圖形運動的過程中，求兩條線段之間的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學的熱點問題．
產(chǎn)生兩條線段間的函數(shù)關(guān)系，常見的情況有兩種，一是勾股定理，二是比例關(guān)系．還有一種不常見的，就是線段全長等于部分線段之和．由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題，在兩種類型的題目中比較常用．
一是由平行線產(chǎn)生的對于線段成比例，二是相似三角形的對應(yīng)邊成比例．
一般步驟是先說理產(chǎn)生比例關(guān)系，再代入數(shù)值或表示數(shù)的字母，最后整理、變形，根據(jù)要求寫出定義域．關(guān)鍵是尋找比例關(guān)系，難點是有的整理、變形比較繁瑣，容易出錯．
【例1】（2022?武漢模擬）拋物線y＝x2﹣2x+m的頂點A在x軸上，與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，直線CD∥AB交拋物線于C，D兩點，若，求△COD的面積；
（3）如圖2，P為拋物線對稱軸上頂點下方的一點，過點P作直線交拋物線于點E，F(xiàn)，交x軸于點M，求的值．
【例2】（2022?黃石）如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標軸分別交于A，B，C三點，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標為m．
（1）A，B，C三點的坐標為 ， ， ．
（2）連接AP，交線段BC于點D，
①當CP與x軸平行時，求的值；
②當CP與x軸不平行時，求的最大值；
（3）連接CP，是否存在點P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．
【例3】（2022?河南三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，OB＝2OC＝4OA，連接AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是拋物線y＝ax2+bx﹣4的圖象上在第四象限內(nèi)的一動點，DE⊥x軸于點E，交BC于點F．設(shè)點D的橫坐標為m．
①請用含m的代數(shù)式表示線段DF的長；
②已知DG∥AC，交BC于點G，請直接寫出當時點D的坐標．
【例4】（2021?大慶）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于原點O和點A，且其頂點B關(guān)于x軸的對稱點坐標為（2，1）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）拋物線的對稱軸上存在定點F，使得拋物線y＝ax2+bx+c上的任意一點G到定點F的距離與點G到直線y＝﹣2的距離總相等．
①證明上述結(jié)論并求出點F的坐標；
②過點F的直線l與拋物線y＝ax2+bx+c交于M，N兩點．
證明：當直線l繞點F旋轉(zhuǎn)時，+是定值，并求出該定值；
（3）點C（3，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標．
1．（2020?道里區(qū)二模）已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝﹣+bx+3交x軸于A、B兩點（點B在點A的右邊）交y軸于點C，OB＝3OC．
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點E是第一象限拋物線上的點，連接BE，過點E作ED⊥OB于點D，tan∠EBD＝，求△BDE的面積；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BC交DE于點Q，點K是第四象限拋物線上的點，連接EK交BC于點M，交x軸于點N，∠EMC＝45°，過點K作直線KT⊥x軸于點T，過點E作EL∥x軸，交直線KT于點L，點F是拋物線對稱軸右側(cè)第一象限拋物線上的點，連接ET、LF，LF的延長線交ET于點P，連接DP并延長交EL于點S，SE＝2SL，求點F的坐標．
2．（2020?三明二模）如圖，拋物線y＝x2+mx（m＜0）交x軸于O，A兩點，頂點為點B．
（Ⅰ）求△AOB的面積（用含m的代數(shù)式表示）；
（Ⅱ）直線y＝kx+b（k＞0）過點B，且與拋物線交于另一點D（點D與點A不重合），交y軸于點C．過點C作CE∥AB交x軸于點E．
（ⅰ）若∠OBA＝90°，2＜＜3，求k的取值范圍；
（ⅱ）求證：DE∥y軸．
3．（2022?杜爾伯特縣一模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3），拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點E在x軸上，且∠ECB＝∠CBD，求點E的坐標．
（3）若P是直線BC下方拋物線上任意一點，過點P作PH⊥x軸于點H，與BC交于點M．
①求線段PM長度的最大值．
②在①的條件下，若F為y軸上一動點，求PH+HF+CF的最小值．
4．（2020?江岸區(qū)校級一模）已知：拋物線y＝x2+x+m交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，其中點B在點A的右側(cè)，且AB＝7．
