二次函數(shù)與正方形存在性問(wèn)題
1.作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標(biāo)系中的正方形存在性問(wèn)題變化更加多樣，從判定的角度來(lái)說(shuō)，可以有如下：（1）有一個(gè)角為直角的菱形；
（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形．依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點(diǎn)坐標(biāo)．
2.對(duì)于二次函數(shù)與正方形的存在性問(wèn)題，常見(jiàn)的處理思路有：
思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€(xiàn)相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直；若已知對(duì)角線(xiàn)互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．
思路2：構(gòu)造三垂直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線(xiàn)的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過(guò)構(gòu)造三垂直全等來(lái)求得第3個(gè)點(diǎn)，再求第4個(gè)點(diǎn)．
3.示例：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B的坐標(biāo)，在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．

如圖，一共6個(gè)這樣的點(diǎn)C使得以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．
【例1】（2022?齊齊哈爾）綜合與探究
如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象交點(diǎn)為A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)C為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （1，2） ；
（3）點(diǎn)D為拋物線(xiàn)位于線(xiàn)段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)E，求線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最大值；
（4）在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【分析】（1）將A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，可知當(dāng)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC+BC的最小值為AB的長(zhǎng)，求出直線(xiàn)AB的解析式，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)D（a，a2﹣2a﹣3），則E（a，a+1），表示出DE的長(zhǎng)度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（4）分CF為對(duì)角線(xiàn)和邊，分別畫(huà)出圖形，利用正方形的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，
，
∴，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
，
∴，
∴直線(xiàn)AB的解析式為y＝x+1，
∵AC+BC≥AB，
∴當(dāng)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC+BC的最小值為AB的長(zhǎng)，
∵拋物線(xiàn)y＝x2﹣2x﹣3的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，
∴C（1，2），
故答案為：（1，2）；
（3）設(shè)D（a，a2﹣2a﹣3），則E（a，a+1），
∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），
∴當(dāng)a＝時(shí)，DE的最大值為；
（4）當(dāng)CF為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖，
此時(shí)四邊形CMFN是正方形，
∴N（1，1），
當(dāng)CF為邊時(shí)，若點(diǎn)F在C的上方，
此時(shí)∠MFC＝45°，
∴MF∥x軸，
∵△MCF是等腰直角三角形，
∴MF＝CN＝2，
∴N（1，4），
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的下方時(shí)，如圖，四邊形CFNM是正方形，
同理可得N（﹣1，2），
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的下方時(shí)，如圖，四邊形CFMN是正方形，
同理可得N（，），
綜上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．
【例2】（2022?揚(yáng)州）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB＝8dm，外輪廓線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，高度OC＝8dm．現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割：
（1）若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；
（2）若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長(zhǎng)最大，求此矩形的周長(zhǎng)；
（3）若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）先根據(jù)題意求出拋物線(xiàn)的解析式，當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上時(shí)正方形面積最大，先根據(jù)GH＝2OG計(jì)算H的橫坐標(biāo)，再求出此時(shí)正方形的面積即可；
（2）由（1）知：設(shè)H（t，﹣t2+8）（t＞0），表示矩形EFGH的周長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；
（3）設(shè)半徑為3dm的圓與AB相切，并與拋物線(xiàn)相交，設(shè)交點(diǎn)為N，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并計(jì)算點(diǎn)N是圓M與拋物線(xiàn)在y軸右側(cè)的切點(diǎn)即可．
【解答】解：（1）如圖1，由題意得：A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y＝ax2+8，
把B（4，0）代入得：0＝16a+8，
∴a＝﹣，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣x2+8，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴GH＝FG＝2OG，
設(shè)H（t，﹣t2+8）（t＞0），
∴﹣t2+8＝2t，
解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（舍），
∴此正方形的面積＝FG2＝（2t）2＝4t2＝4（﹣2+2）2＝（96﹣32）dm2；
（2）如圖2，由（1）知：設(shè)H（t，﹣t2+8）（t＞0），
∴矩形EFGH的周長(zhǎng)＝2FG+2GH＝4t+2（﹣t2+8）＝﹣t2+4t+16＝﹣（t﹣2）2+20，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，矩形EFGH的周長(zhǎng)最大，且最大值是20dm；
（3）若切割成圓，能切得半徑為3dm的圓，理由如下：
如圖3，N為⊙M上一點(diǎn)，也是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)N作⊙M的切線(xiàn)交y軸于Q，連接MN，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥y軸于P，
則MN＝OM＝3，NQ⊥MN，
設(shè)N（m，﹣m2+8），
由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，
∴m2+（﹣m2+8﹣3）2＝32，
解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍），
∴N（2，4），
∴PM＝4﹣1＝3，
∵cs∠NMP＝＝＝，
∴MQ＝3MN＝9，
∴Q（0，12），
設(shè)QN的解析式為：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴QN的解析式為：y＝﹣2x+12，
﹣x2+8＝﹣2x+12，
x2﹣2x+4＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4××4＝0，即此時(shí)N為圓M與拋物線(xiàn)在y軸右側(cè)的唯一公共點(diǎn)，
∴若切割成圓，能切得半徑為3dm的圓．
【例3】（2022?海南）如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)P（x，y）在第一象限的拋物線(xiàn)上，AP交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）時(shí)，求四邊形BOCP的面積；
（3）點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，當(dāng)?shù)闹底畲笄摇鰽PQ是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；
（4）如圖2，作CG⊥CP，CG交x軸于點(diǎn)G（n，0），點(diǎn)H在射線(xiàn)CP上，且CH＝CG，過(guò)GH的中點(diǎn)K作KI∥y軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)I，連接IH，以IH為邊作出如圖所示正方形HIMN，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【分析】（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（2）可推出△PCB是直角三角形，進(jìn)而求出△BOC和△PBC的面積之和，從而求得四邊形BOCP的面積；
（3）作PE∥AB交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，根據(jù)△PDE∽△ADB，求得的函數(shù)解析式，從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而分為點(diǎn)P和點(diǎn)A和點(diǎn)Q分別為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造“一線(xiàn)三直角”，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（4）作GL∥y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．根據(jù)△GLC≌△CRH可表示出H點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)K坐標(biāo)，進(jìn)而表示出I坐標(biāo)，根據(jù)MT＝IW，構(gòu)建方程求得n的值．
【解答】解：（1）由題意得，
，
∴，
∴該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，
∴PC2+BC2＝PB2，
∴∠PCB＝90°，
∴S△PBC＝＝＝3，
∵S△BOC＝＝＝，
∴S四邊形BOCP＝S△PBC+S△BOC＝3+＝；
（3）如圖1，作PE∥AB交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，
設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線(xiàn)BC的解析式為：y＝﹣x+3，
由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，
x＝m2﹣2m，
∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，
∵PE∥AB，
∴△PDE∽△ADB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴當(dāng)m＝時(shí)，（）最大＝，
當(dāng)m＝時(shí)，y＝﹣（）2+2×+3＝，
∴P（，），
設(shè)Q（n，﹣n2+2n+3），
如圖2，當(dāng)∠PAQ＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作y軸平行線(xiàn)AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，則△AFP∽△GQA，
∴＝，
∴＝，
∴n＝，
如圖3，當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，過(guò)QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，
∴＝，
∴＝，
可得n1＝1，n2＝，
如圖4，當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，
同理可得：＝，
∴n＝，
綜上所述：點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：或1或或；
（4）如圖5，作GL∥y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．
∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，
∴G（n，0），H（3，3+n），
∴K（，），
∴I（，﹣（）2+n+3+3），
∵TM＝IW，
∴＝（）2+n+6﹣（3+n），
∴（n+3）2+2（n+3）﹣12＝0，
∴n1＝﹣4+，n2＝﹣4﹣（舍去），
∴G（﹣4+，0）．
【例4】（2022?長(zhǎng)春）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝x2﹣bx（b是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）．點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x軸．
（1）求該拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)B是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)．過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)C，連結(jié)BC．當(dāng)BC＝4時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）若m＞0，當(dāng)拋物線(xiàn)在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，或者y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍；
（4）當(dāng)拋物線(xiàn)與正方形PQMN的邊只有2個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，直接寫(xiě)出m的值．
【分析】（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，可得結(jié)論；
（2）判斷出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣1，可得結(jié)論；
（3）分兩種情形：當(dāng)拋物線(xiàn)在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大．當(dāng)拋物線(xiàn)在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而減?。脠D象法解決問(wèn)題即可；
