類型一、全等三角形的計(jì)算與證明
1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點(diǎn)O．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由即可證明．
【詳解】證明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別位于直線的兩側(cè)，且．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】直接利用證明即可．
【詳解】證明：∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有等等．
3．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知，如圖，，，，求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】利用平行線的性質(zhì)證明，再利用證明即可．
【詳解】證明：∵，
∴，
在和中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，關(guān)鍵熟練應(yīng)用判定來(lái)求解．
4．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．
(1)求證：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，試求DE的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)DE=3
【分析】（1）利用中點(diǎn)性質(zhì)可得BD=CD，由平行線性質(zhì)可得∠DBE=∠DCF，再由對(duì)頂角相等可得∠BDE=∠CDF，即可證得結(jié)論；
（2）由題意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性質(zhì)可得DE=DF，即可求得答案．
【詳解】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE-AF=13-7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（2023·陜西延安·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由垂直的定義可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行線的性質(zhì)可得，∠A＝∠DCE，進(jìn)而由ASA可得結(jié)論．
【詳解】證明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定、垂直的定義和平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解題基礎(chǔ)．
6．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS證明△ABD≌△EDC，即可得結(jié)論．
【詳解】解：證明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到證明三角形全等需要的條件．
7．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，，與交于點(diǎn)G．
（1）求證：；
（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）先根據(jù)線段的和差可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；
（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．
【詳解】證明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已證：，
，即，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．
8．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)，先證出，利用得到，由此證明，得到，由此推出，．
【詳解】證明：∵，
∴，即
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，和中，，，求證：．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】只需要利用證明即可證明．
【詳解】證明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有等等．
10．（2023·廣東佛山·佛山市華英學(xué)校校考一模）如圖，已知，，，且B、D、E三點(diǎn)共線，
(1)證明：；
(2)證明：．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）證明，再根據(jù)全等三角形的判定方法證明；
（2）由全等三角形的性質(zhì)推出，然后利用三角形外角性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
在與中，，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
類型二、等腰（等邊）三角形的計(jì)算與證明
11．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接，．
(1)設(shè)時(shí)，求的度數(shù)；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出，，則可求出答案；
（2）作于點(diǎn)N，由勾股定理得出，則可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)N，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
12．（2023·陜西·交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知與相交于點(diǎn)，，．求證：
【答案】見(jiàn)解析
【分析】先根據(jù)得到，再根據(jù)證明，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】證明：，
，
在與中，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，關(guān)鍵是根據(jù)證明解答．
13．（2023·廣西河池·?？家荒＃┤鐖D，在等腰直角三角形和中，，點(diǎn)E在邊上，與交于點(diǎn)F，連接．
(1)求證：；
(2)求證：．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)，可得，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可證明，即可求證；
（2）根據(jù)，可得，從而得到，即可求證．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)F，連接，求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證得是等邊三角形，得到，即可證得結(jié)論．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·湖南衡陽(yáng)·?？家荒＃┮阎喝鐖D，，，AC和BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接OM．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)邊邊邊直接證明兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明是等腰三角形，根據(jù)三線合一可得，即可求得．
【詳解】（1）證明：在和中，
，
∴（SSS）．
（2）解：由（1）得：，
∴OB=OC
∴是等腰三角形．
∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·山東濟(jì)寧·濟(jì)寧市第十三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，等腰△ABC，BA＝BC， AD⊥BC．
(1)過(guò)點(diǎn)B作∠ABD的平分線交AD于點(diǎn)E（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)在（1）的條件下，已知AD＝BD ，求證BE＝AC．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）以B為圓心BD為半徑畫(huà)弧與AB交點(diǎn)為M，以D、M為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交點(diǎn)為N，連接BN并延長(zhǎng)與AD交點(diǎn)即為E；
（2）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠BAD＝45°，則∠ABE＝∠EBD＝22.5°，再計(jì)算出∠DAC＝22.5°，則可利用“ASA”證明△BDE≌△ADC，從而得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，BE為所作；
