中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題09二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問題（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(1)若
①求直線的表達(dá)式；
②求證：；
(2)若二次函數(shù)（是常數(shù)，且）在第四象限的圖象上，始終存在一點(diǎn)，使得，求出的取值范圍．
【答案】(1)①，②見解析
(2)
【分析】（1）①當(dāng)時，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：，，得到，，，利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式即可；
②連接，，，，，由，則可得到，則，得到．則，求得，則，即可求得，，則由，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)在二次函數(shù)第四象限的圖象上存在一點(diǎn)，使得，連接，交軸于點(diǎn)，求得，，由得，即可得到，則得到，進(jìn)步求得a的取值范圍．
【詳解】（1）解：①當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
解得：，，
∴，，，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，則
，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為：
②連接，
∵，
∴，，，．
∵，．
∴．
∴，
∵A，關(guān)于直線對稱，
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴；
（2）如圖，設(shè)在二次函數(shù)第四象限的圖象上存在一點(diǎn)，使得，連接，交軸于點(diǎn)，
當(dāng)時，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
解得：，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形、解一元一次不等式等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，直線恰好經(jīng)過兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，連接，若的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，連接，若，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）先求出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分點(diǎn)在直線的上方和點(diǎn)在直線的下方兩種情況求解即可；
（2）分點(diǎn)E在x軸的上方和點(diǎn)E在x軸的下方兩種情況求解即可．
【詳解】（1）對于，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴，
將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入中，得
解得
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時，
過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
則，
∵，
∴，解得或
∴點(diǎn)或；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時，
連接，
設(shè)點(diǎn)，
∵，
∴，
整理得
∵，
∴方程無實數(shù)根，
∴此種情況不存在，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在x軸的上方時，在上取點(diǎn)G，使，作于點(diǎn)F，作于點(diǎn)H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
設(shè)，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
設(shè)，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在x軸的下方時，
同理可求，
∴．
設(shè)，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求表達(dá)式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與幾何綜合，分類討論思想等內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
例3．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，其中、，M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m，
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接BM，交線段AC于點(diǎn)D，求的最大值（其中符號S表示面積）；
(3)連接CM，是否存在點(diǎn)M，使得，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值為
(3)存在，
【分析】（1）代入點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)到二次函數(shù)解析式即可求解；
（2）和是等高的兩個三角形，面積比的最大值即是底邊的最大值，構(gòu)造相似三角形，用m表示相似比求最大值即可；
（3）做輔助線構(gòu)造等腰三角形可得二倍角關(guān)系，建立一次函數(shù)圖像，與二次函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求．
【詳解】（1）解：（1）分別代入、到拋物線解析式，
解得：；
故答案為：．
（2）設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)和點(diǎn)代入中，
，
解得：，
直線的解析式為，
如圖所示，過點(diǎn)M作軸交于于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作交與點(diǎn)F，
G點(diǎn)的縱坐標(biāo)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，
M為拋物線上的一點(diǎn)，
設(shè)M(m，)，
又G點(diǎn)在直線AC上，直線的解析式為，
，
，
又，
，
，
，
，
的最大值為．
故答案為：．
（3）過點(diǎn)C作軸，延長交x軸于點(diǎn)T．
，

，
，
，
為等腰三角形，
．
在中，，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)和點(diǎn)代入中，
解得：，
直線的解析式為，
M是直線和拋物線的交點(diǎn)，，
令，
，
，
，
解得（舍去）或
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查的是待定系數(shù)求解析式，平行線分線段成比例定理的推論，角度的存在性等相關(guān)內(nèi)容，解本題的關(guān)鍵在于是否能將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，解本題的難點(diǎn)在于是否能通過已知角度條件建立有關(guān)m的一次函數(shù)解析式.
