高一數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考（人教B版2019）-2024-2025學(xué)年高中下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（人教 B 版 2019）
數(shù)學(xué)?全解全析
（考試時間：120 分鐘試卷滿分：150 分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用
橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題共 58 分）
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要
求的。
1．已知
，
，則
（
）
A．
B．
D．
C．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，
的元素為兩個方程的解構(gòu)成的點，
由
解得
，
則
.
故選：A
2．已知函數(shù)
，在下列區(qū)間中，一定存在
零點的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【詳解】因為
所以
與
均在定義域上單調(diào)遞增，
在
上單調(diào)遞增，
，
又
，
，
所以
，所以
在區(qū)間
上存在唯一零點.
故選：C
3．設(shè)
，
，則“
”是“
”的（
）
1 / 12

A．充分不必要條件
C．充要條件
B．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】向量
，
，
，解得
或
，
所以“
”是“
”的必要不充分條件.
故選：B
4．若命題“
，使得
成立”是假命題，則的取值范圍是（
B．
）
A．
C．
D．
【答案】C
【詳解】由題可知
為真命題，
當
當
時，
，符合題意；
時，則
，解得
；
；
綜上可得，的取值范圍是
故選：C.
5．《數(shù)術(shù)記遺》記述了積算（即籌算）、珠算、計數(shù)等共 14 種算法.某研究學(xué)習(xí)小組共 10 人，他們搜集整理
這 14 種算法的相關(guān)資料所花費的時間（單位：min）分別為 68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，
則這組數(shù)據(jù)的（
A．眾數(shù)是 31
C．極差是 38
【答案】B
）
B．
分位數(shù)是
D．中位數(shù)是 44
【詳解】由題知，每個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是一次，即眾數(shù)不是 31，A 錯誤；
將這 10 個數(shù)據(jù)從小到大排列為 31，32，38，41，47，48，58，63，68，82；
易知
為整數(shù)，所以
，B 正確；
，C 錯誤；
分位數(shù)是第 1 個數(shù)與第 2 個數(shù)的平均值，
即為
極差為
中位數(shù)為第 5 個數(shù)和第 6 個數(shù)的平均數(shù)，即
故選：B.
，D 錯誤.
6．已知
為
所在平面內(nèi)一點，
，
，
，則
的面積等于
（
）
2 / 12

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【詳解】
設(shè)線段
由
，
位于線段
的垂直平分線上，
的中點為
，
，
得：
，
，如下圖所示，
，
.
故選：D.
7．某中學(xué)堅持“五育”并舉，全面推進素質(zhì)教育.為了更好地增強學(xué)生們的身體素質(zhì)，校長帶領(lǐng)同學(xué)們一起做
俯臥撐鍛煉.鍛煉是否達到中等強度運動，簡單測量方法為
與正常時心率的比值，為每個個體的體質(zhì)健康系數(shù).若
，其中為運動后心率（單位：次/分）
介于
之間，則達到了中等強度運動；若
低于 28，則運動不足；若高于 34，則運動過量.已知某同學(xué)正常時心率為 80，體質(zhì)健康系數(shù)
臥撐后心率（單位：次/分）滿足為俯臥撐個數(shù).已知俯臥撐每組 12 個，若該同學(xué)要
達到中等強度運動，則較合適的俯臥撐組數(shù)為（）（為自然對數(shù)的底數(shù)，
，經(jīng)過俯
，
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【詳解】由題意，設(shè)俯臥撐組數(shù)為
組，則
，
所以
所以
，
，
3 / 12

所以
，
，
因為
，且
，所以
.
故選：B
8．已知函數(shù)
若函數(shù)
恰有 5 個零點，則實數(shù) 的取
值范圍是（
A．
）
B．
C．
D．
【答案】B
【詳解】因為函數(shù)
恰有 5 個零點，所以方程
有 5 個根．
圖象可得至多有三根，則方程化為
設(shè)
，結(jié)合
，此方程有兩個
不等的實根
，，
結(jié)合
令
的圖象可知，
，
，
，
則由二次函數(shù)的零點的分布情況得：
解得
．
故選:B．
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部
選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9．隨機事件
A．
滿足
，
，
，則有（）
B．
D．
C．
不是互斥事件
相互獨立
【答案】AC
【詳解】因為
，
，
，
4 / 12

