類型一、反比例函數(shù)的性質(zhì)
例1．（2023?黔江區(qū)一模）設(shè)函數(shù)y1=kx，y2=?kx（k＞0）．
（1）當1≤x≤2時，函數(shù)y1的最大值是a，函數(shù)y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；
（2）設(shè)m≠0且m≠1，當x＝m時，y2＝p；當x＝m﹣1時，y2＝q，芳芳說：“p一定大于q”．你認為芳芳的說法正確嗎？為什么？
類型二、反比例函數(shù)的圖象問題
例2．（2023春?北湖區(qū)校級月考）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程，結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)y=6|x|?|x|的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．
（1）繪制函數(shù)圖象
①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中a＝ ，b＝ ．
②描點：請根據(jù)表中所給的數(shù)值在圖中描點；
③連線：請結(jié)合反比例函數(shù)圖象的特征，畫出函數(shù)圖象．
（2）探究函數(shù)性質(zhì)
①當x＞0時，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而 ；（填“減小”或“增大”）
②函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱；
（3）運用函數(shù)圖象及性質(zhì)
①點A（﹣7，y1），B（?52，y2），C（72，y3）在函數(shù)圖象上，請比較y1，y2，y3的大?。? ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
②點D（x1，52），E（x2，6）在函數(shù)圖象上，請比較x1，x2的大?。? ）
A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．不確定
③寫出方程6|x|?|x|=5的解 ；
④寫出不等式6|x|?|x|≤1的解集 ．
類型三、反比例函數(shù)與一次函數(shù)
例3．（2023?張店區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，4）在反比例函數(shù)y=k1x第一象限的圖象上，將點A先向左平移5個單位長度，再向下平移m個單位長度后得到點C，點C恰好落在反比例函數(shù)y=k1x第三象限的圖象上，經(jīng)過O，C兩點的直線y＝k2x交反比例函數(shù)第一象限的圖象于點B．
（1）求反比例函數(shù)y=k1x和直線y＝k2x的表達式；
（2）連接AC，AB，求△ABC的面積；
（3）請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式k1x＞k2x的解集．
類型四、反比例函數(shù)的面積問題
例4．（2023?立山區(qū)校級一模）如圖，已知反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，2），過A作AC
⊥y軸于點C．點B為反比例函數(shù)圖象上的一動點，過點B作BD⊥x軸于點D，連接AD．直線BC與x軸的負半軸交于點E．
（1）當E的坐標為（﹣2，0）時，求點B的坐標；
（2）若BD＝3OC，求四邊形ACED的面積．
類型五、反比例函數(shù)的應用
例5．（2023?乳山市模擬）為預防流感，學校對教室采取藥熏法消毒．已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例函數(shù)關(guān)系，藥物燃燒完后，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系（如圖示）．現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6毫克．
研究表明：
①當空氣中每立方米含藥量低于1.6毫克時學生方可進教室；
②當空氣中每立方米含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌．
依據(jù)信息，解決下列問題：
（1）從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學生才能回到教室？
（2）你認為此次消毒是否有效？并說明理由．
類型六、反比例函數(shù)與幾何問題
例6．（2023?平陰縣一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點P（﹣1，2），AB⊥x軸于點E，正比例函數(shù)y＝mx的圖象與反比例函數(shù)y=n?3x的圖象相交于A、P兩點．
（1）求m、n的值；
（2）求證：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
類型七、反比例函數(shù)與壓軸問題
例7．（2023春?吳江區(qū)期中）如圖，四邊形AOBC是菱形，點B在x的正半軸上，直線AB交y軸于點D軸交y軸于點E，反比例函數(shù)y=?12x(x＜0)的圖象經(jīng)過點A（m，4）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，點P是直線AB上一動點，點M是x軸上一動點（點M不與點O點重合）．當PO最小時，求點P的坐標；
（3）如圖2，點N從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線A﹣C﹣B運動，到達B點時停止，設(shè)點
N的運動時間為t秒，△NDC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
類型八、反比例函數(shù)與存在性問題
例8．（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點C在x軸負半軸上，四邊形OABC為菱形，反比例函數(shù)y=?12x（x＞0）經(jīng)過點A（a，﹣3），反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＜0）經(jīng)過點B，且交BC邊于點D，連接AD．
（1）求直線BC的表達式；
（2）連接OD，求△AOD的面積；
（3）如圖2，P是y軸負半軸上的一個動點，過點P作y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=?12x（x＞0）于點N．在點P運動過程中，直線AB上是否存在點E，使以B，D，E，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
一．解答題（共24小題）
1．（2021?溫州模擬）如圖，在第一象限內(nèi)，點A，B在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上，AM⊥x軸于點M（3，0），△AOM的面積為3，BC∥AM交OA于點C，連結(jié)OB．
（1）求出k的值和直線OA的函數(shù)解析式．
（2）當點B的橫坐標為2時，求△OBC的面積．
2．（2023?龍港市一模）如圖，已知A的坐標是（4，4），AB⊥x軸于點B，反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象分別交AO，AB于點C，D，連接OD，△OBD的面積為2．
（1）求k的值和點C的坐標．
