類型一、反比例函數(shù)的性質(zhì)
例1．（2023?黔江區(qū)一模）設(shè)函數(shù)y1=kx，y2=?kx（k＞0）．
（1）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y1的最大值是a，函數(shù)y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；
（2）設(shè)m≠0且m≠1，當(dāng)x＝m時(shí)，y2＝p；當(dāng)x＝m﹣1時(shí)，y2＝q，芳芳說：“p一定大于q”．你認(rèn)為芳芳的說法正確嗎？為什么？
【答案】（1）a＝1，k＝1；
（2）芳芳的說法不正確．
【分析】（1）由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得k＝a①；﹣k＝a﹣2②；可求a的值和k的值；
（2）設(shè)m＝m0，且0＜m0＜1，則m0＞0，m0﹣1＜0，代入解析式，可求p和q，即可判斷．
【解答】解：（1）∵k＞0，1≤x≤2，
∴y1隨x的增大而減小，y2隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y1最大值為k＝a①；y2最小值為﹣k＝a﹣2②；
由①，②得：a＝1，k＝1；
（2）芳芳的說法不正確，
理由如下：設(shè)m＝m0，且0＜m0＜1，
則m0＞0，m0﹣1＜0，
∴當(dāng)x＝m0時(shí)，p＝y(tǒng)2=?km0＜0，
當(dāng)x＝m0﹣1時(shí)，q＝y(tǒng)2=?km0?1＞0，
∴q＞0＞p．
∴芳芳的說法不正確．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
類型二、反比例函數(shù)的圖象問題
例2．（2023春?北湖區(qū)校級(jí)月考）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程，結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù)y=6|x|?|x|的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．
（1）繪制函數(shù)圖象
①列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中a＝ 1 ，b＝ ﹣2.5 ．
②描點(diǎn)：請(qǐng)根據(jù)表中所給的數(shù)值在圖中描點(diǎn)；
③連線：請(qǐng)結(jié)合反比例函數(shù)圖象的特征，畫出函數(shù)圖象．
（2）探究函數(shù)性質(zhì)
①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而 減小 ；（填“減小”或“增大”）
②函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸 對(duì)稱；
（3）運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)
①點(diǎn)A（﹣7，y1），B（?52，y2），C（72，y3）在函數(shù)圖象上，請(qǐng)比較y1，y2，y3的大?。? B ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
②點(diǎn)D（x1，52），E（x2，6）在函數(shù)圖象上，請(qǐng)比較x1，x2的大小（ A ）
A．x1＞x2
B．x1＝x2
C．x1＜x2
D．不確定
③寫出方程6|x|?|x|=5的解 x1＝﹣1，x2＝1 ；
④寫出不等式6|x|?|x|≤1的解集 x≤﹣2或x≥2 ．
【答案】（1）1，﹣2.5；
（2）減小；y軸；
（3）①B：
②A；
③x1＝﹣1，x2＝1；
④x≤﹣2或x≥2．
【分析】（1）①把x＝2和x＝4分別代入解析式即可得a、b的值；
②③按要求描點(diǎn)，連線即可；
（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；
（3）觀察函數(shù)圖象即得答案．
【解答】解：（1）①列表：當(dāng)x＝2時(shí)，a=6|2|?|2|＝1，
當(dāng)x＝4時(shí)，b=6|4|?|4|＝﹣2.5，
故答案為：1，﹣2.5；
②描點(diǎn)，③連線如下：
（2）觀察函數(shù)圖象可得：①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減??；（填“減小”或“增大”）
②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
故答案為：減?。粂軸；
（3）①點(diǎn)A（﹣7，y1），B（?52，y2），C（72，y3）在函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2，
故答案為：B；
②點(diǎn)D（x1，52），E（x2，6）在函數(shù)圖象上，則x1＞x2，
故答案為：A；
③寫出方程6|x|?|x|=5的解為x1＝﹣1，x2＝1；
故答案為：x1＝﹣1，x2＝1；
④寫出不等式6|x|?|x|≤1的解集為x≤﹣2或x≥2；
故答案為：x≤﹣2或x≥2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象．
類型三、反比例函數(shù)與一次函數(shù)
例3．（2023?張店區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)y=k1x第一象限的圖象上，將點(diǎn)A先向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)C，點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)y=k1x第三象限的圖象上，經(jīng)過O，C兩點(diǎn)的直線y＝k2x交反比例函數(shù)第一象限的圖象于點(diǎn)B．
（1）求反比例函數(shù)y=k1x和直線y＝k2x的表達(dá)式；
（2）連接AC，AB，求△ABC的面積；
（3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式k1x＞k2x的解集．
【答案】（1）反比例函數(shù)為y=4x，直線y＝k2x的表達(dá)式為y=14x；
（2）15；
（3）x＜﹣4或0＜x＜4．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)為y=4x，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)，然后吧C的坐標(biāo)代入y＝k2x即可求得直線的解析式；
（2）作AM⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，則D（1，14），然后根據(jù)S△ABC＝S△ABD+S△ACD求得即可；
（3）根據(jù)圖象即可求得不等式的解集．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)y=k1x第一象限的圖象上，
∴k1＝1×4＝4，
∴反比例函數(shù)為y=4x，
將點(diǎn)A先向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)C（﹣4，4﹣m），
∵點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)y=k1x第三象限的圖象上，
∴4﹣m=4?4，
∴m＝5，
∴C（﹣4，﹣1），
代入y＝k2x得﹣1＝﹣4k2，
∴k2=14，
∴直線y＝k2x的表達(dá)式為y=14x；
（2）作AM⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，則D（1，14），
∴AD＝4?14=154，
∵點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B（4，1），
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD=12AD?(xB?xC)=12×154×(4+4)=15；
（3）關(guān)于x的不等式k1x＞k2x的解集為x＜﹣4或0＜x＜4．
【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)于一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，函數(shù)與不等式的關(guān)系，反比例函數(shù)的對(duì)稱性，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
類型四、反比例函數(shù)的面積問題
例4．（2023?立山區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），過A作AC
⊥y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)B為反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AD．直線BC與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)E的坐標(biāo)為（﹣2，0）時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若BD＝3OC，求四邊形ACED的面積．
【答案】（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）；
（2）6．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）求出直線BC的解析式，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面積公式解決問題．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），
∴2=k4，
解得：k＝8，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=8x，
由一可知點(diǎn)C（0，2），E（﹣2，0），
∴設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+b．將C（0，2），E（﹣2，0）代入，
得：2k+b=0b=2，
解得：k=1b=2，
∴直線EC的解析式為y＝x+2．
∴x+2=8x，解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去），
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）；
（2）∵AC⊥y軸，A（4，2），
∴OC＝2，
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x軸，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為6，代入y=8x中，得：6=8x，
解得：x=43，
∴B（43，6），
∵C（0，2），
設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，則有43k+b=6b=2，
解得：k=3b=2，
∴直線BC的解析式為：y＝3x+2，
令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x=?23，
∴E（?23，0），
∴DE=43?（?23）＝2，
∵AC∥DE，
∴S四邊形ACED=12（AC+DE）?OC=12×（4+2）×2＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)特征，梯形面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
類型五、反比例函數(shù)的應(yīng)用
例5．（2023?乳山市模擬）為預(yù)防流感，學(xué)校對(duì)教室采取藥熏法消毒．已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間x（分鐘）成正比例函數(shù)關(guān)系，藥物燃燒完后，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系（如圖示）．現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6毫克．
研究表明：
①當(dāng)空氣中每立方米含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室；
②當(dāng)空氣中每立方米含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌．
