類型一、反比例函數(shù)的性質(zhì)
例1．（2023?黔江區(qū)一模）設(shè)函數(shù)y1，y2（k＞0）．
（1）當1≤x≤2時，函數(shù)y1的最大值是a，函數(shù)y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；
（2）設(shè)m≠0且m≠1，當x＝m時，y2＝p；當x＝m﹣1時，y2＝q，芳芳說：“p一定大于q”．你認為芳芳的說法正確嗎？為什么？
【答案】（1）a＝1，k＝1；
（2）芳芳的說法不正確．
【分析】（1）由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得k＝a①；﹣k＝a﹣2②；可求a的值和k的值；
（2）設(shè)m＝m0，且0＜m0＜1，則m0＞0，m0﹣1＜0，代入解析式，可求p和q，即可判斷．
【解答】解：（1）∵k＞0，1≤x≤2，
∴y1隨x的增大而減小，y2隨x的增大而增大，
∴當x＝1時，y1最大值為k＝a①；y2最小值為﹣k＝a﹣2②；
由①，②得：a＝1，k＝1；
（2）芳芳的說法不正確，
理由如下：設(shè)m＝m0，且0＜m0＜1，
則m0＞0，m0﹣1＜0，
∴當x＝m0時，p＝y(tǒng)20，
當x＝m0﹣1時，q＝y(tǒng)20，
∴q＞0＞p．
∴芳芳的說法不正確．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
類型二、反比例函數(shù)的圖象問題
例2．（2023春?北湖區(qū)校級月考）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程，結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)y的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．
（1）繪制函數(shù)圖象
①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a＝ 1 ，b＝ ﹣2.5 ．
②描點：請根據(jù)表中所給的數(shù)值在圖中描點；
③連線：請結(jié)合反比例函數(shù)圖象的特征，畫出函數(shù)圖象．
（2）探究函數(shù)性質(zhì)
①當x＞0時，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而 減小 ；（填“減小”或“增大”）
②函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸 對稱；
（3）運用函數(shù)圖象及性質(zhì)
①點A（﹣7，y1），B（，y2），C（，y3）在函數(shù)圖象上，請比較y1，y2，y3的大小（ B ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
②點D（x1，），E（x2，6）在函數(shù)圖象上，請比較x1，x2的大小（ A ）
A．x1＞x2
B．x1＝x2
C．x1＜x2
D．不確定
③寫出方程的解 x1＝﹣1，x2＝1 ；
④寫出不等式的解集 x≤﹣2或x≥2 ．
【答案】（1）1，﹣2.5；
（2）減??；y軸；
（3）①B：
②A；
③x1＝﹣1，x2＝1；
④x≤﹣2或x≥2．
【分析】（1）①把x＝2和x＝4分別代入解析式即可得a、b的值；
②③按要求描點，連線即可；
（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；
（3）觀察函數(shù)圖象即得答案．
【解答】解：（1）①列表：當x＝2時，a|2|＝1，
當x＝4時，b|4|＝﹣2.5，
故答案為：1，﹣2.5；
②描點，③連線如下：
（2）觀察函數(shù)圖象可得：①當x＞0時，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減??；（填“減小”或“增大”）
②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；
故答案為：減??；y軸；
（3）①點A（﹣7，y1），B（，y2），C（，y3）在函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2，
故答案為：B；
②點D（x1，），E（x2，6）在函數(shù)圖象上，則x1＞x2，
故答案為：A；
③寫出方程的解為x1＝﹣1，x2＝1；
故答案為：x1＝﹣1，x2＝1；
④寫出不等式的解集為x≤﹣2或x≥2；
故答案為：x≤﹣2或x≥2．
【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象．
類型三、反比例函數(shù)與一次函數(shù)
例3．（2023?張店區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，4）在反比例函數(shù)y第一象限的圖象上，將點A先向左平移5個單位長度，再向下平移m個單位長度后得到點C，點C恰好落在反比例函數(shù)y第三象限的圖象上，經(jīng)過O，C兩點的直線y＝k2x交反比例函數(shù)第一象限的圖象于點B．
（1）求反比例函數(shù)y和直線y＝k2x的表達式；
（2）連接AC，AB，求△ABC的面積；
（3）請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式x的解集．
【答案】（1）反比例函數(shù)為y，直線y＝k2x的表達式為yx；
（2）15；
（3）x＜﹣4或0＜x＜4．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)為y，進而求得C的坐標，然后吧C的坐標代入y＝k2x即可求得直線的解析式；
（2）作AM⊥x軸，交BC于點D，則D（1，），然后根據(jù)S△ABC＝S△ABD+S△ACD求得即可；
（3）根據(jù)圖象即可求得不等式的解集．
【解答】解：（1）∵點A（1，4）在反比例函數(shù)y第一象限的圖象上，
∴k1＝1×4＝4，
∴反比例函數(shù)為y，
將點A先向左平移5個單位長度，再向下平移m個單位長度后得到點C（﹣4，4﹣m），
∵點C恰好落在反比例函數(shù)y第三象限的圖象上，
∴4﹣m，
∴m＝5，
∴C（﹣4，﹣1），
代入y＝k2x得﹣1＝﹣4k2，
∴，
∴直線y＝k2x的表達式為yx；
（2）作AM⊥x軸，交BC于點D，則D（1，），
∴AD＝4，
∵點A、B關(guān)于原點對稱，
∴B（4，1），
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD15；
（3）關(guān)于x的不等式x的解集為x＜﹣4或0＜x＜4．
【點評】本題是反比例函數(shù)于一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，函數(shù)與不等式的關(guān)系，反比例函數(shù)的對稱性，求得交點坐標是解題的關(guān)鍵．
類型四、反比例函數(shù)的面積問題
例4．（2023?立山區(qū)校級一模）如圖，已知反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，2），過A作AC
⊥y軸于點C．點B為反比例函數(shù)圖象上的一動點，過點B作BD⊥x軸于點D，連接AD．直線BC與x軸的負半軸交于點E．
（1）當E的坐標為（﹣2，0）時，求點B的坐標；
（2）若BD＝3OC，求四邊形ACED的面積．
【答案】（1）B點的坐標為（2，4）；
（2）6．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）求出直線BC的解析式，可得E點坐標，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面積公式解決問題．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，2），
∴2，
解得：k＝8，
∴反比例函數(shù)解析式為：y，
由一可知點C（0，2），E（﹣2，0），
∴設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+b．將C（0，2），E（﹣2，0）代入，
得：，
解得：，
∴直線EC的解析式為y＝x+2．
∴x+2，解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去），
當x＝2時，y＝4，
∴B點的坐標為（2，4）；
（2）∵AC⊥y軸，A（4，2），
∴OC＝2，
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x軸，
∴點B的縱坐標為6，代入y中，得：6，
解得：x，
∴B（，6），
∵C（0，2），
設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，則有，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y＝3x+2，
令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x，
∴E（，0），
∴DE（）＝2，
∵AC∥DE，
∴S四邊形ACED（AC+DE）?OC（4+2）×2＝6．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法、一次函數(shù)與坐標軸的交點特征，梯形面積等知識點，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