例4．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為C．
(1)求拋物線的解析式．
(2)D為直線上方拋物線上一動點(diǎn)．
①連接交于點(diǎn)E，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②是否存在點(diǎn)D，使得的度數(shù)恰好是的2倍？如果存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①D的坐標(biāo)為或；②存在點(diǎn)D，使得，此時點(diǎn)
【分析】（1）分別令和代入中可得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）①過點(diǎn)作軸于，交于點(diǎn)，證明，設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)相似三角形性質(zhì)建立方程求解即可；
②過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，先證明，然后設(shè)點(diǎn)，應(yīng)用三角函數(shù)定義建立方程求解．
【詳解】（1）在中，令時，，
，
令時，，
，
,
把，代入中得：
，
解得：，
拋物線的函數(shù)解析式為：；
（2）①如圖1，過點(diǎn)作軸于，交于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，，
，
軸，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
解得：，，
點(diǎn)為直線上方拋物線上的點(diǎn)，
的坐標(biāo)為或；
②存在點(diǎn)，使得，理由如下：
如圖2，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，
，
，
，
在中，，，
，
，
設(shè)點(diǎn)，則，，
，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
存在點(diǎn)，使得，此時點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，屬于中考壓軸題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識、相似三角形判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)定義以及兩函數(shù)的交點(diǎn)問題．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)與判定以及正確添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
1．（2023春·廣東汕頭·九年級?？计谥校┤鐖D1，拋物線與x軸交于點(diǎn)、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，對稱軸交x軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．
(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)如圖2所示，過點(diǎn)C的直線交線段于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．
①若直線將分成的兩部分面積之比為2∶1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
(3)如圖1，若點(diǎn)P為線段上的一動點(diǎn)，請直接寫出的最小值．
【答案】(1)
(2)①或者，②
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式可得a與b 的方程，再根據(jù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為可得另一個關(guān)于a和b的方程，聯(lián)立方程組求解即可得到a和b的值，進(jìn)而求得拋物線的函數(shù)關(guān)系式，再將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入即可求得點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）①如圖，取的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)分別作x軸，y軸的平行線分別交、x軸于點(diǎn)G、H、P、Q，通過證相似三角形可得點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)與點(diǎn)B、D的橫縱坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得解；②取線段的中點(diǎn)，連接，由中點(diǎn)坐標(biāo)可得，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，再根據(jù)兩條直線互相垂直可求得，與聯(lián)立方程組可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由，，利用待定系數(shù)法可得，最后將與聯(lián)立方程組即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）作，過A點(diǎn)作于G點(diǎn)，交于點(diǎn)P，根據(jù) ，可得在中，，即，根據(jù)A、P、G三點(diǎn)共線，可知此時最小，最小值為，問題隨之得解．
【詳解】（1）將代入可得①，
∵頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴，即②，
聯(lián)立①②解得，
∴，
當(dāng)時，，
；
（2）①由（1）得，
當(dāng)時，，，
∴，即，
如圖，取的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)分別作x軸，y軸的平行線分別交、x軸于點(diǎn)G、H、P、Q，
則可得，，且相似比為，
∴，
，
，
同理可得：
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；
②，
，
取線段的中點(diǎn)，作直線，
∵點(diǎn)，點(diǎn)，
∴中點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，
∵，
∴點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)G在線段的垂直平分線上，
∴，
∴設(shè)直線為，
將代入得，
∴①，
設(shè)直線為，
將坐標(biāo)代入得，，
∴②，
聯(lián)立①②可得，
∴，
設(shè)直線為，
將坐標(biāo)代入得，，
∴③，
聯(lián)立③與可得，（不合題意舍去），
∴，
故的坐標(biāo)為；
（3）作，過A點(diǎn)作于G點(diǎn)，交于點(diǎn)P，如圖，
∵，
∴在中，，
∴，
根據(jù)A、P、G三點(diǎn)共線，可知此時最小，最小值為，
∴，此時有最小值，
此時∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用以及解直接三角形等知識，能夠根據(jù)題意做出正確的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2023·上?！つM預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在x軸下方，連接當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，當(dāng)平分時，求拋物線平移的距離．
【答案】(1)
(2)
(3)拋物線向下平移了個單位
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）設(shè)，如圖1，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，連接可證得，建立方程求解即可得出答案；
（3）如圖2，連接過點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，可證得（AAS），得出：，，即，再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為再求得，即可求得拋物線平移的距離．
【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)
∴
解得：，
∴該拋物線的表達(dá)式為，
當(dāng)時，，
∴；
（2）
設(shè)，如圖1，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，連接則
又
∵，
∴
∴，即
解得：（舍去），，
當(dāng)時，
∴；
（3）
如圖2，連接過點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，
由（2）知：
，
∴，，，
∵將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，
∴D、P、Q在同一條直線上，
平分
，
又，
是等腰直角三角形，