依據(jù)信息，解決下列問題：
（1）從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學(xué)生才能回到教室？
（2）你認(rèn)為此次消毒是否有效？并說明理由．
【答案】（1）從消毒開始，至少需要經(jīng)過 30 分鐘后，學(xué)生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，理由見解析．
【分析】（1）直接利用正比例函數(shù)解析式求法得出答案；
（2）利用反比例函數(shù)解析式求法得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=kx，
把（8，6）代入得：k＝48，
故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=48x；
當(dāng)y＝1.6時(shí)，代入y=48x得x＝30，
答：從消毒開始，至少需要經(jīng)過 30 分鐘后，學(xué)生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，
理由：藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間x（分鐘）成正比例，
所以設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx（k≠0），
將點(diǎn)（8，6）代入，得k=34，
即y=34x，自變量x的取值范圍是0≤x≤8：
將y＝3分別代入y=34x，y=48x得，x＝4和x＝16，
那么持續(xù)時(shí)間是16﹣4＝12＞10分鐘，所以有效殺滅空氣中的病菌．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
類型六、反比例函數(shù)與幾何問題
例6．（2023?平陰縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P（﹣1，2），AB⊥x軸于點(diǎn)E，正比例函數(shù)y＝mx的圖象與反比例函數(shù)y=n?3x的圖象相交于A、P兩點(diǎn)．
（1）求m、n的值；
（2）求證：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
【答案】（1）﹣2，1；
（2）證明見解答過程；
（3）255．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出m，n的值，聯(lián)立正、反比例函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)（利用正、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)找出點(diǎn)A的坐標(biāo)亦可）；
（2）由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得出∠DCP＝∠OAE，結(jié)合AB⊥x軸可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，進(jìn)而即可證出△CPD∽△AEO；
（3）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出AE，OE，AO的長(zhǎng)，由相似三角形的性質(zhì)可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定義即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：將點(diǎn)P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函數(shù)解析式為y＝﹣2x；
將點(diǎn)P（﹣1，2）代入y=n?3x，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函數(shù)解析式為y=?2x．
故m、n的值為﹣2，1．
（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x軸，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO；
（3）解：聯(lián)立正、反比例函數(shù)解析式成方程組，得：
y=?2xy=?2x，
解得：x1=?1y1=2（舍去），x2=1y2=?2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO=AE2+OE2=5．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE=AEAO=25=255．
所以sin∠CDB的值為255．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出m，n的值；（2）利用菱形的性質(zhì)，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似三角形的性質(zhì)，找出∠CDP＝∠AOE．
類型七、反比例函數(shù)與壓軸問題
例7．（2023春?吳江區(qū)期中）如圖，四邊形AOBC是菱形，點(diǎn)B在x的正半軸上，直線AB交y軸于點(diǎn)D軸交y軸于點(diǎn)E，反比例函數(shù)y=?12x(x＜0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，4）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)O點(diǎn)重合）．當(dāng)PO最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)N從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿折線A﹣C﹣B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△NDC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】（1）y=?12x+52；
（2）（1，2）；
（3）S=?34t+154(0≤t≤5)54t?254(5＜t≤10)．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)，先求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；
（2）當(dāng)OP⊥AB時(shí)，PO最小，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，?12a+52），利用兩點(diǎn)之間的距離公式解答即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先求出CD和DE的長(zhǎng)度，然后分兩種情況進(jìn)行分析：當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤5時(shí)；當(dāng)點(diǎn)N在線段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即5＜t≤10時(shí)；分別求出解析式即可．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y=?12x(x＜0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，4），
∴?12m=4，即m＝﹣3，
∴點(diǎn)A為（﹣3，4），
∴OA=(?3)2+42=5，
∵四邊形AOBC是菱形，
∴OB＝OA＝5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（5，0）；
設(shè)直線AB為y＝kx+b，
∴?3k+b=45k+b=0，
解得k=?12b=52，
∴直線AB的解析式y(tǒng)=?12x+52；
（2）當(dāng)OP⊥AB時(shí)，PO最小，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，?12a+52），
∴OP=a2+(?12a+52)2=?54(a?1)2+304，
當(dāng)a＝1時(shí)，OP有最小值，
∴?12a+52=?12×1+52=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）；
（3）在函數(shù)y=?12x+52中，令x＝0，y=52，
∴點(diǎn)D為(0，52)，
∵OB＝CB，∠OBD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△OBD≌△CBD（SAS），
∴CD=OD=52，∠BOD＝∠BCD＝90°，
∴DE=4?52=32；
當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤5時(shí)，
S=12CN?DE=12×(5?t)×32=?34t+154；
當(dāng)點(diǎn)N在線段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即5＜t≤10時(shí)，
S=12CN?CD=12×(t?5)×52=54t?254；
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=?34t+154(0≤t≤5)54t?254(5＜t≤10)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行解題．
類型八、反比例函數(shù)與存在性問題
例8．（2023?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，四邊形OABC為菱形，反比例函數(shù)y=?12x（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（a，﹣3），反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＜0）經(jīng)過點(diǎn)B，且交BC邊于點(diǎn)D，連接AD．
（1）求直線BC的表達(dá)式；
（2）連接OD，求△AOD的面積；
（3）如圖2，P是y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=?12x（x＞0）于點(diǎn)N．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，直線AB上是否存在點(diǎn)E，使以B，D，E，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）y=?34x?154；
（2）1329；
（3）存在，當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（167，?214）或（16，?34）時(shí)，以B，D，E，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
【分析】（1）待定系數(shù)法即可求解；
（2）由△AOD的面積=12×OT×（xA﹣xD），即可求解；
（3）利用數(shù)形結(jié)合的方法分類求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y=?12x（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（a，﹣3），
∴﹣3=?12a，
∴a＝4，
∴A（4，﹣3），
∴OA＝5，
∵四邊形OABC為菱形，
∴OC＝AB＝OA＝5，
∴C（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），
由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，y=?34x?154；
（2）∵B（﹣1，﹣3），
∴k＝﹣1×（﹣3）＝3，
∴y=3x，
聯(lián)立y=?34x?154y=3x，解得：x=?4y=?34（不合題意的值已舍去），
∴D（﹣4，?34），
由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，直線AD的表達(dá)式為：y=?932（x﹣4）+3，
設(shè)AD交y軸于點(diǎn)T，則T（0，339），
則△AOD的面積=12×OT×（xA﹣xD）=12×339×（4+4）=1329；
（3）存在，理由如下，
①當(dāng)四邊形BDEN是平行四邊形時(shí)，如圖，
∴yD﹣yB＝y(tǒng)E﹣yN，
∴?34?（﹣3）＝﹣3﹣yN，
∴yN=?214，
把yN=?214代入y=?12x得，xN=167，