（4）分三種情形：如圖4﹣1中，當(dāng)點(diǎn)N（0，）時(shí)，滿(mǎn)足條件，如圖4﹣2中，當(dāng)點(diǎn)N（0，﹣），滿(mǎn)足條件，如圖4﹣3中，當(dāng)正方形PQMN的邊長(zhǎng)為時(shí)，滿(mǎn)足條件，分別求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，
∴該拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣2x；
（2）如圖1中，
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（1，﹣1），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，
∵BC∥x，
∴B，C故對(duì)稱(chēng)軸x＝1對(duì)稱(chēng)，BC＝4，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣1，
∴B（﹣1，3）；
（3）如圖2中，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，PQ＝2|m|，m＞0，
∴PQ＝PQM＝MN＝2m，
∴正方形的邊MN在y軸上，
當(dāng)點(diǎn)M與O重合時(shí)，
由，
解得或，
∴A（3，3），
觀察圖象可知，當(dāng)m≥3時(shí)，拋物線(xiàn)在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大．
如圖3中，當(dāng)PQ落在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，m＝，觀察圖象可知，當(dāng)0＜m≤時(shí)，拋物線(xiàn)在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而減?。?br>綜上所述，滿(mǎn)足條件的m的值為0＜m≤或m≥3；
（4）如圖4﹣1中，當(dāng)點(diǎn)N（0，）時(shí)，滿(mǎn)足條件，
此時(shí)直線(xiàn)NQ的解析式為y＝﹣x+，
由，解得，或，
∵點(diǎn)A在第四象限，
∴A（，﹣），
∴m＝．
如圖4﹣2中，當(dāng)點(diǎn)N（0，﹣），滿(mǎn)足條件，
此時(shí)直線(xiàn)NQ是解析式為y＝﹣x﹣，
由，解得，
∴A（，﹣），
∴m＝．
如圖4﹣3中，當(dāng)正方形PQMN的邊長(zhǎng)為時(shí)，滿(mǎn)足條件，此時(shí)m＝﹣，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的m的值為或或﹣．
1．（2020?樂(lè)平市一模）如圖，拋物線(xiàn)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的頂點(diǎn)為A，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C，當(dāng)以AC為對(duì)角線(xiàn)的正方形ABCD的另外兩個(gè)頂點(diǎn)B、D恰好在拋物線(xiàn)上時(shí)，我們把這樣的拋物線(xiàn)稱(chēng)為美麗拋物線(xiàn)，正方形ABCD為它的內(nèi)接正方形．
（1）當(dāng)拋物線(xiàn)y＝ax2+1是美麗拋物線(xiàn)時(shí)，則a＝ ﹣2 ；當(dāng)拋物線(xiàn)y＝+k是美麗拋物線(xiàn)時(shí)，則k＝ ﹣4 ；
（2）若拋物線(xiàn)y＝ax2+k是美麗拋物線(xiàn)時(shí)，則請(qǐng)直接寫(xiě)出a，k的數(shù)量關(guān)系；
（3）若y＝a（x﹣h）2+k是美麗拋物線(xiàn)時(shí)，（2）a，k的數(shù)量關(guān)系成立嗎？為什么？
（4）系列美麗拋物線(xiàn)yn＝an（x﹣n）2+kn（n為小于7的正整數(shù)）頂點(diǎn)在直線(xiàn)y＝x上，且它們中恰有兩條美麗拋物線(xiàn)內(nèi)接正方形面積比為1：16．求它們二次項(xiàng)系數(shù)之和．
【分析】（1）畫(huà)出函數(shù)y＝ax2+k的圖象，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求解；
（2）由（1）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（k，k），即可求解；
（3）美麗拋物線(xiàn)沿x軸向右或向左平移后得到的拋物線(xiàn)仍然是美麗拋物線(xiàn)，美麗拋物線(xiàn)y＝a（x﹣h）2+k沿x軸經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移后為拋物線(xiàn)y＝ax2+k，即可求解；
（4）設(shè)這兩條美麗拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，它們的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)比為，則m＝4k，，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）函數(shù)y＝ax2+k的圖象如下：
①拋物線(xiàn)y＝ax2+1是美麗拋物線(xiàn)時(shí)，則AC＝1，
∵四邊形ABCD為正方形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y＝ax2+1得：＝a（）2+1，解得a＝﹣2；
②同理可得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（k，k），
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y＝+k得：k＝（k）2+1，解得k＝0（不合題意）或﹣4；
故答案為：﹣4；
（2）由（1）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（k，k），
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y＝ax2+k得：k＝a（k）2+k，
解得ak＝﹣2；
（3）答：成立．
∵美麗拋物線(xiàn)沿x軸向右或向左平移后得到的拋物線(xiàn)仍然是美麗拋物線(xiàn)．
∴美麗拋物線(xiàn)y＝a（x﹣h）2+k沿x軸經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移后為拋物線(xiàn)y＝ax2+k．
∴ak＝﹣2；
（4）設(shè)這兩條美麗拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，（k，m為小7的正整數(shù)，且k＜m），
它們的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)比為，
∴m＝4k，．
∴這兩條美麗拋物線(xiàn)分別為和．
∵，＝﹣2，
∴a1＝﹣12，a4＝﹣3．
∴a1+a4＝﹣15．
答：這兩條美麗拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)和為﹣15．
2．（2016秋?西城區(qū)校級(jí)期中）我們規(guī)定：在正方形ABCD中，以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且過(guò)對(duì)角頂點(diǎn)C的拋物線(xiàn)，稱(chēng)為這個(gè)正方形的以A為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線(xiàn)．
（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上．
①如圖1，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，求以O(shè)為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線(xiàn)；
②如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為a，其以O(shè)為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2，求a的值；
（2）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），正方形的四條對(duì)角拋物線(xiàn)在正方形ABCD內(nèi)分別交于點(diǎn)M、P、N、Q，直接寫(xiě)出四邊形MPNQ的形狀和四邊形MPNQ的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】（1）①設(shè)O為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2，把B（2，2）代入即可解決問(wèn)題．
②設(shè)B（a，a）．代入y＝x2求出a即可解決問(wèn)題．
（2）如圖3中，結(jié)論：四邊形MPNQ是菱形，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．求出A、B、C、D的頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線(xiàn)，利用方程組求出M、P、N、Q的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）①如圖1中，設(shè)O為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2，
∵過(guò)B（2，2），
∴2＝4a，
∴a＝，
∴所求的拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2．
②如圖2中，設(shè)B（a，a）．
則有a＝a2，解得a＝4或0（舍棄），
∴B（4，4），
∴OA＝4，
∴正方形的邊長(zhǎng)為4．
（2）如圖3中，結(jié)論：四邊形MPNQ是菱形，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．
理由：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，A（3，2），
∴B（7，2），C（7，6），D（3，6），
∴以A為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線(xiàn)為y＝（x﹣3）2+2，
以B為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線(xiàn)為y＝（x﹣7）2+2，
以C為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線(xiàn)為y＝﹣（x﹣7）2+6，
以D為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線(xiàn)為y＝﹣（x﹣3）2+6，
由可得M（5，3），
由可得N（5，5），
由可得P（3+2，4），
由可得Q（7﹣2，4），
∴PM＝，
PN＝，
QN＝，
QM＝，
∴PM＝PN＝QN＝QM，
∴四邊形MPNQ是菱形，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．
3．（2022?隴縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)L1的表達(dá)式；
（2）將L1平移后得到拋物線(xiàn)L2，點(diǎn)D，E在L2上（點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方），若以點(diǎn)A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求拋物線(xiàn)L2的解析式．
【分析】（1）利用頂點(diǎn)式，可以求得該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后利用分類(lèi)討論的方法，可以分別求得對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)L2的解析式．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)L1的表達(dá)式是，
∵拋物線(xiàn)L1過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），
∴，
解得，
∴．
即拋物線(xiàn)L1的表達(dá)式是；
（2）令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．
Ⅰ．當(dāng)AC為正方形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖所示，
∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，
∴點(diǎn)D3的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)E3的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）．
設(shè)，則，
解得即拋物線(xiàn)L2的解析式是．
Ⅱ．當(dāng)AC為邊時(shí)，分兩種情況，
如圖，第①種情況，點(diǎn)D1，E1在AC的右上角時(shí)．
∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴點(diǎn)D1的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)E1的坐標(biāo)為（2，0）．
設(shè)，
則，
解得：，
即拋物線(xiàn)L2的解析式是．
第②種情況，點(diǎn)D2E2在AC的左下角時(shí)，過(guò)點(diǎn)D2作D2M⊥x軸，
則有△AD2M≌△AD1O，
∴AO＝AM，D1O＝D2M．
過(guò)E2作E2N⊥y軸，同理可得，△CE2N≌△CE1O，
∴CO＝CN，E1O＝E2N．
則點(diǎn)D2的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），點(diǎn)E2的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），
設(shè)，
則，
解得，
即拋物線(xiàn)L2的解析式是．
綜上所述：L2的表達(dá)式為：，或．
4．（2022?臨潼區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)L1：y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（1，﹣）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)L1的表達(dá)式；
（2）將L1平移后得到拋物線(xiàn)L2，點(diǎn)D，E在L2上（點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方），若以點(diǎn)A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊
形是正方形，求拋物線(xiàn)L2的解析式．
【分析】（1）利用頂點(diǎn)式，可以求得該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后利用分類(lèi)討論的方法，可以分別求得對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)L2的解析式．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)L1的表達(dá)式是y＝a（x﹣1）2﹣，
∵拋物線(xiàn)L1：y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），
∴0＝9a﹣，
解得a＝，
∴y＝（x﹣1）2﹣，
即拋物線(xiàn)L1的表達(dá)式是y＝x2﹣x﹣2；
（2）當(dāng)AC為正方形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)E（﹣2，﹣2），
設(shè)y＝x2+bx+c，
∴，解得，
即拋物線(xiàn)L2的解析式是y＝x2+x；
當(dāng)AC為邊時(shí)，分兩種情況，
第一種情況，點(diǎn)D、E在AC的右上角時(shí)，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)（0，2），點(diǎn)E（2，0），
設(shè)y＝x2+bx+c，
∴，解得，
即拋物線(xiàn)L2的解析式是y＝x2﹣x+2；