（AAS），
，，
，
設(shè)直線的解析式為，則
，解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時，，
∵，
∴拋物線向下平移了個單位．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖象與軸相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，動點(diǎn)在對稱軸上，連接、、、．
(1)求點(diǎn)、、的坐標(biāo)（用數(shù)字或含的式子表示）；
(2)當(dāng)?shù)淖钚≈档扔跁r，求的值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)?。?）中的值時，若，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或
【分析】（1）將，，分別代入，計算求解即可；
（2）如圖1，連接，由題意知，，則，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，計算的值，然后得出的點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求直線的解析式，根據(jù)是直線與直線的交點(diǎn)，計算求解即可；
（3）由（2）知，則，，拋物線的對稱軸為直線，勾股定理逆定理判斷是直角三角形，且，記為直線與軸的交點(diǎn)，如圖2，連接，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，由等邊對等角可得，由三角形外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即與重合，求此時的點(diǎn)坐標(biāo)；過三點(diǎn)作，如圖2，由同弧所對的圓周角相等可知與直線交點(diǎn)即為，設(shè)，由題意知，圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，根據(jù)，可求值，根據(jù)，可求值，進(jìn)而可得此時的點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，整理得，即，
解得，，
∴，，，
（2）解：如圖1，連接，
由題意知，，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，值最小，
在中，由勾股定理得，
∵的最小值等于，
∴，
解得，
∴，，
∴拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入得，，
解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時，，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，拋物線的對稱軸為直線，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
記為直線與軸的交點(diǎn)，如圖2，連接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴與重合，即；
過三點(diǎn)作，如圖2，由同弧所對的圓周角相等可知與直線交點(diǎn)即為，設(shè)，
由題意知，圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，
∵，即，
解得，
∵，即，
解得，，
∴，
綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與線段、角度綜合，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，同弧所對的圓周角相等，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
4．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖（1），拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，且，若點(diǎn)D是直線（不與B，C重合）上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的解析式．
(2)連接，，當(dāng)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為時，求證：．
(3)如圖（2），若點(diǎn)F是y軸上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)或或
【分析】（1）先求出，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，則，，即可得到，再證明，進(jìn)而證明，即可得到；
（3）設(shè)，則，則，，，再分當(dāng)為邊時，則，當(dāng)為對角線時，則，兩種情況建立對應(yīng)的方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
把代入拋物線解析式中得：，
解得，
∴拋物線解析式為；
（2）證明：設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
在中，當(dāng)時，，在中，時，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：設(shè)，則，
∴，，，
當(dāng)為邊時，則，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或；
當(dāng)為對角線時，則，
∴
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點(diǎn)P是第三象限拋物線上一點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)D，的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q使得？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）先由的面積求出的長，從而確定點(diǎn)坐標(biāo)為，再由待定系數(shù)法求出直線的解析式，直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；
（3）根據(jù)題意當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時，利用二次函數(shù)的對稱性求解；當(dāng)點(diǎn)Q在第四象限時，設(shè)與x軸交于點(diǎn)E，首先根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出的解析式，最后聯(lián)立直線和拋物線即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【詳解】（1）將，代入，
，
解得，
；
（2）令，則，
解得或，
，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
聯(lián)立方程組，
解得或，
；
（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限拋物線上時，
∵
∴
∴點(diǎn)Q和點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱
∵，
∴拋物線的對稱軸為
∵
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q在第四象限的拋物線上時，設(shè)與x軸交于點(diǎn)E
∵
∴
∴設(shè)
∵，
∴，
∴在中，，即
∴解得
∴
∴
∴設(shè)直線的解析式為
將，代入得，
∴解得
∴
∴聯(lián)立直線和拋物線得，
∴解得
∴將代入得，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·廣東東莞·校考一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，連接，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，若的面積為4時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)時，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)或
【分析】（1）將、代入，列方程組并且解該方程組求出、的值，即可得到拋物線的解析式為；
（2）先求得，則，再求得直線的解析式為，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，所以，可求得，由，得，解方程求出的值即可；
（3）取點(diǎn)中，連接，則，，可證明，得，再證明，則，即可證明，再分兩種情況討論，一是點(diǎn)在軸的上方，則，可求得直線的解析式為，進(jìn)而求得直線的解析式為，將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，即可求出此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)；二是點(diǎn)在軸的下方，可求得直線的解析式為，將其與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，即可求出此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