∴N（167，?214）；
②當(dāng)四邊形BDNE是平行四邊形時(shí)，如圖，
∴yD﹣yB＝y(tǒng)N﹣yE，
∴?34?（﹣3）＝y(tǒng)N﹣（﹣3），
∴yN=?34，
把yN=?34代入y=?12x得，xN＝16，
∴N（16，?34），
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（167，?214）或（16，?34）時(shí)，以B，D，E，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
1．（2021?溫州模擬）如圖，在第一象限內(nèi)，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上，AM⊥x軸于點(diǎn)M（3，0），△AOM的面積為3，BC∥AM交OA于點(diǎn)C，連結(jié)OB．
（1）求出k的值和直線OA的函數(shù)解析式．
（2）當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求△OBC的面積．
【答案】（1）k＝6，直線OA的解析式為y=23x；
（2）53．
【分析】（1）由△AOM的面積為3，設(shè)A（x，y），則12xy=3，可得xy＝k＝6，設(shè)直線OA的解析式為y＝mx，代入點(diǎn)A（3，2），可得直線OA的解析式為y=23x；
（2）延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)N，設(shè)B坐標(biāo)為（2，m），則2m＝6，解得m＝3．把x＝2代入y=23x中，得y=43，所以BC＝3?43=53，根據(jù)S△OBC=12?ON?BC可得答案．
【詳解】解：（1）∵△AOM的面積為3，設(shè)A（x，y），
∴12xy=3，
則xy＝6＝k，
故A坐標(biāo)為（3，2），
設(shè)直線OA的解析式為y＝mx，代入點(diǎn)A（3，2），
得2＝3m，m=23，
故k＝6，直線OA的解析式為y=23x；
（2）延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)N，
設(shè)B坐標(biāo)為（2，m），
∴2m＝6，m＝3，
把x＝2代入y=23x中，得y=43，
即C點(diǎn)縱坐標(biāo)為43，
∴BC＝3?43=53，
又ON＝2，
∴S△OBC=12?ON?BC=12×2×53=53．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積．掌握以上知識(shí)點(diǎn)并學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用是關(guān)鍵．
2．（2023?龍港市一模）如圖，已知A的坐標(biāo)是（4，4），AB⊥x軸于點(diǎn)B，反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象分別交AO，AB于點(diǎn)C，D，連接OD，△OBD的面積為2．
（1）求k的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)P（a，b）在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包括邊界），求b的取值范圍．
【答案】（1）k＝4；（2，2）；
（2）1≤b≤2．
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的k值意義，求出k的值即可；先求出正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立正比例函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，求出b的取值范圍即可．
【詳解】解：（1）∵S△OBD＝2，
∴k＝4，
∴反比例函數(shù)為y=4x①，
設(shè)直線OA解析式為y＝mx，
將A（4，4）代入得，4m＝4，
∴m＝1，
∴直線OA解析式為y＝x②，
由①②得x2＝4，
∴x＝﹣2（不合題意，舍去），x＝2，
∴C為（2，2）．
（2）將x＝4代入y=4x，
得y＝1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），
∵點(diǎn)P（a，b）在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包含邊界），且C的坐標(biāo)為（2，2），
∴由圖象得1≤b≤2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，求正比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義．
3．（2023?瑞安市模擬）如圖，直線y＝2x與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）若點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且在直線AB的下方（不與點(diǎn)A，B重合），求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=8x；
（2）P橫坐標(biāo)的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞2．
【分析】（1）先將x＝2代入正比例函數(shù)y＝2x，可得出y＝4，求得點(diǎn)A（2，4），代入y=kx(k≠0)即可得出k的值；
（2）根據(jù)點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象即可求解．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)y＝2x上，
∴把x＝2代入正比例函數(shù)y＝2x，
解得y＝4，
∴點(diǎn)A（2，4），
把點(diǎn)A（2，4）代入反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，得k＝2×4＝8，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=8x；
（2）∵點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B（﹣2，﹣4），
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且在直線AB的下方（不與點(diǎn)A，B重合），
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞2．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?南明區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1＝2x+b與反比例函數(shù)y2=mx（m為常數(shù)，且m≠0）的圖象交于點(diǎn)A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求該反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足y1≤y2的x的取值范圍．
【答案】（1）y=4x；y＝2x+2；
（2）x≤﹣2或0＜x≤1．
【分析】（1）把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入反例函數(shù)解析式即可求出反比例函數(shù)解析式，利用反比例函數(shù)解析式求出B的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)A點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合圖形寫出y1≤y2的x的取值范圍即可．
【詳解】解：（1）把A（1，4）代入y=mx中，得m1=4，
解得m＝4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=4x；
將A（1，4）代入y＝2x+b中，
得：4＝2×1+b，
解得：b＝2，
∴一次函數(shù)解析式為y＝2x+2；
答：反比例函數(shù)的解析式為y=4x；一次函數(shù)解析式為y＝2x+2．
（2）由圖象得滿足y1≤y2的x的取值范圍為：x≤﹣2或0＜x≤1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，正確運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?花都區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象相交于點(diǎn)A（a，4），與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C．過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D．
（1）求反比例函數(shù)y=kx的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=kx(x＞0)圖象上的一點(diǎn)，且位于點(diǎn)A的右側(cè)．從條件①或者條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
條件①：PA＝PD；
條件②：△ABD面積是△PBD面積的2倍．
注明：如果選擇條件①與條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）y=8x；
（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2）．
②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2）．
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式確定a的值，代入反比例函數(shù)解析式確定k的值，求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）①連接PA，PD，利用求兩點(diǎn)間距離列等式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②連接PB，PD，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定三角形的邊長(zhǎng)，求出△ABD面積和△PBD面積，再求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）把點(diǎn)A（a，4）代入一次函數(shù)解析式得，
4＝a+2，a＝2，
∴點(diǎn)A為（2，4），
把點(diǎn)A（2，4）代入反比例函數(shù)y=kx(x＞0) 得，k＝8，
∴反比例函數(shù)y=kx的表達(dá)式為：y=8x；
（2）①連接PA，PD，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），由（1）知點(diǎn)A（2，4），點(diǎn)D（2，0），
∵PA＝PD；
∴(x?2)2+(y?4)2=(x?2)2+(y?0)2，
解得：y＝2，
∵P點(diǎn)再y=8x上，
∴x＝4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2）．
②連接PB，PD，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），由（1）知點(diǎn)A（2，4），點(diǎn)D（2，0），
∵一次函數(shù)y＝x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，0），
∴BD＝4，AD＝4，
∴S△ABD=12×BD×AD=12×4×4＝8，
∵△ABD面積是△PBD面積的2倍，
∴S△PBD＝4=12×BD×y，即4=12×4×y，
解得：y＝2，
∵P點(diǎn)再y=8x上，
∴x＝4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2）．
【點(diǎn)睛】本題考察一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是借助幾何中線段與三角形的面積列等式求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
6．（2023?前郭縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=k2x的圖象交于A（4，﹣2），B（﹣2，n）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求k2，n的值；
