類型一、一次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)大題專練
1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（a為常數(shù)）．
(1)若，當(dāng)時，求y的最大值．
(2)若，當(dāng)時，y有最大值8，求a．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）由題意得，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）先求出拋物線對稱軸為直線，則當(dāng)時，y隨x增大而增大，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴y隨x增大而增大，
∵，
∴當(dāng)時，y有最大值，最大值為4+1=5；
（2）解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵，
∴，
∴當(dāng)時，y隨x增大而增大，
又∵時，y有最大值8，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖北省直轄縣級單位·校考一模）設(shè)一次函數(shù)y＝a（x﹣2）+1（a是常數(shù)，a≠0）．
(1)若點（4，3）在該一次函數(shù)圖象上，求a的值．
(2)當(dāng)2≤x≤3時，該函數(shù)的最大值是3，求a的值．
(3)若點A（m，n）和點B（m+1，n+3）都在該一次函數(shù)圖象上，判斷反比例函數(shù)y＝的圖象所在象限，說明理由？
【答案】(1)a＝1；
(2)a＝2；
(3)反比例函數(shù)y＝在一、三象限；理由見解析
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征把（4,3）代入y＝a（x﹣2）+1中可求出a的值；
（2）分類討論：a＞0時，y隨x的增大而增大，所以當(dāng)x＝3時，y有最大值3，然后代入函數(shù)關(guān)系式可計算出對應(yīng)a的值；a＜0時，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x＝2時，y有最大值3，然后代入函數(shù)關(guān)系式可計算對應(yīng)a的值；
（3）先把A、B兩點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式可得a＝3，所以可得反比例函數(shù)y＝所在的象限．
【詳解】（1）把（4,3）代入y＝a（x﹣2）+1得：a（4﹣2）+1＝3，解得a＝1；
（2）①當(dāng)a＞0時，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝3時，y有最大值3，
把x＝3，y＝3代入函數(shù)關(guān)系式得：
3＝a（3﹣2）+1，
解得：a＝2；
②當(dāng)a＜0時，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝2時，y有最大值3，
把x＝2，y＝3代入函數(shù)關(guān)系式得：
3＝a（2﹣2）+1，
此方程無實數(shù)解；
綜上分析可知，a＝2；
（3）∵點A（m，n）和點B（m+1，n+3）都在該一次函數(shù)圖象上，
∴，
解得：a＝3，
∴反比例函數(shù)y＝在一、三象限．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降；注意反比例函數(shù)y＝ax中，a＞0時，在一、三象限，當(dāng)a＜0時，在二、四象限．
3．（2023·北京海淀·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與直線平行，且經(jīng)過點．
(1)求這個一次函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，對于x的每一個值，反比例函數(shù)的值都小于一次函數(shù)的值，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)系中兩直線平行，那么一次項系數(shù)相同得到，再代入進(jìn)行求解即可；
（2）分和兩種情況，分別畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象，利用圖象法進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象與直線平行，
∴．
∵一次函數(shù)的圖象過點，
∴．
∴．
∴這個一次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）解：∵在中，，
∴y隨x增大而增大，
∴時，一次函數(shù)的函數(shù)圖象在第一象限，
如圖1所示，當(dāng)，時，反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在第四象限，符合題意；
如圖2所示，當(dāng)，時，反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在第一象限，
要使得當(dāng)時，對于x的每一個值，反比例函數(shù)的值都小于一次函數(shù)的值，那么當(dāng)時反比例的函數(shù)值要小于或等于一次函數(shù)的函數(shù)值，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·北京海淀·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點且與軸交與A點．
(1)求函數(shù)解析式及點A的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值都小于函數(shù)的值，求的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)；
【分析】（1）將，兩點代入解析式求解得到一次函數(shù)解析式，再令即可得到答案；
（2）根據(jù)時函數(shù)的值都小于函數(shù)的值列不等式求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：將，兩點代入解析式可得，
，
解得：，
∴，
當(dāng)時，，
∴；
（2）解：∵時，函數(shù)的值都小于函數(shù)的值，
當(dāng)，
即，
當(dāng)，即時，
，
即，
解得：，
即當(dāng)時，時，函數(shù)的值都小于函數(shù)的值；
當(dāng)，即時，
，
不符合題意，不存在此類情況；
綜上所述當(dāng)時，在時，函數(shù)的值都小于函數(shù)的值；
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式與坐標(biāo)軸交點問題及一次函數(shù)與不等式之間關(guān)系，解題的關(guān)鍵是分類討論．
5．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，直線與雙曲線（）交于點A，并與坐標(biāo)軸分別交于點B，C．過點A作軸，交x軸于點D，連接，當(dāng)?shù)拿娣e為4時，求線段的長．
【答案】
【分析】可以用b表示出，，即有，，根據(jù)的面積是4，有，可求出直線的解析式為，聯(lián)立、（），求出點A坐標(biāo)，問題隨之得解．
【詳解】解：直線與坐標(biāo)軸分別交于點B，C，
∴，，且，
∴，.
∵的面積是4，
∴，
解得（負(fù)值舍去），
∴直線的解析式為，
由與（）聯(lián)立，
解得，（舍去），
∴點A的橫坐標(biāo)為．
∵軸，
∴線段的長為．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的知識，求出一次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，一次函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象平移得到，且經(jīng)過點．
(1)求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由一次函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象平移得到，可得，再把點代入，即可求解；
（2）分兩種情況，分別畫出圖象即可求得．
【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象平移得到，
，
，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
；
（2）解：當(dāng)時，如圖：
當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值；
當(dāng)時，如圖：
當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值，
綜上，當(dāng)或時，當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值．
【點睛】本題考查了求一次函數(shù)的解析式，分兩種情況，畫出圖象，利用函數(shù)圖象解決問題是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2023·山東棗莊·校考一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
(2)求的面積．
(3)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)8
(3)或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)一次函數(shù)確定，，結(jié)合圖象得出，代入求解即可
（3）由圖象可得當(dāng)或時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)的上方，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．
∴，，，
∴，
∴點，點，
反比例函數(shù)解析式為：；
（2）∵，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
如圖所示：，，
∴，，
∴
；
（3）由圖象可得當(dāng)或時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)的上方．
即不等式的解集為：或．
【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，包括確定函數(shù)解析式，求面積及確定不等式的解集，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（2023·陜西西安·西北大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）我們研究一個新函數(shù)時，常常會借助圖象研究新函數(shù)的性質(zhì)，在經(jīng)歷“列表、描點、連線”的步驟后，就可以得到函數(shù)圖象，請運(yùn)用這樣的方法對函數(shù)進(jìn)行探究：
(1)下表列出了部分研究數(shù)據(jù)，請在平面直角坐標(biāo)系中面出該函數(shù)的圖象．
(2)結(jié)合所畫圖象回答下列問題：當(dāng)時，的取值范圍是什么？
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）用描點法可畫出函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，觀察圖象即可求解．
【詳解】（1）畫出函數(shù)的圖象如圖：
（2）由圖象可得，當(dāng)時，的取值范圍是．
【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，能夠準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖象，通過觀察圖象獲取性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·北京東城·北京市廣渠門中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象平行于直線，且經(jīng)過點．
(1)求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時，對于的每一個值，一次函數(shù)的值大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意一次函數(shù)為代入根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
（2）根據(jù)點，結(jié)合圖象即可解得．
【詳解】（1）∵一次函數(shù)的圖象平行于直線，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過點，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：
（2）如圖所示：
把代入中，
∵當(dāng)時，對于的每一個值，一次函數(shù)的值大于函數(shù)的值，
【點睛】本題考查了兩條直線相交或平行問題，待定系數(shù)法求一-次函數(shù)的解析式，- -次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)臺是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·河北衡水·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與x軸交于點A，直線與x軸交于點，與直線交于點，動點M在直線上．
(1)求m的值及直線的表達(dá)式；
(2)若經(jīng)過點M作y軸的平行線與直線相交于點N，當(dāng)時，求此時點M的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，請直接給出以O(shè)，C，M，N為頂點的四邊形的面積．
【答案】(1)，直線的表達(dá)式為
(2)點M的坐標(biāo)為（-1，2）或（3，6）
(3)所得四邊形的面積為9或12