類型五、反比例函數(shù)的應(yīng)用
例5．（2023?乳山市模擬）為預(yù)防流感，學(xué)校對教室采取藥熏法消毒．已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例函數(shù)關(guān)系，藥物燃燒完后，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系（如圖示）．現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6毫克．
研究表明：
①當空氣中每立方米含藥量低于1.6毫克時學(xué)生方可進教室；
②當空氣中每立方米含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌．
依據(jù)信息，解決下列問題：
（1）從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學(xué)生才能回到教室？
（2）你認為此次消毒是否有效？并說明理由．
【答案】（1）從消毒開始，至少需要經(jīng)過 30 分鐘后，學(xué)生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，理由見解析．
【分析】（1）直接利用正比例函數(shù)解析式求法得出答案；
（2）利用反比例函數(shù)解析式求法得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y，
把（8，6）代入得：k＝48，
故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y；
當y＝1.6時，代入y得x＝30，
答：從消毒開始，至少需要經(jīng)過 30 分鐘后，學(xué)生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，
理由：藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，
所以設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx（k≠0），
將點（8，6）代入，得k，
即yx，自變量x的取值范圍是0≤x≤8：
將y＝3分別代入yx，y得，x＝4和x＝16，
那么持續(xù)時間是16﹣4＝12＞10分鐘，所以有效殺滅空氣中的病菌．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
類型六、反比例函數(shù)與幾何問題
例6．（2023?平陰縣一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點P（﹣1，2），AB⊥x軸于點E，正比例函數(shù)y＝mx的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、P兩點．
（1）求m、n的值；
（2）求證：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
【答案】（1）﹣2，1；
（2）證明見解答過程；
（3）．
【分析】（1）根據(jù)點P的坐標，利用待定系數(shù)法可求出m，n的值，聯(lián)立正、反比例函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組可求出點A的坐標（利用正、反比例函數(shù)圖象的對稱性結(jié)合點P的坐標找出點A的坐標亦可）；
（2）由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得出∠DCP＝∠OAE，結(jié)合AB⊥x軸可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，進而即可證出△CPD∽△AEO；
（3）由點A的坐標可得出AE，OE，AO的長，由相似三角形的性質(zhì)可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定義即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：將點P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函數(shù)解析式為y＝﹣2x；
將點P（﹣1，2）代入y，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函數(shù)解析式為y．
故m、n的值為﹣2，1．
（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x軸，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO；
（3）解：聯(lián)立正、反比例函數(shù)解析式成方程組，得：
，
解得：（舍去），，
∴點A的坐標為（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE．
所以sin∠CDB的值為．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出m，n的值；（2）利用菱形的性質(zhì)，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似三角形的性質(zhì)，找出∠CDP＝∠AOE．
類型七、反比例函數(shù)與壓軸問題
例7．（2023春?吳江區(qū)期中）如圖，四邊形AOBC是菱形，點B在x的正半軸上，直線AB交y軸于點D軸交y軸于點E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（m，4）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，點P是直線AB上一動點，點M是x軸上一動點（點M不與點O點重合）．當PO最小時，求點P的坐標；
（3）如圖2，點N從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線A﹣C﹣B運動，到達B點時停止，設(shè)點N的運動時間為t秒，△NDC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】（1）；
（2）（1，2）；
（3）．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)，先求出點A、點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；
（2）當OP⊥AB時，PO最小，設(shè)P點坐標為（a，a），利用兩點之間的距離公式解答即可求出點P的坐標；
（3）先求出CD和DE的長度，然后分兩種情況進行分析：當點N在線段AC上運動時，即0≤t≤5時；當點N在線段CB上運動時，即5＜t≤10時；分別求出解析式即可．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（m，4），
∴，即m＝﹣3，
∴點A為（﹣3，4），
∴，
∵四邊形AOBC是菱形，
∴OB＝OA＝5，
∴點B的坐標為：（5，0）；
設(shè)直線AB為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線AB的解析式；
（2）當OP⊥AB時，PO最小，設(shè)P點坐標為（a，a），
∴OP，
當a＝1時，OP有最小值，
∴a2，
∴點P的坐標為（1，2）；
（3）在函數(shù)中，令x＝0，，
∴點D為，
∵OB＝CB，∠OBD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△OBD≌△CBD（SAS），
∴，∠BOD＝∠BCD＝90°，
∴；
當點N在線段AC上運動時，即0≤t≤5時，
；
當點N在線段CB上運動時，即5＜t≤10時，
；
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的分析點的運動情況進行解題．
類型八、反比例函數(shù)與存在性問題
例8．（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點C在x軸負半軸上，四邊形OABC為菱形，反比例函數(shù)y（x＞0）經(jīng)過點A（a，﹣3），反比例函數(shù)y（k＞0，x＜0）經(jīng)過點B，且交BC邊于點D，連接AD．
（1）求直線BC的表達式；
（2）連接OD，求△AOD的面積；
（3）如圖2，P是y軸負半軸上的一個動點，過點P作y軸的垂線，交反比例函數(shù)y（x＞0）于點N．在點P運動過程中，直線AB上是否存在點E，使以B，D，E，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）yx；
（2）；
（3）存在，當點N的坐標為（，）或（16，）時，以B，D，E，N為頂點的四邊形是平行四邊形．
【分析】（1）待定系數(shù)法即可求解；
（2）由△AOD的面積OT×（xA﹣xD），即可求解；
（3）利用數(shù)形結(jié)合的方法分類求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y（x＞0）經(jīng)過點A（a，﹣3），
∴﹣3，
∴a＝4，
∴A（4，﹣3），
∴OA＝5，
∵四邊形OABC為菱形，
∴OC＝AB＝OA＝5，
