數(shù)學
（考試時間：120 分鐘 試卷滿分：150 分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用
橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共 45 分）
一、選擇題：本題共 9 小題，每小題 5 分，共 45 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要
求的。
1．已知集合
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【詳解】因為集合
，
所以
，
所以
.
故選：A.
2．設(shè)
，則“
”是“
”的（
）
A．充分不必要條件
C．充要條件
B．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】①當
，
時，滿足
，但不滿足
，
充分性不成立，
②當
時，則
，
，
必要性成立，
是
的必要不充分條件，
故選：B．
3．函數(shù)
的零點所在區(qū)間為（
）
A．
B．
C．
D．
1 / 11

【答案】B
【詳解】∵函數(shù)
在
上均是增函數(shù)，
∴函數(shù)
在
上是增函數(shù)，
∵
，
，∴
，
∴函數(shù)
在區(qū)間
上有唯一零點.
故選：B．
4．若兩個正實數(shù)
，
滿足
，且存在這樣的
，
使不等式
有解，則實數(shù) 的取值
范圍是（
）
A．
或
B．
D．
C．
或
【答案】A
【詳解】由已知正實數(shù)
則
，
滿足
，
，當且僅當
時等號成立，
所以
，
解得：
故選：A.
5．若
或
，
，則下列說法正確的是（
的最小值為
）
A．
B．
D．
的最小值為
的最小值為
C．
的最小值為
【答案】A
【詳解】對于 AC 選項，因為
，則
，由基本不等式可得
，
當且僅當
時，即當
時，等號成立，即
的最小值為 ，A 對 C 錯；
對于 BD 選項，因為
，則 ，
由基本不等式可得
，
2 / 11

當且僅當
所以
時，即當
時，等號成立，但
，故等號不成立，
，即
沒有最小值，BD 都錯.
故選：A.
6．已知
A．
，則
B．
D．
的大小關(guān)系為（
）
C．
【答案】A
【詳解】
所以
，
，
，
故選：A.
7．函數(shù)
A．
的部分圖像大致為（
）
B．
C．
D．
【答案】B
【詳解】函數(shù)
的定義域為
，
∵
，
∴
是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除 C；
時， ，故排除 A，D.
∵當
故選：B.
8．已知函數(shù)
，則下列結(jié)論
3 / 11

①若
②若
③若
④若
，則
在
上是單調(diào)遞增
，則正整數(shù)ω的最小值為 2
的圖象向右平移 個單位長度得到
，函數(shù)
在
的圖象．則
為奇函數(shù)
上有且僅有 3 個零點，則
其中判斷正確的個數(shù)為（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【詳解】依題意，
，
對于①
當
，
，
時，有
，則
在
上單調(diào)遞增，
所以
在
上單調(diào)遞增，故正確；
對于②，因
得
，則
是函數(shù)
圖像的一條對稱軸，
，整理
，
而
，即有
，
，故正確；
，
對于③，
，
依題意，函數(shù)
，
這個函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點不對稱，故不正確；
對于④，當
時，
，
依題意，
，解得
，故正確.
故選：C
9．已知函數(shù)
，則函數(shù)
的零點個數(shù)是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
4 / 11

【詳解】函數(shù)
即方程
的零點，
和
的根，函數(shù)
的圖象，如下圖所示：
由圖可得方程
和
的根，共有 4 個根，即函數(shù)
有 4 個零點．
故選：C．
第二部分（非選擇題 共 105 分）
三、填空題：本題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。
10．函數(shù)
的定義域是
.
【答案】
【詳解】由題意
，解得
，
所以函數(shù)
的定義域是
.
故答案為：
.
11．若角 的終邊經(jīng)過點
，則
的值為
.
【答案】
/
【詳解】由題意可得
所以，
，
.
故答案為：
.
12．冪函數(shù)
為偶函數(shù)，且在
上是減函數(shù)，則
.
【答案】3 或 4
【詳解】由題意
，
，
5 / 11