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）設(shè)，則，表示出的長，根據(jù)列方程，求解即可；
（3）當(dāng)點坐標(biāo)為時，根據(jù)四邊形的面積求解；當(dāng)點坐標(biāo)為時，根據(jù)四邊形的面積求解即可．
【詳解】（1）解：將點代入直線，
得，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將點，代入的表達(dá)式，
得，
解得，
直線的表達(dá)式為．
（2）解：直線與軸交于點，
，
又，
，
設(shè)，
則，
，
解得或，
點的坐標(biāo)為或．
（3）解：點，點，點，
當(dāng)點坐標(biāo)為時，
四邊形的面積
；
當(dāng)點坐標(biāo)為時，此時點與點重合，
四邊形的面積
，
綜上，以，，，為頂點的四邊形的面積為9或12．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與動點的綜合，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是知道線段長度求點坐標(biāo)，并且需要注意進(jìn)行分情況討論．
類型二、一次函數(shù)的應(yīng)用：行程問題
11．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）華山古稱“西岳”，為五岳之一，中華的“華”源于華山，因此華山有了“華夏之根”之稱，華山南接秦嶺山脈，北瞰黃渭，自古以來就有“奇險天下第一山”的說法．甲、乙兩人住同一小區(qū)，該小區(qū)到華山的距離為300千米，兩人先后從家出發(fā)沿同一路線駕車駛向華山，如圖，線段表示甲離開家的距離y（千米）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系；線段表示乙離開家的距離y（千米）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系．點C在線段上，請根據(jù)圖象解答下列問題：
(1)求點B的坐標(biāo)；
(2)在整個過程中，求t為何值時，甲、乙兩人之間的距離恰好為30千米．
【答案】(1)
(2)或3或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再求直線與x軸的交點坐標(biāo)即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再分，兩個時段，分別計算即可．
【詳解】（1）解：設(shè)乙離開家的距離y（千米）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系為，
，在其圖象上，
，
解得，
，
當(dāng)時，，
解得，
點B的坐標(biāo)為；
（2）解：設(shè)甲離開家的距離y（千米）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系，
在其圖象上，
，
解得，
．
當(dāng)時，甲離開家的距離，乙還未離開家，兩人之間距離為，
當(dāng)甲、乙兩人之間的距離恰好為30千米時，，
解得；
當(dāng)時，甲離開家的距離，乙離開家的距離，
當(dāng)甲、乙兩人之間的距離恰好為30千米時，
或，
解得或；
綜上可得，t為或3或時，甲、乙兩人之間的距離恰好為30千米．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析式，注意分段討論是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）周末，趙叔叔開車從西安出發(fā)去240千米遠(yuǎn)的安康游玩，當(dāng)汽車行駛1.5時到達(dá)柞水縣時，汽車發(fā)生故障，需停車檢修，修好后又繼續(xù)向前行駛，其行駛路程（千米）與時間（時）之間的關(guān)系如圖所示．
(1)求汽車修好后（段）與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)在距離西安180千米的地方有一個服務(wù)區(qū)，求趙叔叔出發(fā)后多長時間到達(dá)服務(wù)區(qū)？
【答案】(1)
(2)小時
【分析】（1）根據(jù)圖象得到，，BC為直線，故設(shè)（段）的函數(shù)關(guān)系式為，代入點坐標(biāo)求解即可．
（2）令，代入一次函數(shù)解析式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)（段）的函數(shù)關(guān)系式為，
由圖可知，，，
將，代入，
得，
解得，
．
（2）解：由圖可知，服務(wù)區(qū)在（段），
令，則，
解得，
趙叔叔出發(fā)小時到達(dá)服務(wù)區(qū)．
【點睛】此題考查了一次函數(shù)解析式的求解及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識點．
13．（2023·吉林長春·?？家荒＃┮惠v轎車從地駛往地，到達(dá)地后立即返回地，返回速度是原來的1.5倍，往返共用小時．一輛貨車同時從地駛往地，速度是60km/h到達(dá)地后停止．兩車同時出發(fā)，勻速行駛，設(shè)轎車行駛的時間為，兩車離開地的距離為，轎車行駛過程中與之間的函數(shù)圖象如圖所示．
(1)轎車從地駛往地的速度為______ ，______．
(2)在圖中畫出貨車從地行駛到地的函數(shù)圖象，并求貨車從地行駛到地時與之間的函數(shù)關(guān)系式．（寫出自變量取值范圍）
(3)當(dāng)轎車從地返回地的途中與貨車相遇時，求相遇處到地的距離．
【答案】(1)80，5
(2)
(3)相遇處到地的距離200千米
【分析】（1）利用行駛的速度變化進(jìn)而得出時間變化，進(jìn)而得出t的值；
（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式進(jìn)而利用圖象得出自變量x的取值范圍；
（3）利用函數(shù)圖象交點求法得出其交點縱坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案．
【詳解】（1）由圖可知，轎車從地駛往地，3小時行駛240千米，
∴轎車從地駛往地的速度為，
∵一輛轎車從甲地駛往乙地，到達(dá)乙地后返回甲地，速度是原來的1.5倍，
∴返回時行駛的時間為：小時
∴小時，
故答案為：80，5；
（2）∵貨車同時從地駛往地，速度是60km/h到達(dá)地后停止，
∴貨車從地行駛到地的函數(shù)圖象為端點是原點和的線段，如圖所示：
貨車從地行駛到地時與之間的函數(shù)關(guān)系式：
∴，
解得：，
∴貨車從地行駛到地時與之間的函數(shù)關(guān)系式：；
（3）設(shè)轎車到達(dá)地后返回地時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：,
∴，
解得：，
∴轎車返回時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；
聯(lián)立得，
解得
∴相遇處到地的距離200千米
【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
14．（2023·天津東麗·?？家荒＃┮阎∶骷摇⒒顒又行?、書店在同一條直線上，小明從家出發(fā)跑步去活動中心，在活動中心活動一段時間后，勻速步行返回到書店，在書店看書停留了一段時間后，勻速騎自行車回家，如圖是小明離開家的距離與離開家的時間之間的對應(yīng)關(guān)系．
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
(1)填表：
(2)填空：
①小明從家到活動中心的速度_________；
②活動中心到書店的距離____________km；
③小明從書店返回家的速度為_____________；
④當(dāng)小明離家的距離為0.6千米時，他離開家的時間為__________min．
(3)當(dāng)時，請直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式．
【答案】(1)2， 1.5， 0.9
(2)①②③④3或38
(3)
【分析】（1）小明離開家的距離與離開家的時間之間的對應(yīng)關(guān)系圖計算即可；
（2）①根據(jù)路程速度時間的數(shù)量關(guān)系求解即可；②根據(jù)圖表的信息作差即可；③根據(jù)路程與時間求速度即可；④分類討論，分別計算從家出發(fā)以及最后回家時離家距離0.6千米時所對應(yīng)的時間；
（3）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，分段列出函數(shù)關(guān)系式即可．
【詳解】（1）解：由小明離開家的距離與離開家的時間之間的對應(yīng)關(guān)系圖可知：
當(dāng)離家時間為時，離開家的距離；
當(dāng)離家時間為時，離開家的距離
小明開始回家，速度為：
當(dāng)離家時間為時，離開家的距離
故答案為2，1.5，0.9
（2），
解：①小明從家到活動中心的速度為：；
②活動中心到書店的距離為：；
③小明從書店返回家的速度為： ；
④當(dāng)小明離家的距離為0.6千米時，他離開家的時間為：或者
．
（3）解：當(dāng)時，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，設(shè)
已知此函數(shù)圖象經(jīng)過
分別代入得：
解得：
∴；
綜上所述：
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)圖表類問題，能夠熟練掌握提取圖表中的信息以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵．
15．（2023·天津南開·南開翔宇學(xué)校?？家荒＃┰凇翱磮D說故事”活動中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合圖象設(shè)計了一個問題情境．
已知小紅的家、公共閱報亭、快遞代收點依次在同一直線上，公共閱報亭離家，快遞代收點離家，某天，小紅從家出發(fā)，勻速走了到公共閱報亭，在公共閱報亭看了雜志后，又勻速走了到快遞代收點拿了快遞，然后立即勻速走了返回家．給出的圖象反映了這個過程中小紅離家的距離與離開家的時間之間的對應(yīng)關(guān)系．
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
(1)填表
(2)填空①公共閱報亭到快遞代收點的距離是 ；
②小紅從公共閱報亭到快遞代收點的速度是 ；
③當(dāng)小紅在離家的距離是時，她離家的時間是 ；
(3)當(dāng)時，請直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式．
【答案】(1)，，
(2)①；②③和
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意以及函數(shù)圖象，分段分析填表即可求解；
（2）①根據(jù)題意即可求解；
②根據(jù)函數(shù)圖象分析即可求解；
③根據(jù)函數(shù)圖象可知有2個時刻小紅在離家的距離是，分別求得解析式，令，即可求解；
（3）根據(jù)題意，結(jié)合（2）②即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，公共閱報亭離家，小紅從家出發(fā)，勻速走了到公共閱報亭
速度為，
∴ 時，，
∵在公共閱報亭看了雜志，則，，
∵勻速走了返回家．
速度為
當(dāng)時，
填表如下
（2）①公共閱報亭到快遞代收點的距離是，
故答案為：．
②小紅從公共閱報亭到快遞代收點的速度是，
故答案為：．
③當(dāng)小紅在離家的距離是時，她離家的時間有段，
當(dāng)時，設(shè)解析式為，
將點，代入得
，
解得：
∴，
令，解得：，
當(dāng)時，設(shè)解析式為，
將點，代入得，
，
解得：
∴，
令，解得：，
故答案為：和．
（3）解：根據(jù)圖象可得當(dāng)時，，
∴
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·浙江衢州·衢州巨化中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，小趙和小李相約去農(nóng)莊游玩．小李從小區(qū)甲騎電動車出發(fā)．同時，小趙從小區(qū)乙開車出發(fā)，途中，他去超市買了一些東西后，按原來的速度繼續(xù)去農(nóng)莊，小區(qū)甲、乙、超市和農(nóng)莊之間的路程圖所示，設(shè)他們離小區(qū)甲的路程為s（），出發(fā)的時間為t（分）．根據(jù)圖回答問題：
(1)點A的坐標(biāo)為___________，小趙的開車速度為___________分；
(2)求線段的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍；
(3)求小趙離開超市后追上小李時，距離農(nóng)莊多少km？
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意和圖像可得出結(jié)論；
（2）求出B，C坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（3）先求出兩人相遇時所走的路程，再用總路程減去所走路程．
【詳解】（1）解：由題意得，A點坐標(biāo)為，
∵小區(qū)乙到超市，用時6分鐘，
∴小趙的速度為（），
故答案為：，1；
（2）根據(jù)題意，點E坐標(biāo)為，
則點B坐標(biāo)為，
∵小趙的速度為，
∴小趙從超市到農(nóng)莊所用時間為（），
∴點C坐標(biāo)為，
設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為，
把，代入解析式得：，
解得，
∴線段的函數(shù)表達(dá)式為；
（3）線段的函數(shù)解析式為，
把點代入解析式得：，
解得，
∴線段的函數(shù)解析式為，
當(dāng)小趙離開超市后追上小李時，距離農(nóng)莊的距離相同，
∴，
解得，
∴．
∴小趙離開超市后追上小李時，距離農(nóng)莊．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，從函數(shù)圖像獲取信息，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線的交點問題，讀懂題意，運(yùn)用樹形結(jié)合的思想解題是關(guān)鍵．