∴C（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），
由點B、C的坐標得，yx；
（2）∵B（﹣1，﹣3），
∴k＝﹣1×（﹣3）＝3，
∴y，
聯(lián)立，解得：（不合題意的值已舍去），
∴D（﹣4，），
由點A、D的坐標得，直線AD的表達式為：y（x﹣4）+3，
設(shè)AD交y軸于點T，則T（0，），
則△AOD的面積OT×（xA﹣xD）（4+4）；
（3）存在，理由如下，
①當四邊形BDEN是平行四邊形時，如圖，
∴yD﹣yB＝y(tǒng)E﹣yN，
∴（﹣3）＝﹣3﹣yN，
∴yN，
把yN代入y得，xN，
∴N（，）；
②當四邊形BDNE是平行四邊形時，如圖，
∴yD﹣yB＝y(tǒng)N﹣yE，
∴（﹣3）＝y(tǒng)N﹣（﹣3），
∴yN，
把yN代入y得，xN＝16，
∴N（16，），
綜上所述，當點N的坐標為（，）或（16，）時，以B，D，E，N為頂點的四邊形是平行四邊形．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
1．（2021?溫州模擬）如圖，在第一象限內(nèi)，點A，B在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，AM⊥x軸于點M（3，0），△AOM的面積為3，BC∥AM交OA于點C，連結(jié)OB．
（1）求出k的值和直線OA的函數(shù)解析式．
（2）當點B的橫坐標為2時，求△OBC的面積．
【答案】（1）k＝6，直線OA的解析式為yx；
（2）．
【分析】（1）由△AOM的面積為3，設(shè)A（x，y），則3，可得xy＝k＝6，設(shè)直線OA的解析式為y＝mx，代入點A（3，2），可得直線OA的解析式為yx；
（2）延長BC交x軸于點N，設(shè)B坐標為（2，m），則2m＝6，解得m＝3．把x＝2代入yx中，得y，所以BC＝3，根據(jù)S△OBC可得答案．
【詳解】解：（1）∵△AOM的面積為3，設(shè)A（x，y），
∴3，
則xy＝6＝k，
故A坐標為（3，2），
設(shè)直線OA的解析式為y＝mx，代入點A（3，2），
得2＝3m，m，
故k＝6，直線OA的解析式為yx；
（2）延長BC交x軸于點N，
設(shè)B坐標為（2，m），
∴2m＝6，m＝3，
把x＝2代入yx中，得y，
即C點縱坐標為，
∴BC＝3，
又ON＝2，
∴S△OBC．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積．掌握以上知識點并學(xué)會綜合運用是關(guān)鍵．
2．（2023?龍港市一模）如圖，已知A的坐標是（4，4），AB⊥x軸于點B，反比例函數(shù)的圖象分別交AO，AB于點C，D，連接OD，△OBD的面積為2．
（1）求k的值和點C的坐標．
（2）若點P（a，b）在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包括邊界），求b的取值范圍．
【答案】（1）k＝4；（2，2）；
（2）1≤b≤2．
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的k值意義，求出k的值即可；先求出正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立正比例函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，求出點C的坐標即可；
（2）先求出點D的坐標，然后根據(jù)點C和D的坐標，求出b的取值范圍即可．
【詳解】解：（1）∵S△OBD＝2，
∴k＝4，
∴反比例函數(shù)為①，
設(shè)直線OA解析式為y＝mx，
將A（4，4）代入得，4m＝4，
∴m＝1，
∴直線OA解析式為y＝x②，
由①②得x2＝4，
∴x＝﹣2（不合題意，舍去），x＝2，
∴C為（2，2）．
（2）將x＝4代入，
得y＝1，
∴點D的坐標為（4，1），
∵點P（a，b）在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包含邊界），且C的坐標為（2，2），
∴由圖象得1≤b≤2．
【點睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，求正比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點坐標，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義．
3．（2023?瑞安市模擬）如圖，直線y＝2x與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，點A的橫坐標為2．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式．
（2）若點P在反比例函數(shù)圖象上，且在直線AB的下方（不與點A，B重合），求點P橫坐標的取值范圍．
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達式為y；
（2）P橫坐標的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞2．
【分析】（1）先將x＝2代入正比例函數(shù)y＝2x，可得出y＝4，求得點A（2，4），代入即可得出k的值；
（2）根據(jù)點A與B關(guān)于原點對稱，得出B點坐標，然后根據(jù)圖象即可求解．
【詳解】解：（1）∵點A在正比例函數(shù)y＝2x上，
∴把x＝2代入正比例函數(shù)y＝2x，
解得y＝4，
∴點A（2，4），
把點A（2，4）代入反比例函數(shù)，得k＝2×4＝8，
∴反比例函數(shù)的表達式為y；
（2）∵點A與B關(guān)于原點對稱，
∴B（﹣2，﹣4），
∵點P在反比例函數(shù)圖象上，且在直線AB的下方（不與點A，B重合），
∴點P橫坐標的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞2．
【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?南明區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y1＝2x+b與反比例函數(shù)（m為常數(shù)，且m≠0）的圖象交于點A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求該反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足y1≤y2的x的取值范圍．
【答案】（1）y；y＝2x+2；
（2）x≤﹣2或0＜x≤1．
【分析】（1）把A點的坐標代入反例函數(shù)解析式即可求出反比例函數(shù)解析式，利用反比例函數(shù)解析式求出B的坐標，把A、B的坐標代入一次函數(shù)解析式即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)A點、B點的坐標結(jié)合圖形寫出y1≤y2的x的取值范圍即可．
【詳解】解：（1）把A（1，4）代入y中，得，
解得m＝4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y；
將A（1，4）代入y＝2x+b中，
得：4＝2×1+b，
解得：b＝2，
∴一次函數(shù)解析式為y＝2x+2；
答：反比例函數(shù)的解析式為y；一次函數(shù)解析式為y＝2x+2．
（2）由圖象得滿足y1≤y2的x的取值范圍為：x≤﹣2或0＜x≤1．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，正確運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?花都區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點A（a，4），與x軸、y軸分別交于點B、C．過點A作AD⊥x軸，垂足為D．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）點P為反比例函數(shù)圖象上的一點，且位于點A的右側(cè)．從條件①或者條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件，求點P的坐標．
條件①：PA＝PD；
條件②：△ABD面積是△PBD面積的2倍．
注明：如果選擇條件①與條件②分別作答，按第一個解答計分．
【答案】（1）y；
（2）①點P的坐標為（4，2）．
②點P的坐標為（4，2）．
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式確定a的值，代入反比例函數(shù)解析式確定k的值，求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）①連接PA，PD，利用求兩點間距離列等式，求出點P的坐標．
②連接PB，PD，根據(jù)點的坐標確定三角形的邊長，求出△ABD面積和△PBD面積，再求出P點的坐標．
【詳解】解：（1）把點A（a，4）代入一次函數(shù)解析式得，
4＝a+2，a＝2，
∴點A為（2，4），
把點A（2，4）代入反比例函數(shù) 得，k＝8，
∴反比例函數(shù)的表達式為：y；
（2）①連接PA，PD，
設(shè)點P坐標為（x，y），由（1）知點A（2，4），點D（2，0），
∵PA＝PD；
∴，
解得：y＝2，
∵P點再y上，
∴x＝4，