又
，
，而
，所以
或 1，
所以
或 4．
故答案為：3 或 4．
13．磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖所示，一
扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形
截去同心扇形
所得圖形，已知
，
，
，則該扇環(huán)形磚雕的面積為
.
【答案】
【詳解】因為扇形
的院校為
，
，
又因為
，
所以，該扇環(huán)形磚雕的面積為
.
故答案為：
.
14．函數(shù)
在區(qū)間
上是減函數(shù)，則實數(shù) 的范圍是
．
【答案】
【詳解】對于
開口向上，對稱軸為
，而
在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
由
在區(qū)間 上是減函數(shù)，則
，可得
.
故答案為：
15．已知
函數(shù)
的圖像如圖所示，
其中
是這兩個函數(shù)共同的零點，
是其中一個函數(shù)的零點，則
=
.
6 / 11

【答案】
【詳解】由
由圖可知
，可知
，
，
是函數(shù)
正半軸的第一個零點，得
，解得
；
若
是函數(shù)
正半軸的第四個零點， 是函數(shù)
正半軸的第五個零點，
則
且
，此時無解，
所以
不是函數(shù)
的零點， 是函數(shù)
正半軸的第四個零點，得
，
所以，
.
故答案為：
.
四、解答題：本題共 5 小題，共 75 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
16．計算下列各式的值：
(1)
；
(2)
．
【詳解】（1）
（2）
.
17．已知
7 / 11

(1)化簡
(2)若
并求
且
的值；
，求
的值；
(3)已知
，求
的值．
【詳解】（1）由誘導(dǎo)公式可知
，
則
；
（2）由（1）得
，
即
則
，
，
解得
又
，
，則
，
，
所以
，
則
，
所以
；
（3）由已知（1）得
，所以
，
即
，
所以
.
18．已知
.
(1)求函數(shù)在 上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)在
(3)求不等式
上的值域；
在
上的解集.
8 / 11

【詳解】（1）由
則
，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，
且
，可得
，
，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）由題設(shè)
，
；
，則
，且
，所以
，
；
（3）由題設(shè)
所以
，可得
.
所以不等式解集為
.
19．已知冪函數(shù)
為偶函數(shù).
(1)求
的解析式；
(2)求不等式
(3)若
的解集；
上不單調(diào)，求實數(shù) 的取值范圍.
在區(qū)間
【詳解】（1）由
時，
為冪函數(shù)，得
，解得
或
，
為奇函數(shù)，舍去；
時，
為偶函數(shù)，符合題意，
所以
.
（2）由（1）知，原不等式化為
，即
，
當
當
時，解得
；
時，不等式為
，解得
或
；
當
當
當
時，不等式化為
時，解得
，
；
時，不等式無解；
時，解得
當
，
所以當
當
時，原不等式的解集為
時，原不等式的解集為
；
；
9 / 11

當
當
當
時，原不等式的解集為
；
時，原不等式的解集為
時，原不等式的解集為
；
.
（3）函數(shù)
在
上不單調(diào)，則有
，解得
，
所以實數(shù) 的取值范圍是
.
20．設(shè)函數(shù)
（
且
），且
，
，函數(shù)
．
(1)求
和
的解析式；
，
(2)若關(guān)于 x 的方程
在區(qū)間
上有實數(shù)解，求實數(shù) m 的取值范圍；
，若對任意的
(3)設(shè)
，
，均存在
，滿足
．求實數(shù)λ的取值范圍．
【詳解】（1）已知
，且
，即
，
因為
且
，所以，則
，即
.
，所以
，所以
又因為
對于
.
，因為
.
（2）由
，可得：
，不妨設(shè)
，
則有：
，又
，則有：
.
故當
時， 取得最小值為
；當
時， 取得最大值為
，故
故實數(shù) 的取值范圍為：
（3）
，若對任意的
，則只需：
，均存在
，
滿足
恒成立.
，
不妨設(shè)
，則設(shè)
在
，
，則
.
上可分如下情況討論：
，此時 ，不滿足
，此時只需：
當
當
時，
時，
恒成立.
在
上恒成立.
10 / 11

則只需：
在
上恒成立.
則需：
當
時，不等式
時，
成立.解得：
，與
矛盾；
，此時，只需保證：
.
則只需：
在
上恒成立.
當
時，只需保證：當
，解得：
時，
成立.
則有：
又
，
，故有：
，
當
時，只需保證：當
，又
時，
成立，
此時解得：
故有：
，故當
時，
.
綜上所述，解得：實數(shù) 的取值范圍為：
11 / 11

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