2024-2025學年北京市海淀區(qū)高二上冊開學摸底考數(shù)學學情檢測試題合集2套（含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標是，則的共軛復數(shù)（）
A．B．
C．D．
2．若，，則是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，若四邊形是邊長為2的正方形，則這個八面體的表面積為（）
A．8B．16C．D．
4．在中，，，，則（）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐標系中，已知，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則其解析式為（）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)，“存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
8．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）
A．若，，則B．若，l//m，則
C．若，，則D．若，α//β，則
9．在梯形中，，，，，，則與夾角的余弦值為（）
A．B．C．D．
10．如圖，已知正方體的棱長為2，其中E，F(xiàn)，G，H，I，J，K分別為棱，，，，，，的中點，那么三棱柱與三棱柱在正方體內(nèi)部的公共部分的體積為（）
A．B．C．D．
二、填空題，共5小題，每小題4分，共20分．
11．已知純虛數(shù)z滿足，則z可以是．
12．已知，則．
13．有一個木制工藝品，其形狀是一個圓柱被挖去一個與其共底面的圓錐．已知圓柱的底面半徑為3，高為5，圓錐的高為4，則這個木質(zhì)工藝品的體積為；表面積為．
14．在中，，則，．
15．如圖，在棱長為2的正方體中，點為的中點，點是側(cè)面上（包括邊界）的動點，點是線段上的動點，給出下列四個結(jié)論：
①任意點，都有；
②存在點，使得平面；
③存在無數(shù)組點和點，使得；
④點到直線的距離最小值是．
其中所有正確結(jié)論的序號是．
三、解答題，共4小題，每小題10分，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16．在中，分別是三個內(nèi)角的對邊，．
(1)求的大小；
(2)若，且邊上的高是邊上的高的2倍，求及的面積．
17．如圖，在長方體中，，，為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求點到平面的距離．
18．設函數(shù)．從下列三個條作中選擇兩個作為已知，使得函數(shù)存在．
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若對于任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍．
條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；
條件②：在區(qū)間上單調(diào)遞增；
條件③：足的一條對稱軸．
19．設為正整數(shù)，集合．對于集合中的任意元素和，定義，，以及．
(1)若，，，，求；
(2)若，均為中的元素，且，，求的最大值；
(3)若均為中的元素，其中，，且滿足，求的最小值．
1．D
【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出復數(shù)，然后利用共軛復數(shù)的定義計算.
【詳解】在復平面對應的點是，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，，
由共軛復數(shù)的定義可知，.
故選：D
2．B
根據(jù)，可判斷可能在的象限，根據(jù)，可判斷可能在的象限，綜合分析，即可得答案.
【詳解】由，可得的終邊在第一象限或第二象限或與y軸正半軸重合，
由，可得的終邊在第二象限或第四象限，
因為，同時成立，所以是第二象限角.
故選：B
3．C
【分析】先計算出每個面的面積，再乘以8即為表面積；
【詳解】每個面的面積為，所以該圖形的表面積為.
故選：C
4．C
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.
【詳解】在中，由，，得，
由正弦定理，得.
故選：C
5．A
【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標運算及三角函數(shù)恒等變換化簡，利用正弦函數(shù)的值域求解即可.
【詳解】由題意，，
又，所以，，
所以.
故選：A
6．B
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的最大值，以及對稱軸間點的距離，五點法，分別求解析式中的參數(shù)，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的最大值為2，可知，，
，得，
當時，，，得，，
因為，所以，
所以函數(shù)的解析式為.
故選：B
7．B
【分析】以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)對稱性解得，進而根據(jù)包含關系分析充分、必要條件.
【詳解】若存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，
因為，且，則，
則，解得，
又因為2,+∞是的真子集，
所以“存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
8．D
【分析】根據(jù)線線，線面及面面位置關系判斷各個選項即可.
【詳解】對于A:若,則可能，A錯誤；
對于B:若,則可能,B錯誤；
對于C:若則可能不垂直，C錯誤；
對于D:若,則,D正確.
故選：D.
9．D
【分析】首先根據(jù)題干計算出相應的邊長，再根據(jù)余弦定理計算出，再計算，最后代入夾角公式即可.
【詳解】設與交于，因為，，，所以，，
又因為，，所以，，，，所以，，
由余弦定理得，即，
，即，
，所以.
故選：D
10．C
【分析】先得出公共部分為四棱錐，然后結(jié)合棱錐的體積公式直接計算即可求解.
【詳解】
如圖所示，設交于點，由題意三棱柱與三棱柱在正方體內(nèi)部的公共部分為四棱錐，
顯然四棱錐的高為，底面是邊長為1的正方形，
故所求體積為.
故選：C.
11．（答案不唯一）
【分析】由復數(shù)概念和復數(shù)的模即可求解.
