(shí)水面寬度，再比較就可以求出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為不等于，橋拱最高點(diǎn)到水面的距離為米．
則，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：由題意，得
船行駛到橋下的時(shí)間為：小時(shí)，
水位上升的高度為：米．
設(shè)此時(shí)水面寬為 ，
，
由（1）知：，
∴F縱坐標(biāo)為，
把代入，得
，
解得：，，
∴，
．
船的速度不變，它能安全通過(guò)此橋．
答：該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時(shí)，水面寬是，它能安全通過(guò)此橋．
【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，有理數(shù)大小的比較的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
35．（2023·北京西城·北京市第三十五中學(xué)?？家荒＃W(xué)校舉辦“科技之星”頒獎(jiǎng)典禮，頒獎(jiǎng)現(xiàn)場(chǎng)人口為一個(gè)拱門．小明要在拱門上順次粘貼“科”“技”“之”“星”四個(gè)大字（如圖1），其中，“科”與“星”距地面的高度相同，“技”與“之”距地面的高度相同，他發(fā)現(xiàn)拱門可以看作是拋物線的一部分，四個(gè)字和五角星可以看作拋物線上的點(diǎn)．通過(guò)測(cè)量得到拱門的最大跨度是10米，最高點(diǎn)的五角星距地面6.25米．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中建立平面直角坐標(biāo)系，并求出該拋物線的解析式；
(2)“技”與“之”的水平距離為米．小明想同時(shí)達(dá)到如下兩個(gè)設(shè)計(jì)效果：
① “科”與“星”的水平距離是“技”與“之”的水平距離的2倍；
②“技”與“科”距地面的高度差為1.5米．
小明的設(shè)計(jì)能否實(shí)現(xiàn)？若能實(shí)現(xiàn)，直接寫出的值；若不能實(shí)現(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)能實(shí)現(xiàn)；
【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入求解析式即可；
（2）設(shè)“技”的坐標(biāo)，表示“科”，列出方程解方程即可．
【詳解】（1）解：如圖，以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線對(duì)稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為．
∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴
∴
∴這條拋物線表示的二次函數(shù)為．
（2）能實(shí)現(xiàn)；．
由“技”與“之”的水平距離為米，設(shè)“技”，“之”，
則 “科”，
“技”與“科”距地面的高度差為1.5米，
，
解得：或(舍去)
【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考一模）某公路有一個(gè)拋物線形狀的隧道ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y＝﹣x2+c且過(guò)頂點(diǎn)C（0，5）.（長(zhǎng)度單位：m）
(1)直接寫出c＝ ；
(2)求該隧道截面的最大跨度（即AB的長(zhǎng)度）是多少米？
(3)該隧道為雙向車道，現(xiàn)有一輛運(yùn)貨卡車高4米、寬3米，問(wèn)這輛卡車能否順利通過(guò)隧道？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)5；
(2)10米；
(3)能安全通過(guò)，理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）將點(diǎn)C（0，5）代入拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+c即可求解；
（2）由圖可知，A、B兩點(diǎn)之間的距離即為該隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得；
（3）該隧道為雙向車道，故將x＝3代入拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+c，求得y的值與4比較大小即可求解．
【詳解】（1）解：∵頂點(diǎn)C（0，5）
∴c＝5，
故答案為：5．
（2）解：由題意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米．
（3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通過(guò)．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、解一元二次方程、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，能結(jié)合圖形與實(shí)際列式求解．
37．（2023·河南信陽(yáng)·統(tǒng)考一模）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：，該拋物線的頂點(diǎn)P到的距離為．
(1)求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到的距離均為，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根據(jù)題意知，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，代入函數(shù)解析式可求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而 可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）依題意，頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將代入，得．解之，得．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）令，得．
解之，得．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由函數(shù)值求自變量的值的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
38．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點(diǎn)A水平距離為d米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)d和h之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．
下面是小紅的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
(1)經(jīng)過(guò)測(cè)量，得出了d和h的幾組對(duì)應(yīng)值，如下表．
在d和h這兩個(gè)變量中，________是自變量，________是這個(gè)變量的函數(shù)；
(2)在下面的平面直角坐標(biāo)系中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；
(3)結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：
①橋墩露出水面的高度AE為_(kāi)______米；
②公園欲開(kāi)設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長(zhǎng)為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見(jiàn)，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且，要求游船能從C，D兩點(diǎn)之間安全通過(guò)，則C處距橋墩的距離CE至少為_(kāi)______米．（精確到0.1米）
【答案】(1)d，h
(2)見(jiàn)解析
(3)①0.88；②則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義即可解答；
（2）描點(diǎn)，連線，畫出圖象即可；
（3）①觀察圖象即可得出結(jié)論；②求出拋物線的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在d和h這兩個(gè)變量中，d是自變量，h是這個(gè)變量的函數(shù)；
故答案為：d，h；
（2）解：描點(diǎn)，連線，畫出圖象如圖：
；
（3）解：①觀察圖象，橋墩露出水面的高度AE為0.88米；
故答案為：0.88；
②設(shè)根據(jù)圖象設(shè)二次函數(shù)的解析式為h=ad2+bd+0.88，
把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為h=-0.5d2+2d+0.88，
令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，
解得d3.3或d0.7，
∴則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．
39．（2023·湖北武漢·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面的寬為18米，拱頂離水面的距離為9米，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
（1）求此拋物線的解析式；
（2）一艘貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形.