17．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）共享電動車是一種新理念下的交通工具：主要面向的出行市場，現(xiàn)有，兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費(fèi)元與騎行時間之間的對應(yīng)關(guān)系，其中品牌收費(fèi)方式對應(yīng)，品牌的收費(fèi)方式對應(yīng)．
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
(1)填表：
(2)填空：
①品牌10分鐘后，每分鐘收___________元
②如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為，那么小明選擇___________品牌共享電動車更省錢；
③直接寫出兩種品牌共享電動車收費(fèi)相差3元時的值是________．
(3)直接寫出，關(guān)于的函數(shù)解析式．
【答案】(1)見解析
(2)①0.2；②B；③7.5或35．
(3)；
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知，A品牌20分鐘后收費(fèi)的錢數(shù)，進(jìn)而得出A品牌每分鐘收費(fèi)；B品牌10分鐘以及20分鐘后收費(fèi)的錢數(shù)，進(jìn)而得出A品牌每分鐘收費(fèi)；
（2）① 由（1）可知品牌10分鐘后，每分鐘收0.2元；②先求出小明上班時間，計算出使用兩品牌車所需費(fèi)用進(jìn)行比較即可；③根據(jù)題意和圖象可知分兩種情況，然后列出相應(yīng)的方程求解即可；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求出A，B品牌的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)（2）的
【詳解】（1）對于A品牌每分鐘騎行的費(fèi)用為：（元）
所以，騎行10分鐘的費(fèi)用為：（元）
騎行25分鐘的費(fèi)用為：（元）
對于B品牌，由圖象可知，騎行10分鐘的費(fèi)用為：6元；
騎行10分鐘后每分鐘的費(fèi)用為：（元）；
所以，騎行25分鐘后的費(fèi)用為：（元）
所以，填表如下：
（2）①B品牌騎行10分鐘后每分鐘的費(fèi)用為：（元）；
②小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班所用時間為，（分鐘）
A品牌騎行30分鐘后的費(fèi)用為：（元）；
B品牌騎行30分鐘后的費(fèi)用為：（元）；
由于，
因此，小明選擇B品牌共享電動車更省錢；
③由題意可得，
或，
解得或，
故答案為：①0.2；②B；③7.5或35．
（3）設(shè)的解析式為，
把代入得，，解得，，
所以，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，設(shè)，
把，代入，得，
解得，
所以，，
即
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答解答．
18．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）小明早晨從家里出發(fā)勻速步行去上學(xué)，小明的媽媽在小明出發(fā)后，發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本沒帶，于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學(xué)的路線追趕小明，結(jié)果與小明同時到達(dá)學(xué)校，交接課本后立即按原路返回．已知小明距離家的路程與離開家的時間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖所示．
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系；
(2)請在圖中畫出小明的媽媽距離家的路程與小明離開家的時間之間函數(shù)關(guān)系的圖像；（備注：請對畫出的圖像用數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)臉?biāo)注）
(3)直接寫出小明的媽媽在追趕小明及返回家的過程中，距學(xué)校時的值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)，
【分析】（1）由圖像可知，，設(shè)，把點的坐標(biāo)代入關(guān)系式求得即可；
（2）由小明出發(fā)后小明媽媽才出發(fā)，所以圖象的起點在處，同時到達(dá)學(xué)校即到達(dá)點，再原路返回即離家距離為0；
（3）根據(jù)速度路程除以時間，求得小明媽媽來回學(xué)校的速度，再由時間路程除以速度求解即可．
【詳解】（1）解： 與之間的函數(shù)關(guān)系的圖像是線段，且，
設(shè)，
又 ，
則有：，
解得：，
．
（2）解：如圖1中折線段．
（3）解：由（2）可知，家與學(xué)校的距離為，小明媽媽來回學(xué)校的時間為，
小明媽媽的速度為，
小明的媽媽在追趕小明，距學(xué)校時：，
小明的媽媽在返回家，距學(xué)校時；．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，從函數(shù)圖象獲取信息，畫函數(shù)圖象，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·陜西西安·高新一中校考三模）甲、乙兩人相約周末沿同一條路線登山，甲、乙兩人距地面的高度y（米）與登山時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題．
(1)乙到達(dá)A地后決定提速，提速后乙的速度是甲登山速度的3倍，求乙提速后在登山時距地面的高度y（米）與登山時間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式；
(2)在（1）的條件下，甲、乙登山過程中，當(dāng)___________時，甲、乙兩人距地面的高度差為85米．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法來求解即可；
（2）求出甲的函數(shù)解析式，分時，時，時來討論即可求解．
【詳解】（1）解：米分，
（分鐘），
設(shè)2到11分鐘，乙的函數(shù)解析式為，
直線經(jīng)過，，
，
解得，
∴該函數(shù)解析式為：；
（2）解：當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，
把點代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)甲的函數(shù)解析式為：，將代入得：，
，
．
當(dāng)時，由，
解得矛盾，故此時沒有符合題意的解；
當(dāng)時，由得，
，
或，
當(dāng)時，由得，
或或．
當(dāng)為或或時，甲、乙兩人距地面的高度差為85米．
故答案為：或或
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，正確記憶行程問題中路程速度時間的關(guān)系變化的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，圖象的交點坐標(biāo)的求法是解題關(guān)鍵．
20．（2023·陜西榆林·?？家荒＃┙陙?，隨著市場需求的快速提升以及快遞行業(yè)的高速發(fā)展，快遞業(yè)務(wù)量也在高速增長．已知A、兩地之間有一條長千米的公路．某物流公司的快遞車從A地出發(fā)勻速開往地，出發(fā)兩小時到達(dá)目的地，在地卸完物品后按原路原速返回．車輛距A地的路程與行駛的時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)求該車原路返回時與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)該車距地千米時，求該車行駛的時間．
【答案】(1)；
(2)或；
【分析】（1）根據(jù)速度得到k，設(shè)出函數(shù)解析式找點代入即可得到答案；
（2）設(shè)出去時的解析式找點解出，根據(jù)距離地千米求出相應(yīng)的y值，再代入兩個解析式求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
該物流公司的快遞車的速度：，按原路原速返回，
，
由圖可知，函數(shù)圖像經(jīng)過，
，解得，，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：設(shè)去時函數(shù)解析式為，
將代入可得，
，解得，
∴，
當(dāng)該車距地千米時，，
分別代入兩個解析式得，
，解得，
，解得，
∴故該車行駛的時間為或；
【點睛】本題考查一次函數(shù)行程問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相距地千米求出y．
類型三、一次函數(shù)的應(yīng)用：最大利潤問題
21．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）隨著科學(xué)技術(shù)的日新月異，技術(shù)更新更是首當(dāng)其沖，智能手機(jī)的功能越來越強(qiáng)大，價格也逐漸下降，某手機(jī)商行經(jīng)營的A款10英寸智能手機(jī)去年銷售總額為10萬元，今年每臺銷售價比去年降低400元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少．
(1)今年A款10英寸智能手機(jī)每臺售價多少元？（用列方程的方法解答）
(2)該電器商行計劃新進(jìn)一批A款10英寸智能手機(jī)和新款B款10英寸智能手機(jī)共600臺，且B款10英寸智能手機(jī)的進(jìn)貨數(shù)量不超過A款10英寸智能手機(jī)數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批智能手機(jī)獲利最多？
A，B兩款10英寸智能手機(jī)的進(jìn)貨和銷售價格如下表：
【答案】(1)今年A款10英寸智能手機(jī)每臺售價是1600元
(2)A款手機(jī)進(jìn)200臺，B款手機(jī)進(jìn)400臺獲利最多
【分析】（1）設(shè)今年每臺手機(jī)售價x元，則去年售價每臺為元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少，列方程解答即可；
（2）設(shè)進(jìn)A款手機(jī)a臺，B款為臺，總獲利為W元，由條件表示出W與a之間的關(guān)系式，由a的取值范圍就可以求出W的最大值．
【詳解】（1）設(shè)今年每臺手機(jī)售價x元，由題意得
，
．
檢驗：當(dāng)時，是分式方程的解．
答：今年A款10英寸智能手機(jī)每臺售價是1600元
（2）設(shè)進(jìn)A款手機(jī)a臺，B款為臺，總獲利為W元．
由題意，，解得，
，
，
∵，
∴當(dāng)時獲利最大，
此時，
∴A款手機(jī)進(jìn)200臺，B款手機(jī)進(jìn)400臺獲利最多
【點睛】本題考查了列分式方程解實際問題的運(yùn)用，分式方程的解法的運(yùn)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，解答時由銷售問題的數(shù)量關(guān)系求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
22．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了進(jìn)一步落實“鄉(xiāng)村振興”工程，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地種植蔬菜，為避免蔬菜品種單一造成滯銷，準(zhǔn)備種植A，B兩種蔬菜，若種植30畝A種蔬菜和50畝B種蔬菜，共需投入42萬元；若種植50畝A種蔬菜和30畝B種蔬菜共需投入38萬元．
(1)種植A，B兩種蔬菜，每畝各需投入多少萬元？
(2)經(jīng)測算，種植A種蔬菜每畝獲利0.5萬元，種植B種蔬菜每畝獲利0.9萬元，村里把120萬元扶貧款全部用來種植這兩種蔬菜．若要求A種蔬菜的種植面積不少于B種蔬菜種植面積的1.5倍，請你設(shè)計出總獲利最大的種植方案
【答案】(1)種植A種蔬菜每畝需投入0.4萬元，B種蔬菜每畝需投入0.6萬元；
(2)總獲利最大的種植方案為：種植A種蔬菜150畝，B種蔬菜100畝．
【分析】（1）設(shè)種植A種蔬菜每畝需投入x萬元，B種蔬菜每畝需投入y萬元，根據(jù)題目所給等量關(guān)系，列出二元一次方程組求解．
（2）先表示出利潤為，求出m的的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷利潤的最大值，從而確定合適的種植方案．
【詳解】（1）解：設(shè)種植A種蔬菜每畝需投入x萬元，B種蔬菜每畝需投入y萬元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：種植A種蔬菜每畝需投入0.4萬元，B種蔬菜每畝需投入0.6萬元．
（2）解：設(shè)種植A種蔬菜m畝，總獲利為w萬元，
根據(jù)題意得： ，
要求A種蔬菜的種植面積不少于B種蔬菜種植面積的1.5倍，
，
解得：，
又
w隨m的增大而減小，
當(dāng)，w取得最大值，，
B種蔬菜
總獲利最大的種植方案為：種植A種蔬菜150畝，B種蔬菜100畝．
【點睛】此題考查了一次函數(shù)與實際問題，解題的關(guān)鍵是正確列出二元一次方程組、一次函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．
23．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）京東發(fā)布的《2023春節(jié)假期消費(fèi)趨勢》顯示：消費(fèi)者春節(jié)期間購物品類更加多元，也在節(jié)日之外更“日?；?，其中預(yù)制菜成交額同比增長超6倍．春節(jié)期間，某超市分別用2000元和1600元購進(jìn)A，B兩類同等數(shù)量的預(yù)制菜禮盒，已知B類預(yù)制菜禮盒每盒進(jìn)價比A類預(yù)制菜禮盒每盒便宜20元，A，B兩類預(yù)制菜禮盒每盒的售價分別是130元和120元．