【詳解】為純虛數(shù)，設，，
，解得或，即或.
故（答案不唯一）
12．##
【分析】由二倍角公式以及誘導公式即可求解.
【詳解】由余弦的二倍角公式可得,又，
故
13．
【分析】根據(jù)圓柱和圓錐的體積公式求木質(zhì)工藝品的體積，根據(jù)圓柱、圓錐的側(cè)面積公式求木質(zhì)工藝品的表面積.
【詳解】由題意可知：這個木質(zhì)工藝品的體積為；
因為圓錐的母線長為
所以這個木質(zhì)工藝品的表面積為.
故；.
14． 12
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義求解即可；
（2）利用向量的減法運算化簡，再由數(shù)量積的運算法則求模即可.
【詳解】由已知可得，
.
故12；
15．①③④
【分析】對于①：可證平面，即可得結(jié)果；對于②：可證平面，即可得結(jié)果；對于③：分析可知，結(jié)合平面性質(zhì)分析判斷；對于④：結(jié)合平面分析可知：當平面時，點到直線的距離最小，結(jié)合長度關系分析求解.
【詳解】因為∥，且，可知為平行四邊形.
對于①：因為為正方形，則，
又因為平面，平面，則，
且，平面，
可得平面，由平面，則，故①正確；
對于②：由①可知：平面，由平面，則，
同理可證：，
且，平面，可得平面，
又因為平面，平面，
可知平面與平交，
所以不存在點，使得平面，故②錯誤；
對于③：若，則四點共面，即平面，
又因為點側(cè)面，且側(cè)面平面，則，
根據(jù)平面的性質(zhì)可知：對任意線段（不包括），均存在，使得，
所以存在無數(shù)組點和點，使得，故③正確；
對于④：由②可知：平面，
由垂線性質(zhì)可知，當平面時，點到直線的距離最小，
又因為，
可知為正三棱錐，點為等邊的中心，
此時點到直線的距離為，
所以點到直線的距離最小值是，故④正確；
故①③④.
關鍵點點睛：對于空間中動線問題的研究，常常有拓展的思路，把線轉(zhuǎn)為面，研究線面問題，有助于理解判斷.
16．(1)
(2)，
【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，由二倍角的正弦公式化簡即可得解；
（2）由高的關系得出邊的關系，再由余弦定理求出，由面積公式求面積即可.
【詳解】（1）由正弦定理可得，
因為，所以.
所以
所以
因為，所以，，
所以，所以，即.
（2）因為邊上的高是邊上的高的2倍，，
所以由等面積法知，
所以，
所以，
所以
17．(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）令，由三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.
（2）利用線面垂直、面面垂直的判定推理即得.
（3）過作于，由（2）的結(jié)論，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)推理計算即得.
【詳解】（1）在長方體中，令，則為中點，連接，
由為的中點，得，而平面，平面，
所以平面.
（2）由平面，平面，得，
矩形中，，則矩形為正方形，，
而平面，則平面，又平面，
所以平面平面.
（3）在中，過作于，由平面平面，平面平面，
平面，因此平面，顯然，，
在中，，
所以點到平面的距離為.
18．(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2)
【分析】（1）利用輔助角公式化簡，結(jié)合所選條件，利用周期與單調(diào)性求出，求函數(shù)解析式即可；
（2）由的范圍求出的范圍，即可求出函數(shù)的值域，依題意．
【詳解】（1）因為，
若選①②：由①函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
則，，即，，
由②在區(qū)間上單調(diào)遞增，有，即，
又且，即，所以，此時不存在；
選條件②③：由②在區(qū)間上單調(diào)遞增，有，即，
又且，即，所以，
由③是的一條對稱軸，則，，
所以，，所以，
所以，則的最小正周期，
由，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；
若選①③：由①函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
則，，即，，
由③是的一條對稱軸，則，，所以，，
此時不存在；
（2）由（1）可知，
因為，所以，
所以，，
因為對于任意的，都有，所以，
即的取值范圍為．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設，然后直接根據(jù)定義解得的值即可；
（2）根據(jù)已知條件考慮中所有等于的分量的個數(shù)，得到，再對構(gòu)造符合條件的例子；
（3）直接通過反證法說明不可能成立，然后對構(gòu)造符合條件的例子.
【詳解】（1）設，則由，，知.
所以，得.
而，故，從而.
所以.
（2）由已知有，，
這些條件的含義是，都恰有個分量等于，且任意兩個不同向量沒有同時為的分量.
由于，故一共只有個分量，這表明全體的所有分量中，至多有個.
而顯然一共有個，故，得.
顯然，，滿足條件，此時.
這就說明的最大值是.
（3）由，，知，.
而條件的含義是，在序列中，任意一對相鄰的向量都恰有個分量不相等.
根據(jù)題目內(nèi)容，已有.
若，則，，且恰有個分量不相等，恰有個分量不相等.