第二種情況，點(diǎn)D、E在AC的左下角時(shí)，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣4，﹣2），點(diǎn)E（﹣2，﹣4），
設(shè)y＝x2+bx+c，則，
解得，
即拋物線(xiàn)L2的解析式是y＝x2+x﹣4．
5．（2022?松陽(yáng)縣一模）如圖，拋物線(xiàn)與x軸，y軸分別交于A，D，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（0，4）．若該拋物線(xiàn)與正方形OABC交于點(diǎn)G且CG：GB＝3：1．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若線(xiàn)段OA，OC上分別存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使EF⊥FG．
已知OE＝m，OF＝t
①當(dāng)t為何值時(shí)，m有最大值？最大值是多少？
②若點(diǎn)E與點(diǎn)R關(guān)于直線(xiàn)FG對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)R與點(diǎn)Q關(guān)于直線(xiàn)OB對(duì)稱(chēng)．問(wèn)是否存在t，使點(diǎn)Q恰好落在拋物線(xiàn)上？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①證明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性質(zhì)得到m關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)先后求得點(diǎn)R（﹣m，2t），點(diǎn)Q（2t，﹣m），代入二次函數(shù)的解析式得到方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（0，4）．且四邊形OABC是正方形，
∴QA＝QC＝BC＝4，
∵CG：GB＝3：1．
∴CG＝3，BG＝l，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，4），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2+bx+c，
把.4（4，0），C（0，4），G（3，4），代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得：，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+3x+4，
令y＝0，則﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0）；．
（2）①∵EF⊥FG，∠EOF＝∠GFE＝∠GCF＝90°，
∴∠EFO+∠FEO＝∠EFO+∠CFG＝90°，．
∴∠FEO＝∠CFG，
∴△EOF∽△FCG，
∴＝，即＝，
∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，m有最大值，最大值為；
②∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（0，4），且四邊形OABC是正方形，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），
設(shè)直線(xiàn)OB的解析式為y＝kx，
把（4，4），代入得：4＝4k，
解得k＝1，
∴直線(xiàn)OB的解析式為y＝x，
過(guò)點(diǎn)R作RS⊥y軸于點(diǎn)S，如圖：
∵點(diǎn)E與點(diǎn)R關(guān)于直線(xiàn)FG對(duì)稱(chēng)，EF⊥FG，
∴RF＝EF，∠RFS＝∠EFO，
∴△RFS≌△EFO（AAS），
∴RS＝EO＝m，F(xiàn)S＝FO＝t，則SO＝2t，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（﹣m，21）
∵點(diǎn)R與點(diǎn)Q關(guān)于直線(xiàn)OB對(duì)稱(chēng)，
同理點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2t，﹣m），
把Q（2t，﹣m）代入y＝﹣x2+3x+4，
得：﹣m＝﹣4t2+6t+4，
由①得m＝﹣t2+t，
∴t2﹣t＝﹣4t2+6t+4，
解得：t1＝，t2＝，
∵0≤t1≤4，
∴當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)G恰好落在拋物線(xiàn)上．
6．（2022?香坊區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸正半軸上，四邊形OABC是正方形，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，OA＝18．
（1）如圖1，求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)交AB于點(diǎn)E、交y軸于點(diǎn)F，連接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直線(xiàn)DE的解析式；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G在OD上，連接GC、GE，點(diǎn)P在AB右側(cè)的拋物線(xiàn)上，點(diǎn)Q為BP中點(diǎn)，連接DQ，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥BP，交直線(xiàn)DP于點(diǎn)H，連接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周長(zhǎng)
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求得B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）在AD延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)取DI＝DE，連接IE，設(shè)∠ABD＝α，可得tan∠EIA＝＝，設(shè)AE＝x，則AI＝2x，在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，建立方程，解方程進(jìn)而可得E點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（3）延長(zhǎng)BD，交y軸于點(diǎn)M．設(shè)直線(xiàn)DP交y軸于點(diǎn)S，分別求得G，C．H三點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理以及兩點(diǎn)距離公式分別求得CG，HG，HC的長(zhǎng)，即可求得△CGH的周長(zhǎng)．
【解答】解：∵四邊形OABC是正方形，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，OA＝18．
∴AB＝OC＝OA＝18，
∴C（0，18），B（18，18），
∴c＝18，
∴18＝﹣×182+bx+18，
解得b＝2，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+18；
（2）如圖，在AD延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)取DI＝DE，連接IE，
設(shè)∠ABD＝α，
∵∠EDA＝2∠ABD，
∴∠EDA＝2α，
∵DI＝DE，
∴∠EID＝∠IED＝α，
∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD＝DA＝9，
∴tanα＝＝，
∴tan∠EIA＝＝，
設(shè)AE＝x，則AI＝2x，
∴ED＝DI＝IA﹣DA＝2x﹣9，
在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，
即（2x﹣9）2＝92+x2，
解得x1＝12，x2＝0 （舍），
∴AE＝12，
∴E（18，12），
∵D（9，0），
設(shè)直線(xiàn)ED的解析式為y＝kx+t，
∴，
解得，
∴直線(xiàn)DE的解析式為y＝x﹣12；
（3）如圖，延長(zhǎng)BD，交y軸于點(diǎn)M，設(shè)直線(xiàn)DP交y軸于點(diǎn)S，
∵OD＝DA，∠DOM＝∠DAB，∠ODM＝∠ADB，
∴△ODM≌△ADB（ASA），
∴MD＝DB，
∵點(diǎn)Q為BP中點(diǎn)，DQ＝PQ，
∴DQ＝BQ＝PQ，
∴∠QDB＝∠QBD，∠QDP＝∠QPD，∠QDB+∠QBD+∠QDP+∠QPD＝180°，
∴∠BDQ+∠PDQ＝90°，即∠BDP＝90°，
∴PH⊥BD，
∴∠SDO+∠MDO＝∠MDO+∠OMD＝90°，
∴∠SDO＝∠OMD＝∠ABD，
∴tan∠SDO＝tan∠ABD＝＝，
∴OS＝OD＝，
∴S（0，），
設(shè)直線(xiàn)SD的解析式為y＝mx+n，將點(diǎn)S（0，），D（9，0）代入得，
，
解得，
∴直線(xiàn)SD的解析式為y＝﹣x+，
聯(lián)立，
解得，，
∵點(diǎn)P在AB右側(cè)的拋物線(xiàn)上，
∴P（27，﹣9），
∵D（9，0），B（18，18），
∴PD＝＝9，BD＝＝9，
∴DB＝DP，
∴△DBP是等腰直角三角形，
∴∠DBP＝45°，DQ⊥BP，
∵BH⊥BP，
∴BH∥DQ，
∴＝1，
∴DH＝DP，
∵D（9，0），P（27，﹣9），
∴H（﹣9，9），
∵點(diǎn)G在OD上，GC＝GE，C（0，18），E（18，12），
設(shè)G（p，0），則p2+182＝（18﹣p）2+122，
解得p＝4，
∴G（4，0），
∵H（﹣9，9），G（4，0），C（0，18），
∴CG＝＝2，
CH＝＝9，
HG＝＝5，
∴CG+HG+CH＝2+5+9，
∴△CGH的周長(zhǎng)為2+5+9．
7．（2021?咸豐縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），過(guò)點(diǎn)A作垂直于x軸的直線(xiàn)l，P是該拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，M是直線(xiàn)l上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，求m的值；
（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求m的值；
（4）當(dāng)拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等構(gòu)建方程求解即可．
（3）根據(jù)PQ＝MQ，構(gòu)建方程求解即可．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l的左邊，點(diǎn)M在點(diǎn)Q是下方下方時(shí)，拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，觀察圖象可知．當(dāng)0＜m＜3時(shí)，拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，如圖4﹣1中．當(dāng)m＞4時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)Q的上方，也滿(mǎn)足條件，如圖4﹣2中．
【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），
∴＝0，
解得b＝1．
∴拋物線(xiàn)解析式為：．
（2）∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且P點(diǎn)在拋物線(xiàn)y＝的圖象上，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），
∵PQ⊥l，l過(guò)A點(diǎn)且垂直于x軸，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，），
∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣m+），
∵Q點(diǎn)與M點(diǎn)重合，
∴＝﹣m+，
解方程得：m＝0或m＝4．
（3）∵拋物線(xiàn)＝﹣（x﹣1）2+2，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
∵N點(diǎn)的坐標(biāo)為N（m，﹣m+），
要使頂點(diǎn)（1，2）在正方形PQMN內(nèi)部，
∴﹣m+＞2，得m＜﹣．
∴PN＝﹣m+﹣（）＝m2﹣2m，PQ＝3﹣m．
∵四邊形PQMN是正方形，
∴m2﹣2m＝3﹣m，
解得m＝1+（舍去）或m＝1﹣．
∴當(dāng)m＝1﹣時(shí)，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在正方形PQMN內(nèi)部．
（4）∵M(jìn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)﹣m+，隨P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的增大而減小，根據(jù)（1）的結(jié)果得：
當(dāng)m＝0時(shí)，M，Q兩點(diǎn)重合；m＝3時(shí)，P，Q重合；m＝4時(shí)，M，Q重合，矩形PQMN不存在；
當(dāng)m＜0時(shí)，直線(xiàn)MN在直線(xiàn)PQ上方，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在矩形PQMN內(nèi)部，不合題意．
當(dāng)0＜m＜4時(shí)，直線(xiàn)MN在直線(xiàn)PQ下方，如圖4﹣1，
當(dāng)3＜m＜4時(shí)，矩形內(nèi)部沒(méi)有拋物線(xiàn)圖象，不合題意；
當(dāng)m＞4時(shí)，直線(xiàn)MN在直線(xiàn)PQ上方，矩形內(nèi)部有拋物線(xiàn)，且為對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，如圖4﹣2；
綜上：當(dāng)0＜m＜3或m＞4時(shí)，拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減?。?br>8．（2021?云南模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（5，6）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在點(diǎn)P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在直線(xiàn)AD下方，作正方形ADEF，并將沿對(duì)稱(chēng)軸平移|t|個(gè)單位長(zhǎng)度（規(guī)定向上平移時(shí)t為正，向下平移時(shí)t為負(fù)，不平移時(shí)t為0），若平移后的拋物線(xiàn)與正方形ADEF（包括正方形的內(nèi)部和邊）有公共點(diǎn)，求t的取值范圍．
【分析】（1）用待定系數(shù)法直接求出解析式，然后令y＝0，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可；
（2）求出直線(xiàn)AD的解析式，設(shè)直線(xiàn)AD與y軸交于點(diǎn)E，得出∠DAB＝45°，過(guò)點(diǎn)D作DP1⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AP2∥y軸，過(guò)點(diǎn)D作DP2∥x軸，AP2與DP2交于點(diǎn)P2，延長(zhǎng)AP1至P3，使AP1＝P1P3，連接DP3，延長(zhǎng)DP1至P4，使DP1＝P1P4，連接AP4，延長(zhǎng)AP2至P5，使AP2＝P2P5，連接DP5，延長(zhǎng)DP2至P6，使DP2＝P2P6，連接AP6，則△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D為所有符合題意的等腰直角三角形，求出各個(gè)P點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)平移后的拋物線(xiàn)解析式為，分別求出拋物線(xiàn)平移后與正方形ADEF有公共點(diǎn)的最低位置和最高位置的t值，即可求出t的取值范圍．
【解答】解：（1）依題意，將點(diǎn)D（5，6）代入，
得，
解得k＝﹣2，
∴拋物線(xiàn)的解析式為，
令y＝0，得，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）存在，
設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y＝mx+n（m≠0），