（2）證明：∵AD⊥BC，AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∵BE是∠B的平分線，
∴∠ABE＝∠EBD＝22.5°，
∵△ABC是等腰三角形，BA＝BC，
∴∠BAC＝，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DBE，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（ASA），
∴BE＝AC．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的作圖方法、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖方法是解題的基礎(chǔ)．
17．（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考二模）如圖，在中，分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)和，作直線，交于點(diǎn)，連接．
(1)請(qǐng)根據(jù)作圖過(guò)程回答問(wèn)題：直線是線段的 ；
A．角平分線 B．高 C．中線 D．垂直平分線
(2)若中，，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)D
(2)
【分析】（1）由尺規(guī)作圖痕跡可知，直線是線段的垂直平分線；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得出，在中，根據(jù)直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出，在中，再根據(jù)銳角三角函數(shù)，計(jì)算即可得出答案．
【詳解】（1）解：（1）由尺規(guī)作圖痕跡可知，直線是線段的垂直平分線；
故答案為：D．
（2）解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、含角的直角三角形、銳角三角函數(shù)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
18．（2023·北京西城·?？家荒＃┮阎壕€段，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D在直線上，線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交直線于點(diǎn)G．
(1)補(bǔ)全圖形1；
(2)在（1）中補(bǔ)全圖形中，求與的數(shù)量關(guān)系：
(3)在（1）中補(bǔ)全圖形中，用等式表示的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)，理由見(jiàn)詳解
(3)，理由見(jiàn)詳解
【分析】（1）按照題目要求補(bǔ)全圖形即可；
（2）連接，先證明，再表示出，，問(wèn)題隨之得解；
（3）過(guò)B作交于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可作答．
【詳解】（1）補(bǔ)全圖形如下：
（2），理由如下：
連接，如圖，
∵線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，，即，
∵點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，
∴垂直平分線段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
過(guò)B作交于點(diǎn)H，如圖，
在（2）中已證明，，
∵，
∴，，
∴利用勾股定理可得：，
∵，，
∴利用勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
19．（2023·天津西青·校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)如圖，若是等邊三角形，，，旋轉(zhuǎn)后得到，連接，已知．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的大小．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，推出為等邊三角形，得到，即可得解；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，由（1）為等邊三角形，得到，利用勾股定理逆定理得到，進(jìn)而得到，即可得解．
【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，
∵旋轉(zhuǎn)后得到，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴；
（2）解：由（1）知：為等邊三角形，，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·北京海淀·校考二模）已知等邊，其中點(diǎn)D、E是過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線l上兩點(diǎn)
(1)如圖1，，求證：
(2)如圖2，，，，求AD的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意易證，即得出；
（2）分別作，且角的頂點(diǎn)落在直線l上．由（1）可知，即得出，．設(shè)，則．在中，利用銳角三角形函數(shù)可求出，，從而可求出．再在中，利用銳角三角形函數(shù)可得出，即可列出關(guān)于x的等式，解出x的值，即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如圖，分別作，且角的頂點(diǎn)落在直線l上．
由（1）可知，
∴，．
設(shè)，則．
∵在中，
，
，
∴．
∵在中，，
∴，即，
解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)．掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．在解（2）時(shí)作出輔助線構(gòu)造全等三角形也是關(guān)鍵．
類型三、直角三角形的計(jì)算與證明
21．（2023·江西吉安·校考模擬預(yù)測(cè)）我校的八（1）班教室位于工地處的正西方向，且米，一輛大型貨車從處出發(fā)，以米/秒的速度沿北偏西度的方向行駛，如果大型貨車的噪聲污染半徑為米：
(1)教室是否在大型貨車的噪聲污染范圍內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)若在，請(qǐng)求出教室受污染的時(shí)間是多少？
【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析
(2)秒
【分析】（1）問(wèn)教室是否在大型貨車的噪聲污染范圍內(nèi)，其實(shí)就是問(wèn)到的距離是否大于污染半徑，如果大于則不受影響，反正則受影響．如果過(guò)作于，那么就是所求的線段，在中，的度數(shù)容易求得，又已知了的值，那么便可求出，然后進(jìn)行判斷即可；
（2）要求教室受影響的范圍，其實(shí)就是求的值，在中，的值已經(jīng)求得，又有的值，那么根據(jù)勾股定理的值就能求出了，也就能求出了，然后根據(jù)時(shí)間路程速度即可得出答案．
【詳解】（1）解：教室在大型貨車的噪聲污染范圍內(nèi)．
理由如下：
過(guò)作于，如圖所示：
由題意得，，，
，
教室在大型貨車的噪聲污染范圍內(nèi)；
（2）解：根據(jù)題意，在上取，兩點(diǎn)，連接，，使，如圖所示：
，
為的中點(diǎn)，即，
，
，即影響的時(shí)間為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確的理解題意，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·廣東·一模）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，．求證：．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】先證明，，再證明，，從而可得結(jié)論．
【詳解】證明：∵，，，
∴，，
∴，為等邊三角形，
∴，
由旋轉(zhuǎn)可得：，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．
23．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？级＃┤鐖D，已知是等腰直角三角形，，點(diǎn)D為邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】2
【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵是的一個(gè)外角，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用直尺和圓規(guī)作∠BAC的平分線交BC于D（保留痕跡）；
（2）若AD＝DB，求∠B的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）30°