∴點P的坐標為（4，2）．
②連接PB，PD，設(shè)點P坐標為（x，y），由（1）知點A（2，4），點D（2，0），
∵一次函數(shù)y＝x+2的圖象與x軸交于點B，
∴點B坐標為（﹣2，0），
∴BD＝4，AD＝4，
∴S△ABDBD×AD4×4＝8，
∵△ABD面積是△PBD面積的2倍，
∴S△PBD＝4BD×y，即44×y，
解得：y＝2，
∵P點再y上，
∴x＝4，
∴點P的坐標為（4，2）．
【點睛】本題考察一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是借助幾何中線段與三角形的面積列等式求出點的坐標．
6．（2023?前郭縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（4，﹣2），B（﹣2，n）兩點，與x軸交于點C．
（1）求k2，n的值；
（2）請直接分別寫出當﹣2＜x＜﹣1時，一次函數(shù)y＝k1x+b和反比例函數(shù)的取值范圍；
（3）將x軸下方的圖象沿x軸翻折，點A落在點A′處，連接A′B，A′C，求△A'BC面積．
【答案】（1）k2＝﹣8，n＝4；
（2）當﹣2＜x＜﹣1時，一次函數(shù) y＝k1x+b 的取值范圍為3＜y＜4，反比例函數(shù) 的取值范圍為4＜y＜8；
（3）8．
【分析】（1）將A點坐標代入求得k2的值；然后將點B代入反比例函數(shù)解析式求得n的值即可；
（2）用函數(shù)的觀點將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題；
（3）求出對稱點坐標，求面積．
【詳解】解：（1）將A（4，﹣2）代入 ，得
k2＝﹣8，
∴該反比例函數(shù)解析式為：．
將B（﹣2，n）代入 ，得n＝4．
綜上所述：k2＝﹣8，n＝4．
（2）當﹣2＜x＜﹣1時，一次函數(shù) y＝k1x+b 的取值范圍為3＜y＜4，反比例函數(shù) 的取值范圍為4＜y＜8．
（3）將A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入y＝k1x+b，得
．
解得．
∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+2，其圖象與x軸交于點C（2，0）．
∴將圖象沿x軸翻折后，得 ．
∴△A′BC的面積為8．
【點睛】本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合題，使用的待定系數(shù)法，考查用函數(shù)的觀點解決不等式問題．
7．（2023?浚縣三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1，3），連接OA．
（1）尺規(guī)作圖：在第一象限作點B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上標注清楚點B）
（2）求線段AB的解析式；
（3）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．點B是否在反比例函數(shù)的函數(shù)圖象上？說明理由．
【答案】（1）見解答；
（2）yx；
（3）點B不在反比例函數(shù)上，理由見解答．
【分析】（1）過點A作圓弧交OA和OA的延長線于點G、H，分別以點G、H為圓心大于AG的長度為半徑作畫弧交于點R，連接AR，以點A為圓心AO長度為半徑作弧交AR于點B，即可求解；
（2）證明△ONA≌△AMB（AAS），得到點B（4，2），進而求解；
（3）將點A的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：k＝1×3＝3，即反比例函數(shù)表達式為：y，進而求解．
【詳解】解：（1）過點A作圓弧交OA和OA的延長線于點G、H，分別以點G、H為圓心大于AG的長度為半徑作畫弧交于點R，
連接AR，以點A為圓心AO長度為半徑作弧交AR于點B，則∠OAB＝90°，AB＝AO；
（2）如圖，過點A作直線MN交y軸于點N，交過點B與y軸的平行線于點M，
∵∠OAB＝90°，則∠BAM+∠NAO＝90°，
∵∠NAO+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠BAM，
∵AB＝OA，∠ONA＝∠AMB＝90°，
∴△ONA≌△AMB（AAS），
∴AM＝ON＝3，BM＝AN＝1，
∴點B（4，2），
設(shè)直線AB的表達式為：y＝k（x﹣1）+3，
將點B的坐標代入上式得：2＝k（4﹣1）+3，
解得：k，
則直線AB的表達式為：y（x﹣1）+3x；
（3）即點B不在反比例函數(shù)上，理由：
將點A的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：k＝1×3＝3，
即反比例函數(shù)表達式為：y，
當x＝4時，y3，即點B不在反比例函數(shù)上．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合應(yīng)用，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)基本知識等，有一定的綜合性，難度適中．
8．（2023?武侯區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝2x+12與反比例函數(shù)的圖象交于A（m，8），B兩點，C為反比例函數(shù)圖象第四象限上的一動點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；
（2）當四邊形ABOC的面積為時，求此時點C的坐標；
（3）我們把對角線互相垂直且相等的四邊形稱為“垂等四邊形”．設(shè)點D是平面內(nèi)一點，是否存在這樣的C，D兩點，使四邊形ABCD是“垂等四邊形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D兩點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y，B（﹣4，4）；
（2）C（11+5，44﹣20）；
（3）存在，C（8，﹣2），D（6，14）．
【分析】（1）根據(jù)直線y＝2x+12與反比例函數(shù)的圖象交于A（m，8），B兩點，可計算m的值，并確定k的值，聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式建立方程組，解方程組可得點B的坐標；
（2）根據(jù)四邊形ABOC的面積為列方程可解答；
（3）如圖2，過點B作BG⊥y軸于G，過點A作AM∥y軸，過點C作CM⊥AM于M，證明∠ABG＝∠GHB，根據(jù)正切的定義可得GH＝2，可得BC的解析式為：yx+2，列方程可得點C的坐標，證明△AMC是等腰直角三角形，可得△FBG也是等腰直角三角形，則F（0，8），根據(jù)AC＝BD列方程可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵點A（m，8）在直線y＝2x+12上，
∴2m+12＝8，
∴m＝﹣2，
∴A（﹣2，8），
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
∴反比例函數(shù)的表達式為：y，
則2x+12，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4，
∴B（﹣4，4）；
（2）如圖1，過點A作AP∥y軸，交OB于P，
設(shè)點C的坐標為（a，），
∵B（﹣4，4），
∴OB的解析式為：y＝﹣x，
當x＝﹣2時，y＝2，
∴P（﹣2，2），
設(shè)AC的解析式為：y＝kx+b，
則，解得：，
∴AC的解析式為：y8，
∴OF＝8，
∵四邊形ABOC的面積為，
∴S△ABP+S梯形APOF+S△COF＝100，
即2×（8﹣2）2（6+8）（8）×a＝100，
解得：a1＝11+5，a2＝11﹣5（舍）；
∴C（11+5，44﹣20）；
（3）存在，
如圖2，過點B作BG⊥y軸于G，過點A作AM∥y軸，過點C作CM⊥AM于M，
在y＝2x+12中，當x＝0時，y＝12，
∴OE＝12，
∵B（﹣4，4），
∴BG＝4，EG＝12﹣4＝8，
∵四邊形ABCD是“垂等四邊形”，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠ACB+∠CBF＝90°，
∵∠ABD＝∠ACB，
∴∠ABD+∠CBF＝90°，即∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠HBG＝90°，
∵∠HBG+∠GHB＝90°，
∴∠ABG＝∠GHB，
∴tan∠ABG＝tan∠GHB，即，
∴，
∴GH＝2，
設(shè)直線BC的解析式為：y＝nx+2，
將點B的坐標（﹣4，4）代入得：﹣4n+2＝4，
∴n，
∴BC的解析式為：yx+2，
∴x+2，
解得：x＝8或﹣4（舍），
∴C（8，﹣2）；
∵A（﹣2，8），
∴AM＝CM＝10，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠CAM＝45°，
∴∠FBG＝∠CAM＝45°，
∴△FBG也是等腰直角三角形，
∴BG＝FG＝4，
∴F（0，8），
同理得：BF的解析式為：y＝x+8，
設(shè)D（x，x+8），
∵AC＝BD，
∴（8+2）2+（8+2）2＝（x+4）2+（x+8﹣4）2，
解得：x1＝6，x2＝﹣14（舍），