（2）請(qǐng)直接分別寫出當(dāng)﹣2＜x＜﹣1時(shí)，一次函數(shù)y＝k1x+b和反比例函數(shù)y=k2x的取值范圍；
（3）將x軸下方的圖象沿x軸翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，連接A′B，A′C，求△A'BC面積．
【答案】（1）k2＝﹣8，n＝4；
（2）當(dāng)﹣2＜x＜﹣1時(shí)，一次函數(shù) y＝k1x+b 的取值范圍為3＜y＜4，反比例函數(shù) y=k2x 的取值范圍為4＜y＜8；
（3）8．
【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=k2x求得k2的值；然后將點(diǎn)B代入反比例函數(shù)解析式求得n的值即可；
（2）用函數(shù)的觀點(diǎn)將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題；
（3）求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，求面積．
【詳解】解：（1）將A（4，﹣2）代入 y=k2x，得
k2＝﹣8，
∴該反比例函數(shù)解析式為：y=?8x．
將B（﹣2，n）代入 y=?8x，得n＝4．
綜上所述：k2＝﹣8，n＝4．
（2）當(dāng)﹣2＜x＜﹣1時(shí)，一次函數(shù) y＝k1x+b 的取值范圍為3＜y＜4，反比例函數(shù) y=k2x 的取值范圍為4＜y＜8．
（3）將A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入y＝k1x+b，得
4k1+b=?2?2k1+b=4．
解得k1=?1b=2．
∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+2，其圖象與x軸交于點(diǎn)C（2，0）．
∴將圖象沿x軸翻折后，得 S△ABC=12×(4+2)×(4+2)?12×4×4?12×2×2=8．
∴△A′BC的面積為8．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合題，使用的待定系數(shù)法，考查用函數(shù)的觀點(diǎn)解決不等式問題．
7．（2023??？h三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），連接OA．
（1）尺規(guī)作圖：在第一象限作點(diǎn)B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上標(biāo)注清楚點(diǎn)B）
（2）求線段AB的解析式；
（3）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的函數(shù)圖象上？說明理由．
【答案】（1）見解答；
（2）y=?13x+103；
（3）點(diǎn)B不在反比例函數(shù)上，理由見解答．
【分析】（1）過點(diǎn)A作圓弧交OA和OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H，分別以點(diǎn)G、H為圓心大于AG的長(zhǎng)度為半徑作畫弧交于點(diǎn)R，連接AR，以點(diǎn)A為圓心AO長(zhǎng)度為半徑作弧交AR于點(diǎn)B，即可求解；
（2）證明△ONA≌△AMB（AAS），得到點(diǎn)B（4，2），進(jìn)而求解；
（3）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k＝1×3＝3，即反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=3x，進(jìn)而求解．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)A作圓弧交OA和OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H，分別以點(diǎn)G、H為圓心大于AG的長(zhǎng)度為半徑作畫弧交于點(diǎn)R，
連接AR，以點(diǎn)A為圓心AO長(zhǎng)度為半徑作弧交AR于點(diǎn)B，則∠OAB＝90°，AB＝AO；
（2）如圖，過點(diǎn)A作直線MN交y軸于點(diǎn)N，交過點(diǎn)B與y軸的平行線于點(diǎn)M，
∵∠OAB＝90°，則∠BAM+∠NAO＝90°，
∵∠NAO+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠BAM，
∵AB＝OA，∠ONA＝∠AMB＝90°，
∴△ONA≌△AMB（AAS），
∴AM＝ON＝3，BM＝AN＝1，
∴點(diǎn)B（4，2），
設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝k（x﹣1）+3，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：2＝k（4﹣1）+3，
解得：k=?13，
則直線AB的表達(dá)式為：y=?13（x﹣1）+3=?13x+103；
（3）即點(diǎn)B不在反比例函數(shù)上，理由：
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k＝1×3＝3，
即反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=3x，
當(dāng)x＝4時(shí)，y=34≠3，即點(diǎn)B不在反比例函數(shù)上．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合應(yīng)用，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)基本知識(shí)等，有一定的綜合性，難度適中．
8．（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝2x+12與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A（m，8），B兩點(diǎn)，C為反比例函數(shù)圖象第四象限上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)四邊形ABOC的面積為1003時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）我們把對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形稱為“垂等四邊形”．設(shè)點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的C，D兩點(diǎn)，使四邊形ABCD是“垂等四邊形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）y=?16x，B（﹣4，4）；
（2）C（11+55，44﹣205）；
（3）存在，C（8，﹣2），D（6，14）．
【分析】（1）根據(jù)直線y＝2x+12與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A（m，8），B兩點(diǎn)，可計(jì)算m的值，并確定k的值，聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式建立方程組，解方程組可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)四邊形ABOC的面積為1003列方程可解答；
（3）如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥y軸于G，過點(diǎn)A作AM∥y軸，過點(diǎn)C作CM⊥AM于M，證明∠ABG＝∠GHB，根據(jù)正切的定義可得GH＝2，可得BC的解析式為：y=?12x+2，列方程可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，證明△AMC是等腰直角三角形，可得△FBG也是等腰直角三角形，則F（0，8），根據(jù)AC＝BD列方程可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A（m，8）在直線y＝2x+12上，
∴2m+12＝8，
∴m＝﹣2，
∴A（﹣2，8），
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=?16x，
則?16x=2x+12，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4，
∴B（﹣4，4）；
（2）如圖1，過點(diǎn)A作AP∥y軸，交OB于P，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，?16a），
∵B（﹣4，4），
∴OB的解析式為：y＝﹣x，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝2，
∴P（﹣2，2），
設(shè)AC的解析式為：y＝kx+b，
則?2k+b=8ak+b=?16a，解得：k=?8ab=8?16a，
∴AC的解析式為：y=?8xa+8?16a，
∴OF＝8?16a，
∵四邊形ABOC的面積為1003，
∴S△ABP+S梯形APOF+S△COF＝100，
即12×2×（8﹣2）+12×2（6+8?16a）+12×（8?16a）×a＝100，
解得：a1＝11+55，a2＝11﹣55（舍）；
∴C（11+55，44﹣205）；
（3）存在，
如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥y軸于G，過點(diǎn)A作AM∥y軸，過點(diǎn)C作CM⊥AM于M，
在y＝2x+12中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝12，
∴OE＝12，
∵B（﹣4，4），
∴BG＝4，EG＝12﹣4＝8，
∵四邊形ABCD是“垂等四邊形”，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠ACB+∠CBF＝90°，
∵∠ABD＝∠ACB，
∴∠ABD+∠CBF＝90°，即∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠HBG＝90°，
∵∠HBG+∠GHB＝90°，
∴∠ABG＝∠GHB，
∴tan∠ABG＝tan∠GHB，即EGBG=BGGH，
∴84=4GH，
∴GH＝2，
設(shè)直線BC的解析式為：y＝nx+2，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)（﹣4，4）代入得：﹣4n+2＝4，
∴n=?12，
∴BC的解析式為：y=?12x+2，
∴?12x+2=?16x，
解得：x＝8或﹣4（舍），
∴C（8，﹣2）；
∵A（﹣2，8），
∴AM＝CM＝10，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠CAM＝45°，
∴∠FBG＝∠CAM＝45°，
∴△FBG也是等腰直角三角形，
∴BG＝FG＝4，
∴F（0，8），
同理得：BF的解析式為：y＝x+8，
設(shè)D（x，x+8），
∵AC＝BD，
∴（8+2）2+（8+2）2＝（x+4）2+（x+8﹣4）2，
解得：x1＝6，x2＝﹣14（舍），
∴D（6，14）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟，正確求出雙曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
9．（2023?張家口二模）如圖，在一段長(zhǎng)為660km的高速公路上，規(guī)定汽車行駛速度最低為60km/h，最高為110km/h．
（1）直接填空：
①當(dāng)行駛速度為100km/h，需要 6.6 h走完這段路；
②行駛完這段路恰好用了8.8h，行駛速度是 75 km/h．
（2）請(qǐng)根據(jù)以上背景，自己設(shè)定變量建立一個(gè)合理的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)關(guān)系式中要把“660km”這個(gè)數(shù)據(jù)用上，并寫出自變量取值范圍．
（3）自己先提出一個(gè)問題，然后自己再回答它．要求：這個(gè)問題的解決要把“（2）中的函數(shù)關(guān)系式”、“60km/h”和“110km/h”都用上．
【答案】（1）6.6；
（2）75；
（3）見解析；
（4）見解析；
【分析】（1）根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度即可求解；