【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得；
（2）由AD=DB知∠B=∠DAB，再由角平分線知∠B=∠DAB=∠DAC，結(jié)合∠ACB=90°可得答案．
【詳解】（1）如圖所示，AD即為所求．
（2）∵AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴∠B＝∠DAB＝∠DAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠DAB+∠DAC＝90°，
∴∠B＝30°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖及直角三角形的性質(zhì)．
25．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，垂足是D，若，求的值．
【答案】
【分析】在中，根據(jù)，可得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，再由勾股定理求出，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．
(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)cm
【分析】（1）利用ASA證明即可；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，求出FG的長(zhǎng)，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長(zhǎng)，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴（ASA）；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴cm,
設(shè)AE=xcm，
∴EP=xcm，
由知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，,
即，
解得，，
∴BC=BG+GC= (cm）．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，在中，，，，P、Q是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒；兩點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)①斜邊上的高為_(kāi)_____
②當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，是等腰三角形？
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出所有能使成為等腰三角形的t的值．
【答案】(1)①；②
(2)出發(fā)秒后能形成等腰三角形；
(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或6秒或秒時(shí)，為等腰三角形．
【分析】（1）①利用勾股定理可求解的長(zhǎng)，利用面積法進(jìn)而可求解斜邊上的高；
②可求得和，則可求得，在中，由勾股定理可求得的長(zhǎng)；
（2）用t可分別表示出和，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；
（3）用t分別表示出和，利用等腰三角形的性質(zhì)可分、和三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【詳解】（1）解：①在中，由勾股定理可得，
∴斜邊上的高為；
②當(dāng)時(shí)，則，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即的長(zhǎng)為，
故答案為：①；②；
（2）解：由題意可知，，
∵，
∴，
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則有，即，
解得，
∴出發(fā)秒后能形成等腰三角形；
（3）解：在中，，
當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，，，
∵為等腰三角形，
∴有、和三種情況，
①當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)B作于E，
則，
由（1）知，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得或（舍去）；
②當(dāng)時(shí)，則，解得；
③當(dāng)時(shí)，則，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得；
綜上可知當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或6秒或秒時(shí)，為等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．
28．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿其對(duì)角線剪開(kāi)，再把沿著方向平移，得到．設(shè)平移的距離為，兩個(gè)三角形重疊部分(陰影四邊形)的面積為
(1)當(dāng)時(shí)，求的值．
(2)試寫(xiě)出與間的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值．
(3)是否存在的值，使重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為：？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)的平移距離；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)，最大值為
(3)或
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得到和都為直角邊為的等腰直角三角形，從而判定出也為等腰直角三角形，得到，從而得到的長(zhǎng)，由四邊形的面積公式底乘以高的一半即可求出；
（2）同理得到從而得到的長(zhǎng)為，由四邊形的面積公式底乘以高的一半即可表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）由正方形的性質(zhì)得到和都為等腰直角三角形，根據(jù)直角邊方程為和，分別表示出鄰邊和，進(jìn)而表示出兩者之比等于已知的比值，列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【詳解】（1）解：如圖所示，
由題意可知和都為等腰直角三角形，且，
，又由平移可知，
也為等腰直角三角形， ，
，
又∵，
；
（2）由題意可知和都為等腰直角三角形，
，又由平移可知，
也為等腰直角三角形，

，
當(dāng)時(shí)，有最大值，其最大值為；
（3）存在．理由如下：
由題意得到和都為等腰直角三角形，
，
，
或，
解得：或 ，
或時(shí)，
重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·河北衡水·?？级＃┤鐖D，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即），左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度相等．
(1)求證：；
(2)若滑梯的長(zhǎng)度米，米，分別求出滑梯與的坡度；
(3)在（2）的條件下，由于太陡，在保持長(zhǎng)不變的情況下，現(xiàn)在將點(diǎn)E向下移動(dòng)，點(diǎn)F隨之向右移動(dòng)．
①若點(diǎn)E向下移動(dòng)的距離為1米，求滑梯底端F向右移動(dòng)的距離；
②在移動(dòng)的過(guò)程中，直接寫(xiě)出面積的最大值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)滑梯的坡度為．滑梯的坡度為
(3)①底端F向右滑行的距離為米；②25平方米
【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的判定直接證明即可；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)及勾股定理得出，再由坡度的定義求解即可；
（3）①點(diǎn)E向下滑動(dòng)的距離為1米，則此時(shí)米．結(jié)合勾股定理求解即可；
②根據(jù)斜邊不變，當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)，面積最大求解即可．
【詳解】（1）在與中，
，
∴；
（2）∵，
∴米．
在中，（米），
∴米，
∴滑梯的坡度為．
滑梯的坡度為；
（3）①點(diǎn)E向下滑動(dòng)的距離為1米，則此時(shí)米．
在中，，
∴底端F向右滑行的距離為米；
②設(shè)點(diǎn)E向下滑動(dòng)的距離為x米，則此時(shí)米
在中，，
當(dāng)時(shí)，面積的最大，，
解得：，
∴面積最大值為平方米．
【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形及坡度的定義，理解題意是解題關(guān)鍵．
30．（2023·上海青浦·?？家荒＃┤鐖D，在與中，，，與相交于點(diǎn)，，．