將A（﹣1，0），D（5，6）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，
解得，
∴直線(xiàn)AD的解析式為y＝x+1，
如圖1，設(shè)直線(xiàn)AD與y軸交于點(diǎn)E，
令x＝0，得y＝1，
∴OA＝OE＝1，
∴∠DAB＝45°，
過(guò)點(diǎn)D作DP1⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AP2∥y軸，
過(guò)點(diǎn)D作DP2∥x軸，AP2與DP2交于點(diǎn)P2，
延長(zhǎng)AP1至P3，使AP1＝P1P3，連接DP3，
延長(zhǎng)DP1至P4，使DP1＝P1P4，連接AP4，
延長(zhǎng)AP2至P5，使AP2＝P2P5，連接DP5，
延長(zhǎng)DP2至P6，使DP2＝P2P6，連接AP6，
則△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D為所有符合題意的等腰直角三角形，
∴P1（5，0），P2（﹣1，6），P3（11，0），P4（5，﹣6），P5（﹣1，12），P6（﹣7，6）；
（3）如圖2，由（2）可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（11，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（5，﹣6），
直線(xiàn)AD的解析式是y＝x+1，
設(shè)平移后的拋物線(xiàn)解析式為，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，是拋物線(xiàn)平移后與正方形ADEF有公共點(diǎn)的最低位置，
將點(diǎn)（11，0）代入，
得，
解得t＝﹣48，
當(dāng)拋物線(xiàn)與AD邊有唯一公共點(diǎn)時(shí)，
是拋物線(xiàn)平移后與正方形ADEF有公共點(diǎn)的最高位置，
將y＝x+1與聯(lián)立方程組，
，
化簡(jiǎn)得x2﹣4x+2t﹣5＝0，
∵只有唯一解，即此一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0，
解得，
∴t的取值范圍．
9．（2019秋?溫州校級(jí)月考）如圖1所示，動(dòng)點(diǎn)A、B同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的速度都是每秒1個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)A沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)B沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)A、OB為鄰邊建立正方形OACB，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，假設(shè)A、B兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t＝3秒時(shí)，求此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式；此時(shí)拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)D，使得S△BCD＝6？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（2）如圖2，在（1）的條件下，有一條平行于y軸的動(dòng)直線(xiàn)l，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，交直線(xiàn)OC于點(diǎn)F，若以O(shè)、B、E、F四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）在動(dòng)點(diǎn)A、B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若正方形OACB內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)P，且滿(mǎn)足OP＝，CP＝，∠OPA＝135°，直接寫(xiě)出此時(shí)AP的長(zhǎng)度．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA、OB，然后寫(xiě)出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答，設(shè)BC邊上的高為h，利用三角形的面積求出h，從而確定出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線(xiàn)解析式求解即可；
（2）分點(diǎn)E在點(diǎn)F上方和下方兩種情況表示出EF，再根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等列方程求解即可；
（3）將△AOP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP′＝AP，P′C＝OP，∠AP′C＝∠OPA，然后判斷出△APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C＝90°，利用勾股定理列式求出PP′，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答．
【解答】解：（1）∵t＝3秒，
∴OA＝OB＝3，
∴點(diǎn)B（0，3），C（3，3），
將點(diǎn)B、C代入拋物線(xiàn)得，，
解得，
∴拋物線(xiàn)解析式為y＝﹣x2+3x+3，
設(shè)BC邊上的高為h，
∵BC＝OA＝3，S△BCD＝6，
∴h＝4，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3﹣4＝﹣1，
令y＝﹣1，則﹣x2+3x+3＝﹣1，
整理得，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
所以，D1（﹣1，﹣1），D2（4，﹣1）；
（2）∵OB＝3，
∴EF＝3，
設(shè)E（m，﹣m2+3m+3），F(xiàn)（m，m），
若E在F上方，則，﹣m2+3m+3﹣m＝3，
整理得，m2﹣2m＝0，
解得m1＝0（舍去），m2＝2，
∴F1（2，2），
若F在E上方，則，m﹣（﹣m2+3m+3）＝3，
整理m2﹣2m﹣6＝0，
解得m1＝1﹣，m2＝1+，
∴F2（1﹣，1﹣），
F3（1+，1+）；
（4）如圖，將△AOP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′C，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AP′＝AP，P′C＝OP＝，∠AP′C＝∠OPA＝135°，
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠AP′P＝45°，
∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，
由勾股定理得，PP′＝＝，
所以，AP＝PP′＝×＝1．
10．（2021?峨眉山市模擬）如圖，已知直線(xiàn)y＝與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，以線(xiàn)段AB為邊向上作正方形ABCD，過(guò)點(diǎn)A，D，C的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若正方形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)AB下滑，直至頂點(diǎn)D落在x軸上時(shí)停止，設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)與正方形一起平移，同時(shí)停止，求拋物線(xiàn)上C，E兩點(diǎn)間的拋物線(xiàn)弧所掃過(guò)的面積．
【分析】（1）求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出AB，過(guò)C作CZ⊥x軸于Z，過(guò)D作DM⊥y軸于M，證△AOB≌△BZC≌△DMA，推出BZ＝OA＝DM＝1，CZ＝OB＝MA＝2，進(jìn)而求解；
（2）分為三種情況，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到x軸上點(diǎn)F時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)x軸上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定和三角形的面積公式求出即可；
（3）由拋物線(xiàn)上C，E兩點(diǎn)間的拋物線(xiàn)弧所掃過(guò)的面積即為?EE′C′C的面積，即可求解．
【解答】解：（1）∵直線(xiàn)y＝﹣x+1，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2，
∴OA＝1，OB＝2，
過(guò)C作CZ⊥x軸于Z，過(guò)D作DM⊥y軸于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠CZB＝90°，
∴∠ABO+∠CBZ＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBZ，
在△AOB和△BZC中，
，
∴△AOB≌△BZC（AAS），
∴OA＝BZ＝1，OB＝CZ＝2，
∴C（3，2），
同理可求D的坐標(biāo)是（1，3）；
設(shè)拋物線(xiàn)為y＝ax2+bx+c，
∵拋物線(xiàn)過(guò)A（0，1），D（1，3），C（3，2），
則，解得，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+x+1；
（2）∵OA＝1，OB＝2，
∴由勾股定理得：AB＝，
①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到x軸上點(diǎn)F時(shí)，t＝1，
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖1，
∵∠OFA＝∠GFB′，tan∠OFA＝，
∴tan∠GFB′＝＝＝，
∴GB′＝t，
∴S△FB′G＝FB′×GB′＝?t?t＝t2；
②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)x軸上時(shí)，t＝2，
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2，
∵AB＝A′B′＝，
∴A′F＝t﹣，
∴A′G＝，
∵B′H＝t，
∴S四邊形A′B′HG＝（A′G+B′H）?A′B′＝（+t）?＝t﹣；
③當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t＝3，
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖3，
∵A′G＝，
∴GD′＝﹣＝，
∵S△AOF＝×2×1＝1，OA＝1，∠AOF＝∠GD′H＝90°，∠AFO＝∠GFA′，
∴△AOF∽△GA′F，
∴＝（）2，
∴S△GA′F＝（）2，
則S五邊形GA′B′CH＝（）2﹣（）2＝﹣t2+t﹣；
綜上，S＝；
（3）設(shè)平移后點(diǎn)E和點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E′、C′，
則拋物線(xiàn)上C，E兩點(diǎn)間的拋物線(xiàn)弧所掃過(guò)的面積即為?EE′C′C的面積，
聯(lián)立y＝與y＝﹣x2+x+1并解得，
∴E（4，﹣1），
∴BC＝BE，CE＝，
當(dāng)頂點(diǎn)D落在x軸上時(shí)，拋物線(xiàn)向下平移了3個(gè)單位長(zhǎng)度，向右平移了6個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（10，﹣4），
∴EE′＝3，
∴拋物線(xiàn)上C，E兩點(diǎn)間的拋物線(xiàn)弧所掃過(guò)的面積為S＝EE′?BC＝3×＝15．
11．（2021?深圳模擬）如圖1，拋物線(xiàn)C1：y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)為C，直線(xiàn)y＝kx+2經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)AC的表達(dá)式與拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式；
（2）如圖2，將拋物線(xiàn)C1沿射線(xiàn)AC方向平移一定距離后，得到拋物線(xiàn)為C2，其頂點(diǎn)為D，拋物線(xiàn)C2與直線(xiàn)y＝kx+2的另一交點(diǎn)為E，與x軸交于M，N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)右邊），若S△MDE＝S△MAE，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖3，若拋物線(xiàn)C1向上平移4個(gè)單位得到拋物線(xiàn)C3，正方形GHST的頂點(diǎn)G，H在x軸上，頂點(diǎn)S，T在x軸上方的拋物線(xiàn)C3上，P（m，0）是射線(xiàn)GH上一動(dòng)點(diǎn)，則正方形GHST的邊長(zhǎng)為 4 ，當(dāng)m＝ 2+1 時(shí)，有最小值 ．
【分析】（1）由直線(xiàn)y＝kx+2經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）求出k的值，得到直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y＝2x+2，再由拋物線(xiàn)與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，將x＝1代入y＝2x+2求出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為頂點(diǎn)式求出拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式；
（2）由平移后得到的拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)D仍在直線(xiàn)AC上，設(shè)拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（t，2t+2），則拋物線(xiàn)C2的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣t）2+2t+2，與直線(xiàn)y＝2x+2聯(lián)立方程組求出x的值，就是點(diǎn)E和點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，從而求出線(xiàn)段EF的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）先由平移的特征求出拋物線(xiàn)C3的表達(dá)式，再由正方形GHST與拋物線(xiàn)C3有相同的對(duì)稱(chēng)軸求出正方形GHST的邊長(zhǎng)；將△PSH繞點(diǎn)S順時(shí)針90°得到△KST，取SK的中點(diǎn)R，連結(jié)TR、PR，則點(diǎn)K在GT上，設(shè)PS＝KS＝t，則TR＝SR＝KS＝PS＝t，PR＝t，由PR+TR≥PT列不等式求出的最小值，由相似三角形的性質(zhì)求出此時(shí)m的值．
【解答】解：（1）∵直線(xiàn)y＝kx+2經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），
∴﹣k+2＝0，
解得k＝2，
∴直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y＝2x+2；
由拋物線(xiàn)與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2×1+2＝4，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）；
設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝a（x﹣1）2+4，則4a+4＝0，解得a＝﹣1，
∴拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3．
（2）如圖2，作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，EF⊥DQ于點(diǎn)F，設(shè)拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t.