（2）根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間即可求解；
（3）設(shè)汽車行駛所需時(shí)間為yh，汽車行駛速度為xkm/h，根據(jù)速度、時(shí)間路程之間的關(guān)系可得函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=660x，根據(jù)汽車行駛速度最低為60km/h，最高為110km/h可得自變量的取值范圍；
（4）問題：若汽車行駛完這段路程用了7.5h，判斷汽車速度是否符合要求．令y=660x=7.5，解得x＝88，根據(jù)x的取值范圍即可判斷．
【詳解】解：（1）660÷100＝6.6（h），
∴當(dāng)行駛速度為100km/h，需要6.6h走完這段路；
故答案為：6.6；
（2）660÷8.8＝75（km/h），
∴行駛完這段路恰好用了8.8h，行駛速度是75km/h；
故答案為：75；
（3）設(shè)汽車行駛所需時(shí)間為yh，汽車行駛速度為xkm/h，
y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=660x（60≤x≤110）；
（4）問題：若汽車行駛完這段路程用了7.5h，判斷汽車的行駛速度是否符合要求．
令y=660x=7.5，
解得：x＝88，
∵60＜88＜110，
∴汽車的行駛速度符合要求．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意，熟知速度、時(shí)間路程之間的關(guān)系，以此得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
10．（2023?金牛區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A（a，﹣2），B兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
（3）將△AOB在平面內(nèi)沿某個(gè)方向平移得到△DEF（其中點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E、F），若D、F同時(shí)在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】（1）反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=6x；
（2）C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?1+132或?3+212；
（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，﹣4）．
【分析】（1）將點(diǎn)A（a，﹣2）代入y＝2x+4，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得出答案；
（2）首先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，在點(diǎn)B下方的y軸上取點(diǎn)C，使BC＝8，則S△ABC＝4，過點(diǎn)C作CP∥AB，交雙曲線于P，得出直線CP的解析式為y＝﹣2x﹣4，與雙曲線求交點(diǎn)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A上方時(shí)，同理可求；
（3）由平行四邊形和反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知B與D，A與F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求得F（3，2），根據(jù)B、F的坐標(biāo)得到平移的距離，從而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（a，﹣2）代入y＝2x+4得，﹣2＝2a+4，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，﹣2），
∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，
∴k＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=6x；
（2）解y=2x+4y=6x，得x=?2y=?3或x=1y=6，
∴B（1，6），
設(shè)直線y＝2x+4與y軸交于M，
∴M（0，4），
∴點(diǎn)C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，
在點(diǎn)M下方的y軸上取OM的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作CD∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)C，
∴直線CD的解析式為y＝2x+2，
∴2x+2=6x，
解得x1=?1+132，x2=?1?132（舍），
∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?1+132，
在點(diǎn)M上方的y軸上取ME＝2，過點(diǎn)E作CE∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點(diǎn)C，
同理可得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?3+212，
綜上：C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?1+132或?3+212；
（3）由題意可知AB＝DF，AB∥DF，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
由反比例函數(shù)與平行四邊形是中心對(duì)稱圖形可知，B與D，A與F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴F（3，2），
∵B（1，6），
∴點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)F，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，﹣4）．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形面積，平移的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?嶗山區(qū)一模）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5與反比例函數(shù)y=kx(k≠0) 的圖象在第一象限相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)是（n，1），AC垂直x軸交x軸于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC＝4OC，連接BC．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)D在x軸上，△BCD的面積和△ABC的面積相等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=4x；
（2）D（13，0）或（﹣11，0）．
【分析】（1）設(shè)OC＝a，則AC＝4OC＝4a，可得A（a，4a），把點(diǎn)A代入一次函數(shù)解析式即可求出a的值，進(jìn)而表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）將一次函數(shù)和反比例函數(shù)聯(lián)立求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用面積公式求得△ABC的面積，根據(jù)題意點(diǎn)D在x軸上，△ABD的面積和△ABC的面積相等，可得到12CD?yB＝6，求得CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）設(shè)OC＝a，則AC＝4OC＝4a，
∴C（a，0），A（a，4a），
∵一次函數(shù)y＝﹣x+5 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，
∴4a＝﹣a+5，解得a＝1，
∴A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函數(shù)y=kx(k≠0) 得：k＝1×4＝4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=4x；
（2）由y=?x+5y=4x，解得x=1y=4或x=4y=1，
∴B（4，1），
∵A（1，4），
∴S△ABC=12×4×(4?1)=6，
∵△ABD的面積和△ABC的面積相等，
∴12CD?yB＝6，即12CD×1=6，
∴CD＝12，
∴D（13，0）或（﹣11，0）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及到待定系數(shù)法求解析式、三角形面積以及求函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，能夠數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?城關(guān)區(qū)一模）如圖，一次函數(shù)y＝x+b的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A（1，3），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求反比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y＝x+b的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P（t，0）是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交反比例函數(shù)y=kx的圖象于點(diǎn)Q，連接CP，OQ．當(dāng)S四邊形COQP=52時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=3x，一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x+2；
（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)（﹣1，0）．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）利用點(diǎn)P坐標(biāo)和三角形的面積公式列方程求解即可．
【詳解】解：（1）將A（1，3）在反比例函數(shù)y=kx圖象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=3x，
將A（1，3）代入y＝x+b得3＝1+b，
解得b＝2，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x+2；
（2）∵y＝x+2中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，
∴C（0，2），
∵S四邊形COQP＝S△OPQ+S△OPC，且S四邊形COQP=52，
∴52=32+12×2×|t|，
∴|t|＝1，
∵t＜0，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)（﹣1，0）．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形面積，求得函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵．
13．（2023?拱墅區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2=kx(a，b，k是常數(shù)，a≠0，k≠0）的圖象交于第一象限C（1，4），D（4，m）兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，連接OC，OD．（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）
（1）求一次函數(shù)y1與反比例函數(shù)y2的表達(dá)式；
（2）直接寫出當(dāng)y2＞y1時(shí)x的取值范圍；
（3）將直線AB向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度，直線與反比例函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)？
【答案】（1）y＝﹣x+5，y=4x；