(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)的長(zhǎng)為24
【分析】（1）由，可以得出，可以得出，，由等式的性質(zhì)可以得出，就可以得出，從而可以得出結(jié)論；
（2）由勾股定理可以得出，從而得出的長(zhǎng)，由就可以得出，進(jìn)而求出結(jié)論．
【詳解】（1）證明： ，，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似是關(guān)鍵．
類型四、相似三角形的計(jì)算與證明
31．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為線段上一點(diǎn)，且．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，再證明，即可判定．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
32．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F．
(1)求證：．
(2)已知，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由四邊形為矩形，，可得，即可證明結(jié)論；
（2）E為的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可列出比例式求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵E為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
33．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點(diǎn)D，G分別在邊上，，與交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)若，求證：平分．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）只需要證明得到，即可證明；
（2）由相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而可證明得到，即可證明平分．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┤鐖D，，，，，．求的長(zhǎng)．
【答案】
【分析】由，，，，，即可證得，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
35．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)，分別在，上，交于點(diǎn)，，，，．
(1)求證：；
(2)求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)4
【分析】（1）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，由得到，加上對(duì)頂角相等得到，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到結(jié)論；
（2）由于，則利用相似三角形的性質(zhì)得到，從而根據(jù)比例的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：證明：，
，
，
；
（2）；
，
即，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)利用相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．
36．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，且．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】利用等角的余角相等，證明和，推出，得到，再通過(guò)，等量代換，即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用等角的余角相等證明角相等，是解題的關(guān)鍵．
37．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考一模）如圖，在中，．
(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)求作，使，交于D．（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)4
【分析】（1）以B為圓心，小于任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交、于點(diǎn)E、F，以C為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)G，以G為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于D即可；
（2）在（1）的條件下，可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）
以B為圓心，小于任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交、于點(diǎn)E、F，以C為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)G，以G為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于D即可，如上圖所示．
（2）∵，，
∴，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖法、三角形相似的判定及性質(zhì)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
38．（2023·安徽合肥·一模）如圖，點(diǎn)C在線段上，在同側(cè)作等腰和等腰，使，連接，分別交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)F，
(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，即可；
（2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，可得，從而得到，進(jìn)而得到，然后在等腰中，可得，從而得到，，再由勾股定理可得的長(zhǎng)，再由相似三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，即可求解．
【詳解】（1）證明：在等腰和等腰中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，
∵，
∴，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
39．（2023·河北石家莊·?？家荒＃┤鐖D，在中，．在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)B，使，連接AE，AE與CD交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)求DF的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)6
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得出，從而得出，即證明；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，即得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，即，最后結(jié)合，即可求出DF的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴，即．
∵，
∴，即．
∵,
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形相似的判定定理及其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
40．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在中，，是邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)．
(1)求證：平分；
(2)求證：．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）先根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得到，則，再證明得到，所以，從而得到結(jié)論；
（2）先證明，則利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：證明：
，是邊上的中線，
，
，
，，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)或表示線段之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．

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