方法揭秘
解決此類動點幾何問題常用的是“類比發(fā)現(xiàn)法”，也就是通過對兩個或幾個相類似數(shù)學研究對象的異同，進行觀察和比較，從一個容易探索的研究對象所具有的性質入手，去猜想另一個或幾個類似圖形所具有的類似性質，從而獲得相關結論．類比發(fā)現(xiàn)法大致可遵循如下步驟：
（1）根據(jù)已知條件，先從動態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況；（2）結合某一相應圖形，以靜制動，運用所學知識(常見的有三角形全等、三角形相似等)得出相關結論；（3）類比猜想出其他情況中的圖形所具有的性質．解決此類問題需要運用運動和變化的觀點，把握運動和變化的全過程，動中取靜，靜中求動，抓住運動中的某一瞬間，抓住變化過程中的特殊情形，確定運動變化過程中的數(shù)量關系、圖形位置關系，從而建立方程、不等式、函數(shù)、幾何模型，找到解決問題的途徑.
由點運動產(chǎn)生的問題，解題的關鍵是從運動圖與描述圖中獲取信息，根據(jù)圖象確定x的運動時間與面積的關系，同時關注圖象不同情況的討論．這類問題往往探究點在運動變化過程中的變化規(guī)律，如等量關系、圖形的特殊位置、圖形間的特殊關系等，且體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結合的思想．
例1．如圖，關于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標；
（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．
例2．如圖，直線y＝﹣2x+4交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A、E，點E的坐標是（5，3），拋物線交x軸于另一點C（6，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設拋物線的頂點為D，連接BD，AD，CD，動點P在BD上以每秒2個單位長度的速度由點B向點D運動，同時動點Q在線段CA上以每秒3個單位長度的速度由點C向點A運動，當其中一個點到達終點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒，PQ交線段AD于點H．
①當∠DPH＝∠CAD時，求t的值；
②過點H作HM⊥BD，垂足為點M，過點P作PN⊥BD交線段AB或AD于點N．在點P、Q的運動過程中，是否存在以點P，N，H，M為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
例3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2x+c與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點C（0，﹣2）．（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接AC，點D為線段AC下方拋物線上一動點，過點D作DE∥y軸交線段AC于E點，連接EO，記△ADC的面積為S1，△AEO的面積為S2，求S1﹣S2的最大值及此時點D的坐標；
（3）如圖2，在（2）問的條件下，將拋物線沿射線CB方向平移個單位長度得到新拋物線，動點M在原拋物線的對稱軸上，點N為新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點A、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形的點N的坐標，并把求其中一個點N的坐標的過程寫出來．
例4．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A的坐標；
（2）如圖2，連接AC，點D為線段AC下方拋物線上一動點，過點D作DE∥y軸交線段AC于E點，連接EO、AD，記△ADC的面積為S1，△AEO的面積為S2，求S1﹣S2的最大值及此時點D的坐標；
（3）如圖3，連接CB，并將拋物線沿射線CB方向平移2個單位長度得到新拋物線，動點N在原拋物線的對稱軸上，點M為新拋物線與y軸的交點，當△AMN為以AM為腰的等腰三角形時，請直接寫出點N的坐標．
1．如圖1，已知拋物線y＝ax2x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且點A的坐標為（﹣1，0）、點C的坐標為（0，3）．
（1）請寫出該拋物線的函數(shù)表達式和點B的坐標；
（2）如圖2，有兩動點D、E在△COB的邊上運動，運動速度均為每秒5個單位長度，它們分別從點C和點B同時出發(fā)，點D沿折線COB按C→O→B方向向終點B運動，點E沿線段BC按B→C方向向終點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設運動時間為t秒，請解答下列問題：
①當t為何值時，△BDE的面積等于；
②在點D、E運動過程中，該拋物線上存在點F，使得依次連接AD、DF、FE、EA得到的四邊形ADFE是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標．
2．如圖，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A（3，0），C（﹣1，0）兩點，與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點M是線段AB上方拋物線上一動點，以AB為邊作平行四邊形ABMD，連接OM，若OM將平行四邊形ABMD的面積分成為1：7的兩部分，求點M的橫坐標；
（3）如圖2，點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿B→A勻速運動，同時點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿A→O→B勻速運動，當點P到達點A時，P、Q同時停止運動，設點P運動的時間為t秒，點G在坐標平面內(nèi)，使以B、P、Q、G為頂點的四邊形是菱形，直接寫出所有符合條件的t值．
3．平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A，B兩點，點A，B的坐標分別為（﹣3，0），（1，0），與y軸交于點C，點D為頂點．
（1）求拋物線的解析式和tan∠DAC；
（2）點E是直線AC下方的拋物線上一點，且S△ACE＝2S△ACD，求點E的坐標；
（3）如圖2，若點P是線段AC上的一個動點，連接DP，∠DPQ＝∠DAC，作DQ⊥DP交于點D，DQ與y軸交于點Q，則點P在線段AC上運動時，D點不變，Q點隨之運動．求當點P從點A運動到點C時，點Q運動的路徑長．
4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且OA＝OC＝3OB，連接AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點P和動點Q同時出發(fā)，點P從點C以每秒2個單位長度的速度沿CA運動到點A，點Q從點O以每秒1個單位長度的速度沿OC運動到點C，連接PQ，當點P到達點A時，點Q停止運動，求S△CPQ的最大值及此時點P的坐標；
（3）點M是拋物線上一點，是否存在點M，使得∠ACM＝15°？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
5．如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸正半軸、y軸分別交于A（3，0）、B（0，3）兩點，點P為拋物線的頂點，連接AB、BP．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求∠PBA的度數(shù)；
（3）如圖2，點M從點O出發(fā)，沿著OA的方向以1個單位/秒的速度向A勻速運動，同時點N從點A出發(fā)，沿著AB的方向以個單位/秒的速度向B勻速運動，設運動時間為t秒，ME⊥x軸交AB于點E，NF⊥x軸交拋物線于點F，連接MN、EF．
①當EF∥MN時，求點F的坐標；
②在M、N運動的過程中，存在t使得△BNP與△BMN相似，請直接寫出t的值．
6．如圖，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），點C（0，4），作CD∥x軸交拋物線于點D，作DE⊥x軸，垂足為E，動點M從點E出發(fā)在線段EA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設△DMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式；
（3）①當MN∥DE時，直接寫出t的值；
②在點M和點N運動過程中，是否存在某一時刻，使MN⊥AD？若存在，直接寫出此時t的值；若不存在，請說明理由．
7．如圖1（注：與圖2完全相同），二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）設該拋物線的頂點為D，求△ACD的面積（請在圖1中探索）；