∴D（6，14）．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)知識的綜合運用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟，正確求出雙曲線與直線的交點坐標是解題的關(guān)鍵．
9．（2023?張家口二模）如圖，在一段長為660km的高速公路上，規(guī)定汽車行駛速度最低為60km/h，最高為110km/h．
（1）直接填空：
①當行駛速度為100km/h，需要 6.6 h走完這段路；
②行駛完這段路恰好用了8.8h，行駛速度是 75 km/h．
（2）請根據(jù)以上背景，自己設(shè)定變量建立一個合理的函數(shù)關(guān)系，這個函數(shù)關(guān)系式中要把“660km”這個數(shù)據(jù)用上，并寫出自變量取值范圍．
（3）自己先提出一個問題，然后自己再回答它．要求：這個問題的解決要把“（2）中的函數(shù)關(guān)系式”、“60km/h”和“110km/h”都用上．
【答案】（1）6.6；
（2）75；
（3）見解析；
（4）見解析；
【分析】（1）根據(jù)時間＝路程÷速度即可求解；
（2）根據(jù)速度＝路程÷時間即可求解；
（3）設(shè)汽車行駛所需時間為yh，汽車行駛速度為xkm/h，根據(jù)速度、時間路程之間的關(guān)系可得函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)汽車行駛速度最低為60km/h，最高為110km/h可得自變量的取值范圍；
（4）問題：若汽車行駛完這段路程用了7.5h，判斷汽車速度是否符合要求．令y7.5，解得x＝88，根據(jù)x的取值范圍即可判斷．
【詳解】解：（1）660÷100＝6.6（h），
∴當行駛速度為100km/h，需要6.6h走完這段路；
故答案為：6.6；
（2）660÷8.8＝75（km/h），
∴行駛完這段路恰好用了8.8h，行駛速度是75km/h；
故答案為：75；
（3）設(shè)汽車行駛所需時間為yh，汽車行駛速度為xkm/h，
y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（60≤x≤110）；
（4）問題：若汽車行駛完這段路程用了7.5h，判斷汽車的行駛速度是否符合要求．
令y7.5，
解得：x＝88，
∵60＜88＜110，
∴汽車的行駛速度符合要求．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意，熟知速度、時間路程之間的關(guān)系，以此得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
10．（2023?金牛區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A（a，﹣2），B兩點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）點C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，求點C的橫坐標；
（3）將△AOB在平面內(nèi)沿某個方向平移得到△DEF（其中點A、O、B的對應(yīng)點分別是D、E、F），若D、F同時在反比例函數(shù)的圖象上，求點E的坐標．
【答案】（1）反比例函數(shù)解析式y(tǒng)；
（2）C點的橫坐標為或；
（3）點E的坐標為（2，﹣4）．
【分析】（1）將點A（a，﹣2）代入y＝2x+4，可得點A的坐標，從而得出答案；
（2）首先求出點B的坐標，在點B下方的y軸上取點C，使BC＝8，則S△ABC＝4，過點C作CP∥AB，交雙曲線于P，得出直線CP的解析式為y＝﹣2x﹣4，與雙曲線求交點即可得出點P的坐標，當點P在點A上方時，同理可求；
（3）由平行四邊形和反比例函數(shù)的對稱性可知B與D，A與F關(guān)于原點對稱，即可求得F（3，2），根據(jù)B、F的坐標得到平移的距離，從而求得點E的坐標．
【詳解】解：（1）將點A（a，﹣2）代入y＝2x+4得，﹣2＝2a+4，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，﹣2），
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，
∴k＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴反比例函數(shù)解析式y(tǒng)；
（2）解，得或，
∴B（1，6），
設(shè)直線y＝2x+4與y軸交于M，
∴M（0，4），
∴點C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，
在點M下方的y軸上取OM的中點D，過點D作CD∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點C，
∴直線CD的解析式為y＝2x+2，
∴2x+2，
解得x1，x2（舍），
∴C點的橫坐標為，
在點M上方的y軸上取ME＝2，過點E作CE∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點C，
同理可得C點的橫坐標為，
綜上：C點的橫坐標為或；
（3）由題意可知AB＝DF，AB∥DF，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
由反比例函數(shù)與平行四邊形是中心對稱圖形可知，B與D，A與F關(guān)于原點對稱，
∴F（3，2），
∵B（1，6），
∴點B向右平移2個單位，向下平移4個單位得到點F，
∴點E的坐標為（2，﹣4）．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形面積，平移的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?嶗山區(qū)一模）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5與反比例函數(shù) 的圖象在第一象限相交于A，B兩點，點B坐標是（n，1），AC垂直x軸交x軸于點C，O為坐標原點，AC＝4OC，連接BC．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若點D在x軸上，△BCD的面積和△ABC的面積相等，求點D的坐標．
【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y；
（2）D（13，0）或（﹣11，0）．
【分析】（1）設(shè)OC＝a，則AC＝4OC＝4a，可得A（a，4a），把點A代入一次函數(shù)解析式即可求出a的值，進而表示出點A的坐標，利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）將一次函數(shù)和反比例函數(shù)聯(lián)立求出點B的坐標，利用面積公式求得△ABC的面積，根據(jù)題意點D在x軸上，△ABD的面積和△ABC的面積相等，可得到CD?yB＝6，求得CD的長，進而求得點D的坐標．
【詳解】解：（1）設(shè)OC＝a，則AC＝4OC＝4a，
∴C（a，0），A（a，4a），
∵一次函數(shù)y＝﹣x+5 的圖象經(jīng)過點A，
∴4a＝﹣a+5，解得a＝1，
∴A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函數(shù) 得：k＝1×4＝4，
∴反比例函數(shù)解析式為y；
（2）由，解得或，
∴B（4，1），
∵A（1，4），
∴S△ABC6，
∵△ABD的面積和△ABC的面積相等，
∴CD?yB＝6，即，
∴CD＝12，
∴D（13，0）或（﹣11，0）．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及到待定系數(shù)法求解析式、三角形面積以及求函數(shù)交點坐標，能夠數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?城關(guān)區(qū)一模）如圖，一次函數(shù)y＝x+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，3），B兩點，與y軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝x+b的表達式；
（2）若點P（t，0）是x軸負半軸上一點，過點P作PQ⊥x軸交反比例函數(shù)的圖象于點Q，連接CP，OQ．當時，求點P的坐標．
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達式為，一次函數(shù)的表達式為y＝x+2；
（2）P點的坐標（﹣1，0）．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）利用點P坐標和三角形的面積公式列方程求解即可．
【詳解】解：（1）將A（1，3）在反比例函數(shù)圖象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函數(shù)的表達式為，
將A（1，3）代入y＝x+b得3＝1+b，
解得b＝2，
∴一次函數(shù)的表達式為y＝x+2；
（2）∵y＝x+2中，當x＝0時，y＝2，
∴C（0，2），
∵S四邊形COQP＝S△OPQ+S△OPC，且，
∴，
∴|t|＝1，
∵t＜0，
∴P點的坐標（﹣1，0）．