所以
所以
因為
，
，故 A 正確，B 錯誤；
不是互斥事件，故 C 正確；
不相互獨立，故 D 錯誤.
，所以
，所以
因為
故選：AC.
10．若定義在
上不恒為 0 的
，對于
都滿足
，且當
時，
，則下列說法正確的有（
）
A．
B．
D．
為奇函數(shù)
C．
在
上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【詳解】對于 A，令
，則
，解得
，故 A 正確；
對于 B，令
，則
的定義域
，即
，
且函數(shù)
關(guān)于原點對稱，故
，則
為奇函數(shù)，故 B 正確；
對于 D，對于
且
，
因
，則
，
，故
，故
.
又因
而
，
，則得
，
即
，因
，即函數(shù)
時，
，故
，
即得
在
上單調(diào)遞減，故 D 正確；
對于 C，由 D 已得：函數(shù)
在
上單調(diào)遞減，
因
，又
，故
，即 C 錯誤.
故選：ABD.
11．已知
，若
有四個實數(shù)解 a，b，c，d，且滿足
，則下
5 / 12

列說法不正確的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【詳解】畫出函數(shù)
的圖象如圖所示.
由圖可得
，
，
，即
，D 正確，A 錯誤；
由圖可得、關(guān)于
對稱，所以
，且
，
，故 B 正確，C 錯誤.
故選：AC.
第二部分（非選擇題共 92 分）
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12．已知非零向量
，
不共線，若
，
，
，且 A，C，D 三點共線，則
．
【答案】
【詳解】因為 A，C，D 三點共線，故可得
，
則存在非零實數(shù) x，使得
．
又
，
，
，
故可得
．又非零向量
不共線，
故可得
，
，解得
，
．
故答案為：
.
13．若函數(shù)
的最小值為
，則實數(shù) 的取值范圍為
.
6 / 12

【答案】
【詳解】當
時，
，因為
的圖象關(guān)于
對稱，
若最小值為
，可知
，即可得
；
又當
時，
，當且僅當
時等號成立；
若最小值為
可得
，即
，解得
；
綜上可知，實數(shù) 的取值范圍為
故答案為：
.
14．已知實數(shù) x，y 滿足
，
，則
.
【答案】
/
【詳解】因為
，所以
，
又
即
，所以
，
，
即有
，
因為函數(shù)
在
上為增函數(shù)，
．
所以
，所以
．
故答案為：
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13 分）已知
，命題
，不等式
恒成立；命題
，使得
成立．
(1)若為真命題，求的取值范圍；
(2)若至少有一個為真，求實數(shù) 的取值范圍．
和
【詳解】（1）若命題為真命題，即
，不等式
，解得
恒成立
則
，可得
， 2 分
因此，若為真命題，則的取值范圍是
. 分
成立，則， 5 分
（2）若命題為真命題，即
，使得
7 / 12

真
假
假時，
； 7 分
； 9 分
真時，
，
都真時，
；分
因為
和
至少有一個為真，則
，
因此，若
16．（15 分）如圖，在
（不同于）兩點，且
和
至少有一個為真，實數(shù) 的取值范圍是
. 分
中，點是的中點，
，過點的直線分別交邊
于
，
．
(1)當
時，用向量
表示
，
；
(2)證明：
為定值．
【詳解】（1）因為點
是
的中點，所以
是
的中線，所以
，2 分
當
時，
； 5 分
（2）由（1）知
，所以
，
因為
、
、
三點共線，所以
，
所以
， 8 分
由已知
，
，所以
，
所以
因為
所以
， 11 分
，
不共線，所以
，即
，消去整理可得
，
為定值. 分
17．（15 分）2024 年奧運會在巴黎舉行，中國代表團獲得了 40 枚金牌，27 枚銀牌，24 枚銅牌，共 91 枚獎
牌，取得了境外舉辦奧運會的最好成績，運動員的拼搏精神給人們留下了深刻印象.為了增加學(xué)生對奧運知
8 / 12