（2）0＜x＜1或x＞4；
（3）將直線AB向下平移1或9個(gè)單位長(zhǎng)度，直線與反比例圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．
【分析】（1）根據(jù)題意，由待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式直接代入點(diǎn)列方程及方程組求解即可得到答案；
（2）根據(jù)圖象即可求解；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象平移，設(shè)直線AB向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)直線AB對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y＝﹣x+5﹣n，聯(lián)立方程組，消去y整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，結(jié)合圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，確定x2﹣（5﹣n）x+4＝0只有一個(gè)解，即Δ＝[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，解一元二次方程即可得到答案．
【詳解】解：（1）把C（1，4）代入y2=kx(a，b，k是常數(shù)，a≠0，k≠0），得k＝4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=4x，
把（4，m）代入y=4x，得m＝1，
∴D（4，1），
把C（1，4），D（4，1）坐標(biāo)分別代入y＝ax+b得k+b=44k+b=1，
解得k=?1b=5，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+5；
（2）由圖可知，當(dāng)y2＞y1時(shí)x的取值范圍為：0＜x＜1或x＞4；
（3）設(shè)直線AB向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)直線AB對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y＝﹣x+5﹣n，
聯(lián)立方程組得y=?x+5?ny=4x，
消去y得﹣x+5=4x，
整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，
∵由于直線與反比例函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝0，即[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，整理得n2﹣10n+9＝0，解得n1＝1，n2＝9，
∴將直線AB向下平移1或9個(gè)單位長(zhǎng)度，直線與反比例圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、利用函數(shù)圖象解不等式、函數(shù)圖象平移及圖象交點(diǎn)與一元二次方程解得情況等知識(shí)點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2023?尋烏縣一模）如圖，直線y＝ax+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y=kx(x＞0)相交于點(diǎn)P，PC⊥x軸于點(diǎn)C，且PC＝4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0）．
（1）求一次函數(shù)和雙曲線的解析式；
（2）若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，且QH⊥x軸于H，當(dāng)△ABO∽△CQH時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】（1）一次函數(shù)表達(dá)式為：y=12x+2，反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=16x；
（2）Q（8，2）．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)△ABO∽△CQH時(shí)，則AOBO=CHHQ=2，設(shè)HQ為x，則CH＝2x，則Q（4+2x，x）代入反比例解析式得：x=164+2x，進(jìn)而求解．
【詳解】解：（1）∵A的坐標(biāo)為（﹣4，0），代入直線y＝ax+2，
∴0＝﹣4a+2，
解得：a=12，
∴y=12x+2，
∵PC＝4，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，
則4=12x+2，
解得：x＝4，
即P（4，4），
將P（4，4）代入y=kx(x＞0)，
∴4=k4，
解得：k＝16，
∴y=16x；
（2）當(dāng)△ABO∽△CQH時(shí)，
∴AOBO=CHHQ=2，
設(shè)HQ為x，則CH＝2x，
∴Q（4+2x，x）代入反比例解析式得：x=164+2x，
解得：x＝﹣4或2，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴Q（8，2）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)和反比例函數(shù)的基本性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中．
15．（2023?京口區(qū)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=3kx（k≠0）的圖象與一次函數(shù)y＝kx﹣2k圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)k＝2時(shí)，過y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)C（0，n）作平行于x軸的直線，分別與一次函數(shù)y＝kx﹣2k、反比例函數(shù)y=3kx的圖象相交于D、E兩點(diǎn)，若CD＝3DE，求n的值；
（3）若一次函數(shù)y＝kx﹣2k圖象與x軸交于點(diǎn)F，AF+BF≤5，直接寫出k的取值范圍．
【答案】（1）A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；
（2）?2+13或?2+22；
（3）?34≤k≤34，且k≠0．
【分析】（1）將兩個(gè)解析式聯(lián)立求解，即可得到A、B的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)檫^C（0，n）的直線平行于x軸，可得點(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)都為n．將y＝n代入y＝2x﹣4和y=6x，得xD=n2+2和xE=6n，分當(dāng)0＜n＜2時(shí)和當(dāng)n＞2時(shí)兩種情況，分別表示出CD與DE，根據(jù)CD＝3DE列方程即可求解；
（3）結(jié)合（1），根據(jù)AF+BF≤5，即AB≤5，得到關(guān)于k的不等式，即可求解．
【詳解】解：（1）聯(lián)立解析式得：
y=3kxy=kx?2k，
解得x=3y=k或x=?1y=?3k，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，
∴A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；
（2）∵k＝2，
∴反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式為y=6x和y＝2x﹣4，點(diǎn)B（3，2），
∵過C（0，n）的直線平行于x軸，
∴點(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)都為n．
將y＝n代入y＝2x﹣4和y=6x，
得：xD=n2+2，xE=6n，
當(dāng)0＜n＜2時(shí)，如圖：
∴CD=n2+2，DE=6n?n2?2，
∵CD＝3DE，
∴n2+2＝3（6n?n2?2），
整理，得n2+4n﹣9＝0，
解得n＝﹣2+13或n＝﹣2?13（舍去）；
∴n＝﹣2+13；
當(dāng)n＞2時(shí)，如圖：
CD=n2+2，DE=n2+2?6n，
∴CD=n2+2，DE＝2+n2?6n，
∵CD＝3DE，
∴n2+2＝3（2+n2?6n），
整理，得n2+4n﹣18＝0，
解得n＝﹣2+22或n＝﹣2?22（舍去），
∴n＝﹣2+22，
綜上所述：n的值為?2+13或?2+22；
（3）由（1）知A（﹣1，﹣3k），B（3，k），
∵AF+BF≤5，AF+BF＝AB，
∴AB≤5，
∴(?1?3)2+(?3k?k)2≤5，
整理，得k2≤916，
∴?34≤k≤34，
∴k的取值是?34≤k≤34，且k≠0．
【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了雙曲線與直線的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間距離公式，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，根的判別式，掌握兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)與方程組的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?鎮(zhèn)平縣模擬）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(x＜0) 的圖象上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為3．
（1）求k的值；
（2）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠OAB的平分線；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）
（3）設(shè)（2）中的角平分線與x軸相交于點(diǎn)C，延長(zhǎng)AB到D，使AD＝AO，連接DC并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E．求證：DE⊥OA．
【答案】（1）k＝﹣6；
（2）見解答；
（3）見解答．
【分析】（1）由反比函數(shù)k值的意義即可求解；
（2）如圖，以點(diǎn)A為圓心，作弧交AB、AO于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心大于12MN為半徑作弧，交于點(diǎn)F，則AF為∠OAB的平分線；
（3）證明AC、OB是△ADO的高，點(diǎn)C是兩個(gè)高的交點(diǎn)，即可求解．
【詳解】（1）解：由反比函數(shù)k值的意義知，|k|＝2S△AOB＝6，
則k＝﹣6；
（2）解：如圖，以點(diǎn)A為圓心，作弧交AB、AO于點(diǎn)M、N，
分別以點(diǎn)M、N為圓心大于12MN為半徑作弧，交于點(diǎn)F，則AF為∠OAB的平分線；
（3）證明：∵AF為∠OAB的平分線，AD＝AO，
∴AC⊥OD，
∵OB⊥AD，
即AC、OB是△ADO的高，點(diǎn)C是兩個(gè)高的交點(diǎn)，
故DE也是△ADO的高，
即DE⊥OA．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形高問題、反比例函數(shù)k值的意義、幾何作圖等，有一定的綜合性，難度不大．
17．（2023?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)A（m，3）為函數(shù)y=9x(x＞0)圖象上一點(diǎn)，連接OA，點(diǎn)B在線段OA上，且OA：OB＝3，C是x軸的正半軸上一點(diǎn)，連接AC，S△ABC＝6．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若M是線段AC上一點(diǎn)，且∠AOM＝15°，求△OCM的面積．
【答案】（1）點(diǎn)M（9﹣33，33?3）；（2）93?9．
【分析】（1）由OB：OA＝OH：ON，得到OH＝1，進(jìn)而求解；
（2）由S△ABC＝6＝S△ACO﹣S△AOB，得到CO＝6，設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m+6），由tan∠MON=33=yMxM=6?mm，進(jìn)而求解．
【詳解】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k＝3m＝9，