(1)求A，B兩類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價各是多少元；
(2)第一次進(jìn)的貨很快銷售一空，該超市決定第二次購進(jìn)A，B兩類預(yù)制菜禮盒共30盒，且購進(jìn)的A類預(yù)制菜禮盒數(shù)量不少于B類預(yù)制菜禮盒數(shù)量的2倍，該超市第二次如何進(jìn)貨才能在銷售完該次所進(jìn)預(yù)制菜禮盒后，獲得最大利潤？并求出最大利潤（此處指銷售第二次所進(jìn)預(yù)制菜禮盒的利潤）．
【答案】(1)A，B兩類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價各是100元和80元；
(2)購進(jìn)A類預(yù)制菜禮盒20盒，則購進(jìn)B類預(yù)制菜禮盒10盒，所獲利潤最大，最大利潤為1000元．
【分析】（1）設(shè)每盒A類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價是x元，則每盒B類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價是元，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合用2000元和1600元購進(jìn)A，B兩類同等數(shù)量的預(yù)制菜禮盒，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購進(jìn)A類預(yù)制菜禮盒m盒，總利潤為w元，根據(jù)購進(jìn)的A類預(yù)制菜禮盒數(shù)量不少于B類預(yù)制菜禮盒數(shù)量的2倍，求出m的取值范圍，再表示出w與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可確定最大利潤時進(jìn)貨方案，進(jìn)一步求出最大利潤即可．
【詳解】（1）解：設(shè)每盒A類禮盒的進(jìn)價是x元，則每盒B類禮盒的進(jìn)價是元，
依題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：A，B兩類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價各是100元和80元；
（2）解：設(shè)購進(jìn)A類預(yù)制菜禮盒m盒，則購進(jìn)B類預(yù)制菜禮盒盒，總利潤為w元，
根據(jù)題意得，
解得，
，
∵，
∴w隨著m的增大而減少，
當(dāng)時，w取得最大值，最大值為1000元，
（盒），
答：購進(jìn)A類預(yù)制菜禮盒20盒，則購進(jìn)B類預(yù)制菜禮盒10盒，所獲利潤最大，最大利潤為1000元．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程或不等式或函數(shù)解析式去求解．
24．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某鞋店銷售，兩種型號的球鞋，銷售一雙型球鞋可獲利80元，銷售一雙型球鞋可獲利元．該鞋店計劃一次購進(jìn)兩種型號的球鞋共雙，將其銷售完可獲總利潤為元，設(shè)其中型球鞋雙．
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式．
(2)若本次購進(jìn)型球鞋的數(shù)量不超過型球鞋的倍，問如何安排購進(jìn)方案，可獲得最大利潤．
【答案】(1)
(2)購進(jìn)型球鞋雙，型球鞋雙
【分析】（1）根據(jù)，兩種型號的球鞋獲利單價列式整理即可；
（2）由函數(shù)關(guān)系式可得到隨值的增加而減小，故根據(jù)，兩種型號的球鞋的數(shù)量關(guān)系，解不等式求得最小值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)其中型球鞋雙，則型球鞋雙，由題可得，
，
整理得，
故與的函數(shù)關(guān)系式為 ．
（2）解：由題可得，
解得，
，隨值的增加而減小，
當(dāng)時，最大為，
此時型球鞋雙，
故當(dāng)購進(jìn)型球鞋雙，型球鞋雙時獲得最大利潤．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
25．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）我市為了打造美麗鄉(xiāng)村，今年計劃改造一片綠化地，種植A，B兩種景觀樹．種植3棵A種、4棵B種景觀樹需要1800元，種植4棵A種、3棵B種景觀樹需要1700元．
(1)種植每棵A種景觀樹和每棵B種景觀樹各需要多少元？
(2)今年計劃種植A，B兩種景觀樹共400棵，A種景觀樹的數(shù)量不超過B種景觀樹數(shù)量的3倍，其中種植A種景觀樹x棵，種植兩種景觀樹的總費(fèi)用為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值；
(3)相關(guān)資料表明：A，B兩種景觀樹的成活率分別為70%和90%．今年計劃投入10萬元種植A，B兩種景觀樹共400棵，要求這兩種樹的總成活率不低于85%，投入的錢是否夠用？請說明．
【答案】(1)種植每棵A種景觀樹需要200元，每棵B種景觀樹需要300元
(2)，y的最小值為90000
(3)投入的錢不夠用，見解析
【分析】（1）設(shè)種植每棵A種景觀樹需要a元，每棵B種景觀樹需要b元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程即可求解；
（2）根據(jù)題意有，再根據(jù)限制條件得出，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可作答；
（3）根據(jù)成活率要求求出A種景觀樹的數(shù)量限制，再根據(jù)資金結(jié)合（2）中的一次函數(shù)求出種植A種景觀樹的數(shù)量，二者進(jìn)行對比即可作答．
【詳解】（1）設(shè)種植每棵A種景觀樹需要a元，每棵B種景觀樹需要b元．
根據(jù)題意得：，
解得，
答：種植每棵A種景觀樹需要200元，每棵B種景觀樹需要300元；
（2）根據(jù)題意有：．
∵，
∴．
∵，
∴y隨x的增大而減?。?br>∴當(dāng)時，y取最小值為90000；
（3）根據(jù)題意得：，
解得，即滿足成活率的要求下種植的A種景觀樹不得超過100棵，
由，
解得，即滿足資金的情況下種植的A種景觀樹有200棵，
∵，
∴投入的錢不夠用．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用等知識，明確題意，正確列出二元一次方程組、一次函數(shù)以及一元一次不等式是解答本題的關(guān)鍵．
26．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）某文具店準(zhǔn)備購甲、乙兩種水筆進(jìn)行銷售，每支進(jìn)價和利潤如表：
已知花費(fèi)400元購進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)800元購進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等．
(1)求甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為多少元．
(2)若該文具店準(zhǔn)備拿出2000元全部用來購進(jìn)這兩種水筆，考慮顧客需求，要求購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍，問該文具店如何進(jìn)貨能使利潤最大，最大利潤是多少元．
【答案】(1)甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為5元、10元
(2)該文具店購進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時，能使利潤最大，最大利潤是733元
【分析】（1）根據(jù)花費(fèi)400元購進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)800元購進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等，可以列出相應(yīng)的分式方程即可求出答案．
（2）根據(jù)題意，可以列出利潤與購進(jìn)甲種水筆數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍，可以求出購進(jìn)甲種水筆數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
，
答：甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為5元、10元．
（2）解：設(shè)利潤為w元，甲種水筆購進(jìn)x支，
，
，
∴y隨x的增大而增大，
購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍，
，
解得，，
∵x為整數(shù)，
∴當(dāng)時，w取得最大值，最大值為733，
此時，，
答：該文具店購進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時，能使利潤最大，最大利潤是733元．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測）為迎接校園歌手大賽的到來，學(xué)校向某商家訂購了甲、乙兩種熒光棒，其中購買甲種熒光棒花費(fèi)5000元，購買乙種熒光棒花費(fèi)6000元．已知乙種熒光棒的銷售單價比甲種熒光棒貴10元，乙種熒光棒的購買數(shù)量比甲種熒光棒的購買數(shù)量少20%．
(1)求甲、乙兩種熒光棒的銷售單價；
(2)由于需求量較大，學(xué)校第二次訂購這兩種熒光棒共110個，且本次訂購甲種熒光棒的個數(shù)不少于乙種熒光棒個數(shù)的2倍．為和學(xué)校建立長久合作關(guān)系，該商家決定：甲種熒光棒售價不變，乙種熒光棒打8折出售．已知兩種熒光棒的進(jìn)價均為15元，該商家如何進(jìn)貨能使本次熒光棒銷售利潤最大？利潤最大為多少元？
【答案】(1)甲銷售單價為20元，乙銷售單價為30元；
(2)甲訂購74個，乙訂購36個，最大利潤為694元
【分析】（1）設(shè)甲種熒光棒的銷售單價為元，乙種熒光棒的單價為元，利用乙比甲的數(shù)量少列方程求解即可；
（2）設(shè)乙種的購買數(shù)量為，甲種數(shù)量為個。利用甲不少于乙的2倍列不等式求出的取值范圍，再用含有的代數(shù)式表示總利潤關(guān)于數(shù)量的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷最大值．
【詳解】（1）解：設(shè)甲種熒光棒的銷售單價為元，乙種熒光棒的單價為元，
由題意得：
解得：
經(jīng)檢驗：是原方程的根，
∴乙種單價為：（元）
答：甲種熒光棒的單價為20元，乙種熒光棒的單價為30元．
（2）解：設(shè)乙種熒光棒的購買數(shù)量為，甲種數(shù)量為個，
由題意得：
解得：，且為正整數(shù)，
設(shè)總利潤為
∵
∴隨著的增大而增大，且為正整數(shù)，
∴當(dāng)時，
答：當(dāng)甲種熒光棒訂購74,乙種訂購36個，總利潤最大為694元
【點睛】本題主要考查分式方程以及一元一次不等式和一次函數(shù)，熟練利用題中數(shù)量關(guān)系列方程以及不等式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷最大值是解決本題的關(guān)鍵．
28．（2023·廣東佛山·佛山市華英學(xué)校?？家荒＃┠彻S計劃招聘A、B兩個工種的工人共120人，已知A、B兩個工種的工人的月工資分別為2400元和3000元．
(1)若工廠每月付A、B兩個工種的總工資為330000元，那么兩個工種的工人各招聘多少人．
(2)若生產(chǎn)需要，要求B工種的人數(shù)不少于A工種人數(shù)的2倍，那么招聘A工種的人數(shù)為多少時，可使每月支付的A、B兩個工種的總工資最少．并求出最少總工資．
【答案】(1)A工種的工人招聘了50人，B工種的工人招聘70人；
(2)招聘A工種的人數(shù)為40人時，每月支付的A、B兩個工種的總工資最少，最小值為336000元．
【分析】（1）設(shè)招聘A工種的工人為x人，則招聘B工種的工人為人，根據(jù)題意建立方程求出x的值就可以求出結(jié)論；
（2）設(shè)招聘A工種的工人為a人，則招聘B工種的工人為人，根據(jù)題意建立不等式和函數(shù)關(guān)系式，然后求出其解就可以得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)招聘A工種的工人為x人，則招聘B工種的工人為人，由題意，得
，
解得：，
．
答：A工種的工人招聘了50人，B工種的工人招聘70人；
（2）解：設(shè)招聘A工種的工人為a人，總工資y元，則招聘B工種的工人為人，由題意，得
，
解得：，
，
∵，
∴y隨a的增加而減少，
∴當(dāng)時，y最小，最小值為336000，
∴招聘A工種的人數(shù)為40人時，每月支付的A、B兩個工種的總工資最少，最小值為336000元．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）某文體店在開學(xué)來臨之際購進(jìn)，兩類足球銷售，已知每個類足球的進(jìn)價比類足球的進(jìn)價高元，用元購進(jìn)的類足球和用元購進(jìn)的類足球數(shù)量相等．
(1)求每個類足球和類足球的進(jìn)價分別是多少元？
(2)該商店計劃用元購進(jìn)一批類足球和類足球，該文體店類足球每個售價為元，類足球每個售價元，設(shè)銷售總利潤為元，若要求購進(jìn)的類足球數(shù)量不少于類足球數(shù)量，問如何進(jìn)貨可使總利潤最大．
【答案】(1)每個類足球和類足球的進(jìn)價分別是元、元
(2)購進(jìn)類足球個、類足球個可使總利潤最大
【分析】（1）設(shè)每個類足球的進(jìn)價是元，則每個類足球的進(jìn)價是元，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）該商店計劃用元購進(jìn)一批類足球和類足球，設(shè)購進(jìn)類足球個，則類足球個，()，由題意得出關(guān)于的一次函數(shù)，根據(jù)題意求得的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)每個類足球的進(jìn)價是元，則每個類足球的進(jìn)價是元，