（2）若點P（a，b）在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包括邊界），求b的取值范圍．
3．（2023?瑞安市模擬）如圖，直線y＝2x與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象交于A，B兩點，點A的橫坐標為2．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式．
（2）若點P在反比例函數(shù)圖象上，且在直線AB的下方（不與點A，B重合），求點P橫坐標的取值范圍．
4．（2023?南明區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y1＝2x+b與反比例函數(shù)y2=mx（m為常數(shù)，且m≠0）的圖象交于點A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求該反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足y1≤y2的x的取值范圍．
5．（2023?花都區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象相交于點A（a，4），與x軸、y軸分別交于點B、C．過點A作AD⊥x軸，垂足為D．
（1）求反比例函數(shù)y=kx的表達式；
（2）點P為反比例函數(shù)y=kx(x＞0)圖象上的一點，且位于點A的右側(cè)．從條件①或者條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件，求點P的坐標．
條件①：PA＝PD；
條件②：△ABD面積是△PBD面積的2倍．
注明：如果選擇條件①與條件②分別作答，按第一個解答計分．
6．（2023?前郭縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=k2x的圖象交于A（4，﹣2），B（﹣2，n）兩點，與x軸交于點C．
（1）求k2，n的值；
（2）請直接分別寫出當﹣2＜x＜﹣1時，一次函數(shù)y＝k1x+b和反比例函數(shù)y=k2x的取值范圍；
（3）將x軸下方的圖象沿x軸翻折，點A落在點A′處，連接A′B，A′C，求△A'BC面積．
7．（2023??？h三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1，3），連接OA．
（1）尺規(guī)作圖：在第一象限作點B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上標注清楚點B）
（2）求線段AB的解析式；
（3）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．點B是否在反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的函數(shù)圖象上？說明理由．
8．（2023?武侯區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝2x+12與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A（m，8），B兩點，C為反比例函數(shù)圖象第四象限上的一動點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；
（2）當四邊形ABOC的面積為1003時，求此時點C的坐標；
（3）我們把對角線互相垂直且相等的四邊形稱為“垂等四邊形”．設(shè)點D是平面內(nèi)一點，是否存在這樣的C，D兩點，使四邊形ABCD是“垂等四邊形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D兩點的坐標；若不存在，請說明理由．
9．（2023?張家口二模）如圖，在一段長為660km的高速公路上，規(guī)定汽車行駛速度最低為60km/h，最高為110km/h．
（1）直接填空：
①當行駛速度為100km/h，需要 h走完這段路；
②行駛完這段路恰好用了8.8h，行駛速度是 km/h．
（2）請根據(jù)以上背景，自己設(shè)定變量建立一個合理的函數(shù)關(guān)系，這個函數(shù)關(guān)系式中要把“660km”這個數(shù)據(jù)用上，并寫出自變量取值范圍．
（3）自己先提出一個問題，然后自己再回答它．要求：這個問題的解決要把“（2）中的函數(shù)關(guān)系式”、“60km/h”和“110km/h”都用上．
10．（2023?金牛區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A（a，﹣2），B兩點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）點C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，求點C的橫坐標；
（3）將△AOB在平面內(nèi)沿某個方向平移得到△DEF（其中點A、O、B的對應點分別是D、E、F），若D、F同時在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，求點E的坐標．
11．（2023?嶗山區(qū)一模）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5與反比例函數(shù)y=kx(k≠0) 的圖象在第一象限相交于A，B兩點，點B坐標是（n，1），AC垂直x軸交x軸于點C，O為坐標原點，AC＝4OC，連接BC．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若點D在x軸上，△BCD的面積和△ABC的面積相等，求點D的坐標．
12．（2023?城關(guān)區(qū)一模）如圖，一次函數(shù)y＝x+b的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A（1，3），B兩點，與y軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y＝x+b的表達式；
（2）若點P（t，0）是x軸負半軸上一點，過點P作PQ⊥x軸交反比例函數(shù)y=kx的圖象于點Q，連接CP，OQ．當S四邊形COQP=52時，求點P的坐標．
13．（2023?拱墅區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2=kx(a，b，k是常數(shù)，a≠0，k≠0）的圖象交于第一象限C（1，4），D（4，m）兩點，與坐標軸交于A、B兩點，連接OC，OD．（O是坐標原點）
（1）求一次函數(shù)y1與反比例函數(shù)y2的表達式；
（2）直接寫出當y2＞y1時x的取值范圍；
（3）將直線AB向下平移多少個單位長度，直線與反比例函數(shù)圖象只有一個交點？
14．（2023?尋烏縣一模）如圖，直線y＝ax+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與雙曲線y=kx(x＞0)相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC＝4，點A的坐標為（﹣4，0）．
（1）求一次函數(shù)和雙曲線的解析式；
（2）若點Q為雙曲線上點P右側(cè)的一點，且QH⊥x軸于H，當△ABO∽△CQH時，求點Q的坐標．
15．（2023?京口區(qū)模擬）平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=3kx（k≠0）的圖象與一次函數(shù)y＝kx﹣2k圖象交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)）