解得：m＝3，即點(diǎn)A（3，3）；
分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為N、H，
∴OB：OA＝OH：ON，
即OB：OA＝3：1＝OH：ON＝OH：3，
即OH＝1，同理可得，BH＝1，
即點(diǎn)B（1，1）；
（2）∵S△ABC＝6＝S△ACO﹣S△AOB=12×CO×（yA﹣yB）=12×CO×（3﹣1），
解得：CO＝6，
由A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x+6，
設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m+6），
∵OH＝HB＝1，則∠AOH＝45°，
∵∠AOM＝15°，則∠MON＝30°，
則tan∠MON=33=yMxM=6?mm，
解得：m＝9﹣33，
則點(diǎn)M（9﹣33，33?3），
則△OCM的面積=12×CO×yM=12×6×（33?3）＝93?9．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形的面積計(jì)算、一次函數(shù)的基本性質(zhì)、解直角三角形等，有一定的綜合性，難度適中．
18．（2022?沙市區(qū)模擬）探究分段函數(shù)y=2x，x≥12|x|，x＜1的圖象與性質(zhì)．
列表：
描點(diǎn)：描出相應(yīng)的點(diǎn)，并連線，如圖所示結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)，回答下列問題：
（1）點(diǎn)A（3，y1），B（5，y2），C（x1，52），D（x2，6）在函數(shù)圖象上，則y1 ＞ y2，x1 ＞
x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）當(dāng)函數(shù)值y＝2時(shí)，自變量x的值為 ﹣1或1 ；
（3）在直角坐標(biāo)系中作出y＝x的圖象；
（4）當(dāng)方程x+b=2x，x≥12|x|，x＜1有三個(gè)不同的解時(shí)，則b的取值范圍為 0＜b＜1 ．
【答案】（1）＞，＞；
（2）﹣1或1；
（3）函數(shù)圖象見解析；
（4）0＜b＜1．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的增減性即可比較；
（2）根據(jù)圖象求解即可；
（3）根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象即可；
（4）根據(jù)圖象即可求出b的取值范圍．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A（3，y1），B（5，y2），C（x1，52），D（x2，6）在函數(shù)圖象上，
根據(jù)圖象可知，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨著x增大而減小，當(dāng)y＞2時(shí)，y隨著x增大而減小，
∵3＜5，52＜6，
∴y1＞y2，x1＞x2，
故答案為：＞，＞；
（2）當(dāng)函數(shù)值y＝2時(shí)，x的值為﹣1或1，
故答案為：﹣1或1；
（3）函數(shù)圖象如圖所示：
（4）當(dāng)y＝x+b過點(diǎn)（1，2）時(shí)，
可得1+b＝2，
解得b＝1，
∴當(dāng)方程x+b=2x，x≥12|x|，x＜1有三個(gè)不同的解時(shí)，則b的取值范圍為0＜b＜1，
故答案為：0＜b＜1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2021?樊城區(qū)一模）小云同學(xué)根據(jù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=ax(x≤?1)?13x+b(x＞?1)進(jìn)行探究，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，3），（5，1）．
（1）填空：a＝ ﹣3 ，b＝ 83 ；
（2）補(bǔ)充表格，在平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組值對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；
（3）觀察函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的描述正確的有： ①②④ ；
①當(dāng)x≤﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大；
②當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小；
③函數(shù)y的圖象關(guān)于直線x＝﹣1軸對(duì)稱；
④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)值y取得最大值．
（4）過點(diǎn)（0，m）作直線l平行于x軸，若直線l與函數(shù)y有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是 0＜m＜3 ．
【答案】（1）﹣3；83；（2）1；32；（3）①②④；（4）0＜m＜3
【分析】本題考察的是分段函數(shù)圖象的理解．
【詳解】由題意可得（﹣1，3）在反比例函數(shù)y=ax圖象上，（5，1）在一次函數(shù)y=?13x+b的圖象上，（1）故可以得出a＝﹣3，b=83，同理（1）可得（2）中的兩空為1和32；
（3）①在x≤﹣1時(shí)，為反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象，此時(shí)y隨x的增大而增大，故①正確；
②在x＞﹣1時(shí)，為一次函數(shù)的圖象，∵?13＜0，∴此時(shí)y隨x的增大而減小，故②正確；
③結(jié)合圖象可以得出該分段函數(shù)的圖象沒有對(duì)稱軸（∵x≤﹣1時(shí)為曲線，x＞﹣1時(shí)為直線），故③錯(cuò)誤
④結(jié)合圖象可以得出x＝﹣1時(shí)，有最大值為3
（4）結(jié)合圖象可以看出，當(dāng)0＜m＜3時(shí)，直線l與該分段函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合
20．（2023?越秀區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函數(shù)y=kx(k＜0)的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為C、D，AC與BD相交于點(diǎn)E．
（1）根據(jù)圖象直接寫出y1、y2的大小關(guān)系，并通過計(jì)算加以驗(yàn)證；
（2）結(jié)合以上信息，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求k的值．
條件①四邊形OCED的面積為2；
條件②BE＝2AE．
【答案】（1）y1＞y2；見解析；
（2）選擇條件①，k＝﹣6；選擇條件②k＝﹣6．
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得y1＞y2，再將點(diǎn)A（﹣2，y1），（B（﹣6，y2）代入反比例函數(shù)的解析式分別求出y1、y2的值，由此即可加以驗(yàn)證；
（2）選擇條件①：先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得OD?OC＝2，再根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可得OC＝2，OD＝y(tǒng)2，從而可得y2＝1，B（﹣6，1），利用待定系數(shù)法求解即可得；選擇條件②：先求出OC＝2，AC＝y(tǒng)1，DB＝6，OD＝y(tǒng)2，再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得DE＝OC＝2，CE＝OD＝y(tǒng)2，從而可得BE＝4，AE＝2，代入可得y1﹣y2＝2，然后根據(jù)y1?y2=?k3即可得．
【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象從左往右是上升的，即自變量增大，函數(shù)值也隨之增大，
所以y1＞y2；
驗(yàn)證如下：
當(dāng)x＝﹣6時(shí)，y2=?k6；
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y1=?k2，
∵y1?y2=?k2+k6=?k3，k＜0，
∴y1﹣y2＞0即y1＞y2．
（2）選擇條件①四邊形OCED的面積為2，求解如下：
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，OC⊥OD，
∴四邊形OCED是矩形，
∴OD?OC＝2，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，OD＝y(tǒng)2，
解得y2＝1，
∴B（﹣6，1），
將點(diǎn)B（﹣6，1）代入y=kx得：
k＝﹣6×1＝﹣6．
選擇條件②BE＝2AE，求解如下：
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，AC＝y(tǒng)1，DB＝6，OD＝y(tǒng)2，
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，OC⊥OD，
∴四邊形OCED是矩形，
∴DE＝OC＝2，CE＝OD＝y(tǒng)2，
∴BE＝DB﹣DE＝4，
∴AE=12BE=2，
又∵AE＝AC﹣CE＝y(tǒng)1﹣y2，
∴y1﹣y2＝2，
由（1）可知，y1?y2=?k3，
∴?k3=2，
解得k＝﹣6．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
21．（2023?萊蕪區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=kx(x＞0)經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，△ABC為直角三角形，AC∥x軸，AB∥y軸，A（8，4），AC＝3．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
②點(diǎn)N是反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象上的一個(gè)點(diǎn)，若△CMN是以CN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
?
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=20x，B的坐標(biāo)為（8，52）；
（2）①M(fèi)B+MC的最小值是6852；
②N的坐標(biāo)為（209，9）或（26?2，26+2）．
【分析】（1）求出C（5，4），用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=20x，令x＝8得B的坐標(biāo)為（8，52）；
（2）①作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接BC'交y軸于M，此時(shí)MB+MC最小，由C（5，4），B（8，52），可得C'（﹣5，4），BC'=(8+5)2+(52?4)2=6852，即可得到答案；
②設(shè)M（0，m），N（n，20n），分兩種情況：當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過C作TK∥y軸，過N作NT⊥TK于T，過M作MK⊥TK于K，由△CMN的等腰直角三角形，證明△CMK≌△NCT（AAS），可得4?m=5?n5=20n?4，即可解得N（209，9）；當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，過N作RS⊥y軸于S，過C作CR⊥RS于R，同理可得n=20n?420n?m=5?n，解得N（26?2，26+2）．
【詳解】解：（1）∵A（8，4），AC＝3，
∴C（5，4），
將C（5，4）代入y=kx得：
4=k5，
解得k＝20，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=20x，
在y=20x中，令x＝8得y=52，
∴B的坐標(biāo)為（8，52）；
（2）①作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接BC'交y軸于M，此時(shí)MB+MC最小，如圖：