①如果限定矩形的長(zhǎng)為12米，那么要使船通過(guò)拱橋，矩形的高不能超過(guò)多少米？
②若點(diǎn)，都在拋物線上，設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求矩形的高.
【答案】（1）此拋物線的解析式為y=-x2；（2）①要使船通過(guò)拱橋，矩形的高DE不能超過(guò)5米；②矩形CDEF的高為米.
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=ax2（a≠0）．把已知坐標(biāo)（9，-9）代入解析式求得a即可；
（2）①已知CD=12，把已知坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式可求解；
②設(shè)DM=a米，可得EF=CD=2DM=2a米、DE=FC=9-a2，根據(jù)L=EF+DE+CF求得L的值最大時(shí)a的值，代入DE=9-a2問(wèn)題可解．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線解析式為：y=ax2，
將點(diǎn)Ｂ（9，-9）代入，得：81a=-9，
解得：a=-，
此拋物線的解析式為y=-x2；
（2）①當(dāng)x=6時(shí)，y=-×36=-4，
∵9-4=5，
∴矩形的高DE不能超過(guò)5米，才能使船通過(guò)拱橋；要使船通過(guò)拱橋，矩形的高DE不能超過(guò)5米；
②設(shè)DM=a米，則EF=CD=2DM=2a米，
當(dāng)x=a時(shí)，y=-a2，
∴DE=FC=9-a2，
則L=2a+2（9-a2）=-a2+2a+18=-（a-）2+，
∴當(dāng)a=時(shí)，L取得最大值，矩形CDEF的高為米
【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知條件得出L的函數(shù)關(guān)系式及其最值情況是解題關(guān)鍵．
40．（2023·北京東城·北京市廣渠門中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1是某條公路的一個(gè)單向隧道的橫斷面．經(jīng)測(cè)量，兩側(cè)墻AD和與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB＝4米．為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點(diǎn)E，測(cè)量點(diǎn)E到墻面AD的距離和到隧道頂面的距離EF．設(shè)米，米．通過(guò)取點(diǎn)、測(cè)量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：
(1)隧道頂面到路面AB的最大高度為_(kāi)_____米；
(2)請(qǐng)你幫助工程人員建立平面直角坐標(biāo)系，描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出可以表示隧道頂面的圖象．
(3)今有寬為2.4米，高為3米的貨車準(zhǔn)備在隧道中間通過(guò)（如圖2）．根據(jù)隧道通行標(biāo)準(zhǔn)，其車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離應(yīng)大于0.5米．結(jié)合所畫圖象，請(qǐng)判斷該貨車是否安全通過(guò)：______（填寫“是”或“否”）．
【答案】(1)3.99
(2)見(jiàn)解析
(3)是
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，有最大值；
（2）根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系；
（3）在中，令，求得相應(yīng)的值，結(jié)合其車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離應(yīng)大于0.5米．從而判斷該貨車是否能安全通過(guò).