，
解得，
拋物線的解析式為．
（2）拋物線，當(dāng)時，則，
解得，（不符合題得，舍去），
，
，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得，
直線的解析式為，
如圖1，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
設(shè)，，則，
，
，
，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）如圖2，取點(diǎn)中，連接，則，，
，，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)在軸的上方，設(shè)交軸于點(diǎn)，
，
，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
直線的解析式為，
由，
得，
解得，（不符合題意，舍去），
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)在軸的下方，設(shè)交軸于點(diǎn)，
直線，當(dāng)時，，
，
，，，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得，
直線的解析式為，
由，
得，
解得，（不符合題意，舍去），
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，此題難度較大，屬于考試壓軸題．
7．（2023·廣東珠海·珠海市紫荊中學(xué)?？家荒＃┤鐖D1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線為常數(shù)，與x軸相交于另一點(diǎn)．在第一象限內(nèi)與直線交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得？若存在，求出所有點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)如圖2，點(diǎn)E是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)F是直線下方的拋物線上的動點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)G．設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或時，使得；
(3)的最大值為．
【分析】（1）先求得點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）分點(diǎn)D在直線下方、上方兩種情況，分別求解即可；
（3）如圖，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作y軸的平行線，交直線于點(diǎn)M，N，則，，設(shè)，可表達(dá)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
∴點(diǎn)，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵拋物線，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為：，
則將，代入得，
，解得，
∴直線的解析式為：．
①當(dāng)點(diǎn)D在直線的下方時，過點(diǎn)B作軸，交x軸于點(diǎn)F，延長，交于G，設(shè)交x軸于點(diǎn)E，如圖，
∵，
∴，即，，
∵，
∴，
∴，
∴．
當(dāng)時，，得：，
∴，
則，
∴，
同理求得直線的解析式為：，
聯(lián)立：，解得或（舍去），
∴；
②當(dāng)點(diǎn)D在直線的上方時，
∵，
∴，
∵直線的解析式為：，
∴直線的解析式為：，
聯(lián)立：，解得：或（舍去），
∴．
綜上，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或時，使得；
（3）解：∵點(diǎn)與點(diǎn)E關(guān)于對稱軸直線對稱，
∴，
如圖，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作y軸的平行線，交直線于點(diǎn)M，N，
∴，，
設(shè)，則，
∴，
∵，，
∴，
∴當(dāng)時，的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積和全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵正確表達(dá)兩個三角形面積的比．
8．（2023·湖南長沙·湘府中學(xué)?？家荒＃┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線解析式；
(2)如圖2，M是拋物線頂點(diǎn)，的外接圓與x軸的另一交點(diǎn)為D，與y軸的另一交點(diǎn)為E．
①求；
②若點(diǎn)N是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，在射線上是否存在點(diǎn)P，使得與相似？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，若為銳角，且，請直接寫出點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或或或
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①法一：先求出，，進(jìn)而利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明，則是外接圓的直徑，設(shè)的中點(diǎn)為F，圓心，再根據(jù)對稱性求出，得到，過E作于H，求出，，解直角三角形得到，，則；法二：設(shè)外接圓與x軸的另一交點(diǎn)為D，同理可得，證明，再由是直徑，得到，則；②求出，，，，解直角三角形得到，由于為銳角，要使得與相似，情況1：，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到或，點(diǎn)P作軸于Q，解直角三角形得到，由勾股定理求出或，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可情況2：，同理求出或，同理可得或．
（3）得拋物線對稱軸為直線，取點(diǎn)，證明當(dāng)時，點(diǎn)Q在以K為圓心，為半徑的圓上，此時，即可得到，同理可得當(dāng)取時，是直角三角形，即，再根據(jù)銳角三角形的定義即可得到答案．
【詳解】（1）解：將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)直接代入解析式有，
解得，，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：①法一：∵拋物線解析式為，
∴，
把代入，得，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴是外接圓的直徑，
設(shè)的中點(diǎn)為F，
∴圓心，
∵，，
∴點(diǎn)F在垂直平分線上，即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)于中點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同
∴，
∴，
過E作于H，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴在中，；
法二：設(shè)外接圓與x軸的另一交點(diǎn)為D，
同法一：可得是外接圓的直徑，，，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是直徑，
∴，
∴．
②，，，，
在中，，
在中，
∴，
∴，
又∵點(diǎn)N在射線上，
∴為銳角，要使得與相似，
情況1：，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴：，
又∵與相似，
∴或
∴或，
∴或，
∴或，
過點(diǎn)P作軸于Q，
∴，即，
由勾股定理得，
∴或，
解得或，
當(dāng)時，，則，
∴；
當(dāng)時，，則，
∴；
情況2：，
∴，
∴，
又∵與相似，
∴或
∴或，
∴或
∴或，
同理可得或．……
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
（3）解：由（2）得拋物線對稱軸為直線，取點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴當(dāng)時，點(diǎn)Q在以K為圓心，為半徑的圓上，
∴此時，
∴，
同理可得當(dāng)取時，是直角三角形，即，
∵為銳角，且，
∴，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圓綜合，解直角三角形，勾股定理與勾股定理得逆定理，相似三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