【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形面積，求得函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵．
13．（2023?拱墅區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)，k是常數(shù)，a≠0，k≠0）的圖象交于第一象限C（1，4），D（4，m）兩點，與坐標軸交于A、B兩點，連接OC，OD．（O是坐標原點）
（1）求一次函數(shù)y1與反比例函數(shù)y2的表達式；
（2）直接寫出當y2＞y1時x的取值范圍；
（3）將直線AB向下平移多少個單位長度，直線與反比例函數(shù)圖象只有一個交點？
【答案】（1）y＝﹣x+5，y；
（2）0＜x＜1或x＞4；
（3）將直線AB向下平移1或9個單位長度，直線與反比例圖象只有一個交點．
【分析】（1）根據(jù)題意，由待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式直接代入點列方程及方程組求解即可得到答案；
（2）根據(jù)圖象即可求解；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象平移，設(shè)直線AB向下平移n個單位長度，此時直線AB對應(yīng)的表達式為y＝﹣x+5﹣n，聯(lián)立方程組，消去y整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，結(jié)合圖象只有一個交點，確定x2﹣（5﹣n）x+4＝0只有一個解，即Δ＝[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，解一元二次方程即可得到答案．
【詳解】解：（1）把C（1，4）代入，k是常數(shù)，a≠0，k≠0），得k＝4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y，
把（4，m）代入y，得m＝1，
∴D（4，1），
把C（1，4），D（4，1）坐標分別代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+5；
（2）由圖可知，當y2＞y1時x的取值范圍為：0＜x＜1或x＞4；
（3）設(shè)直線AB向下平移n個單位長度，此時直線AB對應(yīng)的表達式為y＝﹣x+5﹣n，
聯(lián)立方程組得，
消去y得﹣x+5，
整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，
∵由于直線與反比例函數(shù)圖象只有一個交點，
∴Δ＝0，即[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，整理得n2﹣10n+9＝0，解得n1＝1，n2＝9，
∴將直線AB向下平移1或9個單位長度，直線與反比例圖象只有一個交點．
【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、利用函數(shù)圖象解不等式、函數(shù)圖象平移及圖象交點與一元二次方程解得情況等知識點是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2023?尋烏縣一模）如圖，直線y＝ax+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與雙曲線相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC＝4，點A的坐標為（﹣4，0）．
（1）求一次函數(shù)和雙曲線的解析式；
（2）若點Q為雙曲線上點P右側(cè)的一點，且QH⊥x軸于H，當△ABO∽△CQH時，求點Q的坐標．
【答案】（1）一次函數(shù)表達式為：，反比例函數(shù)表達式為：；
（2）Q（8，2）．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）當△ABO∽△CQH時，則，設(shè)HQ為x，則CH＝2x，則Q（4+2x，x）代入反比例解析式得：，進而求解．
【詳解】解：（1）∵A的坐標為（﹣4，0），代入直線y＝ax+2，
∴0＝﹣4a+2，
解得：，
∴，
∵PC＝4，即點P的縱坐標為4，
則，
解得：x＝4，
即P（4，4），
將P（4，4）代入，
∴，
解得：k＝16，
∴；
（2）當△ABO∽△CQH時，
∴，
設(shè)HQ為x，則CH＝2x，
∴Q（4+2x，x）代入反比例解析式得：，
解得：x＝﹣4或2，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴Q（8，2）．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)和反比例函數(shù)的基本性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中．
15．（2023?京口區(qū)模擬）平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象與一次函數(shù)y＝kx﹣2k圖象交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)）
（1）求A、B兩點的坐標（用含k的代數(shù)式表示）；
（2）當k＝2時，過y軸正半軸上一動點C（0，n）作平行于x軸的直線，分別與一次函數(shù)y＝kx﹣2k、反比例函數(shù)y的圖象相交于D、E兩點，若CD＝3DE，求n的值；
（3）若一次函數(shù)y＝kx﹣2k圖象與x軸交于點F，AF+BF≤5，直接寫出k的取值范圍．
【答案】（1）A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；
（2）或；
（3）k，且k≠0．
【分析】（1）將兩個解析式聯(lián)立求解，即可得到A、B的坐標；
（2）因為過C（0，n）的直線平行于x軸，可得點D、E的縱坐標都為n．將y＝n代入y＝2x﹣4和，得和，分當0＜n＜2時和當n＞2時兩種情況，分別表示出CD與DE，根據(jù)CD＝3DE列方程即可求解；
（3）結(jié)合（1），根據(jù)AF+BF≤5，即AB≤5，得到關(guān)于k的不等式，即可求解．
【詳解】解：（1）聯(lián)立解析式得：
，
解得或，
∵點A在點B左側(cè)，
∴A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；
（2）∵k＝2，
∴反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式為和y＝2x﹣4，點B（3，2），
∵過C（0，n）的直線平行于x軸，
∴點D、E的縱坐標都為n．
將y＝n代入y＝2x﹣4和，
得：xD2，xE，
當0＜n＜2時，如圖：
∴CD2，DE2，
∵CD＝3DE，
∴2＝3（2），
整理，得n2+4n﹣9＝0，
解得n＝﹣2或n＝﹣2（舍去）；
∴n＝﹣2；
當n＞2時，如圖：
，，
∴CD2，DE＝2，
∵CD＝3DE，
∴2＝3（2），
整理，得n2+4n﹣18＝0，
解得n＝﹣2或n＝﹣2（舍去），
∴n＝﹣2，
綜上所述：n的值為或；
（3）由（1）知A（﹣1，﹣3k），B（3，k），
∵AF+BF≤5，AF+BF＝AB，
∴AB≤5，
∴5，
整理，得k2，
∴k，
∴k的取值是k，且k≠0．
【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了雙曲線與直線的交點，兩點間距離公式，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，根的判別式，掌握兩個函數(shù)圖象交點與方程組的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?鎮(zhèn)平縣模擬）如圖，點A在反比例函數(shù) 的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為3．
（1）求k的值；
（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠OAB的平分線；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）
（3）設(shè)（2）中的角平分線與x軸相交于點C，延長AB到D，使AD＝AO，連接DC并延長交y軸于點E．求證：DE⊥OA．
【答案】（1）k＝﹣6；
（2）見解答；
（3）見解答．
【分析】（1）由反比函數(shù)k值的意義即可求解；
（2）如圖，以點A為圓心，作弧交AB、AO于點M、N，分別以點M、N為圓心大于MN為半徑作弧，交于點F，則AF為∠OAB的平分線；
（3）證明AC、OB是△ADO的高，點C是兩個高的交點，即可求解．
【詳解】（1）解：由反比函數(shù)k值的意義知，|k|＝2S△AOB＝6，
則k＝﹣6；
（2）解：如圖，以點A為圓心，作弧交AB、AO于點M、N，
分別以點M、N為圓心大于MN為半徑作弧，交于點F，則AF為∠OAB的平分線；
（3）證明：∵AF為∠OAB的平分線，AD＝AO，
∴AC⊥OD，
∵OB⊥AD，
即AC、OB是△ADO的高，點C是兩個高的交點，
故DE也是△ADO的高，
即DE⊥OA．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及到三角形高問題、反比例函數(shù)k值的意義、幾何作圖等，有一定的綜合性，難度不大．