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點D在第一象限內(nèi)拋物線上，連接CD，AD，AD交y軸于點E．設(shè)點D的橫坐標為d，△CDE的面積為S，求S與d之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量d的取值范圍）；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DH⊥CE于點H，點P在DH上，連接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求點D的坐標及相應(yīng)S的值．
5．（2020?渦陽縣一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點，且拋物線經(jīng)過點C（5，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點P是直線上方的拋物線上的一個動點，求△ABP的面積最大時的P點坐標．
（3）若點P是拋物線上的一個動點（不與點A點B重合），過點P作直線PD⊥x軸于點D，交直線AB于點E．當PE＝2ED時，求P點坐標；
（4）設(shè)拋物線與y軸交于點F，在拋物線的第一象限內(nèi)，是否存在一點M，使得AM被FC平分？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，說明理由．
6．（2021?桂林）如圖，已知拋物線y＝a（x﹣3）（x+6）過點A（﹣1，5）和點B（﹣5，m），與x軸的正半軸交于點C．
（1）求a，m的值和點C的坐標；
（2）若點P是x軸上的點，連接PB，PA，當＝時，求點P的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點M，使A，B兩點到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條件的點M的橫坐標；若不存在，請說明理由．
7．（2021?甘肅）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點C．點D為直線AB下方拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為G，DG分別交直線BC，AB于點E，F(xiàn)．
（1）求拋物線y＝x2+bx+c的表達式；
（2）當GF＝時，連接BD，求△BDF的面積；
（3）①H是y軸上一點，當四邊形BEHF是矩形時，求點H的坐標；
②在①的條件下，第一象限有一動點P，滿足PH＝PC+2，求△PHB周長的最小值．
8．（2021?麗水）如圖，已知拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）連結(jié)AB，交拋物線L的對稱軸于點M．
①求點M的坐標；
②將拋物線L向左平移m（m＞0）個單位得到拋物線L1．過點M作MN∥y軸，交拋物線L1于點N．P是拋物線L1上一點，橫坐標為﹣1，過點P作PE∥x軸，交拋物線L于點E，點E在拋物線L對稱軸的右側(cè)．若PE+MN＝10，求m的值．
9．（2020?陜西）已知拋物線L：y＝﹣x2+bx+c過點（﹣3，3）和（1，﹣5），與x軸的交點為A，B（點A在點B的左側(cè)）．
（1）求拋物線L的表達式；
（2）若點P在拋物線L上，點E、F在拋物線L的對稱軸上，D是拋物線L的頂點，要使△PEF∽△DAB（P的對應(yīng)點是D），且PE：DA＝1：4，求滿足條件的點P的坐標．
10．（2020?盤錦）如圖1，直線y＝x﹣4與x軸交于點B，與y軸交于點A，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點B和點C（0，4），△ABO沿射線AB方向以每秒個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為△DEF（點A，B，O的對應(yīng)點分別為點D，E，F(xiàn)），平移時間為t（0＜t＜4）秒，射線DF交x軸于點G，交拋物線于點M，連接ME．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當tan∠EMF＝時，請直接寫出t的值；
（3）如圖2，點N在拋物線上，點N的橫坐標是點M的橫坐標的，連接OM，NF，OM與NF相交于點P，當NP＝FP時，求t的值．
11．（2022?深圳三模）如圖1，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（﹣5，0），點B（﹣1，﹣2）．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖2，點P為拋物線上第三象限內(nèi)一動點，過點Q（﹣4，0）作y軸的平行線，交直線AP于點M，交直線OP于點N，當點P運動時，4QM+QN的值是否變化？若變化，說明變化規(guī)律，若不變，求其值；
（3）如圖3，長度為的線段CD（點C在點D的左邊）在射線AB上移動（點C在線段AB上），連接OD，過點C作CE∥OD交拋物線于點E，線段CD在移動的過程中，直線CE經(jīng)過一定點F，直接寫出定點F的坐標與的最小值．
12．（2022?阿克蘇地區(qū)一模）如圖1．拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，已知點B（4，0）．
（1）若C（0，3），求拋物線的解析式．
（2）在（1）的條件下，P（﹣2，m）為該拋物線上一點，Q是x軸上一點求的最小值，并求此時點Q的坐標．
（3）如圖2．過點A作BC的平行線，交y軸與點D，交拋物線于另一點E．若DE＝7AD，求c的值．
13．（2022?松江區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y＝2x+8與x軸交于點A、與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B．
（1）求拋物線的表達式；