換言之，恰有個分量相等，恰有個分量相等.
而，故一定存在，使得的第個分量不相等，的第個分量也不相等.
這就表明的第個分量相等，但，，它們沒有相等的分量，矛盾；
這就表明.
注意到，，，滿足全部條件，此時.
所以的最小值是.
關鍵點點睛：本題的關鍵在于對新定義的理解，以及構(gòu)造性地給出符合條件的例子.
2024-2025學年北京市海淀區(qū)高二上學期開學摸底考數(shù)學學情
檢測試題（二）
一?單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．復數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（）
A．1B．C．2D．2i
2．已知，則與的夾角為（）
A．B．
C．D．
3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．，B．，
C．，D．，
4．已知，，則等于（）
A．－B．
C． D．－
5．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（）
A．B．C．D．
6．在ΔABC中，角，，的對邊分別為，，，已知，ΔABC的面積為，且，則的值為
A．4+2B．4﹣2C．1D．1
7．若，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
8．為了解某地高三學生的期末語文考試成績，研究人員隨機抽取了100名學生對其進行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知不低于90分為及格，則這100名學生期末語文成績的及格率為（）
A．40%B．50%C．60%D．65%
9．“，”是“”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
10．在中，，，已知點P滿足，且，則（）
A．B．C．D．
二?填空題：本題共6小題，每小題6分，共36分.
11．已知復數(shù)z滿足，，則的虛部為．
12．在中，若，則的大小是．
13．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則的面積為．
14．如圖，在某個海域，一艘漁船以海里/時的速度，沿方位角為的方向航行，行至處發(fā)現(xiàn)一個小島在其東偏南方向，半小時后到達處，發(fā)現(xiàn)小島在其東北方向，則處離小島的距離為海里.

15．邊長為2的等邊中，，，則的最小值為．
16．如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對函數(shù)定義域內(nèi)任意都有成立，那么稱為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”．給出如下四個結(jié)論：
①函數(shù)存在“線性覆蓋函數(shù)”；
②對于給定的函數(shù)，其“線性覆蓋函數(shù)”可能不存在，也可能有無數(shù)個；
③為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”；
④若為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則
其中所有正確結(jié)論的序號是
三?解答題：本題共4小題，共分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．已知函數(shù)，且．
(1)求a的值和的最小正周期；
(2)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
18．已知A，B，C分別為三邊a，b，c所對的角，向量，，且．
(1)求角C的大??；
(2)若，且，求邊c的長．
19．在中；內(nèi)角所對的邊分別為.已知.
(1)求角.
(2)從以下三個條件中任選一個，求的面積.
①邊上的中線；②；③角的平分線，點在線段上.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
20．對于函數(shù)，，若存在實數(shù)m，n，使得函數(shù)，則稱為，的“合成函數(shù)”．
(1)已知，，試判斷是否為，的“合成函數(shù)”？若是，求實數(shù)的值；若不是，說明理由；
(2)已知，，為，的“合成函數(shù)”，且，，若關于x的方程在上有解，求實數(shù)k的取值范圍；
(3)已知，，為，的“合成函數(shù)”（其中，），的定義域為，當且僅當時，取得最小值6．若對任意正實數(shù)，且，不等式恒成立，求實數(shù)p的最大值．
1．A
【分析】利用復數(shù)的除法法則及復數(shù)的概念即可求解.
【詳解】由題意可知，，
所以復數(shù)的虛部為.
故選：A.
2．D
【分析】分別求出與的數(shù)量積和模，代入夾角公式即得．
【詳解】∵
∴
又∵與的夾角范圍為
∴與的夾角為．
故選：D
3．A
【分析】根據(jù)函數(shù)的最大值為2求出A，然后由間的距離求出周期，進而求出，最后根據(jù)最值點求出.
【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，A=2，，所以，根據(jù)函數(shù)在處取得最大值可知，.
故選：A.
4．B
【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式，求解可得選項.
【詳解】因為，所以，
又，所以，所以.
故選：B.
本題考查余弦的二倍角公式，屬于基礎題.
5．B
【分析】求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)求解范圍.
【詳解】考慮函數(shù)函數(shù)，
令，
，
，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，解得，所以k=0，又，
所以
故選：B
此題考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍，關鍵在于熟練掌握單調(diào)性的處理方法，準確求解不等式組.
6．D
先根據(jù)三角形面積公式求得的值，利用正弦定理及題設中，可知的值，代入到余弦定理中求得．
【詳解】解：由已知可得：，解得：，
又，由正弦定理可得：，
由余弦定理：
，
解得：，
．
故選：．
本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應用，作為解三角形的常用定理，應用熟練記憶這兩個定理及其變式，屬于基礎題．
7．A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)分析判斷.
【詳解】由，得，
所以，
當，且時，不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
8．C
【分析】利用直方圖求頻率即得.