9．（2023春·福建泉州·九年級福建省永春第一中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)D在第一象限）．
(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在（1）的條件下，連接，點(diǎn)E在拋物線上，若，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)將拋物線L向上平移1個單位得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為P，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，連接，若，求a的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）令，則，求得，，將代入，解得，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式；
（2）聯(lián)立，求得，，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，待定系數(shù)法求得直線的函數(shù)表達(dá)式為：，①當(dāng)直線時，可以得到，求直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，求解；②如圖1，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，則，，，如圖1，記，連接，則，可得，則直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，求直線的函數(shù)關(guān)系式為，聯(lián)立，求解即可；
（3）由題意得，拋物線，直線，設(shè)拋物線與直線兩個交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立得，可得，，，，P點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖2，過點(diǎn)M，N分別作過點(diǎn)P的水平線的垂線，垂足分別為G，H，證明，則，，不妨設(shè)，則，整理得，求解滿足要求的值即可．
【詳解】（1）解：令，則，
解得，，
∴，，
將代入，解得，
∴，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：聯(lián)立，解得，，
∴，，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
將坐標(biāo)代入得，，解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：，
①當(dāng)直線時，可以得到，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將，代入得：，解得，
∴直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立，解得，，
∴；
②如圖1，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，則，，
∴，
如圖，記，連接，則，
∴，
∴，
∴直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，
將代入得，，解得，
∴直線的函數(shù)關(guān)系式為，
聯(lián)立，解得，，
∴；
綜上所述，，；
（3）解：由題意得，拋物線，直線，
設(shè)拋物線與直線兩個交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，
聯(lián)立，得：，
∴，，，，P點(diǎn)坐標(biāo)為，
如圖2，過點(diǎn)M，N分別作過點(diǎn)P的水平線的垂線，垂足分別為G，H，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
不妨設(shè)，則；即，
將，，；，，代入整理得，
解得，（不合題意，舍去），
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與角度綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)，正切，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
10．（2023·遼寧沈陽·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，拋物線經(jīng)過的三個頂點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)M是拋物線在第一象限上一點(diǎn)．
①連接與相交于點(diǎn)E，即將分為兩個三角形，若這兩個三角形的面積之比為時，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_______，直線的函數(shù)表達(dá)式為_______；
②將沿著x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時停止，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，求出與重合部分的圖形的周長；
(3)在拋物線的對稱軸上取一點(diǎn)K，連接，使，延長交拋物線于點(diǎn)P，連接，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，是否存在某一時刻，使？若存在，請直接寫出此時t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時，直線的解析式為；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時，直線的解析式為；②
(3)或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①如圖所示，過點(diǎn)E作軸于F，先證明，得到，求出，由將分為兩個面積為的三角形，可得或，
當(dāng)時，則，利用相似三角形的性質(zhì)得到，則，求出直線的解析式為，聯(lián)立，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為；同理可得當(dāng)時，直線的解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；②根據(jù)題意可得點(diǎn)B與點(diǎn)M關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即可求出，則，設(shè)分別與交于，由平移的性質(zhì)得到，即可求出，解直角三角形求出，則；求出直線的解析式為，同理可求得直線的解析式為
聯(lián)立，求出，利用勾股定理求出，，則與重合部分的圖形的周長；
（3）如圖3-1所示，當(dāng)點(diǎn)K在x軸上方時，過點(diǎn)K作軸于T，過點(diǎn)P作軸于H，連接，先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再證明，在中，由勾股定理建立方程求解即可；同理當(dāng)點(diǎn)K在x軸下方時，求出對應(yīng)的t的值即可．
【詳解】（1）解：把，，代入拋物線解析式中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：①如圖所示，過點(diǎn)E作軸于F，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵將分為兩個面積為的三角形，
∴或，
當(dāng)時，則，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
同理可得當(dāng)時，直線的解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時，直線的解析式為；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時，直線的解析式為；
②∵將沿著x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時停止，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)M關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∵拋物線對稱軸為直線，，
∴；
∴，
設(shè)分別與交于，
∵是由平移得到的，
∴，
∴，，
在中，，
在中，；
∴；
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
同理可求得直線的解析式為
聯(lián)立，解得，
∴，
∴，，
∴與重合部分的圖形的周長
；
（3）解：如圖3-1所示，當(dāng)點(diǎn)K在x軸上方時，過點(diǎn)K作軸于T，過點(diǎn)P作軸于H，連接，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴；
∵A、C關(guān)于對稱，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，即；
如圖3-2所示，當(dāng)點(diǎn)K在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)時，