【詳解】（1）解：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，有最大值為3.99；
故答案為：3.99；
（2）解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，
（3）解：將代入，得：
，解得：，
拋物線的表達(dá)式為；
在中，令，得：
，
車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離大于0.5米，
該貨車能安全通過(guò)；
故答案為：是．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、理清題中的數(shù)量關(guān)系、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
類型五、二次函數(shù)的應(yīng)用：拱橋問(wèn)題
41．（2023·江西吉安·校考模擬預(yù)測(cè)）某公司為城市廣場(chǎng)上一雕塑安裝噴水裝置．噴水口位于雕塑的頂端點(diǎn)B處，噴出的水柱軌跡呈現(xiàn)拋物線型．據(jù)此建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．若噴出的水柱軌跡上某一點(diǎn)與支柱的水平距離為x（單位：m），與廣場(chǎng)地面的垂直高度為y（單位：m）．下面的表中記錄了y與x的五組數(shù)據(jù)：
根據(jù)上述信息，解決以下問(wèn)題：
(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系；
(2)求水柱落地點(diǎn)與雕塑的水平距離；
(3)為實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)噴水效果，廣場(chǎng)管理處決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱軌跡的形狀不變的前提下，把水柱噴水的半徑（動(dòng)態(tài)噴水時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離）控制在到之間，請(qǐng)?zhí)骄扛慕ê髧娝厮淖畲蟾叨群蚥的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
(3)水柱的最大高度，的取值范圍為．
【分析】（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系為，代入，，，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）令，則，求解方程取滿足實(shí)際要求得值即可；
（3）．由題意可知：不變，即，且的位置不變，即，設(shè)，把代入解得，易知，當(dāng)最小時(shí)，即時(shí)，代入水柱有最大高度為的值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系為，
代入，，，得：
，解得：，
∴設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系為；
（2）令，則，即：；
∴，
∴（舍）或，
∴水柱落地點(diǎn)與雕塑的水平距離為；
（3）由在噴出水柱軌跡的形狀不變的前提下，可知：
不變，即，且的位置不變，即，
設(shè)，
把代入得，，解得，把代入得，，解得,
∵把水柱噴水的半徑（動(dòng)態(tài)噴水時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離）控制在到之間，
∴，
當(dāng)最小時(shí)，即時(shí)，即水柱有最大高度為，
∴水柱的最大高度，的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．
42．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為1.2m．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.4m，灌溉車到綠化帶的距離為d（單位：m）．
(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；
(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，直接寫出d的取值范圍．
【答案】(1)；6m
(2)
(3)
【分析】（1）由頂點(diǎn)得，設(shè)，再根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，可得a的值，從而解決問(wèn)題；
（2）由對(duì)稱軸知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)EF=0.5，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，由題意得是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)，
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，
∴，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，
解得，（舍去），
∴噴出水的最大射程為6m；
（2）解：∵對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（3）解：∵，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5，
∴，解得，
∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，要使，
則 ，
∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，且時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，要使，則，
∵，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，
∴d的最大值為，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，
∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．
43．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）某游樂(lè)場(chǎng)的圓形噴水池中心O有一噴水管，米，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上．已知在與池中心O點(diǎn)水平距離為3米時(shí)，水柱達(dá)到最高，此時(shí)高度為2米．
(1)求水柱所在的拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；
(2)身高為的小穎站在距離噴水管的地方，她會(huì)被水噴到嗎？
(3)現(xiàn)重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點(diǎn)與噴水管距離，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋物線形狀不變，且水柱仍在距離原點(diǎn)處達(dá)到最高，則噴水管要升高多少？
【答案】(1)
(2)她不會(huì)被水噴到；
(3)
【分析】（1）根據(jù)圖像設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意將點(diǎn)代入即可得到答案；
（2）計(jì)算當(dāng)時(shí)y的值，與比較即可得到答案；
（3）根據(jù)題意中形狀不變得到不變，對(duì)稱軸是及過(guò)點(diǎn)代入頂點(diǎn)式即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，由圖像可得，
，，圖像過(guò)，
∴ ，
解得：，
∴；
（2）解：當(dāng)時(shí)，
，
∴她不會(huì)被水噴到；
（3）解：設(shè)解析式為，
由題意可得，
∵圖像形狀不變，仍在距離原點(diǎn)處達(dá)到最高，落水點(diǎn)與噴水管距離，
∴，，過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴，
，
∴要升高米．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用及求拋物線解析式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖像及題意提取相關(guān)信息．