∵C，C'關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴MB+MC＝MB+MC'，
當(dāng)B，M，C'共線時(shí)，MB+MC'最小，即MB+MC最小，最小值為BC'的長(zhǎng)度，
由（1）知C（5，4），B（8，52），
∴C'（﹣5，4），
∴BC'=(8+5)2+(52?4)2=6852，
∴MB+MC的最小值是6852；
②設(shè)M（0，m），N（n，20n），
當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過C作TK∥y軸，過N作NT⊥TK于T，過M作MK⊥TK于K，如圖：
∵△CMN的等腰直角三角形，
∴CM＝CN，∠MCK＝90°﹣∠NCT＝∠CNT，
∵∠K＝90°＝∠T，
∴△CMK≌△NCT（AAS），
∴CK＝NT，MK＝CT，
∴4?m=5?n5=20n?4，
解得n=209，
∴N（209，9）；
當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，過N作RS⊥y軸于S，過C作CR⊥RS于R，如圖：
同理可得SN＝RC，SM＝NR，
∴n=20n?420n?m=5?n，
解得n＝26?2或n＝﹣26?2（舍去），
∴N（26?2，26+2）；
綜上所述，N的坐標(biāo)為（209，9）或（26?2，26+2）．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
22．（2023?信陽模擬）如圖，已知一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與函數(shù)y2=mx（x＞0）的圖象交于A（6，?12），B（12，n）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，將直線AB沿y軸向上平移t個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線DE，DE與y軸交于點(diǎn)F．
（1）求y1與y2的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出y1＜y2時(shí)x的取值范圍；
（3）連接AD，CD，若△ACD的面積為4，則t的值為 43 ．
【答案】（1）y2=?3x，y1＝x?132；
（2）12＜x＜6；
（3）43．
【分析】（1）將點(diǎn)A（6，?12）代入y2=mx（x＞0）中，求反比例函數(shù)的解析式；通過解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A、B代入y1＝kx+b，即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）通過觀察圖象即可求解；
（3）由題意先求出直線DE的解析式為y＝x?132+t，過點(diǎn)F作GF⊥AB于點(diǎn)G，連接AF，由∠OCA＝45°，求出FG=22t，再求出AC＝62，由平行線的性質(zhì)可知S△ACD＝S△ACF，則12×62×22t=4，即可求t．
【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（6，?12）代入y2=mx（x＞0）中，
∴m＝﹣3，
∴y2=?3x，
∵B（12，n）在y2=?3x中，可得n＝﹣6，
∴B（12，﹣6），
將點(diǎn)A、B代入y1＝kx+b，
∴12k+b=?66k+b=?12，
解得k=1b=?132，
∴y1＝x?132；
（2）∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)為A（6，?12），B（12，﹣6），
∴12＜x＜6時(shí)，y1＜y2；
（3）在y1＝x?132中，令x＝0，則y=?132，
∴C（0，?132），
∵直線AB沿y軸向上平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴直線DE的解析式為y＝x?132+t，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，?132+t），
過點(diǎn)F作GF⊥AB于點(diǎn)G，連接AF，
直線AB與x軸交點(diǎn)為（132，0），與y軸交點(diǎn)C（0，?132），
∴∠OCA＝45°，
∴FG＝CG，
∵FC＝t，
∴FG=22t，
∵A（6，?12），C（0，?132），
∴AC＝62，
∵AB∥DF，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴12×62×22t=4，
∴t=43，
故答案為：43．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2023?大慶一模）設(shè)函數(shù)y1=k1x，函數(shù)y2＝k2x+b（k1，k2，b是常數(shù)，k1≠0，k2≠0）．
（1）如圖①，若函數(shù)y1和函數(shù)y2的圖象交于點(diǎn)A（1，m），B（3，1），
①求 y1，y2 的函數(shù)表達(dá)式；
②直接寫出當(dāng)y1＞y2時(shí)，自變量x的取值范圍；
（2）如圖②，若點(diǎn)C（1，n）在函數(shù)y1的圖象上，點(diǎn)C先向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得點(diǎn)D，點(diǎn)D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，點(diǎn)P在y軸上，求△PCD周長(zhǎng)的最小值．
【答案】（1）①y1=3x，y2＝﹣x+4；
②0＜x＜1或x＞3；
（2）△PCD周長(zhǎng)的最小值為 13+5．
【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
②利用函數(shù)圖象分析比較；
（2）根據(jù)平移確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征代入求得n＝4，即可求得C（1，4），D（2，2），作C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D，交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)△PCD周長(zhǎng)的最小，最小值為C′D+CD．
【詳解】解：（1）①把點(diǎn)B（3，1）代入 y1=k1x，得 k1＝3，
∴y1 的函數(shù)表達(dá)式為 y1=3x，
把點(diǎn)A（1，m）代入 y1=3x，得m＝3，
把點(diǎn)A（1，3），B（3，1）代入 y2＝k2x+b，得 k2+b=33k2+b=1，
解得k2=?1b=4，
∴y2 的函數(shù)表達(dá)式為 y2＝﹣x+4；
②觀察圖象，當(dāng)y1＞y2時(shí)，自變量x的取值范圍是0＜x＜1或x＞3；
（2）點(diǎn)C（1，n）向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，n﹣2）．
∵C，D兩點(diǎn)均在 y3 上，
∴2（n﹣2）＝n，解得n＝4，
此時(shí)點(diǎn)C（1，4），D（2，2），CD=(2?1)2+(2?4)2=5，
∵點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′為（﹣1，4），
∴CD=(2+1)2+(2?4)2=13，
∴△PCD周長(zhǎng)的最小值為 13+5．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，理解反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
24．（2023?成都模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，已知點(diǎn)A（﹣6，0）、D（﹣7，3），點(diǎn)B、C在第二象限內(nèi)．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)（ ﹣3，1 ）；
（2）將正方形ABCD以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時(shí)刻t，使在第一象限內(nèi)點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、D′正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請(qǐng)求出此時(shí)t的值以及這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的情況下，問是否存在y軸上的點(diǎn)P和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q，使得以P、Q、B′、D′四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）（﹣3，1）；
（2）t=92，y=6x；
（3）存在，Q(8，34)或(4，32)或(?4，?32)．
【分析】（1）先求出OA＝6，OG＝7，DG＝3，再判斷△DGA≌△AHB，得DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，即可得出答案；
（2）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)表示出點(diǎn)B′，D′的坐標(biāo)，進(jìn)而求出k，t，即可得出結(jié)論；
（3）先求出點(diǎn)B′，D′的坐標(biāo)，再分三種情況討論，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分建立方程求出解，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)B，D作BH⊥x軸，DG⊥x軸交于點(diǎn)H，G，
∵點(diǎn)A（﹣6，0），D（﹣7，3），
∴OA＝6，OG＝7，DG＝3，
∴AG＝OG﹣OA＝1．
∵∠DAG+∠BAH＝90°，∠DAG+∠GDA＝90°，
∴∠GDA＝∠BAH．
又∠DGA＝∠AHB＝90°，AD＝AB，
∴△DGA≌△AHB（AAS），
∴DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣3，1）；
故答案為：﹣3，1；
（2）由（1），得點(diǎn)B（﹣3，1），D（﹣7，3），
∴運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)D′（﹣7+2t，3），B′（﹣3+2t，1）．
設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=kx，
∵點(diǎn)B′，D′在反比例函數(shù)圖象上，
∴k＝（﹣7+2t）×3＝（﹣3+2t）×1，
解得t=92，k＝6，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=6x；
（3）存在，理由：由（2）知，點(diǎn)D′（﹣7+2t，3），B′（﹣3+2t，1），t=92，
∴D′（2，3），B′（6，1），反比例函數(shù)關(guān)系式為y=6x，
設(shè)點(diǎn)Q(m，6m)，點(diǎn)P（0，s）．
以點(diǎn)PQB′D′四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴①當(dāng)PQ與B′D′是對(duì)角線時(shí)，
∴12(0+m)=12(2+6)，12(s+6m)=12(3+1)，
解得m＝8，s=134，
∴Q(8，34)，P(0，134)；
②當(dāng)PB′與QD′是對(duì)角線時(shí)，
∴12(0+6)=12(2+m)，12(s+1)=12(6m+3)，
解得m＝4，s=72，
∴Q(4，32)，P(0，72)；
③當(dāng)PD′與QB′是對(duì)角線時(shí)，
∴12(0+2)=12(m+6)，12(s+3)=12(6m+1)，
解得m＝﹣4，s=?72，
∴Q(?4，?32)，P(0，?72)．
綜上所述：Q(8，34)或Q(4，32)或Q(?4，?32)．
【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)的綜合題目，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
b
﹣3.8
……
x
…
﹣1
?12
0
12
1
32
2
…
y
…
2
1
0
1
2
43
1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…
1
32
3
1
…

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