同理可得直線解析式為，
聯(lián)立，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴；
同理可證，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，即；
∴，
由對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)G，此時時，也滿足題意，
∴；
綜上所述，t的值為或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，一次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
11．（2023春·山東威海·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作的垂線與拋物線的對稱軸、x軸、y軸分別交于點(diǎn)G，N，H，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)取最大值時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②連接，若，求m的值．
【答案】(1)
(2)①點(diǎn)F的坐標(biāo)為；②1或
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）①先求得直線的解析式，設(shè)，，則，進(jìn)一步計算，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而求解；
②由得到，推出，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：①當(dāng)時，
∴點(diǎn)．
設(shè)直線的解析式為，
將代入得，解得，
∴直線的解析式為．
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則，，
∵，
∴．
作軸于點(diǎn)K，直線與軸交于點(diǎn)，
∵，
∴．
∴．
∴
．
∴當(dāng)時，取最大值．
將代入，得．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為；
②作軸于點(diǎn)M．
∵軸，軸，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵的對稱軸為直線，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
可求得．
在中，

．
∵，
∴．
解得，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)，關(guān)于x的方程有下列四個命題：①是方程的根 ②是方程的根 ③該方程兩根和為4 ④該方程兩根同號，若其中只有1個命題為假命題，將向左平移個單位，向下平移個單位得到函數(shù)．
(1)求函數(shù)與的解析式；
(2)如題圖所示，已知與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P是拋物線上位于直線BC下方一動點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通過觀察①②③可知，若①②為真命題，則兩根之和為，與③的命題相斥，故在①②③中存在假命題，由題意在四個命題中僅有一個假命題，故可以確定④為真命題．由④為真命題為結(jié)論可知這兩個根應(yīng)為同號，故①②與命題④相斥，故命題①②中存在假命題，故命題③為真命題；在③為真命題的情況下，若②為真命題，可知方程的另一個根為7，與命題④相斥，故命題②為假命題，則命題①為真命題，故方程的兩個根應(yīng)為或，進(jìn)而得到的函數(shù)解析式為，再根據(jù)函數(shù)圖像平移法則可知；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，如圖所示，由條件得到，從而確定，進(jìn)而利用一次函數(shù)的平行關(guān)系得到直線CP的解析式為，聯(lián)立，消去得方程，求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：通過觀察①②③可知，若①②為真命題，則兩根之和為，與③的命題相斥，故在①②③中存在假命題，由題意在四個命題中僅有一個假命題，故可以確定④為真命題．由④為真命題為結(jié)論可知這兩個根應(yīng)為同號，故①②與命題④相斥，故命題①②中存在假命題，故命題③為真命題；在③為真命題的情況下，若②為真命題，可知方程的另一個根為7，與命題④相斥，故命題②為假命題，則命題①為真命題，故方程的兩個根應(yīng)為或．
的函數(shù)解析式為
根據(jù)函數(shù)圖像平移法則可知，將向左平移個單位，向下平移個單位得到函數(shù) ；
（2）解：作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，如圖所示：
，，
，
，
，
拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，
，，
，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得，解得，
直線的解析式為，
，
設(shè)直線CP的解析式為，
把代入得，
直線CP的解析式為，
聯(lián)立，消去可得，解得，（舍去），
．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及命題真假判斷、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與直線交點(diǎn)問題等知識，熟練掌握函數(shù)綜合題型的解題方法是解決問題的關(guān)鍵．
13．（2023·山西·山西實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）綜合與探究
如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)．
(1)求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)如圖2，若點(diǎn)是直線上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的最大值．
(3)如圖3，連接，拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，；
(2)最大值為：；
(3)或．
【分析】（1）令可得的坐標(biāo)，把代入拋物線的解析式可得的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解的解析式即可；
（2）如圖，過作軸交于，記于軸的交點(diǎn)為，則，可得，再建立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）如圖，過作軸于，而，可得，過作軸于，可得，再解方程可得答案．
【詳解】（1）解：令，
∴，
解得：，，
∴，
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴，
∴；
設(shè)為，
∴，
解得：，
∴直線為；
（2）如圖，過作軸交于，記于軸的交點(diǎn)為，
則，
∴，
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
∴，
∴，
把代入，則，
∴，
∴，
當(dāng)時，最大，
最大值為：；
（3）如圖，連接，，過作軸于，而，
∴，
∵，
∴，

∵，
∴，，
過作軸于，
∴，
當(dāng)時，解得：，經(jīng)檢驗符合題意；
∴，即，
當(dāng)時，解得：，經(jīng)檢驗符合題意；
∴，即，
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角的正切的應(yīng)用，分式方程的解法，掌握以上知識并靈活應(yīng)用，注意分類討論是解本題的關(guān)鍵．
14．（2023·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，并與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），直線將的面積分成兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個單位的速度在y軸運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)時，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，求a，即可；
（2）先求出，然后分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)時；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)時，分別求出對應(yīng)的直線的表達(dá)式，即可求解；
（3）在線段上取點(diǎn)N，使，連接，可得，從而得到，過點(diǎn)N作于點(diǎn)H，先求出，在中，可得，從而得到，
進(jìn)而得到，然后分兩種情況討論，即可求解．
【詳解】（1）解：∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：令，，
解得：，
∴點(diǎn)，