44．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？家荒＃┠尘坝^公園內(nèi)人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，若設(shè)距水槍水平距離為x米時(shí)水柱距離湖面高度為y米，y與x近似的滿足函數(shù)關(guān)系．現(xiàn)測(cè)量出x與y的幾組數(shù)據(jù)如下：
請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
(1)求出滿足條件的函數(shù)關(guān)系式；
(2)身高米的小明與水柱在同一平面中，設(shè)他到水槍的水平距離為m米（），畫出圖象，結(jié)合圖象回答，若小明被水槍淋到m的取值范圍．
【答案】(1)拋物線為：
(2)畫圖見(jiàn)解析，
【分析】（1）由表格信息先求解拋物線的對(duì)稱軸，再求解得到坐標(biāo)，再把代入求解即可；
（2）先畫拋物線的實(shí)際圖象，結(jié)合圖象再求解拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得答案．
【詳解】（1）解：由表格信息可得拋物線過(guò)，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線：，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
∴拋物線為：
把代入可得，，
解得：，
∴拋物線為：．
（2）如圖，根據(jù)表格信息結(jié)合拋物線的對(duì)稱性先描點(diǎn)，再連線畫圖如下：
當(dāng)時(shí)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可得：或，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：，，
∴小明被水槍淋到m的取值范圍為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，畫二次函數(shù)的圖象，理解題意，靈活的運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性解題是關(guān)鍵．
45．（2023·北京西城·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現(xiàn)測(cè)量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為米的地點(diǎn)，水柱距離湖面高度為米．
請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
(1)在下邊網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接．
(2)請(qǐng)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，估出噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離約為_(kāi)_____米（精確到0.1）；
(3)公園增設(shè)了新的游玩項(xiàng)目，購(gòu)置了寬度3米，頂棚到水面高度為4.5米的平頂游船，游船從噴泉正下方通過(guò)，別有一番趣味，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明游船是否有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)7.0
(3)游船沒(méi)有被噴泉淋到的危險(xiǎn)
【分析】（1）建立坐標(biāo)系，描點(diǎn)、用平滑的曲線連接即可；
（2）觀察圖象并根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求解即可；
（3）把代入關(guān)系式，計(jì)算出y的值與4.5比較即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：由圖象可知噴泉最高點(diǎn)距離湖面的高度為5.6米；
根據(jù)圖象設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
將代入得，
∴拋物線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得或（舍去），
所以噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離約為6.7米；
（3）解：當(dāng)時(shí)，，
∴游船沒(méi)有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)噴泉的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．
46．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）某公園要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管長(zhǎng)2.25m．在水管的頂端安裝一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m．
(1)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，求拋物線（第一象限部分）的解析式；
(2)不考慮其它因素，水池的直徑至少要多少米才能使噴出的水流不落到池外？
(3)實(shí)際施工時(shí)，經(jīng)測(cè)量，水池的最大半徑只有2.5m，在不改變噴出的拋物線形水柱形狀的情況下，且噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，需對(duì)水管的長(zhǎng)度進(jìn)行調(diào)整，求調(diào)整后水管的最大長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)水池的直徑至少要6米才能使噴出的水流不落到池外
(3)調(diào)整后水管的最大長(zhǎng)度米
【分析】(1)由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為：，將代入得，求出的值即可；
(2)令，得，，解得(舍)或，可得直徑至少為(米)；
(3)將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)平移后的拋物線的解析式為∶，將代入得求出的值，得出平移后的拋物線的解析式，再令求出即可．
【詳解】（1）由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的解析式為：，
將代入得，，
解得，
拋物線的解析式為∶．
（2）令，得，，
解得(舍)或，
(米)，
水池的直徑至少要6米才能使珞出的水流不落到池外．
（3）將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
設(shè)平移后的拋物線的解析式為∶，
將代入得，，
解得，
當(dāng)時(shí)，．
調(diào)整后水管的最大長(zhǎng)度米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，重點(diǎn)是二次函數(shù)解析式的求法，利用頂點(diǎn)式求出解析式是解題關(guān)鍵．
47．（2023·北京順義·北京市順義區(qū)仁和中學(xué)?？家荒＃┠彻珗@在垂直于湖面的立柱上安裝了一個(gè)多孔噴頭，從噴頭每個(gè)孔噴出的水柱形狀都相同，可以看作是拋物線的一部分，當(dāng)噴頭向四周同時(shí)噴水時(shí)，形成一個(gè)環(huán)狀噴泉，安裝后，通過(guò)測(cè)量其中一條水柱，獲得如下數(shù)據(jù)，在距立柱水平距離為d米的地點(diǎn)，水柱距離湖面的高度為h米，
請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
(1)在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；
(2)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出這條水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度；
(3)求所畫圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(4)從安全的角度考慮，需要在這個(gè)噴泉外圍設(shè)立一圈正方形護(hù)欄，這個(gè)噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點(diǎn)到護(hù)欄的距離不能小于1米，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明公園至少需要準(zhǔn)備多少米的護(hù)欄（不考慮接頭等其他因素）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)5