∵拋物線(xiàn)C2由拋物線(xiàn)C1沿射線(xiàn)AC方向平移得到，
∴D（t，2t+2），
∴拋物線(xiàn)C2的表達(dá)式可表示為y＝﹣（x﹣t）2+2t+2，
由，得2x+2＝﹣（x﹣t）2+2t+2，
解關(guān)于x的方程，得x1＝t﹣2，x2＝t，則點(diǎn)E、F的橫坐標(biāo)分別為t﹣2、t，
∴EF＝t﹣（t﹣2）＝2，
∵S△MDE＝S△MAE，
∴＝，
∴＝；
∵EF∥AQ，
∴△DEF∽△DAQ，
∴，
∴2＝AQ，
∴AQ＝5，
∴OQ＝5﹣1＝4；
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2×4+2＝10，
∴D（4，10）．
（3）由（1）得，拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣1）2+4，
將拋物線(xiàn)y＝﹣（x﹣1）2+4向上平移4個(gè)單位得到的拋物線(xiàn)為y＝﹣（x﹣1）2+8，即y＝﹣x2+2x+7，
∴拋物線(xiàn)C3的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+7．
由題意可知，正方形GHST與拋物線(xiàn)C3有相同的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝1，
如圖3，設(shè)H（t，0），則S（t，2t﹣2），
∴﹣t2+2t+7＝2t﹣2，
解得t1＝3，t2＝﹣3（不符合題意，舍去），
∴H（3，0）．
∴SH＝2（t﹣1）＝2×（3﹣1）＝4，
∴正方形的邊長(zhǎng)為4；
將△PSH繞點(diǎn)S順時(shí)針90°得到△KST，取SK的中點(diǎn)R，連結(jié)TR、PR，則點(diǎn)K在GT上，
設(shè)PS＝KS＝t（t＞0），則TR＝SR＝KS＝t，
由旋轉(zhuǎn)得，∠PSR＝90°，
∴PR＝＝t，
∵PR+TR≥PT，
∴t+t≥PT，
∴，
即，
∴的最小值為；
如圖4，當(dāng)＝時(shí)，則點(diǎn)R落在PT上.
設(shè)PT交SH于點(diǎn)L．
∵∠PSL＝∠TSR＝∠PTS，∠SPL＝∠TPS（公共角），
∴△PLS∽△PST，
∴＝，
∴SL＝4×＝2﹣2；
∵∠KTS＝∠LST＝90°，ST＝TS（公共邊），∠TSK＝∠STL，
∴△KST≌△LTS（ASA），
∴PH＝KT＝SL＝2﹣2，
∴OP＝3+2﹣2＝2+1，
∴P（2+1，0），
∴m＝2+1．
故答案為：4，2+1，．
12．（2021?社旗縣二模）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c過(guò)（1，0），（3，0），（0，6）三點(diǎn)，邊長(zhǎng)為4的正方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸上，y軸上．
（1）求拋物線(xiàn)解析式，并直接寫(xiě)出當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最大值與最小值的差．
（2）將正方形OABC向右平移，平移距離記為h，
①當(dāng)點(diǎn)C首次落在拋物線(xiàn)上，求h的值．
②當(dāng)拋物線(xiàn)落在正方形內(nèi)的部分，滿(mǎn)足y隨x的增大而減小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出h的取值范圍．
【分析】（1）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2x2﹣8x+6＝16，故當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，x＝﹣1時(shí)，y取得最大值16，而在頂點(diǎn)處取得最小值﹣2，即可求解；
（2）①當(dāng)點(diǎn)C首次落在拋物線(xiàn)上，則yC＝4＝2x2﹣8x+6，解得x＝2（舍去負(fù)值），則h＝x＝2﹣；
②當(dāng)點(diǎn)C首次落在拋物線(xiàn)上，h＝2﹣，當(dāng)h＞2﹣時(shí)，拋物線(xiàn)落在正方形內(nèi)的部分，滿(mǎn)足y隨x的增大而減小，當(dāng)h＝3時(shí)，即正方形運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（3，0）處，此時(shí)拋物線(xiàn)落在正方形內(nèi)的部分，滿(mǎn)足y隨x的增大而減小，當(dāng)h＞3時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)進(jìn)入正方形內(nèi)，即滿(mǎn)足y隨x的增大而減小，故h≤3，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）由題意得：，解得，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝2x2﹣8x+6，
由拋物線(xiàn)的表達(dá)式知，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2），
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2x2﹣8x+6＝16，
故當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，x＝﹣1時(shí)，y取得最大值16，而在頂點(diǎn)處取得最小值﹣2，
∴y的最大值與最小值的差為16﹣（﹣2）＝18；
（2）①當(dāng)點(diǎn)C首次落在拋物線(xiàn)上，yC＝4＝2x2﹣8x+6，解得x＝2，
因?yàn)辄c(diǎn)C首次落在拋物線(xiàn)上，x＝2+舍棄，
則h＝x＝2﹣；
②當(dāng)點(diǎn)C首次落在拋物線(xiàn)上，h＝2﹣，當(dāng)h＞2﹣時(shí)，拋物線(xiàn)落在正方形內(nèi)的部分，滿(mǎn)足y隨x的增大而減小，
當(dāng)h＝3時(shí)，即正方形運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（3，0）處，此時(shí)拋物線(xiàn)落在正方形內(nèi)的部分，滿(mǎn)足y隨x的增大而減小，
當(dāng)h＞3時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)進(jìn)入正方形內(nèi)，即滿(mǎn)足y隨x的增大而減小，故h≤3；
故2﹣＜h≤3．
13．（2021?越秀區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），過(guò)點(diǎn)A作垂直于x軸的直線(xiàn)l．P是該拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q；M是直線(xiàn)l上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為﹣m+，以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，求m的值．
（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求m的值．
（4）拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分稱(chēng)為被掃描部分．請(qǐng)問(wèn)該拋物線(xiàn)是否全部被掃描？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由，若否，直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)被掃描部分自變量的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等構(gòu)建方程求解即可．
（3）根據(jù)PQ＝MQ，構(gòu)建方程求解即可．
（4）分兩種情形，如圖4﹣1中，當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，隨點(diǎn)P向下移動(dòng)，能把拋物線(xiàn)在直線(xiàn)l的左側(cè)部分全部掃描，當(dāng)m≥4時(shí)，矩形你能覆蓋拋物線(xiàn)在直線(xiàn)y＝4的右側(cè)部分（包括m＝4），可得當(dāng)3＜m＜4時(shí)，矩形不能覆蓋拋物線(xiàn)．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，
解得b＝1．
（2）∵拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+x+，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵M(jìn)，Q重合，
∴﹣m+＝﹣m2+m+，
解得m＝0或4．
（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
由題意PQ＝MQ，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部，
∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣或1+（不合題意舍棄），
∴m＝1﹣．
（4）當(dāng)m≤3和m≥4時(shí)，拋物線(xiàn)不能被覆蓋，理由如下：
如圖4﹣1中，當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，隨點(diǎn)P向下移動(dòng)，能把拋物線(xiàn)在直線(xiàn)l的左側(cè)部分全部掃描，
當(dāng)m＝4時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合，
當(dāng)m≥4時(shí)，矩形你能覆蓋拋物線(xiàn)在直線(xiàn)x＝4的右側(cè)部分（包括m＝4），
∴拋物線(xiàn)被掃描部分自變量的取值范圍為：x≤3或x≥4，
14．（2020秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為對(duì)角線(xiàn)作正方形AMPN．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)正方形AMPN與△AOP面積之比為5：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)正方形AMPN有兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c可求b、c的值即可．
（2）設(shè)出點(diǎn)p的坐標(biāo)，根據(jù)面積關(guān)系列方程求解．
（3）設(shè)P（0，m），連接MN交AP于T，過(guò)點(diǎn)T作TJ⊥OA于J，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥TJ于E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥TJ于F，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥TJ于G．利用全等三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，構(gòu)建方程求出m的值即可
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得，
，解得，
∴拋物線(xiàn)的關(guān)系式為y＝x2+2x﹣3．
（2）設(shè)P的縱坐標(biāo)為y．
∵正方形AMPN與△AOP面積之比為5：2．
∴（32+y2）＝××3×|y|．
解得：y＝±或＝±6．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（0，）或P2（0，﹣）或P3（0，6）或P4（0，﹣6）．
（3）設(shè)P（0，m），連接MN交AP于T，過(guò)點(diǎn)T作TJ⊥OA于J，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥TJ于E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥TJ于F，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥TJ于G．
∵四邊形AMPN是正方形，
∴TA＝TP＝TM＝TN，AP⊥MN，
∵A（﹣3，0），P（0，m），
∴T（﹣，m），
∵∠PET＝∠F＝∠PTN＝90°，
∴∠PTE+∠NTF＝90°，∠NTF+∠TNF＝90°，
∴∠PTE＝∠TNF，
∴△PET≌△TFN（AAS），
∴ET＝FN，PE＝TF，
同法可證△PET≌△TGM，
∴MG＝ET＝FN，GT＝PE＝TF，
∴M（﹣﹣，+），N（﹣+，﹣），
當(dāng)點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上時(shí)，+＝（﹣﹣）2+2（﹣﹣）﹣3，
解得m＝±，
當(dāng)點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上時(shí)，﹣＝（﹣+）2+2（﹣+）﹣3，
解得m＝2±
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（0，）或（0，﹣）或（0，2﹣）或（0，2+）．
15．（2020?雁塔區(qū)校級(jí)一模）如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+2x的頂點(diǎn)為A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．
（1）請(qǐng)求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）平移拋物線(xiàn)，記平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且平移后的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式．
【分析】（1）令y＝0，可求點(diǎn)B，點(diǎn)C坐標(biāo)，通過(guò)配方可求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）設(shè)平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），分兩種情況討論，可求點(diǎn)D，點(diǎn)E坐標(biāo)，分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝x2+2x與x軸交于B、C兩點(diǎn)，