∴，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)時，設(shè)直線交x軸于點(diǎn)T，如圖，
∵直線將的面積分成兩部分，
∴將的面積分成兩部分，
即點(diǎn)T將分為兩部分，
∴，
∴，
即點(diǎn)，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，
把點(diǎn)，代入得：
，解得：，
∴直線的表達(dá)式為：，
聯(lián)立：
解得：或，
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)時，同理得，直線的表達(dá)式為：，
聯(lián)立，解得：或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
（3）解：如圖，在線段上取點(diǎn)N，使，連接，
∴，
當(dāng)時，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
過點(diǎn)N作于點(diǎn)H，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時，
∴，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∴，
∵點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個單位的速度在y軸運(yùn)動，
∴；
當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時，
同理得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∴，
∵點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個單位的速度在y軸運(yùn)動，
∴；
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積問題，解直角三角形，利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，且P在直線的上方，
①如圖1，當(dāng)平分時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如圖2，連接交BC于E點(diǎn)，設(shè)，求k的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）作軸，在上截取，則，證明，可證平分，求出的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）作，交于點(diǎn)N，證明，結(jié)合，可求出，則當(dāng)取得最大值時，k值最大，設(shè)，求出直線的解析式，可得，進(jìn)而可求出結(jié)論．
【詳解】（1）把、代入，得
，
∴，
∴；
（2）①令中，得，
∴．
作軸，在上截取，則，
連接交拋物線于點(diǎn)P，則P滿足．
∵，，
∴，
∵軸，
∴．
∵，，
∴，
∴，即平分．
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
∵
解得（舍去），．
當(dāng)時，，
∴；
②作，交于點(diǎn)N，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴當(dāng)取得最大值時，k值最大．
設(shè)，
∵，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
則M為，
∴
∴當(dāng)時，有最大值，
∴k有最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，屬中考壓軸題，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
16．（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線：，將拋物線向右平移個單位，向上平移個單位得拋物線．
(1)拋物線的解析式為：；
(2)如圖，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)A，直線經(jīng)過點(diǎn)，交拋物線于另一點(diǎn)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)如圖，的頂點(diǎn)、在拋物線上，點(diǎn)在點(diǎn)右邊，兩條直線、與拋物線均有唯一公共點(diǎn)，、均與軸不平行若的面積為，設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，求與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)是
(3)
【分析】（1）利用二次函數(shù)平移的規(guī)律求出平移后的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（2）設(shè)直線交軸于，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，過作交軸于，利用勾股定理求出，由待定系數(shù)法求出的解析式，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的函數(shù)解析式，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，與聯(lián)立，根據(jù)題意可得．從而表示出的解析式，同樣得出的解析式，從而得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長，根據(jù)三角形面積可得，的關(guān)系式．
【詳解】（1）拋物線，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
將拋物線向右平移1個單位，向上平移2個單位得拋物線，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
的解析式為，
故答案為：；
（2））如圖1，設(shè)直線交軸于，過作交軸于，
，
，
，
，
，
拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，的解析式為，
當(dāng)時，，解得或，
，
直線經(jīng)過點(diǎn)，
，解得，
直線，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
，解得，
，，
設(shè)的解析式為，
，解得，
的解析式為，
，
設(shè)的解析式為，
，解得，
的解析式為，
聯(lián)立拋物線得，
解得或，
存在，點(diǎn)的坐標(biāo)是，；
（3）如圖2，過點(diǎn)作軸交于，
設(shè)的解析式是，
，
，
，
，
由得，
，
直線拋物線有唯一公共點(diǎn)，
，
，
，
同理可得：直線的解析式是，
，
，
，，
，，
的解析式是，
當(dāng)時，，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的相關(guān)知識．
17．（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，已知拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P拋物線上一動點(diǎn)（P與C不重合）．
(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時，拋物線上是否存在點(diǎn)P（C點(diǎn)除外）使？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
(3)當(dāng)時，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，求的長．
【答案】(1)，
(2)存在，
(3)2
【分析】（1）分別求出時，的值、以及時，的值即可得出答案；
（2）先根據(jù)三角形的面積公式求出的值，再過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)可得，利用正切的定義求解即可得；
（3）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)正切的定義可得，從而可得，由此即可得．
【詳解】（1）解：拋物線開口向上，
，即，
當(dāng)時，，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，解得或，
拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）解：由（1）可知，，，，
，
，
，
，
解得，
，
由題意可知，點(diǎn)只能在軸的上方，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
，
，
，即，
整理得：，
解得或，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，不是所列方程的解，
，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以拋物線上存在點(diǎn)（點(diǎn)除外）使，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）解：，