17．（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖，點A（m，3）為函數(shù)圖象上一點，連接OA，點B在線段OA上，且OA：OB＝3，C是x軸的正半軸上一點，連接AC，S△ABC＝6．
（1）求點B的坐標；
（2）若M是線段AC上一點，且∠AOM＝15°，求△OCM的面積．
【答案】（1）點M（9﹣3，33）；（2）9．
【分析】（1）由OB：OA＝OH：ON，得到OH＝1，進而求解；
（2）由S△ABC＝6＝S△ACO﹣S△AOB，得到CO＝6，設(shè)點M（m，﹣m+6），由tan∠MON，進而求解．
【詳解】解：（1）將點A的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：k＝3m＝9，
解得：m＝3，即點A（3，3）；
分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為N、H，
∴OB：OA＝OH：ON，
即OB：OA＝3：1＝OH：ON＝OH：3，
即OH＝1，同理可得，BH＝1，
即點B（1，1）；
（2）∵S△ABC＝6＝S△ACO﹣S△AOBCO×（yA﹣yB）CO×（3﹣1），
解得：CO＝6，
由A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y＝﹣x+6，
設(shè)點M（m，﹣m+6），
∵OH＝HB＝1，則∠AOH＝45°，
∵∠AOM＝15°，則∠MON＝30°，
則tan∠MON，
解得：m＝9﹣3，
則點M（9﹣3，33），
則△OCM的面積CO×yM6×（3）＝9．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及到三角形的面積計算、一次函數(shù)的基本性質(zhì)、解直角三角形等，有一定的綜合性，難度適中．
18．（2022?沙市區(qū)模擬）探究分段函數(shù)y的圖象與性質(zhì)．
列表：
描點：描出相應(yīng)的點，并連線，如圖所示結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)，回答下列問題：
（1）點A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函數(shù)圖象上，則y1 ＞ y2，x1 ＞
x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）當函數(shù)值y＝2時，自變量x的值為 ﹣1或1 ；
（3）在直角坐標系中作出y＝x的圖象；
（4）當方程x+b有三個不同的解時，則b的取值范圍為 0＜b＜1 ．
【答案】（1）＞，＞；
（2）﹣1或1；
（3）函數(shù)圖象見解析；
（4）0＜b＜1．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的增減性即可比較；
（2）根據(jù)圖象求解即可；
（3）根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象即可；
（4）根據(jù)圖象即可求出b的取值范圍．
【詳解】解：（1）∵點A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函數(shù)圖象上，
根據(jù)圖象可知，當x＞1時，y隨著x增大而減小，當y＞2時，y隨著x增大而減小，
∵3＜5，6，
∴y1＞y2，x1＞x2，
故答案為：＞，＞；
（2）當函數(shù)值y＝2時，x的值為﹣1或1，
故答案為：﹣1或1；
（3）函數(shù)圖象如圖所示：
（4）當y＝x+b過點（1，2）時，
可得1+b＝2，
解得b＝1，
∴當方程x+b有三個不同的解時，則b的取值范圍為0＜b＜1，
故答案為：0＜b＜1．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2021?樊城區(qū)一模）小云同學(xué)根據(jù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對函數(shù)y進行探究，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，3），（5，1）．
（1）填空：a＝ ﹣3 ，b＝ ；
（2）補充表格，在平面直角坐標系中，描出表中各組值對應(yīng)坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；
（3）觀察函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的描述正確的有： ①②④ ；
①當x≤﹣1時，y隨x的增大而增大；
②當x＞﹣1時，y隨x的增大而減?。?br>③函數(shù)y的圖象關(guān)于直線x＝﹣1軸對稱；
④當x＝﹣1時，函數(shù)值y取得最大值．
（4）過點（0，m）作直線l平行于x軸，若直線l與函數(shù)y有兩個交點，則m的取值范圍是 0＜m＜3 ．
【答案】（1）﹣3；；（2）1；；（3）①②④；（4）0＜m＜3
【分析】本題考察的是分段函數(shù)圖象的理解．
【詳解】由題意可得（﹣1，3）在反比例函數(shù)圖象上，（5，1）在一次函數(shù)的圖象上，（1）故可以得出a＝﹣3，b，同理（1）可得（2）中的兩空為1和；
（3）①在x≤﹣1時，為反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象，此時y隨x的增大而增大，故①正確；
②在x＞﹣1時，為一次函數(shù)的圖象，∵，∴此時y隨x的增大而減小，故②正確；
③結(jié)合圖象可以得出該分段函數(shù)的圖象沒有對稱軸（∵x≤﹣1時為曲線，x＞﹣1時為直線），故③錯誤
④結(jié)合圖象可以得出x＝﹣1時，有最大值為3
（4）結(jié)合圖象可以看出，當0＜m＜3時，直線l與該分段函數(shù)的圖象有兩個交點
【點睛】數(shù)形結(jié)合
20．（2023?越秀區(qū)一模）如圖，點A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為C、D，AC與BD相交于點E．
（1）根據(jù)圖象直接寫出y1、y2的大小關(guān)系，并通過計算加以驗證；
（2）結(jié)合以上信息，從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求k的值．
條件①四邊形OCED的面積為2；
條件②BE＝2AE．
【答案】（1）y1＞y2；見解析；
（2）選擇條件①，k＝﹣6；選擇條件②k＝﹣6．
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得y1＞y2，再將點A（﹣2，y1），（B（﹣6，y2）代入反比例函數(shù)的解析式分別求出y1、y2的值，由此即可加以驗證；
（2）選擇條件①：先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得OD?OC＝2，再根據(jù)點A，B的坐標可得OC＝2，OD＝y(tǒng)2，從而可得y2＝1，B（﹣6，1），利用待定系數(shù)法求解即可得；選擇條件②：先求出OC＝2，AC＝y(tǒng)1，DB＝6，OD＝y(tǒng)2，再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得DE＝OC＝2，CE＝OD＝y(tǒng)2，從而可得BE＝4，AE＝2，代入可得y1﹣y2＝2，然后根據(jù)即可得．
【詳解】解：（1）因為函數(shù)圖象從左往右是上升的，即自變量增大，函數(shù)值也隨之增大，
所以y1＞y2；
驗證如下：
當x＝﹣6時，；
當x＝﹣2時，，
∵，k＜0，
∴y1﹣y2＞0即y1＞y2．
（2）選擇條件①四邊形OCED的面積為2，求解如下：
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，OC⊥OD，
∴四邊形OCED是矩形，
∴OD?OC＝2，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，OD＝y(tǒng)2，
解得y2＝1，
∴B（﹣6，1），
將點B（﹣6，1）代入得：
k＝﹣6×1＝﹣6．
選擇條件②BE＝2AE，求解如下：
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，AC＝y(tǒng)1，DB＝6，OD＝y(tǒng)2，
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，OC⊥OD，
∴四邊形OCED是矩形，
∴DE＝OC＝2，CE＝OD＝y(tǒng)2，
∴BE＝DB﹣DE＝4，
∴，
又∵AE＝AC﹣CE＝y(tǒng)1﹣y2，
∴y1﹣y2＝2，
由（1）可知，，
∴，
解得k＝﹣6．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
21．（2023?萊蕪區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線經(jīng)過B、C兩點，△ABC為直角三角形，AC∥x軸，AB∥y軸，A（8，4），AC＝3．
（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；
（2）點M是y軸正半軸上的動點，連接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
②點N是反比例函數(shù)的圖象上的一個點，若△CMN是以CN為直角邊的等腰直角三角形時，求所有滿足條件的點N的坐標．
?