∴0＝x2+2x，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
∴點(diǎn)B（﹣2，0），點(diǎn)C（0，0），
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴點(diǎn)A（﹣1，﹣1）；
（2）設(shè)平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），
∴點(diǎn)D（m﹣1，﹣1+n），
∵y＝（x+1﹣m）2﹣1+n＝x2+2×（1﹣m）x+m2﹣2m+n，
∴點(diǎn)E（0，m2﹣2m+n），
Ⅰ、如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸于N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AM于M，
∴∠ANE＝∠AMD＝90°，
∵以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴∠EAN+∠DAM＝90°，
∵∠AEN+∠EAN＝90°，
∴∠AEN＝∠DAM，
∴△AEN≌△DAM（AAS），
∴AN＝DM，EN＝AM，
∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），
∴n＝﹣1，m＝3，
∴平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝（x﹣2）2﹣2；
Ⅱ、如圖2，點(diǎn)D在點(diǎn)A上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于N，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DM于M，
同理可證△EDN≌△DAM，
∴DN＝AM，EN＝DM，
∴m﹣1＝﹣1+n+1，m2﹣2m+n﹣（﹣1+n）＝m﹣1+1，
∴m＝，n＝，
∴平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝（x﹣）2﹣，
Ⅲ、當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，
同理可求：y＝（x﹣1）2﹣1；
綜上所述：平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣1）2﹣1．
16．（2020?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），過(guò)點(diǎn)A作垂直于x軸的直線(xiàn)l．P是該拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，M是直線(xiàn)l上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為﹣m+．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，求m的值．
（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求m的值．
（4）當(dāng)拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等構(gòu)建方程求解即可．
（3）根據(jù)PQ＝MQ，構(gòu)建方程求解即可．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l的左邊，點(diǎn)M在點(diǎn)Q是下方下方時(shí)，拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，觀察圖象可知．當(dāng)0＜m＜3時(shí)，拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，如圖4﹣1中．當(dāng)m＞4時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)Q的上方，也滿(mǎn)足條件，如圖4﹣2中．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，
解得b＝1．
（2）∵拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+x+，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵M(jìn)，Q重合，
∴﹣m+＝﹣m2+m+，
解得m＝0或4．
（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
由題意PQ＝MQ，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部，
∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣或1+（不合題意舍棄），
∴m＝1﹣．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l的左邊，點(diǎn)M在點(diǎn)Q下方時(shí)，拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，
則有﹣m+＜﹣m2+m+，
∴m2﹣4m＜0，
解得0＜m＜4，
觀察圖象可知．當(dāng)0＜m＜3時(shí)，拋物線(xiàn)在矩形PQMN內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，如圖4﹣1中，
當(dāng)3＜m＜4時(shí)，拋物線(xiàn)不在矩形PQMN內(nèi)部，不符合題意，
當(dāng)m＞4時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)Q的上方，也滿(mǎn)足條件，如圖4﹣2中，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的m的值為0＜m＜3或m＞4．
17．（2020?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線(xiàn)L：y＝﹣ax2+2ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB＝4．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將拋物線(xiàn)L沿x軸翻折后得到的新拋物線(xiàn)記為L(zhǎng)'，且記L和L'的頂點(diǎn)分別記為M、M'，要使點(diǎn)A、B、M、M'為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)求拋物線(xiàn)L的解析式．
【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和AB＝4，即可求得A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）根據(jù)題意得出||＝2，即|c+a|＝2，即可得出c＝±2﹣a，即可得到y(tǒng)＝﹣ax2+2ax±2﹣a，把A的坐標(biāo)代入解析式即可求得a，進(jìn)而求得c，從而求得拋物線(xiàn)的解析式．
【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)L：y＝﹣ax2+2ax+c的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＝1，且AB＝4，
∴OB＝3，OA＝1，
∴點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），
（2）∵點(diǎn)A、B、M、M'為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
∴MM′＝AB＝4，
∴||＝2，即|c+a|＝2，
當(dāng)c+a＝2時(shí)，c＝2﹣a，
∴拋物線(xiàn)L為：y＝﹣ax2+2ax+2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a+2﹣a＝0，解得a＝，c＝，
∴拋物線(xiàn)L的解析式為：y＝﹣x2+x+；
當(dāng)c+a＝﹣2時(shí)，c＝﹣2﹣a，
∴拋物線(xiàn)L為：y＝﹣ax2+2ax﹣2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a﹣2﹣a＝0，解得a＝﹣，c＝﹣，
∴拋物線(xiàn)L解析式為：y＝x2﹣x﹣，
綜上，拋物線(xiàn)L的解析式為y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣．
18．（2021?龍馬潭區(qū)模擬）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣2，0）和B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），PM⊥BC于點(diǎn)M，PD⊥AB于點(diǎn)D，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為何值時(shí)，PM+PN的值最大？
（3）點(diǎn)P在第四象限的拋物線(xiàn)上移動(dòng)，以PC為邊作正方形CPEF、當(dāng)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法確定拋物線(xiàn)解析式即可；
（2）求出直線(xiàn)BC的解析式為y＝．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（n，），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，），則PN＝，由銳角三角函數(shù)表示PM＝PN，則由二次函數(shù)的性質(zhì)可得解；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PK⊥y軸于K，交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于G，證明△PEG≌△CPK（AAS），得出CK＝PG，設(shè)P（x，x2﹣x﹣3），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，則G（1，x2﹣x﹣3），K（0，x2﹣x﹣3），可得出PG＝|1﹣x|，CK＝|x2﹣x﹣3+3|＝|x2﹣x|，解方程即可得解．
【解答】解：（1）依題意得：
，
解得：，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x﹣3；
（2）設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴y＝x﹣3．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n﹣3），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n﹣3），
∴PN＝n，
∵PM⊥BC，PD⊥AB，
∴∠PMN＝∠PDB，
∵∠PNM＝∠BND，
∴∠MPN＝∠OBC，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∴PM＝PN?cs∠MPN＝PN?cs∠OBC＝PN，
∴PM+PN＝PN＝﹣n＝﹣．
即當(dāng)n＝2時(shí)，PM+PN的值最大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）．
（3）過(guò)點(diǎn)P作PK⊥y軸于K，交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于G，如圖，
∵四邊形PEFC為正方形，
∴PE＝PC，∠EPC＝90°
∵∠PGE＝∠PKC＝90°，
∴∠PEG＝∠CPK，
∴△PEG≌△CPK（AAS），
∴CK＝PG，
設(shè)P（x，x2﹣x﹣3），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，
則G（1，x2﹣x﹣3），K（0，x2﹣x﹣3），
∴PG＝|1﹣x|，CK＝|x2﹣x﹣3+3|＝|x2﹣x|，
∴|1﹣x|＝|x2﹣x|，
解方程1﹣x＝x2﹣x得，x1＝，x2＝﹣2（舍去）；
解方程x﹣1＝x2﹣x得，x1＝，x2＝﹣4（舍去）；
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．
19．（2020?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直．則稱(chēng)該矩形為點(diǎn)P，Q的相關(guān)矩形“．如圖為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”的示意圖．
（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，5），求點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的周長(zhǎng)；
②點(diǎn)C在直線(xiàn)x＝3上，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，已知拋物線(xiàn)y＝x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C，求拋物線(xiàn)y＝x2+mx+n與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）⊙O的半徑為4，點(diǎn)E是直線(xiàn)y＝3上的從左向右的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若在⊙O上存在一點(diǎn)F，使得點(diǎn)E，F(xiàn)的“相關(guān)矩形”為正方形，直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而得出BC，AC即可得出結(jié)論；
②先確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在y軸右側(cè)，且在x軸下方時(shí)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大，進(jìn)而得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為OG+ME＝OG+MF＝OG+MG+FG＝OG+3+FG＝m++3，進(jìn)而確定出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的最大值，同理：得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的最小值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）①如圖1，