（1）求A、B兩點的坐標（用含k的代數(shù)式表示）；
（2）當k＝2時，過y軸正半軸上一動點C（0，n）作平行于x軸的直線，分別與一次函數(shù)y＝kx﹣2k、反比例函數(shù)y=3kx的圖象相交于D、E兩點，若CD＝3DE，求n的值；
（3）若一次函數(shù)y＝kx﹣2k圖象與x軸交于點F，AF+BF≤5，直接寫出k的取值范圍．
16．（2023?鎮(zhèn)平縣模擬）如圖，點A在反比例函數(shù)y=kx(x＜0) 的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為3．
（1）求k的值；
（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠OAB的平分線；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）
（3）設(shè)（2）中的角平分線與x軸相交于點C，延長AB到D，使AD＝AO，連接DC并延長交y軸于點E．求證：DE⊥OA．
17．（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖，點A（m，3）為函數(shù)y=9x(x＞0)圖象上一點，連接OA，點B在線段OA上，且OA：OB＝3，C是x軸的正半軸上一點，連接AC，S△ABC＝6．
（1）求點B的坐標；
（2）若M是線段AC上一點，且∠AOM＝15°，求△OCM的面積．
18．（2022?沙市區(qū)模擬）探究分段函數(shù)y=2x，x≥12|x|，x＜1的圖象與性質(zhì)．
列表：
描點：描出相應的點，并連線，如圖所示結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)，回答下列問題：
（1）點A（3，y1），B（5，y2），C（x1，52），D（x2，6）在函數(shù)圖象上，則y1 y2，x1
x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）當函數(shù)值y＝2時，自變量x的值為 ；
（3）在直角坐標系中作出y＝x的圖象；
（4）當方程x+b=2x，x≥12|x|，x＜1有三個不同的解時，則b的取值范圍為 ．
19．（2021?樊城區(qū)一模）小云同學根據(jù)函數(shù)的學習經(jīng)驗，對函數(shù)y=ax(x≤?1)?13x+b(x＞?1)進行探究，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，3），（5，1）．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）補充表格，在平面直角坐標系中，描出表中各組值對應坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；
（3）觀察函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的描述正確的有： ；
①當x≤﹣1時，y隨x的增大而增大；
②當x＞﹣1時，y隨x的增大而減??；
③函數(shù)y的圖象關(guān)于直線x＝﹣1軸對稱；
④當x＝﹣1時，函數(shù)值y取得最大值．
（4）過點（0，m）作直線l平行于x軸，若直線l與函數(shù)y有兩個交點，則m的取值范圍是 ．
20．（2023?越秀區(qū)一模）如圖，點A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函數(shù)y=kx(k＜0)的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為C、D，AC與BD相交于點E．
（1）根據(jù)圖象直接寫出y1、y2的大小關(guān)系，并通過計算加以驗證；
（2）結(jié)合以上信息，從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求k的值．
條件①四邊形OCED的面積為2；
條件②BE＝2AE．
21．（2023?萊蕪區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線y=kx(x＞0)經(jīng)過B、C兩點，△ABC為直角三角形，AC∥x軸，AB∥y軸，A（8，4），AC＝3．
（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；
（2）點M是y軸正半軸上的動點，連接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
②點N是反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象上的一個點，若△CMN是以CN為直角邊的等腰直角三角形時，求所有滿足條件的點N的坐標．
?
22．（2023?信陽模擬）如圖，已知一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與函數(shù)y2=mx（x＞0）的圖象交于A（6，?12），B（12，n）兩點，與y軸交于點C，將直線AB沿y軸向上平移t個單位長度得到直線DE，DE與y軸交于點F．
（1）求y1與y2的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出y1＜y2時x的取值范圍；
（3）連接AD，CD，若△ACD的面積為4，則t的值為 ．
23．（2023?大慶一模）設(shè)函數(shù)y1=k1x，函數(shù)y2＝k2x+b（k1，k2，b是常數(shù)，k1≠0，k2≠0）．
（1）如圖①，若函數(shù)y1和函數(shù)y2的圖象交于點A（1，m），B（3，1），
①求 y1，y2 的函數(shù)表達式；
②直接寫出當y1＞y2時，自變量x的取值范圍；
（2）如圖②，若點C（1，n）在函數(shù)y1的圖象上，點C先向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得點D，點D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，點P在y軸上，求△PCD周長的最小值．
24．（2023?成都模擬）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，已知點A（﹣6，0）、D（﹣7，3），點B、C在第二象限內(nèi)．
（1）點B的坐標（ ）；
（2）將正方形ABCD以每秒2個單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時刻t，使在第一象限內(nèi)點B、D兩點的對應點B′、D′正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求出此時t的值以及這個反比例函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的情況下，問是否存在y軸上的點P和反比例函數(shù)圖象上的點Q，使得以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
b
﹣3.8
……
x
…
﹣1
?12
0
12
1
32
2
…
y
…
2
1
0
1
2
43
1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…


3
1
…

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