（3）若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ所在的直線翻折，點A恰好落在拋物線上E點處，請直接判定此時四邊形APEQ的形狀，并求出E點坐標（請在圖2中探索）．
8．如圖所示，已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點A的直線yx+b與拋物線的另一個交點為D．
（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標；
（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE．一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？
9．如圖①，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直線BE交y軸正半軸于點E．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式及頂點D的坐標；
（2）連接BD、CD，設∠DBO＝α，∠EBO＝β，若tan （α﹣β）＝1，求點E的坐標；
（3）如圖②，在（2）的條件下，動點M從點C出發(fā)以每秒個單位的速度在直線BC上移動（不考慮點M與點C、B重合的情況），點N為拋物線上一點，設點M移動的時間為t秒，在點M移動的過程中，以E、C、M、N四個點為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足條件的t值及點M的個數(shù)；若不能，請說明理由．
10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，D（4﹣4，0）．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；
（3）在第一象限的拋物線上取一點G，使得S△GCB＝S△GCA，再在拋物線上找點E（不與點A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E點的坐標．
11．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B（﹣1，0），D（﹣2，5）兩點，與x軸另一交點為A，點H是線段AB上一動點，過點H的直線PQ⊥x軸，分別交直線AD、拋物線于點Q，P．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點P，使∠APB＝90°，若存在，求出點P的橫坐標，若不存在，說明理由；
（3）連接BQ，一動點M從點B出發(fā)，沿線段BQ以每秒1個單位的速度運動到Q，再沿線段QD以每秒個單位的速度運動到D后停止，當點Q的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時t最少？
12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點A，并經(jīng)過B（4，4）和C（6，0）兩點，點D的坐標為（4，0），連接AD，AB，BC，點E從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段AD向點D運動，到達點D后，以每秒1個單位長度的速度沿射線DC運動，設點E的運動時間為t秒，過點E作AB的垂線EF交直線AB于點F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點G落在第一象限內(nèi)的拋物線上時，求出t的值；
（3）設點E從點A出發(fā)時，點E，F(xiàn)，G都與點A重合，點E在運動過程中，當△BCG的面積為4時，直接寫出相應的t值，并直接寫出點G從出發(fā)到此時所經(jīng)過的路徑長．
13．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx與x軸分別交于原點O和點F（10，0），與對稱軸l交于點E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB＝1，邊AD，BC與拋物線分別交于點M，N．當矩形ABCD沿x軸正方向平移，點M，N位于對稱軸l的同側時，連接MN，此時，四邊形ABNM的面積記為S；點M，N位于對稱軸l的兩側時，連接EM，EN，此時五邊形ABNEM的面積記為S．將點A與點O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點，設矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．
（1）求出這條拋物線的表達式；
（2）當t＝0時，求S△OBN的值；
（3）當矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時，求S關于t（0＜t≤5）的函數(shù)表達式，并求出t為何值時，S有最大值，最大值是多少？
14．直線yx+3交x軸于點A，交y軸于點B，頂點為D的拋物線yx2+2mx﹣3m經(jīng)過點A，交x軸于另一點C，連接BD，AD，CD，如圖所示．
（1）直接寫出拋物線的解析式和點A，C，D的坐標；
（2）動點P在BD上以每秒2個單位長的速度由點B向點D運動，同時動點Q在CA上以每秒3個單位長的速度由點C向點A運動，當其中一個點到達終點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．PQ交線段AD于點E．
①當∠DPE＝∠CAD時，求t的值；
②過點E作EM⊥BD，垂足為點M，過點P作PN⊥BD交線段AB或AD于點N，當PN＝EM時，求t的值．
15．如圖，直線yx+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，設運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F．
（1）求點A，點B的坐標；
（2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長；
（3）當四邊形ADEF為菱形時，試判斷△AFG與△AGB是否相似，并說明理由．
（4）是否存在t的值，使△AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
16．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD＝BC，有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；
（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MA的值最??？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
17．如圖1，四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，6），點P從點O出發(fā)，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同時點Q從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，當點P與點A重合時運動停止．設運動時間為t秒．
（1）當t＝2時，線段PQ的中點坐標為 ；
（2）當△CBQ與△PAQ相似時，求t的值；
（3）當t＝1時，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過P，Q兩點，與y軸交于點M，拋物線的頂點為K，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點D，使∠MQD∠MKQ？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標；若不存在，說明理由．
18．如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣3，0），C（5，0）兩點，點B為拋物線頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點P從點B出發(fā)，沿線段BD向終點D做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t，過點P作PM⊥BD，交BC于點M，以PM為正方形的一邊，向上作正方形PMNQ，邊QN交BC于點R，延長NM交AC于點E．
①當t為何值時，點N落在拋物線上；
②在點P運動過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形ECRQ為平行四邊形？若存在，求出此時刻的t值；若不存在，請說明理由．

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