∵矩形ACBD是點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”，
∴AD∥CB，
∵點(diǎn)A（1，0），B（2，5），
∴點(diǎn)C（2，0），BC＝5，
∴AC＝2﹣1＝1，
∴點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的周長(zhǎng)為2（AC+BC）＝2×（1+5）＝12；
②如圖2，
∵點(diǎn)C在直線(xiàn)x＝3上，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，
∵點(diǎn)A（1，0），C的“相關(guān)矩形”為正方形，
∴BC∥AD，AB＝BC，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴BC＝AB＝3﹣1＝2
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）或（3，﹣2），
∵拋物線(xiàn)y＝x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C，
∴或
∴或
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣3x+2或y＝x2﹣5x+4，
令x＝0，則y＝2或y＝4
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）或（0，4）；
（2）如圖3，
當(dāng)點(diǎn)F在y軸的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)E在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大，連接OM，OF，
設(shè)OG＝m，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)的“相關(guān)矩形”為正方形，
∴FM＝ME，
∵點(diǎn)E在直線(xiàn)y＝3上，
∴MG＝3，
在Rt△OGF中，F(xiàn)G＝＝，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為OG+ME＝OG+MF＝OG+MG+FG＝OG+3+FG
＝m++3
＝（﹣）2+2+3
≥2+3（當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，取等號(hào)），
即m＝2時(shí)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為（OG+ME）最大＝（m+）最大+3＝4+3，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)最大是4+3，
由圓的對(duì)稱(chēng)性得，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的最小值為﹣（4+3），
即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的范圍是大于等于﹣（4+3）而小于等于（4+3）．
20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），在線(xiàn)段AB上取兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)M、N關(guān)于這條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，分別過(guò)點(diǎn)M、N作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P、Q，我們稱(chēng)這樣的四邊形MPQN為這條拋物線(xiàn)的“拋物線(xiàn)矩形．”
（1）若拋物線(xiàn)y＝2（x+1）（x﹣3）的拋物線(xiàn)矩形MPQN的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為 （2，0） ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （0，﹣6） ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 （2，﹣6） ．
（2）當(dāng)拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx的拋物線(xiàn)矩形MPQN為正方形時(shí)，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，0），求b的值．
（3）設(shè)拋物線(xiàn)y＝x2+4x﹣6的拋物線(xiàn)矩形MPQN的周長(zhǎng)為C．點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求C與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）將拋物線(xiàn)y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的拋物線(xiàn)矩形MPQN繞點(diǎn)P順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，邊MN恰好落在y軸上，若MN＝2，直接寫(xiě)出a的值．
【分析】（1）先根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸，由對(duì)稱(chēng)性及矩形的性質(zhì)即可寫(xiě)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由題意判斷拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，畫(huà)出草圖，由點(diǎn)M的坐標(biāo)及正方形的性質(zhì)寫(xiě)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，將其代入y＝﹣x2+bx即可求出b的值；
（3）由拋物線(xiàn)解析式畫(huà)出圖形，求出對(duì)稱(chēng)軸，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，寫(xiě)出N，P的坐標(biāo)，求出MN，MP的長(zhǎng)度，即可求出C與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）先求出拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，分a＞0和a＜0兩種情況分別寫(xiě)出P，Q的坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)y＝ax2﹣6ax+5a即可求出a的值．
【解答】解：（1）在拋物線(xiàn)y＝2（x+1）（x﹣3）中，
當(dāng)y＝0時(shí)，
x1＝﹣1，x2＝3，
∵A在B的左側(cè)，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵M(jìn)（0，0），且MP⊥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，
∴P（0，﹣6），
拋物線(xiàn)y＝2（x+1）（x﹣3）的對(duì)稱(chēng)軸為x＝＝1，
又∵點(diǎn)M，N關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，
∴N（2，0），Q（2，﹣6），
故答案為：（2，0），（0，﹣6），（2，﹣6）；
（2）∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且M（﹣2，0），
∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，
如圖2，
∵M(jìn)（﹣2，0），
∴P（﹣2，﹣4﹣2b），
∵四邊形MPQN為正方形，
∴PQ∥MN，PQ＝PM，
∴Q（﹣6﹣2b，﹣4﹣2b），
將點(diǎn)Q（﹣6﹣2b，﹣4﹣2b）代入y＝﹣x2+bx中，
得﹣（﹣6﹣2b）2+b（﹣6﹣2b）＝﹣4﹣2b，
解得，b1＝﹣2，b2＝﹣（舍去），
∴b的值為﹣2；
（3）如圖3，
y＝x2+4x﹣6
＝（x+2）2﹣10，
∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣2，
設(shè)M（m，0），
則N（﹣4﹣m，0），P（m，m2+4m﹣6），
∴MN＝﹣4﹣2m，MP＝﹣m2﹣4m+6，
∴C＝2（MN+MP）
＝﹣2m2﹣12m+4，
∴C＝﹣2m2﹣12m+4；
（4）將y＝0代入拋物線(xiàn)y＝ax2﹣6ax+5a，
得，ax2﹣6ax+5a＝0，
解得，x1＝1，x2＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
①當(dāng)a＞0時(shí)，如圖4﹣1，
∵將拋物線(xiàn)矩形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，邊MN恰好落在y軸上，
∴MP＝MO，
設(shè)M（m，0），
則N（m+2，0），
∴P（m，﹣m），Q（m+2，﹣m），
將P（m，﹣m），Q（m+2，﹣m）分別代入y＝ax2﹣6ax+5a，
得，，
解得：；
②當(dāng)a＜0時(shí)，如圖4﹣2，
設(shè)M（m，0），
則N（m+2，0），
∴P（m，m），Q（m+2，m），
將P（m，m），Q（m+2，m）分別代入y＝ax2﹣6ax+5a，
得，，
解得：，
綜上所述，a的值為或﹣．
21．（2022?撫順縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求△BCD的面積；
（3）點(diǎn)M為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，I，N為頂點(diǎn)作正方形，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)I恰好落在對(duì)稱(chēng)軸上？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）方法一：如圖1，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與BC的交點(diǎn)為H，運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)BC的解析式y(tǒng)＝，得出：H（3，），DH＝﹣（﹣）＝，由S△BCD＝S△DHB+S△DHC，即可求得答案；方法二：設(shè)直線(xiàn)DC交x軸于點(diǎn)K，可求得直線(xiàn)DC的解析式為y＝x﹣2，得出K（，0），BK＝5﹣＝，由S△BCD＝S△CKB+S△DKB，即可求得答案；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，），分情況畫(huà)出圖形，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)
∴，
解得：，
∴拋物線(xiàn)的解析式是，
∵＝，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，）；
（2）方法一：如圖1，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與BC的交點(diǎn)為H，
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式y(tǒng)＝kx+d，
∵B（5，0），C（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴直線(xiàn)BC的解析式y(tǒng)＝，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝×3﹣2＝﹣，
∴H（3，），
∴DH＝﹣（﹣）＝，
∴S△BCD＝S△DHB+S△DHC＝；
方法二：如圖1，設(shè)直線(xiàn)DC交x軸于點(diǎn)K，設(shè)直線(xiàn)DC的解析式為y＝mx+n，把D（3，），C（0，﹣2）代入得：，
解得：，
∴直線(xiàn)DC的解析式為y＝x﹣2，
令y＝0，得x﹣2＝0，
解得：x＝，
∴K（，0），
∴BK＝5﹣＝，
∴S△BCD＝S△CKB+S△DKB＝××（+2）＝6；
（3）存在．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，），
分以下四種情況：①（一）如圖2，圖3，過(guò)點(diǎn)M作對(duì)稱(chēng)軸x＝3的垂線(xiàn)，垂足為H，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥MH于點(diǎn)G，
則∠AGM＝∠MHI＝90°，
∴∠AMG+∠MAG＝90°，
∵四邊形AMIN是正方形，
∴AM＝MI，∠AMI＝90°，
∴∠AMG+∠IMH＝90°，
∴∠MAG＝∠IMH，
在△GAM和△HMI中，
，
∴△GAM≌△HMI（AAS），
∴AG＝MH，
即＝3﹣x，
解得x＝，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，）；
②如圖4，過(guò)點(diǎn)M作PQ∥x軸交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥PQ于點(diǎn)P，
如圖5，過(guò)點(diǎn)M作PQ∥y軸交x軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)I作IQ⊥PQ于點(diǎn)Q，
則∠APM＝∠MQI＝90°，
∴∠PAM+∠AMP＝90°，
∵四邊形AMIN是正方形，
∴AM＝MI，∠AMI＝90°，
∴∠AMP+∠IMQ＝90°，
∴∠PAM＝∠IMQ，
在△MAP和△IMQ中，
，
∴△MAP≌△IMQ（AAS），
∴AP＝MQ，
即＝3﹣x，
解得：x＝，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，），
③如圖6，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，四邊形ANMI是矩形，此時(shí)M（5，0）；