，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
，
，
解得，
，
又，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正切、一元二次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和正切的定義是解題關(guān)鍵．
18．（2023春·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對稱軸為直線l，點(diǎn)P是拋物線上位于點(diǎn)B、C之間的動點(diǎn)．
(1)求的度數(shù)；
(2)若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且；
①僅用無刻度的直尺在圖2中畫出點(diǎn)Q；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①見解析；②2023
【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，得到，則是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；
（2）延長與y軸相交于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，先求出，再利用等積法求出，勾股定理求出，則，得到，再證明，則，即可得到，得到點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，與拋物線解析式聯(lián)立，進(jìn)一步即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①在y軸上找到點(diǎn)，用無刻度直尺連接，則與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q；
②求出拋物線的對稱軸為，由點(diǎn)，點(diǎn)且的，，則，即，得，由，則，把和代入即可得到答案．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，
∴，
當(dāng)時，，解得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
∴,
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）延長與y軸相交于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，將，代入得，
，
解得,
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是；
（3）①在y軸上找到點(diǎn)，用無刻度直尺連接，則與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，
②∵拋物線的對稱軸為，點(diǎn)，點(diǎn)且，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理、解直角三角形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、整式的混合運(yùn)算等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式為，設(shè)，則點(diǎn)為，點(diǎn)為，由得關(guān)于a的方程，解方程求得a的值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)交軸于點(diǎn)，由得到，設(shè)，則，在中，利用勾股定理列方程解得，得到點(diǎn)．利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式為，與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立，進(jìn)一步即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】（1）將，代入，
得，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為．
（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入，
得，
解得，
∴直線的表達(dá)式為．
∵點(diǎn)在線段上，
∴設(shè)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∵，
∴，
整理得，
解得，（舍），
當(dāng)時，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）設(shè)交軸于點(diǎn)，
∵，
∴．
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入，
得，
解得，
∴直線的表達(dá)式為．
令，
解得（舍），，
將代入中，
，
∴．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)與幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題、勾股定理、等角對等邊等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為A．
(1)如圖1，求b、c的值；
(2)如圖2，點(diǎn)P是第一象限拋物線上一點(diǎn)，直線AP交y軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如圖3，在（2）的條件下，E是直線BC上一點(diǎn)，，的面積S為，求E點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，求出b、c的值即可；
（2）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，易得，得到，求出的長，進(jìn)而得到的長，利用，即可得出結(jié)果；
（3）法一：先求出點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)L，過點(diǎn)A作，且，連接，過點(diǎn)A作y軸的平行線，過點(diǎn)M作點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)N，易證，進(jìn)而推出點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)坐標(biāo)；
法二：法二：過點(diǎn)A作，交延長線于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)K作，交延長線于點(diǎn)L，過點(diǎn)K作軸于點(diǎn)M，易證，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
，．
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線中，可得：
，
解得；
∴；
（2）解：由（1）得拋物線的解析式為，則：，
當(dāng)時，，
解得：，
，
過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，則：，，
∴，
∵，
∴，
，
即：
整理得：，
∵，
∴，
．
（3）法一：
，
，
∴，
過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)L，過點(diǎn)A作，且，連接，過點(diǎn)A作y軸的平行線，過點(diǎn)M作點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)N，
則：，
∴，
∴，
，，，
，
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為：，
則：，解得：，
直線的函數(shù)關(guān)系式為，
∵，
∴E為直線與直線的交點(diǎn)，
聯(lián)立，解得：，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為；
法二：過點(diǎn)A作，交延長線于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)K作，交延長線于點(diǎn)L，過點(diǎn)K作軸于點(diǎn)M，則：，，四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，，
∴四邊形為正方形，
設(shè)，
，
，，
，，
，
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為：，
則：，解得：，
∴直線，
∵E為直線與直線的交點(diǎn)，
聯(lián)立，解得：，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．屬于常見的中考壓軸題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想和二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．

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