【詳解】依題意可得及格率為.
故選：C.
9．A
【分析】由可解得或，即可判斷.
【詳解】若，則，，
即或，
則可得“，”是“”的充分而不必要條件.
故選：A.
10．D
【分析】利用余弦定理求出，求出，根據(jù)求解可得.
【詳解】因為，B∈0,π，所以，
又，所以為等腰三角形，，
由余弦定理得，
因為，
所以，解得.
故選：D
11．##
【分析】設，根據(jù)復數(shù)的模的計算公式求出即可得解.
【詳解】設，
由，，
得，解得，
所以的虛部為.
故答案為.
12．
【分析】由正弦定理可得，令，則、，再由余弦定理計算可得.
【詳解】由正弦定理（為外接圓的半徑），
又，所以，
令，則、，
所以，
又B∈0,π，所以．
故
13．
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正余弦定理，求出和，結(jié)合面積公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，由，根據(jù)正弦定理得，
在中，由余弦定理，得，
因為，，，所以，解得或（舍），故，
因此.
故答案為.
14．
【分析】根據(jù)題意得，，，再利用正弦定理可得.
【詳解】由題意及方位角可得，，，，
因為漁船以海里/時的速度航行，所以海里，
由正弦定理可得，即，得海里，
故答案為.
15．．
【分析】以點為坐標原點，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標系，設點，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.
【詳解】因為是邊長為的等邊三角形，且，則為的中點，故，
以點為坐標原點，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，

則、、，設點，
，，
所以，，當且僅當時，等號成立，
因此，的最小值為.
故答案為.
16．②③
【詳解】對①：由函數(shù)的圖象可知，不存在“線性覆蓋函數(shù)”故命題①錯誤
對②：如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜﹣1）就是“線性覆蓋函數(shù)”，且有無數(shù)個，再如①中的函數(shù)就沒有“線性覆蓋函數(shù)”，∴命題②正確；
對③：設則
當時，在（0，1）單調(diào)遞增
當時，在單調(diào)遞減
，即
為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”；命題③正確
對④，設，則，當b=1時，也為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”，故命題④錯誤
故答案為②③
17．(1)，；
(2).
【分析】（1）根據(jù)求出，然后利用三角恒等變換公式化簡，由周期公式可得；
（2）利用整體代入法求出的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合可得.
【詳解】（1）因為，所以，
即，解得，
所以
，
所以的最小正周期為.
（2）由，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標運算及三角公式化簡整理可得角C的大??；
（2）將中的角化邊，再將用三角形的邊角表示出來，然后利用余弦定理求出邊c的長.
【詳解】（1）由已知得．
因為，所以，
所以．
又，所以，
，則
所以．又，
所以；
（2）由已知及正弦定理得．
因為，所以，所以．
由余弦定理得，
所以，所以，
所以．
19．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）先利用正弦定理化簡得，可化簡得到，再結(jié)合余弦定理即可求解；
（2）若選①：由題意可得，化簡后可求得，再結(jié)合正弦定理的面積公式即可求解；若選②：先利用正弦定理化簡求得，再結(jié)合余弦定理可求得，再結(jié)合正弦定理的面積公式即可求解；若選③:由余弦定理求得且，從而可求得為等腰三角形，從而可求解.
【詳解】（1）由題意，由正弦定理可得，即，
則，
由余弦定理得，所以，
所以，所以，
又因為，所以.
（2）若選①：由邊邊上的中線，如圖，
所以，即，
即，又因為，所以，
由（1）知，所以，
所以.
若選②：當，由，所以，
由正弦定理：，即，解得，
由（1）可得，即，解得：或（舍），
所以.
若選③:角的平分線，則，又因為，
在中由余弦定理可得，
所以，此時，所以，所以，
所以可得為等腰三角形，所以，
所以.
20．(1)是，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)“合成函數(shù)”的定義計算即可；
（2）由題意可得，則，即，令，則方程轉(zhuǎn)化為關于的一元二次方程，分離參數(shù)，進而可得出答案；
（3）求得，根據(jù)已知結(jié)合基本不等式求出，從而可求出的解析式，再利用基本不等式求出的最大值即可得解.
【詳解】（1）假設為，的“合成函數(shù)”，
則=，
所以，解得，
所以為，的“合成函數(shù)”，且；
（2）因為，且，，
所以，
由，
得（*），
令，
則，所以，
因為，所以，故，
所以方程（*）為在上有解，
所以，
因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，
所以函數(shù)在上是減函數(shù)，
所以，
所以；
（3）由題意，
得，
當且僅當，即時取等號，
所以，解得，
所以，
則恒成立，
因為，所以，
又，當且僅當時取等號，
所以，
所以，
所以實數(shù)p的最大值為.
易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正二定三相等”（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

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