識的了解，弘揚奧運精神，某校組織高二年級學(xué)生進行了奧運知識能力測試.根據(jù)測試成績，將所得數(shù)據(jù)按
分成 6 組，其頻率分布直方圖如圖所示.
照
，
，
，
，
，
(1)求 a 值和該樣本的第 75 百分位數(shù)；
(2)試估計本次奧運知識能力測試成績的平均分；
(3)該校準備對本次奧運知識能力測試成績不及格（60 分以下）的學(xué)生，采用按比例分配的分層隨機抽樣方
法抽出 5 名同學(xué)，再從抽取的這 5 名同學(xué)中隨機抽取 2 名同學(xué)進行情況了解，求這 2 名同學(xué)分數(shù)在
各一人的概率.
，
【詳解】（1）由題意可得：
，
解得：
因為
； 2 分
，
，
所以該樣本的第百分位數(shù)在區(qū)間
，
所以設(shè)該樣本的第百分位數(shù)為，則可得方程：
，
解得：
即該樣本的第百分位數(shù)為 . 5 分
（2）因為
故估計本次奧運知識能力測試成績的平均分為 . 7 分
（3）采用分層抽樣從抽取名同學(xué)，
，
，
和
因為
，
則應(yīng)在成績?yōu)?br>在成績?yōu)?br>的學(xué)生中抽取人，記為
的學(xué)生中抽取人，記為
，
，
；
，
；分
再從抽取的這名同學(xué)中隨機抽取名同學(xué)有如下結(jié)果，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共
種可能結(jié)果；
其中在
，
各一人的共種； 12 分
9 / 12

所以所求概率
，
則這名同學(xué)分數(shù)在
，
各一人的概率為 . 15 分
18．（17 分）已知函數(shù)
.
(1)當
時，求
在
上的最值；
，若存在最小值-8，求實數(shù) 的值.
， 2 分
(2)設(shè)函數(shù)
【詳解】（1）當
時，
設(shè)
，則
，開口向上，對稱軸
，
所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減，
，
上單調(diào)遞增，分
所以
所以
（2）
，
在
上的最小值為，最大值為 8. 8 分
， 10 分
設(shè)
，當且僅當
，對稱軸
，即
時取得等號，
所以
，
. 分
當
，即
時，
，即
時，
，在
，解得
在
上單調(diào)遞增，
則當
當
，不滿足題意； 14 分
時，
上單調(diào)遞減，
上單調(diào)遞增，
所以
時，
，解得
或（舍去），
綜上，實數(shù) 的值為
. 分
19．（17 分）新定義：對給定的奇函數(shù)
，偶函數(shù)
，若
，若
，則稱
為
為
和
的“奇
偶函數(shù)”；對給定的奇函數(shù)
(1)若奇偶函數(shù)
，偶函數(shù)
，則稱
和
的“偶奇函數(shù)”
在
上嚴格遞增，求證：奇偶函數(shù)
在
上為嚴格增函數(shù)
(2)求證：一個函數(shù)是奇偶函數(shù)的充要條件是該函數(shù)是偶奇函數(shù)
10 / 12

(3)若
，其中
為奇偶函數(shù)，
為偶奇函數(shù)，若
在
上嚴格遞增，將
向右
平移一個單位得到
，若
恒成立，求：的取值范圍
【詳解】（1）設(shè)
為奇函數(shù)，
為偶函數(shù)，則
為奇偶函數(shù)， 1 分
因為
則
在
上嚴格遞增，對于任意的
，且
，且
，
，
則
，
則
，即
，即
， 3 分
上為嚴格增函數(shù). 4 分
所以
在
上也嚴格遞增，所以
為奇偶函數(shù)，其中
在
（2）充分性：設(shè)
為奇函數(shù)，
為偶函數(shù)，
則
，
令
，則
，
所以
也是偶奇函數(shù)； 7 分
必要性：設(shè)
則
為奇偶函數(shù)，其中
，
為奇函數(shù)，
為偶函數(shù)，
令
，則
，
所以
也是奇偶函數(shù)，即證. 分
（3）由題意，奇偶函數(shù)
，偶奇函數(shù)
均為奇函數(shù)，則
在
為偶函數(shù)，分
上嚴格遞減，
由函數(shù)
在
上嚴格遞增可得函數(shù)
又將
于直線
由
向右平移一個單位得到
，則
在
上嚴格遞增，在
上嚴格遞減，且
關(guān)
對稱， 14 分
可得
，即
，
所以
，當且僅當
時，等號成立，
11 / 12

所以的取值范圍為
. 17 分
12 / 12

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