根據(jù)題意，得
解得：，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，
，
答：每個A類足球和B類足球的進(jìn)價分別是元、元；
（2）解：該商店計劃用元購進(jìn)一批類足球和類足球，設(shè)購進(jìn)類足球個，則類足球個，()，由題意得∶
，
∵
解得∶
，
隨的增大而減小，
∵，且為整數(shù)，
當(dāng)時，取得最大值，
此時，，即購進(jìn)類足球個、類足球個可使總利潤最大
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·河南周口·一模）商家發(fā)現(xiàn)最近很多社區(qū)開展“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化”的活動，為了適應(yīng)市場需求，服務(wù)商場周圍群眾，商場現(xiàn)要從廠家購進(jìn)兩種不同型號和價格的“中國象棋”，已知用600元購進(jìn)“A型象棋”與用400元購進(jìn)“B型象棋”的數(shù)量相同，且每副“B型象棋”比每副”A型象棋”的價格便宜10元．
(1)求這兩種“中國象棋”每副的價格；
(2)該商場計劃購進(jìn)“B型象棋”的數(shù)量比“A型象棋”數(shù)量的2倍還多60副，且兩種“中國象棋”的總數(shù)量不超過360副，售價見店內(nèi)海報（如圖所示）．該商場應(yīng)如何安排進(jìn)貨才能使利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)每副“A型象棋”30元，每副“B型象棋”20元
(2)商場購進(jìn)“A型象棋”100副，“B型象棋”260副，所獲利潤最大，最大利潤為2300元
【分析】（1）設(shè)每副“A型象棋”x元，則每副“B型象棋”元，根據(jù)題意，列出關(guān)于x的分式方程求解即可；
（2）設(shè)商場購進(jìn)“A型象棋”m副，獲得的總利潤為w元，根據(jù)購進(jìn)“中國象棋”的總數(shù)量不超過360副，列一元一次不等式，求出m的取值范圍，再表示出w與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可確定最大利潤時的進(jìn)貨方案，進(jìn)一步求出最大利潤即可．
【詳解】（1）設(shè)每副“A型象棋”x元，則每副“B型象棋”元，
根據(jù)題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，且符合題意，
（元），
答：每副“A型象棋”30元，每副“B型象棋”20元．
（2）解：設(shè)商場購進(jìn)“A型象棋”m副，獲得的總利潤為w元，
根據(jù)題意得：，
解得，
，
，
∴w隨著m的增大而增大，
∴當(dāng)時，w取得最大值，最大值為2300元，
（副），
答：商場購進(jìn)“A型象棋”100副，“B型象棋”260副，所獲利潤最大，最大利潤為2300元．
【點睛】本題考查一次函數(shù)和分式方程的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．
類型四、一次函數(shù)的應(yīng)用：方案設(shè)計問題
31．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃V西平陸運(yùn)河北起橫州市西津水電站庫區(qū)平塘江口，南止于欽江出海口沙井港航道，在一航道建設(shè)中，某渣土運(yùn)輸公司承包了某標(biāo)段的土方運(yùn)輸任務(wù)，擬派出大、小兩種型號的渣土運(yùn)輸車運(yùn)輸土方．已知5輛大型渣土運(yùn)輸車與2輛小型渣土運(yùn)輸車一次共運(yùn)輸土方60噸，6輛大型渣土運(yùn)輸車與4輛小型渣土運(yùn)輸車一次共運(yùn)輸土方80噸．
(1)一輛大型渣土運(yùn)輸車和一輛小型渣土運(yùn)輸車一次各運(yùn)輸土方多少噸？
(2)該渣土運(yùn)輸公司決定派出大、小兩種型號渣土運(yùn)輸車共20輛參與把156噸土方全部運(yùn)走，若一輛大型渣土運(yùn)輸車耗費(fèi)600元，一輛小型渣土運(yùn)輸車耗費(fèi)400元，請你設(shè)計出最省錢的運(yùn)輸方案．
【答案】(1)一輛大型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸噸，一輛小型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸噸
(2)最佳派車方案：大型運(yùn)輸車輛，小型運(yùn)輸車輛
【分析】（1）設(shè)一輛大型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸噸，一輛小型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸噸，根據(jù)題意累出二元一次方程組，解方程組即可作答；
（2）設(shè)該渣土運(yùn)輸公司決定派出輛大型號的渣土運(yùn)輸車，則小型號的渣土運(yùn)輸車為輛，根據(jù)題意列不等式組求解，設(shè)總共費(fèi)用為w，根據(jù)題意表示出費(fèi)用，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)分析，隨著a的增大而增大，問題隨之得解．
【詳解】（1）設(shè)一輛大型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸噸，一輛小型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸噸，
，
解得．
即一輛大型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸噸，一輛小型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸噸；
（2）設(shè)該渣土運(yùn)輸公司決定派出輛大型號的渣土運(yùn)輸車，則小型號的渣土運(yùn)輸車為輛，
根據(jù)題意有：，且為正整數(shù)，
解得，且為正整數(shù)，
設(shè)總共費(fèi)用為w，
根據(jù)題意有：，
∵，
∴總共費(fèi)用w，隨著a的增大而增大，
∴當(dāng)時，最小，且最小為：（元），
此時最佳派車方案：大型運(yùn)輸車輛，小型運(yùn)輸車輛．
【點睛】本題考查一元一次不等式組，二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
32．（2023·云南昭通·?？家荒＃┠乘忻吭赂督o銷售人員的工資有兩種方案．
方案一：沒有底薪，只付銷售提成；
方案二：底薪加銷售提成．
如圖中的射線，射線分別表示該水果超市每月按方案一，方案二付給銷售人員的工資（單位：元）和（單位：元）與其當(dāng)月水果銷售量：x（單位：千克）（）的函數(shù)關(guān)系．
(1)分別求、與x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若該超市某銷售人員今年5月份的水果銷售量沒有超過100千克，但其5月份的工資超過2500元．請問該超市采用了哪種方案給這名銷售人員付5月份的工資？
【答案】(1)；
(2)這個公司采用了方案一給這名銷售人員付5月份的工資．
【分析】（1）設(shè)，，結(jié)合圖象，待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）求出時，兩個函數(shù)的函數(shù)值，進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)，
∵圖象過點，
∴，
解得，
∴；
設(shè)，
∵圖象過點，
∴，
解得：，
∴；
（2）當(dāng)時，
；
；
∴這個公司采用了方案一給這名銷售人員付5月份的工資．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．
33．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┠承０四昙墸?）班共有學(xué)生50人，據(jù)統(tǒng)計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元．經(jīng)測算和市場調(diào)查，若該班學(xué)生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費(fèi)用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費(fèi)用，另一部分是其它費(fèi)用780元，其中，純凈水的銷售價x（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關(guān)系．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時，請你根據(jù)提供的信息分析一下：該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水與個人買飲料，哪一種花錢更少？
(3)求該班每年購買純凈水費(fèi)用的最大值，并指出當(dāng)a至少為多少時，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水更合算．
【答案】(1)
(2)飲用桶裝純凈水花錢少
(3)該班每年購買純凈水費(fèi)用的最大值為1620元；當(dāng)a至少為48時，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水更合算．
【分析】（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)題意得出k，b的值即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）分別計算出買飲料每年總費(fèi)用以及飲用桶裝純凈水的總費(fèi)用比較可得；
（3）設(shè)該班每年購買純凈水的費(fèi)用為W元，解出二次函數(shù)求出W的最大值可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
根據(jù)題意得：當(dāng)時，；當(dāng)時，．
∴，
解之，得，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：該班學(xué)生買飲料每年總費(fèi)用為（元），
當(dāng)時，，
解得．
該班學(xué)生集體飲用桶裝純凈水的每年總費(fèi)用為（元）．
顯然，從經(jīng)濟(jì)上看飲用桶裝純凈水花錢少．
（3）解：設(shè)該班每年購買純凈水費(fèi)用為W元，根據(jù)題意得：
，
∴當(dāng)時，W的值最大，最大值為1620，
即該班每年購買純凈水費(fèi)用的最大值為1620元，
∵該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水更合算，
∴，
即，
解得：，
所以當(dāng)a至少為48時，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水更合算．
【點睛】本題要注意利用一次函數(shù)的特點，列出方程組，求出未知數(shù)的值從而求得其解析式以及運(yùn)用二次函數(shù)解決實際問題的能力．
34．（2023·山東東營·校考一模）某商業(yè)集團(tuán)新進(jìn)了50臺空調(diào)機(jī)，70臺電冰箱，計劃調(diào)配給下屬的甲、乙兩個連鎖店銷售，其中80臺給甲連鎖店，40臺給乙連鎖店．兩個連鎖店銷售這兩種電器每臺的利潤（元）如下表：
設(shè)集團(tuán)調(diào)配給甲連鎖店x臺空調(diào)機(jī)，集團(tuán)賣出這120臺電器的總利潤為y（元）．
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
(2)為了促銷，集團(tuán)決定僅對甲連鎖店的空調(diào)機(jī)每臺讓利銷售，其他的銷售利潤不變．并且讓利后每臺空調(diào)機(jī)的利潤仍然高于甲連鎖店銷售的每臺電冰箱的利潤．問該集團(tuán)該如何設(shè)計調(diào)配方案，使總利潤達(dá)到最大？
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)總利潤＝甲店（空調(diào)＋冰箱）的利潤＋乙店（空調(diào)＋冰箱）的利潤列得函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）可得幾種不同的分配方案，依題意得到y(tǒng)與a的關(guān)系式，解出不等式方程后可得出使利潤達(dá)到最大的分配方案．
【詳解】（1）由題意可知，調(diào)配給甲連鎖店電冰箱臺，
調(diào)配給乙連鎖店空調(diào)機(jī)臺，電冰箱為臺，
則，
即．
∵，
∴．
∴；
（2）設(shè)集團(tuán)決定僅對甲連鎖店的空調(diào)機(jī)每臺讓利a元銷售，
由題意得：，
即．
∵，
∴．
當(dāng)時，，函數(shù)y隨x的增大而增大，
故當(dāng)時，總利潤最大，即調(diào)配給甲連鎖店空調(diào)機(jī)50臺，電冰箱30臺，乙連鎖店空調(diào)0臺，電冰箱40臺；
當(dāng)時，x的取值在內(nèi)的所有方案利潤相同；
當(dāng)時，，函數(shù)y隨x的增大而減小，
故當(dāng)時，總利潤最大，即調(diào)配給甲連鎖店空調(diào)機(jī)10臺，電冰箱70臺，乙連鎖店空調(diào)40臺，電冰箱0臺．
【點睛】此題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題意列得函數(shù)關(guān)系式及不等式組是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）某學(xué)校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的筆記本的單價比乙種類型的要便宜1元，且用110元購買的甲種類型的數(shù)量與用120元購買的乙種類型的數(shù)量一樣．
(1)求甲乙兩種類型筆記本的單價．
(2)該學(xué)校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數(shù)量不超過甲的3倍，則購買的最低費(fèi)用是多少?