(3)
(4)72米
【分析】（1）在表格中建立坐標(biāo)系，然后描點(diǎn)、連線即可；
（2）觀察圖象即可；
（3）由表中點(diǎn)（1.0，4.2），（5.0，4.2），可確定拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，則設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式即可，再找點(diǎn)（1.0，4.2）代入即可求得解析式；
（4）在求得的解析式中令h=0，則可求得d的值，即可確定所需護(hù)欄的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）坐標(biāo)系及圖象如圖所示．
（2）由圖象知，水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為5米．
（3）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1.0，4.2），（5.0，4.2），
∴拋物線的對(duì)稱軸為．
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3.0，5.0）．
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
把（1.0，4.2）代入，解得．
∴所畫圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．
（4）令，解得（舍），．
∴每條水柱在湖面上的落點(diǎn)到立柱的水平距離為8米．
∵這個(gè)噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點(diǎn)到護(hù)欄的距離不能小于1米，
∴正方形護(hù)欄的邊長(zhǎng)至少為18米．
則公園至少需要準(zhǔn)備18×4=72（米）的護(hù)欄．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，考查了畫二次函數(shù)圖象，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí)，二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
48．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為d（單位：）．
(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；
(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求出d的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意可知是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，然后把拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式，然后代入進(jìn)行求解即可；
（2）先求出上邊緣拋物線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出上邊緣拋物線上與點(diǎn)H對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，即點(diǎn)B是點(diǎn)C向左平移得到的，由此即可得到答案；
（3）對(duì)于上邊緣拋物線，先求出當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而確定，要使，則，從而得到d的最大值為，再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，則d的最小值為2，由此即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖，由題意得是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
∴可設(shè)上邊緣拋物線解析式為，
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）解：在中，令，則，
解得或，
∴；
∵上邊緣拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴在上邊緣拋物線上點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
∵下邊緣拋物線是有上邊緣拋物線向左平移得到的，且下拋物線經(jīng)過(guò)，
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
∴點(diǎn)B是點(diǎn)C向左平移得到的，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（3）解：∵，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為，
對(duì)于上邊緣拋物線，當(dāng)時(shí)，則，
解得，
∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，要使，則，
∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，且時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，要使，則，
∵，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，
∴d的最大值為，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，
∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意求出上邊緣拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．
49．（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)校考一模）某景觀公園的人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現(xiàn)測(cè)量出如下表中的數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為米的地點(diǎn)，水柱距離湖面高度為米．
請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
(1)在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接．
(2)①求噴泉拋物線的解析式；
②求噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離．
(3)已知噴泉落水點(diǎn)剛好在水池內(nèi)邊緣，如果通過(guò)改變噴泉的推力大小，使得噴出的水流形成的拋物線為，此時(shí)噴泉是否會(huì)噴到水池外？為什么？
(4)在（2）的條件下，公園增設(shè)了新的游玩項(xiàng)目，購(gòu)置了寬度為4米，頂棚到湖面高度為4.2米的平頂游船，游船從噴泉最高處的正下方通過(guò)，別有一番趣味，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明游船是否有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①；②6.7米
(3)會(huì)，見(jiàn)解析
(4)游船有被噴泉淋到的危險(xiǎn)
【分析】（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫圖象即可；
（2）①利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的關(guān)系式；②把代入即可；
（3）根據(jù)噴泉推理大小改變前后的函數(shù)解析式可以判斷推理改變后拋物線開(kāi)口變大，從而得出結(jié)論；
（4）把代入二次函數(shù)關(guān)系式得到得值，再與4.2比較即可．
【詳解】（1）解：如圖：
（2）解：①由圖象得，頂點(diǎn)，
設(shè)，
把代入可得，
；
②當(dāng)時(shí)，，
解得或（舍去），（米），
答：噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離約為6.7米，
（3）解： ，
改變噴泉的推力后拋物線開(kāi)口變大，
此時(shí)噴泉會(huì)噴到水池外面．
（4）解：當(dāng)時(shí)，，
答：游船有被噴泉淋到的危險(xiǎn).