④如圖7，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，四邊形AMNI是正方形，此時(shí)M（0，﹣2）；
⑤如圖8，過(guò)點(diǎn)M作對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，垂足為L(zhǎng)，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)K，
則△ATK≌△IBL（AAS），
∴AK＝LI，KI＝BL，
∴﹣x2+x﹣2+x﹣3＝2，
解得：x1＝5，x2＝，
∴M（，）；
⑥如圖9，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)K，
則△AIK≌△MAH（AAS），
∴AK＝MH，
∴x2﹣x+2＝2，
解得：x＝0（舍去）或6，
∴M（6，﹣2）；
⑦如圖10，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)H，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)K，
則△AIK≌△IMH（AAS），
∴IH＝AK＝2，MH＝KI，
∴x2﹣x+2＝2+3﹣x，
解得：x＝5（舍去）或x＝﹣，
∴M（﹣，﹣）；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）或（5，0）或（0，﹣2）或（，）或（6，﹣2）或（﹣，﹣）．
22．（2022?新化縣模擬）已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OC＝3．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；
（3）若點(diǎn)Q為線(xiàn)段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由OC＝3得C（0，3），可得函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），將C（0，3）代入即可求解；
（2）AM＝MB＝AB?sin45°＝＝AD＝BD，則四邊形ADBM為菱形，而∠AMB＝90°，即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為30°的直線(xiàn)CH，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CH，垂足為H，則HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，即可求解．
【解答】（1）解：函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
即：3a＝3，解得：a＝1，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴頂點(diǎn)D（2，﹣1）；
（2）證明：∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴AM＝MB＝AB?sin45°＝，
∵AD＝BD＝＝，
∴AM＝MB＝AD＝BD，
∴四邊形ADBM為菱形，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴四邊形ADBM為正方形；
（3）解：存在，理由：
如圖，過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為30°的直線(xiàn)CH，作AH⊥CH，垂足為H，交OC于點(diǎn)Q，
則HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，
∵∠HCQ＝30°，
∴直線(xiàn)HC所在表達(dá)式中的k值為，
∴直線(xiàn)HC的表達(dá)式為：y＝x+3…①，
則直線(xiàn)AH所在表達(dá)式中的k值為﹣，
則直線(xiàn)AH的表達(dá)式為：y＝﹣x+s，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入并解得：s＝，
則直線(xiàn)AH的表達(dá)式為：y＝﹣x+…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝，
故點(diǎn)H（，），
∵點(diǎn)A（1，0），
則AH＝，
即：AQ+QC的最小值為 ．
23．（2022?宜興市校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b＞0，c＞0）圖象的頂點(diǎn)是點(diǎn)A，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l，圖象與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D在l右側(cè)的函數(shù)圖象上，點(diǎn)B在DC延長(zhǎng)線(xiàn)上，且四邊形ABOD是平行四邊形．
（1）如圖2，若CD∥x軸．
①求證：b2＝4c；
②若?ABOD是矩形，求二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)b＝2時(shí)，?ABOD能否成為正方形，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
【分析】（1）①連接OA，交BD于點(diǎn)P，如圖1，由平行四邊形的性質(zhì)可得PA＝PO，進(jìn)而得出P（，+），由CD∥x軸，可得+＝c，即可證得結(jié)論；
②如圖1，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，則E（，0），由矩形性質(zhì)可得OA＝BD，建立方程求解即可得出答案；
（2）如圖2，連接OA，交BD于點(diǎn)G，連接AC，當(dāng)b＝2時(shí)，y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，可得拋物線(xiàn)頂點(diǎn)A（1，c+1），若四邊形ABOD是正方形，則GA＝GO，OA⊥BD，即BD是OA的垂直平分線(xiàn)，可得出c＝，y＝﹣x2+2x+，運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)CG的解析式為y＝（1﹣）x+，進(jìn)而得出點(diǎn)D（1+，﹣1），利用兩點(diǎn)間距離公式求得：DG2＝（1+﹣）2+（﹣1﹣）2＝5﹣，OA2＝1+（+1）2＝4+2，比較得出OA≠2DG，故當(dāng)b＝2時(shí)，?ABOD不可能是正方形．
【解答】解：（1）①∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣（x﹣）++c，
∴頂點(diǎn)A（，+c），C（0，c），
連接OA，交BD于點(diǎn)P，如圖1，
∵四邊形ABOD是平行四邊形，
∴PA＝PO，
∴P（，+），
∵CD∥x軸，
∴+＝c，
∴b2＝4c；
②如圖1，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，
則E（，0），
∴OE＝，AE＝+c＝+＝b2，
∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝，
∴D（b，c），
∴PD＝b﹣＝b，
∴BD＝2PD＝b，
∵?ABOD是矩形，
∴OA＝BD，
∴OA2＝BD2，
∴OE2+AE2＝BD2，
∴（）2+（b2）2＝（b）2，
∴+＝b2，即b2（b﹣2）（b+2）＝0，
∵b＞0，
∴b＝2，
∴c＝2，
∴該二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+2；
（2）當(dāng)b＝2時(shí)，?ABOD不可能是正方形．
理由如下：如圖2，連接OA，交BD于點(diǎn)G，連接AC，
當(dāng)b＝2時(shí)，y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)A（1，c+1），
若四邊形ABOD是正方形，
則GA＝GO，OA⊥BD，
即BD是OA的垂直平分線(xiàn)，
∴AC＝OC，
∴AC2＝OC2，
∴（1﹣0）2+（c+1﹣c）2＝c2，
∵c＞0，
∴c＝，
∴y＝﹣x2+2x+，
∴A（1，+1），G（，），C（0，），
設(shè)直線(xiàn)CG的解析式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線(xiàn)CG的解析式為y＝（1﹣）x+，
令（1﹣）x+＝﹣x2+2x+，
解得：x＝0（舍去）或x＝1+，
∴D（1+，﹣1），
∴DG2＝（1+﹣）2+（﹣1﹣）2＝5﹣，
OA2＝1+（+1）2＝4+2，
若四邊形ABOD是正方形，則OA＝2DG，即OA2＝4DG2，
但4DG2＝4×（5﹣）＝20﹣2≠4+2＝OA2，
即OA≠2DG，
故當(dāng)b＝2時(shí)，?ABOD不可能是正方形．
24．（2022?于洪區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交y軸于點(diǎn)D，直線(xiàn)AB與之相交，且A（1，﹣）是拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)．
（1）b＝ ﹣1 ，c＝ ﹣4 ；
（2）如圖1，點(diǎn)P是第四象限拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足BP∥AD，拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)C，連接PC．
①求直線(xiàn)PB的解析式；
②求PC的長(zhǎng)；
（3）如圖2，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)第三象限上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），連接BQ，以BQ為邊作正方形BEFQ，當(dāng)頂點(diǎn)E或F恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）設(shè)拋物線(xiàn)為頂點(diǎn)式，用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式即可求出b，c的值；
（2）①先求出直線(xiàn)AD的函數(shù)解析式，根據(jù)BP∥AD和B點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線(xiàn)PB的解析式；
②根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求出PC的長(zhǎng)；
（3）先設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用三角形全等用含點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的式子表示E、F的坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)E、F在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)橫坐標(biāo)為1求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵A（1，﹣）是拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣4，
∴b＝﹣1，c＝﹣4，對(duì)稱(chēng)軸為：x＝1，
故答案為：b＝﹣1，c＝﹣4；
（2）①當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣x﹣4＝﹣4，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4），
設(shè)直線(xiàn)AD的函數(shù)解析式為y＝kx﹣4，
把A（1，﹣）點(diǎn)的坐標(biāo)代入得k＝，
∴直線(xiàn)AD的函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣4，
由于BP∥AD，故可設(shè)直線(xiàn)BP的函數(shù)解析式為：y＝﹣x+b，
又BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
得：﹣×（﹣2）+b＝0，
解得：b＝﹣1，
從而B(niǎo)P的解析式為y＝﹣x﹣1；
②解方程組：，
解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣），
令0＝x2﹣x﹣4，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴點(diǎn)C（4，0），
∴PC＝＝；
（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，b），過(guò)點(diǎn)Q作QM∥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BM∥y軸，交QM于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN∥y軸交QM于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EK∥x軸交BM于點(diǎn)K，
則△BMQ≌△QNF≌△EKB，
∴NF＝KB＝MQ＝|a+2|，QN＝EK＝BM＝|b|，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a﹣b，a+b+2），
點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2﹣b，a+2），
當(dāng)點(diǎn)F在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，a﹣b＝1，
∴a﹣（a2﹣a﹣4）＝1，
解得：a＝2﹣（舍去正值），
得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2﹣，1﹣），
當(dāng)點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，﹣2﹣b＝1，
∴﹣2﹣（a2﹣a﹣4）＝1，
解得：a＝1﹣（舍去正值），
得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1﹣，﹣3）．
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2﹣，1﹣）或（1﹣，﹣3）．

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