【答案】(1)甲類型的筆記本單價為11元，乙類型的筆記本單價為12元
(2)最低費(fèi)用為1101元
【分析】（1）設(shè)甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本為元．列出方程即可解答；
（2）設(shè)甲類型筆記本購買了a件，最低費(fèi)用為w，列出w關(guān)于a的函數(shù)，利用一次函數(shù)的增減性進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）設(shè)甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本為元．
由題意得：
解得：
經(jīng)檢驗是原方程的解，且符合題意．
∴乙類型的筆記本單價為：（元）．
答：甲類型的筆記本單價為11元，乙類型的筆記本單價為12元．
（2）設(shè)甲類型筆記本購買了a件，最低費(fèi)用為w，則乙類型筆記本購買了件．
由題意得：．
∴．
．
∵，
∴當(dāng)a越大時w越?。?br>∴當(dāng)時，w最小，最小值為（元）．
答：最低費(fèi)用為1101元．
【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握分式方程的應(yīng)用，以及一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·云南昆明·?？家荒＃┠晨爝f公司為了加強(qiáng)疫情防控需求，提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機(jī)器人來搬運(yùn)貨物，已知每臺A型機(jī)器人比每臺B型機(jī)器人每天少搬運(yùn)10噸，且A型機(jī)器人每天搬運(yùn)540噸貨物與B型機(jī)器人每天搬運(yùn)600噸貨物所需臺數(shù)相同．
(1)求每臺A型機(jī)器人和每臺B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？
(2)每臺A型機(jī)器人售價1.2萬元，每臺B型機(jī)器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機(jī)器人共30臺，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．
請根據(jù)以上要求，完成如下問題：
①設(shè)購買A型機(jī)器人臺，購買總金額為萬元，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式；
②請你求出最節(jié)省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？
【答案】(1)每臺A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為100噸．
(2)①；②當(dāng)購買A型機(jī)器人17臺，B型機(jī)器人13臺時，購買總金額最少，最少金額為46.4萬元．
【分析】（1）設(shè)每臺A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為（x+10）噸，然后根據(jù)題意可列分式方程進(jìn)行求解；
（2）①由題意可得購買B型機(jī)器人的臺數(shù)為臺，然后由根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系式；②由題意易得，然后可得，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：設(shè)每臺A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為（x+10）噸，由題意得：
，
解得：；
經(jīng)檢驗：是原方程的解；
答：每臺A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為100噸．
（2）解：①由題意可得：購買B型機(jī)器人的臺數(shù)為臺，
∴；
②由題意得：，
解得：，
∵-0.8＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=17時，w有最小值，即為，
答：當(dāng)購買A型機(jī)器人17臺，B型機(jī)器人13臺時，購買總金額最少，最少金額為46.4萬元．
【點睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
37．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為響應(yīng)傳統(tǒng)文化進(jìn)校園的號召，某校決定從網(wǎng)店購買《論語》和《弟子規(guī)》兩種圖書以供學(xué)生課外閱讀．已知兩種圖書的購買信息如下表：
(1)《論語》和《弟子規(guī)》每本的價格分別是多少元？
(2)若學(xué)校計劃購買《論語》和《弟子規(guī)》兩種圖書共100本，《弟子規(guī)》的數(shù)量不超過《論語》數(shù)量的2倍．請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出此方案的總費(fèi)用．
【答案】(1)《論語》每本的價格為20元，《弟子規(guī)》每本的價格為15元
(2)最省錢的購買方案是購買《論語》圖書的數(shù)量為34本，購買《弟子規(guī)》圖書的數(shù)量為66本，此方案的總費(fèi)用為1670元
【分析】（1）設(shè)《論語》每本的價格為元，《弟子規(guī)》每本的價格為元，再根據(jù)購買信息表建立方程組，解方程組即可得；
（2）設(shè)購買《論語》圖書的數(shù)量為本，則購買《弟子規(guī)》圖書的數(shù)量為本，先根據(jù)“《弟子規(guī)》的數(shù)量不超過《論語》數(shù)量的2倍”求出的取值范圍，再設(shè)購買方案的總費(fèi)用為元，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】（1）解：設(shè)《論語》每本的價格為元，《弟子規(guī)》每本的價格為元，
由題意得：，
解得，符合題意，
答：《論語》每本的價格為20元，《弟子規(guī)》每本的價格為15元．
（2）解：設(shè)購買《論語》圖書的數(shù)量為本，則購買《弟子規(guī)》圖書的數(shù)量為本，
由題意得：，
解得，
設(shè)購買方案的總費(fèi)用為元，
則，
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，隨的增大而增大，
因為是正整數(shù)，
所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，
答：最省錢的購買方案是購買《論語》圖書的數(shù)量為34本，購買《弟子規(guī)》圖書的數(shù)量為66本，此方案的總費(fèi)用為1670元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，正確建立方程組和一次函數(shù)是解題關(guān)鍵．
38．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）學(xué)校需購買測溫槍與消毒液，若購買5個測溫槍與1瓶消毒液需440元，若購買1個測溫槍與3瓶消毒液需200元．
(1)求測溫槍和消毒液的單價；
(2)學(xué)校計劃購買兩種物資共60件，并要求測溫槍的數(shù)量不少于消毒液數(shù)量的，設(shè)計最省錢的購買方案，并說明理由．
【答案】(1)測溫槍的單價為80元，消毒液的單價為40元
(2)購買12個測溫槍，48瓶消毒液，最節(jié)省錢．
【分析】（1）設(shè)測溫槍的單價為x元，消毒液的單價為y元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；
（2）設(shè)購買a測溫槍，b瓶消毒液，總計花費(fèi)m元，根據(jù)題意列出含有不等式的方程組，采用代入消元法后，以含b的代數(shù)式來表達(dá)m，并得出b的取值范圍．要求最節(jié)省即轉(zhuǎn)化為求m的最小值，再根據(jù)b的取值范圍，即可求出m的最小值，最后得到最佳方案．
【詳解】（1）設(shè)測溫槍的單價為x元，消毒液的單價為y元，
根據(jù)題意有：
，
解方程組得：
，
則有測溫槍的單價為80元，消毒液的單價為40元．
（2）最佳方案：購買12個測溫槍，48瓶消毒液，最節(jié)省錢，
理由如下：設(shè)購買a測溫槍，b瓶消毒液，總計花費(fèi)m元，且a、b、m都是自然數(shù)，
根據(jù)題意，
有：，
簡化得：，且a、b、m都是自然數(shù)，
要想最省錢，即m取最小值，
則當(dāng)且僅當(dāng)時，m值最小，且為，此時，
即購買12個測溫槍，48瓶消毒液，最節(jié)省錢．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、二元一次方程組的實際應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用以及最值問題．正確理解題意，列出方程組和不等式是解答本題的關(guān)鍵．
39．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測）由于連日大雨，某城市局部面臨內(nèi)澇，當(dāng)?shù)叵嚓P(guān)部門迅速組織防澇抗?jié)彻ぷ?，抽調(diào)一批抽水泵緊急抽水排險．經(jīng)在抽水現(xiàn)場測得A型和B型兩款抽水泵抽水量情況如下：4臺A型抽水泵和5臺B型抽水泵同時工作，可抽水的水；2臺A型抽水泵和10臺B型抽水泵同時工作，可抽水的水．
(1)求A、B兩款抽水泵每分鐘分別能抽水多少立方米？
(2)該地防洪相關(guān)部門，為了以后抗?jié)承枰媱澾M(jìn)購一批A型和B型兩款抽水泵，要求這批抽水泵全部同時工作1分鐘，能抽水150立方米的水．設(shè)購買A型抽水泵m臺，B型抽水泵臺，請用含n的代數(shù)式表示m．
(3)A型抽水泵每臺標(biāo)價2萬元，若一次性購買不少于30臺，可打九折，若少于30臺則按標(biāo)價銷售；B型抽水泵每臺標(biāo)價3萬元，若一次性購買不少于30臺，可打八折，若少于30臺則也按標(biāo)價銷售；在（2）的條件下，問如何購買使得總費(fèi)用最??？請通過分析計算給予說明．
【答案】(1)，；
(2)
(3)選購B型抽水泵30臺，A型抽水泵64臺時，購買總費(fèi)用最少，此時需要萬元，說明見解析．
【分析】（1）設(shè)1臺A型抽水泵和1臺B型抽水泵每分鐘各抽水和，根據(jù)題意列方程組求解即可得到答案；
（2）根據(jù)題意可知，變形即可得到答案；
（3）根據(jù)n的取值范圍可知，這項購買計劃中A型抽水泵價格始終是標(biāo)價的九折，分情況討論：當(dāng)時，購買總費(fèi)用；當(dāng)時，購買總費(fèi)用：，分別求出最小值進(jìn)行比較即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)1臺A型抽水泵和1臺B型抽水泵每分鐘各抽水和，
由題意可知：，
解得：，
答：1臺A型抽水泵和1臺B型抽水泵每分鐘各抽水和；
（2）解：由題意可知：，
；
（3）解：，當(dāng)n取最大值50時，，則A型抽水泵至少要買40臺，
這項購買計劃中A型抽水泵價格始終是標(biāo)價的九折，
當(dāng)時，購買總費(fèi)用：，
即時，購買總費(fèi)用最小，費(fèi)用為（萬元），
當(dāng)時，購買總費(fèi)用：，
即時，購買總費(fèi)用最小，費(fèi)用為（萬元），
答：選購B型抽水泵30臺，A型抽水泵64臺時，購買總費(fèi)用最少，此時需要萬元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，利用分類討論的思想，根據(jù)題意準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
40．（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）昆明劇院舉行專場音樂會，成人票每張元，學(xué)生票每張元，暑假期間，為了吸引廣大師生來聽音樂會，劇院制定了兩種優(yōu)惠方案：
方案一：購買一張成人票贈送一張學(xué)生票；
方案二：成人票和學(xué)生票都打九折．
某校有名老師和若干名不少于人學(xué)生去聽音樂會．
(1)如果該校有名學(xué)生和老師去聽音樂會，按兩種優(yōu)惠方案，各應(yīng)付多少門票費(fèi)？
(2)請你結(jié)合參加聽音樂會的學(xué)生人數(shù)，計算說明怎樣購票花費(fèi)少？
【答案】(1)，元
(2)見解析
【分析】（1）首先根據(jù)優(yōu)惠方案一：付款總金額=購買成人票金額+除去4人后的學(xué)生票金額；優(yōu)惠方案二：付款總金額=（購買成人票金額購買學(xué)生票金額）打折率，求出即可；
（2）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，求出當(dāng)兩種方案付款總金額相等時，購買的票數(shù)，再就是那種情況討論．
【詳解】（1）解：由題意可得：
元，
元；
（2）按優(yōu)惠方案一可得：
，
按優(yōu)惠方案二可得：
，
∵，
①當(dāng)時，得，解得，
當(dāng)購買張票時，兩種優(yōu)惠方案付款一樣多．
②當(dāng)時，得，解得，
時，，優(yōu)惠方案一付款較少．
③當(dāng)時，得，解得，
當(dāng)時，，優(yōu)惠方案二付款較少．
【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出兩種方案的解析式，進(jìn)而計算出臨界點 的取值，再進(jìn)一步討論
類型五、一次函數(shù)與幾何綜合問題
41．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：與y軸交于點P，矩形的頂點坐標(biāo)分別為，，．
(1)若點在直線上，求k的值；
(2)若直線將矩形面積分成相等的兩部分，求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(3)若直線與矩形有交點（含邊界），直接寫出k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）求出點D的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式即可求出k的值；