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得到二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
50．（2023·北京海淀·校考二模）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現(xiàn)測(cè)量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為d米的地點(diǎn)，水柱距離湖面高度為h米．
請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
(1)在下邊網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；
(2)請(qǐng)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，估出噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離約為 米（精確到0.1）；
(3)公園增設(shè)了新的游玩項(xiàng)目，購(gòu)置了寬度4米，頂棚到水面高度為4.2米的平頂游船，游船從噴泉正下方通過(guò)，別有一番趣味，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明游船是否有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)6.7
(3)游船有被噴泉淋到的危險(xiǎn)
【分析】（1）以左下角的點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，然后描點(diǎn)，最后用平滑的曲線連接即可；
（2）根據(jù)圖象中米時(shí)，估算值即可；
（3）由點(diǎn)坐標(biāo)可知，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將代入，解得，可得二次函數(shù)頂點(diǎn)式，由平頂游船寬度4米，頂棚到水面高度為4.2米，可將代入二次函數(shù)解析式中求得的值，然后與比較大小，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：建立如圖坐標(biāo)系，描點(diǎn)后用平滑的曲線連接即可，
（2）解：米時(shí)，由圖象可估出噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離約為6.7米
故答案為：6.7．
（3）解：由點(diǎn)坐標(biāo)可知，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
設(shè)二次函數(shù)的解析式為
將代入，解得
∵平頂游船寬度4米，頂棚到水面高度為4.2米
∴將代入二次函數(shù)解析式中得米
∵
∴游船有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的知識(shí)并靈活運(yùn)用．
售價(jià)x(元)
…
銷售量y(件)
…
銷售單價(jià)x（元）
40
50
月銷售量y（件）
100
80
售價(jià)x（元）
60
70
100
日銷量y（個(gè)）
140
120
60
售價(jià)x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量p（千克）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
供給量q（千克）
…
1.5
2
2.5
3
銷售量百件
______
銷售價(jià)格元件
售價(jià)x（元/件）
銷售量（件）
100
第x天
1
2
3
4
5
銷售價(jià)格y（元/套）
30
32
34
36
38
銷量t（套）
100
120
140
160
180
文具的銷售量（件）
…
___
___
…
每件文具售價(jià)（元）
…
…
文具的銷售量（件）
…


…
每件文具售價(jià)（元）
…
…
x（天）
1
2
3
…
x
每天的銷售量（千克）
10
12
14
…

x（天）
1
2
3
…
30
每天的銷售量（千克）
10
12
14
…
68
售價(jià)x（元/件）
60
62
68
銷售量y（萬(wàn)件）
40
36
24
水平距離（m）
0
2
6
10
14
18
鉛垂高度（m）
（單位：）
（單位：）
水平距離x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
豎直高度y/m
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
x（米）
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
y（米）
3.00
3.44
3.76
3.94
3.99
3.92
3.78
3.42
3.00
0
2
6
10
3
x（米）
0
1
2
3
4
…
y（米）
…
（米）
0
1
2
3
4
…
（米）
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
d（米）
0
1.0
3.0
5.0
7.0
h（米）
3.2
4.2
5.0
4.2
1.8
/米
0
0.7
2
3
4
…
/米
2.0
3.484
5.2
5.6
5.2
…
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
5.2
5.6
5.2
…

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