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達式為y，B的坐標為（8，）；
（2）①MB+MC的最小值是；
②N的坐標為（，9）或（22，22）．
【分析】（1）求出C（5，4），用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的表達式為y，令x＝8得B的坐標為（8，）；
（2）①作C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接BC'交y軸于M，此時MB+MC最小，由C（5，4），B（8，），可得C'（﹣5，4），BC'，即可得到答案；
②設(shè)M（0，m），N（n，），分兩種情況：當C為直角頂點時，過C作TK∥y軸，過N作NT⊥TK于T，過M作MK⊥TK于K，由△CMN的等腰直角三角形，證明△CMK≌△NCT（AAS），可得，即可解得N（，9）；當N為直角頂點時，過N作RS⊥y軸于S，過C作CR⊥RS于R，同理可得，解得N（22，22）．
【詳解】解：（1）∵A（8，4），AC＝3，
∴C（5，4），
將C（5，4）代入y得：
4，
解得k＝20，
∴反比例函數(shù)的表達式為y，
在y中，令x＝8得y，
∴B的坐標為（8，）；
（2）①作C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接BC'交y軸于M，此時MB+MC最小，如圖：
∵C，C'關(guān)于y軸對稱，
∴MB+MC＝MB+MC'，
當B，M，C'共線時，MB+MC'最小，即MB+MC最小，最小值為BC'的長度，
由（1）知C（5，4），B（8，），
∴C'（﹣5，4），
∴BC'，
∴MB+MC的最小值是；
②設(shè)M（0，m），N（n，），
當C為直角頂點時，過C作TK∥y軸，過N作NT⊥TK于T，過M作MK⊥TK于K，如圖：
∵△CMN的等腰直角三角形，
∴CM＝CN，∠MCK＝90°﹣∠NCT＝∠CNT，
∵∠K＝90°＝∠T，
∴△CMK≌△NCT（AAS），
∴CK＝NT，MK＝CT，
∴，
解得n，
∴N（，9）；
當N為直角頂點時，過N作RS⊥y軸于S，過C作CR⊥RS于R，如圖：
同理可得SN＝RC，SM＝NR，
∴，
解得n＝22或n＝﹣22（舍去），
∴N（22，22）；
綜上所述，N的坐標為（，9）或（22，22）．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標和相關(guān)線段的長度．
22．（2023?信陽模擬）如圖，已知一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與函數(shù)（x＞0）的圖象交于A（6，），B（，n）兩點，與y軸交于點C，將直線AB沿y軸向上平移t個單位長度得到直線DE，DE與y軸交于點F．
（1）求y1與y2的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出y1＜y2時x的取值范圍；
（3）連接AD，CD，若△ACD的面積為4，則t的值為 ．
【答案】（1）y2，y1＝x；
（2）x＜6；
（3）．
【分析】（1）將點A（6，）代入（x＞0）中，求反比例函數(shù)的解析式；通過解析式求出B點坐標，然后將點A、B代入y1＝kx+b，即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）通過觀察圖象即可求解；
（3）由題意先求出直線DE的解析式為y＝xt，過點F作GF⊥AB于點G，連接AF，由∠OCA＝45°，求出FGt，再求出AC＝6，由平行線的性質(zhì)可知S△ACD＝S△ACF，則4，即可求t．
【詳解】解：（1）將點A（6，）代入（x＞0）中，
∴m＝﹣3，
∴y2，
∵B（，n）在y2中，可得n＝﹣6，
∴B（，﹣6），
將點A、B代入y1＝kx+b，
∴，
解得，
∴y1＝x；
（2）∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點為A（6，），B（，﹣6），
∴x＜6時，y1＜y2；
（3）在y1＝x中，令x＝0，則y，
∴C（0，），
∵直線AB沿y軸向上平移t個單位長度，
∴直線DE的解析式為y＝xt，
∴F點坐標為（0，t），
過點F作GF⊥AB于點G，連接AF，
直線AB與x軸交點為（，0），與y軸交點C（0，），
∴∠OCA＝45°，
∴FG＝CG，
∵FC＝t，
∴FGt，
∵A（6，），C（0，），
∴AC＝6，
∵AB∥DF，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴4，
∴t，
故答案為：．
【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2023?大慶一模）設(shè)函數(shù)，函數(shù)y2＝k2x+b（k1，k2，b是常數(shù)，k1≠0，k2≠0）．
（1）如圖①，若函數(shù)y1和函數(shù)y2的圖象交于點A（1，m），B（3，1），
①求 y1，y2 的函數(shù)表達式；
②直接寫出當y1＞y2時，自變量x的取值范圍；
（2）如圖②，若點C（1，n）在函數(shù)y1的圖象上，點C先向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得點D，點D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，點P在y軸上，求△PCD周長的最小值．
【答案】（1）①，y2＝﹣x+4；
②0＜x＜1或x＞3；
（2）△PCD周長的最小值為 ．
【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
②利用函數(shù)圖象分析比較；
（2）根據(jù)平移確定點D的坐標，然后利用函數(shù)圖象上點的坐標特征代入求得n＝4，即可求得C（1，4），D（2，2），作C點關(guān)于y軸的對稱點C′，連接C′D，交y軸于點P，此時△PCD周長的最小，最小值為C′D+CD．
【詳解】解：（1）①把點B（3，1）代入 ，得 k1＝3，
∴y1 的函數(shù)表達式為 ，
把點A（1，m）代入 ，得m＝3，
把點A（1，3），B（3，1）代入 y2＝k2x+b，得 ，
解得，
∴y2 的函數(shù)表達式為 y2＝﹣x+4；
②觀察圖象，當y1＞y2時，自變量x的取值范圍是0＜x＜1或x＞3；
（2）點C（1，n）向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，可得點D的坐標為（2，n﹣2）．
∵C，D兩點均在 y3 上，
∴2（n﹣2）＝n，解得n＝4，
此時點C（1，4），D（2，2），，
∵點C關(guān)于y軸的對稱點C′為（﹣1，4），
∴CD，
∴△PCD周長的最小值為 ．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，理解反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
24．（2023?成都模擬）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，已知點A（﹣6，0）、D（﹣7，3），點B、C在第二象限內(nèi)．
（1）點B的坐標（ ﹣3，1 ）；
（2）將正方形ABCD以每秒2個單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時刻t，使在第一象限內(nèi)點B、D兩點的對應(yīng)點B′、D′正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求出此時t的值以及這個反比例函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的情況下，問是否存在y軸上的點P和反比例函數(shù)圖象上的點Q，使得以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）（﹣3，1）；
（2），；
（3）存在，或或．
【分析】（1）先求出OA＝6，OG＝7，DG＝3，再判斷△DGA≌△AHB，得DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，即可得出答案；
（2）先根據(jù)運動表示出點B′，D′的坐標，進而求出k，t，即可得出結(jié)論；
（3）先求出點B′，D′的坐標，再分三種情況討論，利用平行四邊形的對角線互相平分建立方程求出解，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）過點B，D作BH⊥x軸，DG⊥x軸交于點H，G，
∵點A（﹣6，0），D（﹣7，3），
∴OA＝6，OG＝7，DG＝3，
∴AG＝OG﹣OA＝1．
∵∠DAG+∠BAH＝90°，∠DAG+∠GDA＝90°，
∴∠GDA＝∠BAH．
又∠DGA＝∠AHB＝90°，AD＝AB，
∴△DGA≌△AHB（AAS），
∴DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，
∴點B的坐標是（﹣3，1）；
故答案為：﹣3，1；
（2）由（1），得點B（﹣3，1），D（﹣7，3），
∴運動t秒時，點D′（﹣7+2t，3），B′（﹣3+2t，1）．
設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，
∵點B′，D′在反比例函數(shù)圖象上，
∴k＝（﹣7+2t）×3＝（﹣3+2t）×1，
解得，k＝6，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為；
（3）存在，理由：由（2）知，點D′（﹣7+2t，3），B′（﹣3+2t，1），，
∴D′（2，3），B′（6，1），反比例函數(shù)關(guān)系式為，
設(shè)點Q，點P（0，s）．
以點PQB′D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴①當PQ與B′D′是對角線時，
∴，，
解得m＝8，，
∴，；
②當PB′與QD′是對角線時，
∴，，
解得m＝4，，
∴，；
③當PD′與QB′是對角線時，
∴，，
解得m＝﹣4，，
∴，．
綜上所述：或或．
【點睛】本題屬于反比例函數(shù)的綜合題目，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
b
﹣3.8
……
x
…
﹣1

0

1

2
…
y
…
2
1
0
1
2

1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…
1

3
1
…

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