（2）求出矩形對稱中心的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可；
（3）求出過點A和點D時k的值即可求解．
【詳解】（1）∵，，
∴點，
將點代入直線中，
，
解得：．
（2）∵矩形是中心對稱圖形，直線將矩形分成面積相等的兩部分．
∴直線一定經(jīng)過矩形的對稱中心；
∵矩形頂點，，
∴其對稱中心的坐標(biāo)為，代入直線：中，
，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．
（3）∵直線過定點，
∴當(dāng)直線l與線段相交時，直線與矩形有交點（含邊界）．
把代入，得
，
解得．
由（1）知當(dāng)直線過點D時，，
∴當(dāng)直線與矩形有交點（含邊界）時，的取值范圍是或．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
42．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）如圖，矩形位于平面直角坐標(biāo)系第一象限，點O與原點重合，邊和邊分別與x軸、y軸重合，，B為中點，直線的函數(shù)關(guān)系式是，點P由A點出發(fā)，沿折線﹣運(yùn)動，運(yùn)動路程為m，連接，所在直線l的關(guān)系式為．
(1)b＝ ；點C坐標(biāo)為 ．
(2)在點P運(yùn)動過程中，若l：中的y2隨x的增大而增大，則m的取值范圍 ．
(3)若l：平行于，求直線l的關(guān)系式．
(4)若直線l將線段分成兩部分，請直接寫出此時m的值．
【答案】(1)4，
(2)
(3)
(4)或18
【分析】（1）根據(jù)矩形和邊的長，可求出b的值和C點的縱坐標(biāo) ，再把C點縱坐標(biāo)代入中即可求出C點坐標(biāo)．
（2）設(shè)中點為Q，當(dāng)點P從A運(yùn)動到Q點時，，即可求出答案．
（3）根據(jù)兩直線平行，可知k值相等，再代入B點坐標(biāo)，即可求出答案．
（4）分兩種情況：當(dāng)時或時，用三角形相似即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，點B是A的中點，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴點，
故答案為：4，；
（2）解：設(shè)的中點為Q，如圖所示，
當(dāng)點P在折線上時（不包括點Q）時，，y隨x的增大而增大，
∴，
故答案為：；
（3）解：∵，
∴，
∴直線l的解析式為：；
（4）解：如圖所示，
設(shè)與的交點為E，當(dāng)時，
∵四邊是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖2，
當(dāng)時，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上所述：或18．
【點睛】本題考查了矩形和一次函數(shù)的綜合問題，涉及到了動點、相似三角形、一次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．
43．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線與直線在第一象限內(nèi)交于點，與軸交于點．
(1)求，的值；
(2)在軸上取一點，當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點的坐標(biāo)．
(3)點在雙曲線上，且是以為腰的等腰三角形，則滿足條件的點共有______個，任意寫出一個滿足條件的點的坐標(biāo)，可以為______．
【答案】(1)
(2)或
(3)，
【分析】（1）將點，代入直線，得出，繼而得出，待定系數(shù)法求解析式即可得；
（2）設(shè)，根據(jù)的面積為3，得出，解方程即可求解；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，根據(jù)等腰三角形以及反比例函數(shù)的對稱性求得點，，即可求解．
【詳解】（1）解：∵雙曲線與直線在第一象限內(nèi)交于點，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直線與軸交于點．
令，得，
∴，
設(shè)，
∵的面積為3
∴
∴,
∵，，
∴，
解得：或，
∴或，
（3）如圖，以為圓心，為半徑畫弧交反比例函數(shù)的圖象于，，，，可得，，是等腰三角形，其中在直線上不能構(gòu)成三角形，
根據(jù)對稱性可知，，
故滿足條件的點有個，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合，等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
44．（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為．
(1)若此拋物線過點，求拋物線的解析式；
(2)在（1）的條件下，若拋物線與軸交于點，連接，為拋物線上一點，且位于線段的上方，過點作垂直于軸于點，交于點；若，求點的坐標(biāo)；
(3)無論取何值，拋物線都經(jīng)過定點，當(dāng)直線與軸的交角為45°時，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出，再求出直線的解析式為，設(shè)，則，即可得到，，再由，得到，解方程即可得到答案；
（3）先求出拋物線過定點，即點H的坐標(biāo)為；設(shè)直線與y軸交于點Q，然后分當(dāng)點Q在H點上方時，如圖3-1所示，當(dāng)點Q在H點下方時，如圖3-2所示， 兩種情況分別求出直線的解析式，再根據(jù)點在直線上，建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：把代入拋物線中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：在中，令，則，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵拋物線解析式為，
∴當(dāng)時，，
∴拋物線過定點，即點H的坐標(biāo)為；
設(shè)直線與y軸交于點Q，
當(dāng)點Q在H點上方時，如圖3-1所示，過點H作軸于M，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可求得直線的解析式為，
∵拋物線解析式為，
∴，
∵點N在直線上，
∴，
∴，
解得或（舍去，此時點N與點H重合）；
當(dāng)點Q在H點下方時，如圖3-2所示，過點H作軸于M，
同理得，
∴同理可得直線的解析式為，
∵點在直線上，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
綜上所述，或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
45．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點，將直線向下平移個單位交軸于點，軸于點，交雙曲線于點，連接，．
(1)求正比例函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式；
(2)求三角形的面積．
【答案】(1)正比例函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為
(2)18
【分析】（1）將點分別代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)解析式即可求解；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的平移得出點坐標(biāo)則直線：，聯(lián)立反比例數(shù)解析式，求得點的坐標(biāo)，連接，作軸于點，根據(jù)三角形面積各數(shù)據(jù)即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，將點代入得：，
解得：，
∴正比例函數(shù)的解析式為：，
將點代入，得：，∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為：．
∴正比例函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為
（2）∵直線向下平移個單位交軸于點，軸于點，
∴點坐標(biāo)．
直線：
連接，作軸于點．
由
解得：或
點坐標(biāo)．
∵，
∴．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，一次函數(shù)的平移，掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
46．（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D1，矩形的一邊落在矩形的一邊上，并且矩形矩形，其相似比為，矩形的邊，．
(1)矩形的面積是 ；
(2)將圖1中的矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，若旋轉(zhuǎn)過程中與夾角（圖2中的）的正切的值為，兩個矩形重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；
(3)將圖1中的矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，連接、，的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，最大值為，最小值為
【分析】（1）根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方求解即可得出答案；
（2）先求出矩形的邊長為、，再分①當(dāng)時，重疊部分是直角三角形和②當(dāng)時，重疊部分是四邊形，矩形剩余部分是直角三角形兩種情況求解；
（3）旋轉(zhuǎn)一周，點E的軌跡是以點O為圓心以2為半徑的圓，所以的邊上的高就是點到的距離，也就是到圓上的點的距離，最大值為點O到的距離與圓的半徑的和，最小值為點O到的距離與圓的半徑的差，再利用三角形的面積公式求解即可得出答案．
【詳解】（1）矩形矩形，其相似比為，
（2）矩形矩形，其相似比為，矩形的邊，
，
①當(dāng)時，重疊部分是直角三角形，如圖
；
②當(dāng)時，重疊部分是四邊形，如圖
，
（3）存在
，
點E的軌跡是以點O為圓心以2為半徑的圓，
設(shè)點O到AC的距離為h，
解得
當(dāng)點E到的距離為時，的面積有最大值，
當(dāng)點E到的距離為時，的面積有最小值，
【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，分情況討論的思想，勾股定理，圓上的點到直線的距離的取值范圍，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
47．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點P是直線上方拋物線上一點，過點P作軸，垂足為點G，與直線交于點H．如果，求點P的坐標(biāo)；
(3)在第（2）小題的條件下，連接，試問點B關(guān)于直線對稱的點E是否恰好落在直線上？請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)點B關(guān)于直線對稱的點E恰好落在直線上，理由見解析
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)題意可求出直線的解析式為．設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，進(jìn)而可求出，．最后由，可列出關(guān)于t的等式，解出t的值，再舍去不合題意的值，即可求出P點坐標(biāo)；
（3）連接，與直線交于點F．根據(jù)題意可得出D點和B點坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線直線的解析式為，直線的解析式為．設(shè)點E的坐標(biāo)為，由軸對稱的性質(zhì)可得出．再根據(jù)點F在直線上，即可求出，即得出，最后即可確定點E是否恰好落在直線上．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點，與y軸交于點，
∴，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為；
（2）如圖，
設(shè)直線的解析式為，
則，解得：，
∴直線的解析式為．
∵點P是直線上方拋物線上一點，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，
∴，
．
∵，
∴，
解得： ．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：點E恰好落在直線上，理由如下：
如圖，連接，與直線交于點F．
根據(jù)拋物線解析式可知其對稱軸為直線，
∴，．
設(shè)直線的解析式為，
則，解得：，
∴直線的解析式為．
設(shè)點E的坐標(biāo)為，
∵點B關(guān)于直線對稱的點為點E，
∴．
∵點F在直線上，
∴，
∴，
∴．
設(shè)直線的解析式為，
則，解得：，
∴直線的解析式為．
∵對于，當(dāng)時，，
∴點B關(guān)于直線對稱的點E恰好落在直線上．
【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩點的距離公式等知識，為中考壓軸題．正確求出二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
48．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，其中，直線與y軸相交于C點．
(1)已知，
①求的值；
②若直線將線段AB分成1：2兩部分，求k的值；
③若反比例函數(shù)過點A、B的中點，直接寫出n的值；
(2)當(dāng)時，若直線與線段AB交于點D（點D不與A、B重合），且，直接寫出a的取值范圍．
【答案】(1)①3；②k的值為或 ；③；
(2)a的取值范圍是0＜a＜1．