（2）P是拋物線上一點，且位于直線AB上方，過點P作PM∥y軸、PN∥x軸，分別交直線AB于點M、N．
①當MN＝AB時，求點P的坐標；
②聯(lián)結(jié)OP交AB于點C，當點C是MN的中點時，求的值．
14．（2022?游仙區(qū)模擬）如圖，拋物線與坐標軸分別交于A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在點P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）如圖2，Q是△ABC內(nèi)任意一點，求++的值．
15．（2022?龍巖模擬）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，4）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式（用含a的式子表示）；
（2）當a＞0時，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，求a的值；
（3）直線y＝﹣x+m與線段AB交于點P，與拋物線交于M，N兩點（點M在點N的左側(cè)），若PM?PN＝6，求m的值．
16．（2022?雷州市模擬）如圖（1），拋物線y＝ax2+bx+6與x軸交于點A（﹣6，0）、B（2，0），與y軸交于點C，拋物線對稱軸交拋物線于點M，交x軸于點N．點P是拋物線上的動點，且位于x軸上方．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖（2），點D與點C關(guān)于直線MN對稱，若∠CAD＝∠CAP，求點P的坐標．
（3）直線BP交y軸于點E，交直線MN于點F，猜想線段OE、FM、MN三者之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明．
17．（2022?馬鞍山二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于C點，直線y＝kx（k＜0）交線段BC下方拋物線于D點，交BC于E點
（1）分別求出a、b的值；
（2）求出線段BC的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；
（3）探究是否有最大值，若存在，請求出此時k值，若不存在，請說明理由．
18．（2022?南崗區(qū)校級二模）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝﹣ax2+6ax+6與y軸交于點B，交x軸的負半軸于點A，交x軸的正半軸于點C，且S△ABC＝30．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，其橫坐標為t，PD⊥x軸于點D，設(shè)tan∠PAD等于m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當m＝時，過點B作BN⊥AB交∠PAC的平分線于點N，點K在線段AB上，點M在線段AN上，連接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于點T，延長MT交BN于點H，若NH＝4BH，求直線KN的解析式．
19．（2022?江漢區(qū)校級模擬）如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．
（1）若C（0，﹣3），求拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，E是線段BC上一動點，AE交拋物線于F點，求的最大值；
（3）如圖2，點N為y軸上一點，AN、BN交拋物線于E、F兩點，求?的值．
20．（2022?成都模擬）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求點A，B，C的坐標及拋物線的對稱軸；
（2）如圖1，點P（1，m），Q（1，m﹣2）是兩動點，分別連接PC，QB，請求出|PC﹣QB|的最大值，并求出m的值；
（3）如圖2，∠BAC的角平分線交y軸于點D，過D點的直線l與射線AB，AC分別于E，F(xiàn)，當直線l繞點D旋轉(zhuǎn)時，是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
21．（2022?沈陽模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，直線l：y＝kx+b經(jīng)過點B，點C，點P是拋物線上一動點，連接OP交直線BC于點D．
（1）求直線l的解析式；
（2）當＝時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，點N是直線BC上一動點，連接ON，過點D作DF⊥ON于點F，點F在線段ON上，當OD＝DF時，請直接寫出點N的坐標．
22．（2022?沈陽模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣過點A（3，2）和點B（，0），與x軸的另一個交點為點C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式．
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（3）點D在線段BC上，連接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，連接AE交x軸于點F．點F不與點C重合，射線DP⊥AE，交AE于點P，交AC于點Q．
①當AD＝AF時，請直接寫出∠CAE的度數(shù)；
②當＝時，請直接寫出CQ的長．

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