【分析】（1）①先分別求解的坐標(biāo)，再求解的長度及C的坐標(biāo)，從而可得答案；②先確定線段AB的兩個三等分點的坐標(biāo)為（3 ，1）或（4 ，1），再利用待定系數(shù)法求解k即可；③先求解AB的中點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解n即可；
（2）由時，則，再求解D的坐標(biāo)， 且D在A的右側(cè)，再列不等式組即可．
（1）
解：①當(dāng)a=1時，則A（2，1），B（5，1），
∴AB=5-2=3，
∵直線y=kx-1與y軸相交于C點，
∴C（0，-1），
∴；
②∵直線y=kx-1將線段AB分成1：2兩部分，A（2，1），B（5，1），
∴直線y=kx-1與線段AB的交點為（3 ，1）或（4 ，1），
當(dāng)交點為（ 3 ，1）時，代入y=kx-1得，1= 3 k-1，解得；
當(dāng)交點為（ 4 ，1）時，代入y=kx-1得，1= 4k-1，解得；
∴直線y=kx-1將線段AB分成1：2兩部分，k的值為或 ；
③ A（2，1），B（5，1），
的中點坐標(biāo)為：
所以
（2）
當(dāng)時，，
當(dāng)y=a時，則，解得，
∴且D在A的右側(cè)，
∵AD＜2，點，，
∴ 且 ， 解得0＜a＜1．
故a的取值范圍是0＜a＜1．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，表示出點D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
49．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸、軸交于點A點和B點，過O點作OD⊥AB于D點，以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊△EDF（F點在x軸的正半軸上）．
(1)求A、B點的坐標(biāo)，以及OD的長；
(2)將等邊△EDF，從圖1的位置沿x軸的正方向以每秒1個單位的長度平移，移動的時間為t（s），同時點P從E出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著折線ED-DF運(yùn)動（如圖2所示），當(dāng)P點到F點停止，△DEF也隨之停止．
①t= （s）時，直線恰好經(jīng)過等邊△EDF其中一條邊的中點；
②當(dāng)點P在線段DE上運(yùn)動，若DM=2PM，求t的值；
③當(dāng)點P在線段DF上運(yùn)動時，若△PMN的面積為，求出t的值．
【答案】(1)A（12，0）；B（0，）； OD=6
(2)①3或6；②t=或；③t=4s
【分析】（1）把，分別代入，即可求出點A、B的坐標(biāo)，求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可得出；
（2）①當(dāng)直線l分別過DE、DF、EF的中點，分三種情況進(jìn)行討論，得出t的值，并注意點P運(yùn)動的最長時間；
②分點P在直線l的下方和直線l上方兩種情況進(jìn)行討論，求出t的值即可；
③分點P在DN之間和點P在NF之間兩種情況進(jìn)行討論，求出t的值即可．
【詳解】（1）解：把代入得：，
∴點B的坐標(biāo)為，
把代入得：，解得：，
∴點的坐標(biāo)為，
，
∴，
，
，
∴為直角三角形，
∴．
（2）①當(dāng)直線l過DF的中點G時，如圖所示：
∵△DEF為等邊三角形，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
；
當(dāng)l過DE的中點時，如圖所示：
，，
∴直線l為DE的垂直平分線，
∵△DEF為等邊三角形，
此時點F與點A重合，
∴；
當(dāng)直線l過EF的中點時，運(yùn)動時間為，
∵點P從運(yùn)動到停止用的時間為：，
∴此時不符合題意；
綜上分析可知，當(dāng)t=3s或6s時，直線l恰好經(jīng)過等邊△EDF其中一條邊的中點；
②∵OE=t，AE=12-t，∠BAO=30°，
∴ME=6-，
∴DM=DE-EM=，
∵EP=2t，
∴PD=6-2t，
當(dāng)P在直線l的下方時，
∵，
∴，
解得：s；
當(dāng)P在直線l的上方時，∵DM=2DP，
∴，解得：t=s；
綜上分析可知，t的值為s或s．
③當(dāng)P在DN之間時，如圖所示：
∵，，DM=，
∴，
∴，，
∵DP=6-t，
，
∵，
∴邊MN的高，
∵△PMN的面積為，
∴，
解得：或（舍去）；
當(dāng)點P在NF之間時，如圖所示：
∵，，DM=，
∴，
∴，，
∵DP=6-t，
，
∵，
∴，
∴邊MN的高，
∵△PMN的面積為，
∴，
整理得：，
∵，
∴此方程無實數(shù)解，
∴P在NF間不成立；
綜上分析可知，的值為4s．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、利用三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握含30°的直角三角形的性質(zhì)并注意進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
50．（2023·北京西城·北京市第三十五中學(xué)?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，⊙O的半徑為1，對于直線l和線段AB，給出如下定義：若將線段AB關(guān)于直線l對稱，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為A，B的對應(yīng)點），則稱線段AB是⊙O的關(guān)于直線l對稱的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段是⊙O的關(guān)于直線l對稱的“關(guān)聯(lián)線段”．
（1）如圖2，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．
①在線段中，⊙O的關(guān)于直線y＝x＋2對稱的“關(guān)聯(lián)線段”是_______；
②若線段中，存在⊙O的關(guān)于直線y＝－x＋m對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，則 ＝ ；
（2）已知直線交x軸于點C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若線段AB是⊙O的關(guān)于直線對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出b的最大值和最小值，以及相應(yīng)的BC長．
【答案】（1）① A1B1；②2或3；（2）b的最大值為，此時BC＝；b的最小值為，此時BC＝
【分析】（1）①根據(jù)題意作出圖象即可解答；②根據(jù)“關(guān)聯(lián)線段”的定義，可確定線段A2B2存在“關(guān)聯(lián)線段”，再分情況解答即可；
（2）設(shè)與AB對應(yīng)的“關(guān)聯(lián)線段”是A’B’，由題意可知：當(dāng)點A’（1，0）時，b最大，當(dāng)點A’（-1，0）時，b最小；然后分別畫出圖形求解即可；
【詳解】解：（1）①作出各點關(guān)于直線y=x+2的對稱點，如圖所示，只有A1B1符合題意；
故答案為：A1B1；
②由于直線A1B1與直線y=-x+m垂直，故A1B1不是⊙O的關(guān)于直線y＝-x＋m對稱的“關(guān)聯(lián)線段”；
由于線段A3B3=，而圓O的最大弦長直徑=2，故A3B3也不是⊙O的關(guān)于直線y＝-x＋m對稱的“關(guān)聯(lián)線段”；
直線A2B2的解析式是y=-x+5，且，故A2B2是⊙O的關(guān)于直線y＝x＋2對稱的“關(guān)聯(lián)線段”；
當(dāng)A2B2是⊙O的關(guān)于直線y＝-x＋m對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，且對應(yīng)兩個端點分別是（0，1）與（1,0）時，m=3，
當(dāng)A2B2是⊙O的關(guān)于直線y＝-x＋m對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，且對應(yīng)兩個端點分別是（0，-1）與（-1,0）時，m=2，
故答案為：2或3．
（2）設(shè)與AB對應(yīng)的“關(guān)聯(lián)線段”是A’B’，由題意可知：當(dāng)點A’（1，0）時，b最大，當(dāng)點A’（-1，0）時，b最?。?br>當(dāng)點A’（1，0）時，如圖，連接OB’，CB’，作B’M⊥x軸于點M，
∴CA’=CA=3，
∴點C坐標(biāo)為（4，0），
代入直線，得b=；
∵A’B’=OA’=OB’=1，
∴△OA’B’是等邊三角形，
∴OM=，，
在直角三角形CB’M中，CB'=，即；
當(dāng)點A’（-1，0）時，如圖，連接OB’，CB’，作B’M⊥x軸于點M，
∴CA’=CA=3，
∴點C坐標(biāo)為（2，0），
代入直線，得b=；
∵A’B’=OA’=OB’=1，
∴△OA’B’是等邊三角形，
∴OM=，，
在直角三角形CB’M中，CB'=；即
綜上，b的最大值為，此時BC＝； b的最小值為，此時BC＝．
【點睛】本題是新定義綜合題，主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、圓的有關(guān)知識、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等知識，正確理解新定義的含義、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
…
0
1
2
3
4
…
…
1
0
0
1
…
離開家的時間/min
4
10
25
30
37
離家的距離/km
0.8
_____
_____
1.5
_____
離開家的時間
離家的距離
離開家的時間
離家的距離
300
騎行時間/min
10
20
25
品牌收費(fèi)/元
8
品牌收費(fèi)/元
8
騎行時間/min
10
20
25
品牌收費(fèi)/元
4
8
10
品牌收費(fèi)/元
6
8
9
A款10英寸智能手機(jī)
B款10英寸智能手機(jī)
進(jìn)貨價格（元）
1400
1500
銷售價格（元）
今年的銷售價格
1800
甲水筆
乙水筆
每支進(jìn)價（元）
a
每支利潤（元）
2
3
空調(diào)機(jī)
電冰箱
甲連鎖店
200
170
乙連鎖店
160
150
《論語》數(shù)量/本
《弟子規(guī)》數(shù)量/本
總費(fèi)用（元）
40
30
1250
50
20
1300

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題19實驗操作問題（2份，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題19實驗操作問題（2份，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題19實驗操作問題原卷版doc、中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題19實驗操作問題解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共65頁， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題14整體思想與求值（2份，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題14整體思想與求值（2份，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題14整體思想與求值原卷版doc、中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題14整體思想與求值解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共29頁， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題13統(tǒng)計與概率（2份，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題13統(tǒng)計與概率（2份，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題13統(tǒng)計與概率原卷版doc、中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題13統(tǒng)計與概率解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共88頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題07二次函數(shù)的應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題07二次函數(shù)的應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）
中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題03方程與不等式的應(yīng)用大題押題（2份，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題03方程與不等式的應(yīng)用大題押題（2份，原卷版+解析版）
中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題02方程與不等式的解法大題押題（2份，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題02方程與不等式的解法大題押題（2份，原卷版+解析版）
中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題01數(shù)與式的有關(guān)代數(shù)計算大題押題（2份，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題01數(shù)與式的有關(guān)代數(shù)計算大題押題（2份，原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部